마우러-카르탕 형식

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 마우러-카르탕 방정식
  - 3.1.1. 마우러-카르탕 방정식의 일반화
4. 역사
5. 예
6. 응용
- 6.1. 균질 공간 위의 마우러-카르탕 형식
- 6.2. 마우러-카르탕 틀
참조

1. 개요

마우러-카르탕 형식은 리 군 G에 대해 정의되는 리 대수 값 1차 미분 형식으로, 각 점 g에서 접벡터를 리 대수의 원소로 변환한다. 이 형식은 리 군의 주 균질 공간을 식별하고, 주접속의 정의와 같으며, 마우러-카르탕 방정식을 만족한다. 마우러-카르탕 방정식은 dω + 1/2[ω∧ω] = 0으로 표현되며, 균질 공간과 카르탕의 이동 틀 방법에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

리 군은 여러 가지 동치인 방법으로 정의될 수 있다.

편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의한다.

: $\mathsf L_g,\mathsf R_g \colon G\to G\qquad(g\in G)$

: $\mathsf L_g \colon h\mapsto gh$

: $\mathsf R_g \colon h\mapsto hg$

리 군은 곱셈을 통해 자신에게 작용한다.

: $G\times G \ni (g,h) \mapsto gh \in G.$

카르탕과 그의 동시대인들에게 중요한 질문은 주 균질 공간을 식별하는 방법이었다. 즉, 군 $G$ 와 동일하지만 단위 원소를 고정하여 선택하지 않은 다양체 $P$ 였다. 이러한 동기는 부분적으로 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에서 비롯되었으며, 여기서 공간의 대칭이 리 군을 형성하는 변환군인 공간의 대칭 개념에 관심이 있었다.

$G$ 의 주 균질 공간은 $P$ 에 대한 $G$ 의 자유적이고 추이적인 작용을 갖는다는 특징을 갖는 다양체 $P$ 이다. '''마우러-카르탕 형식'''^[1]은 주 균질 공간의 적절한 ''미분'' 특성을 제공한다. 이는 마우러-카르탕 방정식으로 알려진 적분 가능 조건을 만족하는 $P$ 에서 정의된 1-형식이다. 이 적분 가능 조건을 사용하여 리 대수의 지수 사상을 정의할 수 있으며, 이러한 방식으로 국소적으로 $P$ 에 대한 군 작용을 얻을 수 있다.

보다 추상적으로, ''G''의 주 등질 공간은 ''G''의 자유롭고 추이적인 작용을 갖는 다양체로 정의할 수 있다. 마우러-카르탕 형식^[3]은 마우러-카르탕 방정식이라고 불리는 적분 가능 조건을 만족하며, 주 등질 공간의 구조에 대한 최소한의 특징을 제공한다고 볼 수 있다. 이 적분 가능 조건에 의해, ''G''의 작용을 국소적으로 나타내는 리 대수의 작용을 정할 수 있게 된다.

2. 1. 내재적 정의

리 군

G

가 주어졌을 때, 각 점

g \in G

에서 접벡터

v \in \mathrm T_gG

를 리 대수

\mathfrak{g} = \mathrm T_1G

의 원소로 보내는 1차 미분 형식

\omega

를 '''마우러-카르탕 형식'''이라고 한다.^[2]

구체적으로, 마우러-카르탕 형식은 다음과 같이 정의된다.

:

\omega_g(v) = \mathsf L_{g^{-1}*}(v) \in \mathrm T_1G = \mathfrak g

여기서

\mathsf L_{g*}

는 왼쪽 곱셈

\mathsf L_g(h) = gh

에 의한 밂(pushforward)이다. 다시 말해,

G

의 원소

g

에서의 접벡터

v

를

g^{-1}

로 왼쪽으로 밀어 항등원에서의 접벡터, 즉 리 대수의 원소로 보내는 것이다.^[3]

이 정의는 리 군이 자신에게 왼쪽 이동으로 작용한다는 사실을 이용한다.

:

L : G \times G \to G

주어진

g \in G

에 대해,

:

L_g : G \to G \quad \mbox{where} \quad L_g(h) = gh,

이는 접다발 사이의 사상을 유도한다.

:

(L_g)_*:T_hG\to T_{gh}G.

즉, 접벡터를 왼쪽 곱셈을 통해 다른 점으로 옮길 수 있다.

2. 2. 외재적 정의

리 군

G

가 일반 선형군

\operatorname{GL}(n;\mathbb R)

의 부분군으로 표현될 때, 마우러-카르탕 형식은

\omega|_M = M^{-1}\,\mathrm df

로 표현된다. 여기서

M

은

\operatorname{GL}(n;\mathbb R)

의 원소,

df

는

f

의 미분이다.

더 일반적으로, 연결 단일 연결 리 군

G

는 어떤

n

에 대해 매끄러운 군 준동형

\phi\colon G \to \operatorname{GL}(n; \mathbb R)

를 통해 표현될 수 있다. 이 경우 마우러-카르탕 형식은

\phi^*\omega_{\operatorname{GL}(n;\mathbb R)}

(당김)으로 정의된다.

만약

G

가 단일 연결이 아닌 연결 리 군이라면, 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군

q\colon\tilde G\twoheadrightarrow G

에 대하여

q^*\omega_G = \omega_{\tilde G}

가 되는 유일한 미분 형식이다.

G

가 행렬 값을 갖는 사상

g=(g_{ij})

에 의해

\operatorname{GL}(n)

에 임베딩되면,

\omega

를 다음과 같이 명시적으로 쓸 수 있다.

:

\omega_g = g^{-1} \,dg.

이러한 의미에서, 마우러-카르탕 형식은 항상

G

의 항등 사상의 왼쪽 로그 미분이다.

2. 3. 공리적 정의

리 군

G

위의 '''마우러-카르탕 형식'''은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한

\mathfrak g

값 1차 미분 형식

:

\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g)

이다.

$\omega_1 = \operatorname{id} \colon \mathrm T_1G\to \mathrm T_1G=\mathfrak g$
임의의 $g\in G$ 에 대하여, $\omega_g = \operatorname{Ad}(g^{-1})\mathsf R_{g^{-1}}^*\omega_1$

이 정의는 주접속의 정의와 같다. 즉,

G

를 한원소 공간

\{\bullet\}

위의 주다발

:

G\twoheadrightarrow\{\bullet\}

로 간주하면, '''마우러-카르탕 형식'''은 그 위의 유일한 주접속이다.

여기서

h=g^{-1}

이며,

R_h^*

는 군에서의 오른쪽 이동을 따른 형식의 당김이고,

\operatorname{Ad}(h)

는 리 대수에 대한 수반 작용이다.

3. 성질

리 군 위의 좌불변 벡터장에 대해, 상수 함수이다. 두 좌불변 벡터장 에 대해, 가 성립한다. 이러한 성질들은 마우러-카르탕 방정식을 유도하는 데 사용된다.^[1]

마우러-카르탕 형식은 주다발 위의 유일한 주 접속으로 특징지을 수 있다. 이는 다음 조건을 만족하는 위의 유일한 값의 1-형식이다.^[1]

#

#

여기서 는 군에서의 오른쪽 이동을 따른 형식의 당김이고, 는 리 대수에 대한 수반 작용이다.^[1]

군 ''G''의 각 원소에 대해, 오른쪽 곱셈에 의한 작용 ''R''_''g'': ''h'' → ''h g''를 고려하면, ''h''에서의 접벡터 ''X''에 대해 다음이 성립한다.

: $\omega_{h g^{-1}}(R_{g^{-1}} X) =\mathrm{Adj}_g(\omega_h(X))$

여기서, Adj는 G에 의한 '''g'''로의 수반 작용을 나타낸다.^[1]

마우러-카르탕 형식은 '''마우러-카르탕 틀'''로 구성할 수도 있다. 군 ''G'' 위의 좌불변 벡터장의 공간의 기저 ''E''_''i''를 취하고, 그 (좌불변 미분 형식으로 이루어진) 쌍대 기저를 θ^''i''라고 하면, ''E''_''i''는 '''마우러-카르탕 틀'''을, θ^''i''는 '''마우러-카르탕 여틀'''을 제공한다.

각 ''E''_i는 좌불변이므로, 마우러-카르탕 형식이 취하는 값은 ''E''_i(e) ∈ ''g''로 일정하다. 따라서 마우러-카르탕 형식은

: $\omega=\sum_i E_i(e) \otimes \theta^i$

로 나타낼 수도 있다.

벡터장 ''E''_''i'' 사이의 브라켓이

: $[E_i,E_j]=\sum_k c_{ij}^k E_k$

에 의해 주어진다고 하자. 이때, 상수 ''c''_{''i j''}^''k''는 기저 ''E''_''i''에 관한 리 대수의 '''구조 상수'''라고 불린다. 외미분 ''d''의 마우러-카르탕 여틀에 대한 작용은

: $d\theta^i(E_j,E_k) = -\theta^i([E_j,E_k]) = -\sum_r c_{jk}^r\theta^i(E_r),$

로 나타낼 수 있으며, 이는 기저의 쌍대성으로부터

: $d\theta^i=-\sum_{jk} c_{jk}^i\theta^j\wedge\theta^k$

로 고쳐 쓸 수 있다. 이는 상기 마우러-카르탕 방정식과 같은 것을 나타낸다.

3. 1. 마우러-카르탕 방정식

마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다.^[1]

:

\mathrm d\omega + \frac12[\omega\wedge\omega] = 0

이를 '''마우러-카르탕 방정식'''(Maurer–Cartan equation^영어)이라고 한다.^[1]

만약

X

가

G

상의 좌불변 벡터장이라면,

\omega(X)

는

G

상에서 상수이다. 또한,

X

와

Y

가 모두 좌불변이라면, 다음 식이 성립한다.

:

\omega([X,Y])=[\omega(X),\omega(Y)]

여기서 좌변의 괄호는 벡터장의 리 괄호이고, 우변의 괄호는 리 대수

\mathfrak{g}

상의 괄호이다. 이 사실은 리 대수의 동형 사상을 설정하는 데 사용될 수 있다.

:

\mathfrak{g}=T_eG\cong \{\hbox{G 상의 좌불변 벡터장}\}.

외미분의 정의에 의해,

X

와

Y

가 임의의 벡터장이라면 다음이 성립한다.

:

d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).

여기서

\omega(Y)

는 1-형식

\omega

를 벡터장

Y

와 쌍으로 묶어 이중성으로부터 얻은

\mathfrak{g}

-값 함수이고,

X(\omega(Y))

는

X

를 따라 이 함수의 리 미분이다. 마찬가지로

Y(\omega(X))

는

\mathfrak{g}

-값 함수

\omega(X)

의

Y

를 따른 리 미분이다.

특히,

X

와

Y

가 좌불변이라면,

:

X(\omega(Y))=Y(\omega(X))=0,

이므로

:

d\omega(X,Y)+[\omega(X),\omega(Y)]=0

이 성립한다. 이 등식의 좌변은

\mathfrak{g}

에 값을 가지는 2차 미분 형식으로 표시되며,

X

와

Y

의 각 점에서의 값에만 의존한다. 불변 벡터장의 한 점에서의 값은 임의로 선택할 수 있으므로, 이 등식은 좌불변이 아닌 임의의 벡터장

X

,

Y

에 대해서도 성립한다.

3. 1. 1. 마우러-카르탕 방정식의 일반화

리 군

G

위의,

\mathfrak g

값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수

\Omega(G;\mathfrak g)

를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수

\mathfrak g

에 대하여 일반화된다. 즉,

:

\mathfrak g=\bigoplus_{n\in\mathbb N}\mathfrak g^n

위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식

:

\mathrm d\omega+\frac12[\omega,\omega] = 0

이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어

\omega=0

역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.)

보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수

\mathfrak g

를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산

\mathrm d

는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우,

\mathfrak g

위의 '''마우러-카르탕 방정식'''은 다음과 같다.

:

\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!} [\overbrace{\omega,\dotsc,\omega}^k]_k = 0

4. 역사

마우러-카르탕 형식은 루트비히 마우러(Ludwig Maurer|루트비히 마우러^de, 1859~1927)와 엘리 카르탕^[4]의 이름을 따서 지어졌다. 특히 엘리 카르탕은 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에 영향을 받아, 리 군의 주 등질 공간을 특징짓는 문제를 연구하면서 마우러-카르탕 형식을 도입했다.^[1]^[3]

5. 예

아벨 군 $G=\mathbb R^n$ 의 경우, 마우러-카르탕 형식은 다음과 같다.

: $(\omega|_v)_i{}^j = \delta_i^j \qquad i,j\in\{1,2,\dotsc,n\}$

이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 다음과 같다.

: $\mathrm d\omega = 0$

따라서 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.

6. 응용

마우러-카르탕 형식은 균질 공간과 리 군론에서 여러 응용 사례를 갖는다.

=== 균질 공간 위의 마우러-카르탕 형식 ===

리 군 $G$의 닫힌 부분군 $H$에 대하여, 균질 공간 $G/H$는 차원이 $\dim G - \dim H$인 매끄러운 다양체이다.^[1] 몫 사상 $G \rightarrow G/H$는 $G/H$ 위에 $H$-주다발의 구조를 유도한다. 리 군 $G$ 위의 마우러-카르탕 형식은 이 주다발에 대한 평탄한 카르탕 접속을 생성한다.^[1] 특히, $H = \{e\}$이면, 이 카르탕 접속은 일반적인 접속 형식이 되며, 곡률이 사라지는 조건은 다음과 같다.^[1]

: $d\omega+\omega\wedge\omega=0$

이동 틀 방법에서, 자명한 다발의 국소적 단면 $s: G/H \rightarrow G$를 고려한다.^[1] 균질 공간의 부분다양체에서 작업한다면, $s$는 부분다양체 위에서 국소적 단면이기만 하면 된다.^[1] 마우러-카르탕 형식의 당김은 $\mathfrak{g}$-값을 가지는 비퇴화 $1$-형식 $\theta = s^*\omega$를 기저 위에 정의한다.^[1] 마우러-카르탕 방정식은 다음을 의미한다.^[1]

: $d\theta + \frac{1}{2}[\theta,\theta]=0.$

열린 집합 $U$와 $V$ 위에서 각각 정의된 국소적 단면 쌍 $s_U$와 $s_V$는 다발의 각 섬유에서 $H$의 원소와 관련된다.^[1]

: $h_{UV}(x) = s_V\circ s_U^{-1}(x),\quad x \in U \cap V.$

$h$의 미분은 겹치는 영역에서 두 단면을 연결하는 호환성 조건을 제공한다.^[1]

: $\theta_V = \operatorname{Ad}(h^{-1}_{UV})\theta_U + (h_{UV})^* \omega_H$

여기서 $\omega_H$는 군 $H$ 위의 마우러-카르탕 형식이다.^[1]

마우러-카르탕 구조 방정식을 만족하고, 호환성 조건을 충족하는 다양체 $M$의 열린 집합에서 정의된 비퇴화 $\mathfrak{g}$-값을 가지는 $1$-형식 $\theta_U$의 시스템은 다양체 $M$에 국소적으로 균질 공간 $G/H$의 구조를 부여한다.^[1] 이는 다르부 미분의 원시 함수의 존재에서 기인한다.^[1]

=== 마우러-카르탕 틀 ===

마우러-카르탕 형식은 리 군의 왼쪽 불변 벡터장으로 구성된 단면의 기저인 '''마우러-카르탕 틀'''로부터 구성할 수 있다.^[2] $\theta^j(E_i) = \delta_i^j$ 가 성립하는 단면의 쌍대 기저를 $\theta^i$ 라 한다. 여기서 $\delta_i^j$ 는 크로네커 델타이다.^[2] $E_i$ 는 마우러-카르탕 틀이고, $\theta^i$ 는 '''마우러-카르탕 코프레임'''이다.

$E_i$ 는 왼쪽 불변이므로, 마우러-카르탕 형식을 적용하면 단순히 $E_i$ 의 항등원에서의 값을 반환한다. 따라서 $\omega(E_i) = E_i(e) \in \mathfrak{g}$ 이다. 그러므로 마우러-카르탕 형식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\omega=\sum_iE_i(e)\otimes\theta^i.$

벡터장 $E_i$ 의 리 괄호가 다음과 같이 주어진다고 가정하자.

: $[E_i,E_j]=\sum_k{c_{ij}}^kE_k.$

여기서 $c_{ij}^k$ 는 (기저 $E_i$ 에 대한) 리 대수의 구조 상수이다. 외부 미분 $d$ 의 정의를 사용하면, 다음을 얻는다.

: $d\theta^i(E_j,E_k) = -\theta^i([E_j,E_k]) = -\sum_r {c_{jk}}^r\theta^i(E_r) = -{c_{jk}}^i = -\frac{1}{2}({c_{jk}}^i - {c_{kj}}^i),$

따라서 쌍대성에 의해

: $d\theta^i=-\frac12 \sum_{jk} {c_{jk}}^i\theta^j\wedge\theta^k.$

이 방정식은 '''마우러-카르탕 방정식'''이라고도 불린다.

6. 1. 균질 공간 위의 마우러-카르탕 형식

리 군 $G$의 닫힌 부분군 $H$에 대하여, 균질 공간 $G/H$는 차원이 $\dim G - \dim H$인 매끄러운 다양체이다.^[1] 몫 사상 $G \rightarrow G/H$는 $G/H$ 위에 $H$-주다발의 구조를 유도한다. 리 군 $G$ 위의 마우러-카르탕 형식은 이 주다발에 대한 평탄한 카르탕 접속을 생성한다.^[1] 특히, $H = \{e\}$이면, 이 카르탕 접속은 일반적인 접속 형식이 되며, 곡률이 사라지는 조건은 다음과 같다.^[1]

:

d\omega+\omega\wedge\omega=0

이동 틀 방법에서, 자명한 다발의 국소적 단면 $s: G/H \rightarrow G$를 고려한다.^[1] 균질 공간의 부분다양체에서 작업한다면, $s$는 부분다양체 위에서 국소적 단면이기만 하면 된다.^[1] 마우러-카르탕 형식의 당김은 $\mathfrak{g}$-값을 가지는 비퇴화 $1$-형식 $\theta = s^*\omega$를 기저 위에 정의한다.^[1] 마우러-카르탕 방정식은 다음을 의미한다.^[1]

:

d\theta + \frac{1}{2}[\theta,\theta]=0.

열린 집합 $U$와 $V$ 위에서 각각 정의된 국소적 단면 쌍 $s_U$와 $s_V$는 다발의 각 섬유에서 $H$의 원소와 관련된다.^[1]

:

h_{UV}(x) = s_V\circ s_U^{-1}(x),\quad x \in U \cap V.

$h$의 미분은 겹치는 영역에서 두 단면을 연결하는 호환성 조건을 제공한다.^[1]

:

\theta_V = \operatorname{Ad}(h^{-1}_{UV})\theta_U + (h_{UV})^* \omega_H

여기서 $\omega_H$는 군 $H$ 위의 마우러-카르탕 형식이다.^[1]

마우러-카르탕 구조 방정식을 만족하고, 호환성 조건을 충족하는 다양체 $M$의 열린 집합에서 정의된 비퇴화 $\mathfrak{g}$-값을 가지는 $1$-형식 $\theta_U$의 시스템은 다양체 $M$에 국소적으로 균질 공간 $G/H$의 구조를 부여한다.^[1] 이는 다르부 미분의 원시 함수의 존재에서 기인한다.^[1]

6. 2. 마우러-카르탕 틀

마우러-카르탕 형식은 '''마우러-카르탕 틀'''로부터 구성할 수 있다. 리 군의 왼쪽 불변 벡터장으로 구성된 단면의 기저를

E_i

라 하고,

\theta^j(E_i) = \delta_i^j

가 성립하는 단면의 쌍대 기저를

\theta^i

라 한다. 여기서

\delta_i^j

는 크로네커 델타이다.^[2] 그러면

E_i

는 마우러-카르탕 틀이고,

\theta^i

는 '''마우러-카르탕 코프레임'''이다.

E_i

는 왼쪽 불변이므로, 마우러-카르탕 형식을 적용하면 단순히

E_i

의 항등원에서의 값을 반환한다. 따라서

\omega(E_i) = E_i(e) \in \mathfrak{g}

이다. 그러므로 마우러-카르탕 형식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega=\sum_iE_i(e)\otimes\theta^i.

벡터장

E_i

의 리 괄호가 다음과 같이 주어진다고 가정하자.

:

[E_i,E_j]=\sum_k{c_{ij}}^kE_k.

여기서

c_{ij}^k

는 (기저

E_i

에 대한) 리 대수의 구조 상수이다. 외부 미분

d

의 정의를 사용하면, 다음을 얻는다.

:

d\theta^i(E_j,E_k) = -\theta^i([E_j,E_k]) = -\sum_r {c_{jk}}^r\theta^i(E_r) = -{c_{jk}}^i = -\frac{1}{2}({c_{jk}}^i - {c_{kj}}^i),

따라서 쌍대성에 의해

:

d\theta^i=-\frac12 \sum_{jk} {c_{jk}}^i\theta^j\wedge\theta^k.

이 방정식은 '''마우러-카르탕 방정식'''이라고도 불린다.

마우러-카르탕 형식은 '''마우러-카르탕 표구'''로 구성할 수도 있다. 군 ''G'' 위의 좌불변 벡터장의 공간의 기저 ''E''_''i''를 취하고, 그 쌍대 기저를 θ^''i''라고 하면, ''E''_''i''는 '''마우러-카르탕 표구'''를, θ^''i''는 '''마우러-카르탕 여표구'''를 제공한다.

각 ''E''_i는 좌불변이므로, 마우러-카르탕 형식이 취하는 값은 ''E''_i(e) ∈ ''g''로 일정하다. 따라서 마우러-카르탕 형식은

:

\omega=\sum_i E_i(e) \otimes \theta^i

로 나타낼 수 있다.

벡터장 ''E''_''i'' 사이의 브라켓이

:

[E_i,E_j]=\sum_k c_{ij}^k E_k

에 의해 주어진다고 하자. 이때, 상수 ''c''_{''i j''}^''k''는 기저 ''E''_''i''에 관한 리 대수의 구조 상수이다. 외미분 ''d''의 마우러-카르탕 여틀에 대한 작용은

:

d\theta^i(E_j,E_k) = -\theta^i([E_j,E_k]) = -\sum_r c_{jk}^r\theta^i(E_r),

로 나타낼 수 있으며, 이는 기저의 쌍대성으로부터

:

d\theta^i=-\sum_{jk} c_{jk}^i\theta^j\wedge\theta^k

로 고쳐 쓸 수 있다. 이는 상기 마우러-카르탕 방정식과 같은 것을 나타낸다.

참조

_[1] 문서 Introduced by Cartan (1904).
_[2] 문서 Subtlety: $(L_g)_{*}X$ gives a vector in $T_{gh}G \text{ if } X\in T_h G$
_[3] 논문 Sur la structure des groupes infinis de transformations http://archive.numda[...]
_[4] 논문 http://www.numdam.or[...]

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