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마우러-카르탕 형식

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1. 개요

마우러-카르탕 형식은 리 군 G에 대해 정의되는 리 대수 값 1차 미분 형식으로, 각 점 g에서 접벡터를 리 대수의 원소로 변환한다. 이 형식은 리 군의 주 균질 공간을 식별하고, 주접속의 정의와 같으며, 마우러-카르탕 방정식을 만족한다. 마우러-카르탕 방정식은 dω + 1/2[ω∧ω] = 0으로 표현되며, 균질 공간과 카르탕의 이동 틀 방법에서 중요한 역할을 한다.

마우러-카르탕 형식
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목차

2. 정의

리 군은 여러 가지 동치인 방법으로 정의될 수 있다.

편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의한다.

:\mathsf L_g,\mathsf R_g \colon G\to G\qquad(g\in G)
:\mathsf L_g \colon h\mapsto gh
:\mathsf R_g \colon h\mapsto hg

리 군은 곱셈을 통해 자신에게 작용한다.

:G\times G \ni (g,h) \mapsto gh \in G.

카르탕과 그의 동시대인들에게 중요한 질문은 주 균질 공간을 식별하는 방법이었다. 즉, 군 G와 동일하지만 단위 원소를 고정하여 선택하지 않은 다양체 P였다. 이러한 동기는 부분적으로 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에서 비롯되었으며, 여기서 공간의 대칭이 리 군을 형성하는 변환군인 공간의 대칭 개념에 관심이 있었다.

G의 주 균질 공간은 P에 대한 G의 자유적이고 추이적인 작용을 갖는다는 특징을 갖는 다양체 P이다. 마우러-카르탕 형식은 주 균질 공간의 적절한 미분 특성을 제공한다. 이는 마우러-카르탕 방정식으로 알려진 적분 가능 조건을 만족하는 P에서 정의된 1-형식이다. 이 적분 가능 조건을 사용하여 리 대수의 지수 사상을 정의할 수 있으며, 이러한 방식으로 국소적으로 P에 대한 군 작용을 얻을 수 있다.

보다 추상적으로, G의 주 등질 공간은 G의 자유롭고 추이적인 작용을 갖는 다양체로 정의할 수 있다. 마우러-카르탕 형식은 마우러-카르탕 방정식이라고 불리는 적분 가능 조건을 만족하며, 주 등질 공간의 구조에 대한 최소한의 특징을 제공한다고 볼 수 있다. 이 적분 가능 조건에 의해, G의 작용을 국소적으로 나타내는 리 대수의 작용을 정할 수 있게 된다.

2.1. 내재적 정의

리 군 G가 주어졌을 때, 각 점 g \in G에서 접벡터 v \in \mathrm T_gG를 리 대수 \mathfrak{g} = \mathrm T_1G의 원소로 보내는 1차 미분 형식 \omega를 마우러-카르탕 형식이라고 한다.

구체적으로, 마우러-카르탕 형식은 다음과 같이 정의된다.

:\omega_g(v) = \mathsf L_{g^{-1}*}(v) \in \mathrm T_1G = \mathfrak g

여기서 \mathsf L_{g*}는 왼쪽 곱셈 \mathsf L_g(h) = gh에 의한 밂(pushforward)이다. 다시 말해, G의 원소 g에서의 접벡터 v를 g^{-1}로 왼쪽으로 밀어 항등원에서의 접벡터, 즉 리 대수의 원소로 보내는 것이다.

이 정의는 리 군이 자신에게 왼쪽 이동으로 작용한다는 사실을 이용한다.

: L : G \times G \to G

주어진 g \in G에 대해,

: L_g : G \to G \quad \mbox{where} \quad L_g(h) = gh,

이는 접다발 사이의 사상을 유도한다.

:(L_g)_*:T_hG\to T_{gh}G.

즉, 접벡터를 왼쪽 곱셈을 통해 다른 점으로 옮길 수 있다.

2.2. 외재적 정의

리 군 G가 일반 선형군 \operatorname{GL}(n;\mathbb R)의 부분군으로 표현될 때, 마우러-카르탕 형식은 \omega|_M = M^{-1}\,\mathrm df로 표현된다. 여기서 M은 \operatorname{GL}(n;\mathbb R)의 원소, df는 f의 미분이다.

더 일반적으로, 연결 단일 연결 리 군 G는 어떤 n에 대해 매끄러운 군 준동형 \phi\colon G \to \operatorname{GL}(n; \mathbb R)를 통해 표현될 수 있다. 이 경우 마우러-카르탕 형식은 \phi^*\omega_{\operatorname{GL}(n;\mathbb R)} (당김)으로 정의된다.

만약 G가 단일 연결이 아닌 연결 리 군이라면, 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군 q\colon\tilde G\twoheadrightarrow G에 대하여 q^*\omega_G = \omega_{\tilde G}가 되는 유일한 미분 형식이다.

G가 행렬 값을 갖는 사상 g=(g_{ij})에 의해 \operatorname{GL}(n)에 임베딩되면, \omega를 다음과 같이 명시적으로 쓸 수 있다.

:\omega_g = g^{-1} \,dg.

이러한 의미에서, 마우러-카르탕 형식은 항상 G의 항등 사상의 왼쪽 로그 미분이다.

2.3. 공리적 정의

리 군 G 위의 마우러-카르탕 형식은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한 \mathfrak g값 1차 미분 형식
:\omega\in\Omega^1(G;\mathfrak g)
이다.
* \omega_1 = \operatorname{id} \colon \mathrm T_1G\to \mathrm T_1G=\mathfrak g
* 임의의 g\in G에 대하여, \omega_g = \operatorname{Ad}(g^{-1})\mathsf R_{g^{-1}}^*\omega_1
이 정의는 주접속의 정의와 같다. 즉, G를 한원소 공간 \{\bullet\} 위의 주다발
:G\twoheadrightarrow\{\bullet\}
로 간주하면, 마우러-카르탕 형식은 그 위의 유일한 주접속이다.
여기서 h=g^{-1}이며, R_h^*는 군에서의 오른쪽 이동을 따른 형식의 당김이고, \operatorname{Ad}(h)는 리 대수에 대한 수반 작용이다.

3. 성질

리 군 위의 좌불변 벡터장에 대해, 상수 함수이다. 두 좌불변 벡터장 에 대해, 가 성립한다. 이러한 성질들은 마우러-카르탕 방정식을 유도하는 데 사용된다.

마우러-카르탕 형식은 주다발 위의 유일한 주 접속으로 특징지을 수 있다. 이는 다음 조건을 만족하는 위의 유일한 값의 1-형식이다.

#
#

여기서 는 군에서의 오른쪽 이동을 따른 형식의 당김이고, 는 리 대수에 대한 수반 작용이다.

군 G의 각 원소에 대해, 오른쪽 곱셈에 의한 작용 Rg: h → h g를 고려하면, h에서의 접벡터 X에 대해 다음이 성립한다.
: \omega_{h g^{-1}}(R_{g^{-1}} X) =\mathrm{Adj}_g(\omega_h(X))
여기서, Adj는 G에 의한 g로의 수반 작용을 나타낸다.

마우러-카르탕 형식은 마우러-카르탕 틀로 구성할 수도 있다. 군 G 위의 좌불변 벡터장의 공간의 기저 Ei를 취하고, 그 (좌불변 미분 형식으로 이루어진) 쌍대 기저를 θi라고 하면, Ei는 마우러-카르탕 틀을, θi는 마우러-카르탕 여틀을 제공한다.

각 Ei는 좌불변이므로, 마우러-카르탕 형식이 취하는 값은 Ei(e) ∈ g로 일정하다. 따라서 마우러-카르탕 형식은
:\omega=\sum_i E_i(e) \otimes \theta^i
로 나타낼 수도 있다.

벡터장 Ei 사이의 브라켓이
:[E_i,E_j]=\sum_k c_{ij}^k E_k
에 의해 주어진다고 하자. 이때, 상수 ci jk는 기저 Ei에 관한 리 대수의 구조 상수라고 불린다. 외미분 d의 마우러-카르탕 여틀에 대한 작용은
:d\theta^i(E_j,E_k) = -\theta^i([E_j,E_k]) = -\sum_r c_{jk}^r\theta^i(E_r),
로 나타낼 수 있으며, 이는 기저의 쌍대성으로부터
:d\theta^i=-\sum_{jk} c_{jk}^i\theta^j\wedge\theta^k
로 고쳐 쓸 수 있다. 이는 상기 마우러-카르탕 방정식과 같은 것을 나타낸다.

3.1. 마우러-카르탕 방정식

마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다.

:\mathrm d\omega + \frac12[\omega\wedge\omega] = 0

이를 마우러-카르탕 방정식(Maurer–Cartan equation영어)이라고 한다.

만약 X가 G 상의 좌불변 벡터장이라면, \omega(X)는 G 상에서 상수이다. 또한, X와 Y가 모두 좌불변이라면, 다음 식이 성립한다.

:\omega([X,Y])=[\omega(X),\omega(Y)]

여기서 좌변의 괄호는 벡터장의 리 괄호이고, 우변의 괄호는 리 대수 \mathfrak{g} 상의 괄호이다. 이 사실은 리 대수의 동형 사상을 설정하는 데 사용될 수 있다.

:\mathfrak{g}=T_eG\cong \{\hbox{G 상의 좌불변 벡터장}\}.

외미분의 정의에 의해, X와 Y가 임의의 벡터장이라면 다음이 성립한다.

:d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).

여기서 \omega(Y)는 1-형식 \omega를 벡터장 Y와 쌍으로 묶어 이중성으로부터 얻은 \mathfrak{g}-값 함수이고, X(\omega(Y))는 X를 따라 이 함수의 리 미분이다. 마찬가지로 Y(\omega(X))는 \mathfrak{g}-값 함수 \omega(X)의 Y를 따른 리 미분이다.

특히, X와 Y가 좌불변이라면,

:X(\omega(Y))=Y(\omega(X))=0,

이므로

:d\omega(X,Y)+[\omega(X),\omega(Y)]=0

이 성립한다. 이 등식의 좌변은 \mathfrak{g}에 값을 가지는 2차 미분 형식으로 표시되며, X와 Y의 각 점에서의 값에만 의존한다. 불변 벡터장의 한 점에서의 값은 임의로 선택할 수 있으므로, 이 등식은 좌불변이 아닌 임의의 벡터장 X, Y에 대해서도 성립한다.

3.1.1. 마우러-카르탕 방정식의 일반화

리 군 G 위의, \mathfrak g 값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수 \Omega(G;\mathfrak g)를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수 \mathfrak g에 대하여 일반화된다. 즉,
:\mathfrak g=\bigoplus_{n\in\mathbb N}\mathfrak g^n
위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식
:\mathrm d\omega+\frac12[\omega,\omega] = 0
이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어 \omega=0 역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.)

보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수 \mathfrak g를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산 \mathrm d는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우, \mathfrak g 위의 마우러-카르탕 방정식은 다음과 같다.
:\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!} [\overbrace{\omega,\dotsc,\omega}^k]_k = 0

4. 역사

마우러-카르탕 형식은 루트비히 마우러(Ludwig Maurer독일어, 1859~1927)와 엘리 카르탕의 이름을 따서 지어졌다. 특히 엘리 카르탕은 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에 영향을 받아, 리 군의 주 등질 공간을 특징짓는 문제를 연구하면서 마우러-카르탕 형식을 도입했다.

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엘리 카르탕
엘리 카르탕

5. 예

아벨 군 G=\mathbb R^n의 경우, 마우러-카르탕 형식은 다음과 같다.

:(\omega|_v)_i{}^j = \delta_i^j \qquad i,j\in\{1,2,\dotsc,n\}

이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 다음과 같다.

:\mathrm d\omega = 0

따라서 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.

6. 응용

마우러-카르탕 형식은 균질 공간과 리 군론에서 여러 응용 사례를 갖는다.

=== 균질 공간 위의 마우러-카르탕 형식 ===
리 군 $G$의 닫힌 부분군 $H$에 대하여, 균질 공간 $G/H$는 차원이 $\dim G - \dim H$인 매끄러운 다양체이다. 몫 사상 $G \rightarrow G/H$는 $G/H$ 위에 $H$-주다발의 구조를 유도한다. 리 군 $G$ 위의 마우러-카르탕 형식은 이 주다발에 대한 평탄한 카르탕 접속을 생성한다. 특히, $H = \{e\}$이면, 이 카르탕 접속은 일반적인 접속 형식이 되며, 곡률이 사라지는 조건은 다음과 같다.

:d\omega+\omega\wedge\omega=0

이동 틀 방법에서, 자명한 다발의 국소적 단면 $s: G/H \rightarrow G$를 고려한다. 균질 공간의 부분다양체에서 작업한다면, $s$는 부분다양체 위에서 국소적 단면이기만 하면 된다. 마우러-카르탕 형식의 당김은 $\mathfrak{g}$-값을 가지는 비퇴화 $1$-형식 $\theta = s^*\omega$를 기저 위에 정의한다. 마우러-카르탕 방정식은 다음을 의미한다.

:d\theta + \frac{1}{2}[\theta,\theta]=0.

열린 집합 $U$와 $V$ 위에서 각각 정의된 국소적 단면 쌍 $s_U$와 $s_V$는 다발의 각 섬유에서 $H$의 원소와 관련된다.

:h_{UV}(x) = s_V\circ s_U^{-1}(x),\quad x \in U \cap V.

$h$의 미분은 겹치는 영역에서 두 단면을 연결하는 호환성 조건을 제공한다.

:\theta_V = \operatorname{Ad}(h^{-1}_{UV})\theta_U + (h_{UV})^* \omega_H

여기서 $\omega_H$는 군 $H$ 위의 마우러-카르탕 형식이다.

마우러-카르탕 구조 방정식을 만족하고, 호환성 조건을 충족하는 다양체 $M$의 열린 집합에서 정의된 비퇴화 $\mathfrak{g}$-값을 가지는 $1$-형식 $\theta_U$의 시스템은 다양체 $M$에 국소적으로 균질 공간 $G/H$의 구조를 부여한다. 이는 다르부 미분의 원시 함수의 존재에서 기인한다.

=== 마우러-카르탕 틀 ===
마우러-카르탕 형식은 리 군의 왼쪽 불변 벡터장으로 구성된 단면의 기저인 마우러-카르탕 틀로부터 구성할 수 있다. \theta^j(E_i) = \delta_i^j가 성립하는 단면의 쌍대 기저를 \theta^i라 한다. 여기서 \delta_i^j는 크로네커 델타이다. E_i는 마우러-카르탕 틀이고, \theta^i는 마우러-카르탕 코프레임이다.

E_i는 왼쪽 불변이므로, 마우러-카르탕 형식을 적용하면 단순히 E_i의 항등원에서의 값을 반환한다. 따라서 \omega(E_i) = E_i(e) \in \mathfrak{g}이다. 그러므로 마우러-카르탕 형식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\omega=\sum_iE_i(e)\otimes\theta^i.

벡터장 E_i의 리 괄호가 다음과 같이 주어진다고 가정하자.

:[E_i,E_j]=\sum_k{c_{ij}}^kE_k.

여기서 c_{ij}^k는 (기저 E_i에 대한) 리 대수의 구조 상수이다. 외부 미분 d의 정의를 사용하면, 다음을 얻는다.

:d\theta^i(E_j,E_k) = -\theta^i([E_j,E_k]) = -\sum_r {c_{jk}}^r\theta^i(E_r) = -{c_{jk}}^i = -\frac{1}{2}({c_{jk}}^i - {c_{kj}}^i),

따라서 쌍대성에 의해

:d\theta^i=-\frac12 \sum_{jk} {c_{jk}}^i\theta^j\wedge\theta^k.

이 방정식은 마우러-카르탕 방정식이라고도 불린다.

6.1. 균질 공간 위의 마우러-카르탕 형식

리 군 $G$의 닫힌 부분군 $H$에 대하여, 균질 공간 $G/H$는 차원이 $\dim G - \dim H$인 매끄러운 다양체이다. 몫 사상 $G \rightarrow G/H$는 $G/H$ 위에 $H$-주다발의 구조를 유도한다. 리 군 $G$ 위의 마우러-카르탕 형식은 이 주다발에 대한 평탄한 카르탕 접속을 생성한다. 특히, $H = \{e\}$이면, 이 카르탕 접속은 일반적인 접속 형식이 되며, 곡률이 사라지는 조건은 다음과 같다.

:d\omega+\omega\wedge\omega=0

이동 틀 방법에서, 자명한 다발의 국소적 단면 $s: G/H \rightarrow G$를 고려한다. 균질 공간의 부분다양체에서 작업한다면, $s$는 부분다양체 위에서 국소적 단면이기만 하면 된다. 마우러-카르탕 형식의 당김은 $\mathfrak{g}$-값을 가지는 비퇴화 $1$-형식 $\theta = s^*\omega$를 기저 위에 정의한다. 마우러-카르탕 방정식은 다음을 의미한다.

:d\theta + \frac{1}{2}[\theta,\theta]=0.

열린 집합 $U$와 $V$ 위에서 각각 정의된 국소적 단면 쌍 $s_U$와 $s_V$는 다발의 각 섬유에서 $H$의 원소와 관련된다.

:h_{UV}(x) = s_V\circ s_U^{-1}(x),\quad x \in U \cap V.

$h$의 미분은 겹치는 영역에서 두 단면을 연결하는 호환성 조건을 제공한다.

:\theta_V = \operatorname{Ad}(h^{-1}_{UV})\theta_U + (h_{UV})^* \omega_H

여기서 $\omega_H$는 군 $H$ 위의 마우러-카르탕 형식이다.

마우러-카르탕 구조 방정식을 만족하고, 호환성 조건을 충족하는 다양체 $M$의 열린 집합에서 정의된 비퇴화 $\mathfrak{g}$-값을 가지는 $1$-형식 $\theta_U$의 시스템은 다양체 $M$에 국소적으로 균질 공간 $G/H$의 구조를 부여한다. 이는 다르부 미분의 원시 함수의 존재에서 기인한다.

6.2. 마우러-카르탕 틀

마우러-카르탕 형식은 마우러-카르탕 틀로부터 구성할 수 있다. 리 군의 왼쪽 불변 벡터장으로 구성된 단면의 기저를 E_i라 하고, \theta^j(E_i) = \delta_i^j가 성립하는 단면의 쌍대 기저를 \theta^i라 한다. 여기서 \delta_i^j는 크로네커 델타이다. 그러면 E_i는 마우러-카르탕 틀이고, \theta^i는 마우러-카르탕 코프레임이다.

E_i는 왼쪽 불변이므로, 마우러-카르탕 형식을 적용하면 단순히 E_i의 항등원에서의 값을 반환한다. 따라서 \omega(E_i) = E_i(e) \in \mathfrak{g}이다. 그러므로 마우러-카르탕 형식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:\omega=\sum_iE_i(e)\otimes\theta^i.

벡터장 E_i의 리 괄호가 다음과 같이 주어진다고 가정하자.
:[E_i,E_j]=\sum_k{c_{ij}}^kE_k.
여기서 c_{ij}^k는 (기저 E_i에 대한) 리 대수의 구조 상수이다. 외부 미분 d의 정의를 사용하면, 다음을 얻는다.
:d\theta^i(E_j,E_k) = -\theta^i([E_j,E_k]) = -\sum_r {c_{jk}}^r\theta^i(E_r) = -{c_{jk}}^i = -\frac{1}{2}({c_{jk}}^i - {c_{kj}}^i),
따라서 쌍대성에 의해
:d\theta^i=-\frac12 \sum_{jk} {c_{jk}}^i\theta^j\wedge\theta^k.
이 방정식은 마우러-카르탕 방정식이라고도 불린다.

마우러-카르탕 형식은 마우러-카르탕 표구로 구성할 수도 있다. 군 G 위의 좌불변 벡터장의 공간의 기저 Ei를 취하고, 그 쌍대 기저를 θi라고 하면, Ei는 마우러-카르탕 표구를, θi는 마우러-카르탕 여표구를 제공한다.

각 Ei는 좌불변이므로, 마우러-카르탕 형식이 취하는 값은 Ei(e) ∈ g로 일정하다. 따라서 마우러-카르탕 형식은
:\omega=\sum_i E_i(e) \otimes \theta^i
로 나타낼 수 있다.

벡터장 Ei 사이의 브라켓이
:[E_i,E_j]=\sum_k c_{ij}^k E_k
에 의해 주어진다고 하자. 이때, 상수 ci jk는 기저 Ei에 관한 리 대수의 구조 상수이다. 외미분 d의 마우러-카르탕 여틀에 대한 작용은
:d\theta^i(E_j,E_k) = -\theta^i([E_j,E_k]) = -\sum_r c_{jk}^r\theta^i(E_r),
로 나타낼 수 있으며, 이는 기저의 쌍대성으로부터
:d\theta^i=-\sum_{jk} c_{jk}^i\theta^j\wedge\theta^k
로 고쳐 쓸 수 있다. 이는 상기 마우러-카르탕 방정식과 같은 것을 나타낸다.