미분 등급 리 대수

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1. 개요

미분 등급 리 대수는 가환환 K 위의 공사슬 복합체와 리 초대수 구조를 갖는 가군들의 집합으로, 특정 조건들을 만족해야 한다. 이는 사슬 복합체의 범주 내 리 대수 객체 또는 엄격한 L∞-대수로 정의될 수 있으며, 변형 이론에서 중요한 역할을 한다. 미분 등급 리 대수의 곱과 쌍대곱은 각각 두 등급 벡터 공간의 직합과 자유 등급 리 대수로 정의된다.

미분 등급 리 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 곱과 쌍대곱
- 3.1. 곱
- 3.2. 쌍대곱 (자유곱)
4. 변형 이론과의 연관성
- 4.1. 퀼렌의 유리 호모토피 이론
- 4.2. 마우러-카르탕 원소

2. 정의

가환환 $K$ 위의 미분 등급 리 대수 $(L^\bullet,\mathrm d,[,])$ 는 등급 리 대수의 구조와 사슬 복합체의 구조를 함께 갖춘 대수적 대상이다. 이는 등급이 매겨진 $K$ -가군 $\textstyle L=\bigoplus_{i\in\mathbb Z} L^i$ 위에 정의되며, 특정 조건을 만족하는 리 괄호 연산 $[-,-]$ 와 미분 $\mathrm d$ 를 포함한다. 리 괄호는 등급 리 대수의 성질을, 미분은 공사슬 복합체의 성질( $\mathrm d\circ\mathrm d=0$ )을 만족하며, 이 둘은 등급 라이프니츠 규칙과 같은 호환 조건을 통해 서로 연관된다. 미분 연산자가 차수를 높이는지( $\mathrm d\colon L^i\to L^{i+1}$ ) 낮추는지( $d: L_i \to L_{i-1}$ )에 따라 각각 코호몰로지적 등급 또는 호몰로지적 등급으로 구분하기도 한다.

2.1. 기본 정의

가환환 $K$ 가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 미분 등급 리 대수 $(L^\bullet,\mathrm d,[,])$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* $K$ -공사슬 복합체 $\textstyle L=\bigoplus_{i\in\mathbb Z} L^i$ 와 공경계 사상 $\mathrm d\colon L^i\to L^{i+1}$ . 이는 다음을 만족한다.
* 각 $L^i$ 는 $K$ -가군이다.
* $\mathrm d\circ\mathrm d=0$ 이다. (즉, $d$ 는 미분이다)
* $\textstyle L^+=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}L^{2i}$ (짝수 차수 부분)와 $\textstyle L^-=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}L^{2i+1}$ (홀수 차수 부분) 위의 $K$ -리 초대수 구조인 리 괄호 $[-,-]$ . 이는 다음을 만족한다.
* $[x,x]=0\qquad(x\in L^+)$
* $[x,[x,x]]=0\qquad(x\in L^-)$
* (등급 교환 법칙) $[x,y]+(-)^{ij}[y,x]=0\qquad (x\in L^i,\;y\in L^j)$
* (등급 야코비 항등식) $(-)^{ki}[x,[y,z]]+(-)^{ij}[y,[z,x]]+(-)^{jk}[z,[x,y]]=0\qquad(x\in L^i,\;y\in L^j,\;z\in L^k)$

이 데이터는 다음 두 가지 호환 조건을 만족해야 한다.

* (차수) 리 괄호는 차수를 더한다: $[x,y]\in L^{i+j}\qquad(x\in L^i,\;y\in L^j)$
* (등급 라이프니츠 규칙) 미분 $d$ 는 리 괄호에 대해 등급 라이프니츠 규칙을 만족한다: $\mathrm d[x,y]=[\mathrm dx,y]+(-)^i[x,\mathrm dy]\qquad(x\in L^i,\;y\in L^j)$

이 정의에서 미분 $d$ 는 차수를 1만큼 높이므로( $d: L^i \to L^{i+1}$ ), 이 미분 등급 리 대수는 코호몰로지적으로 등급이 매겨졌다고 한다. 일반적으로 코호몰로지적 등급은 위첨자( $L^i$ )로 표기한다.

다른 관점에서, 미분 등급 리 대수는 표수가 0인 체 위의 등급 벡터 공간 $L = \bigoplus L_i$ 와 쌍선형 사상 $[\cdot,\cdot]\colon L_i \otimes L_j \to L_{i+j}$ 및 차수를 -1만큼 낮추는 미분 $d: L_i \to L_{i-1}$ 을 포함하며, 다음을 만족하는 구조로 정의할 수도 있다.

* 등급 교환 법칙: $[x,y] = (-1)^{|x||y|+1}[y,x],$
* 등급 야코비 항등식: $(-1)^$

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좌우로 밀어서 보기

[x,[y,z]] +(-1)^

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[y,[z,x]] +(-1)^

👆

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[z,[x,y]] = 0,
* 등급 라이프니츠 규칙:

d [x,y] = [d x,y] + (-1)^

👆

좌우로 밀어서 보기

[x, d y]

여기서 x, y, z는 L의 균질 원소(즉, 특정 차수

L_i

에 속하는 원소)이고,

|x|

는 원소

x

의 차수를 나타낸다. 이 정의에서 미분

d

는 차수를 낮추므로, 이 미분 등급 리 대수는 호몰로지적으로 등급이 매겨진 것으로 간주된다. 일반적으로 호몰로지적 등급은 아래첨자(

L_i

)로 표기한다.

코호몰로지적 등급과 호몰로지적 등급 방식은 본질적으로 동등하며, 선택은 개인적인 선호도나 상황에 따라 다르다. 호몰로지적으로 등급이 매겨진 공간은

L^i=L_{-i}

로 설정하여 코호몰로지적 공간으로 변환할 수 있다.

미분 등급 리 대수의 다른 동등한 정의는 다음과 같다.

# 사슬 복합체의 범주 내의 리 대수 객체.
# 엄격한 L∞-대수.

두 미분 등급 리 대수

L

L'

사이의 사상은 리 괄호 연산과 미분 연산을 보존하는 등급 선형 사상

f:L\to L^\prime

이다. 즉, 다음 두 조건을 만족한다.
*

f ([x,y]_{L}) = [f(x),f(y)]_{L^\prime}

(리 괄호 보존)
*

f (d_L x) = d_{L^\prime} f (x)

(미분 보존)

미분 등급 리 대수들과 그 사상들은 하나의 범주를 형성한다.

2.2. 동치 정의

미분 등급 리 대수의 다른 동등한 정의는 다음과 같다.

# 사슬 복합체의 범주 내의 리 대수 객체
# 엄격한 $L_\infty$ -대수

2.3. 사상

미분 등급 리 대수의 사상은 괄호 연산과 미분 연산을 보존하는 등급 선형 사상 $f:L\to L^\prime$ 이다. 구체적으로, 사상 $f$ 는 다음 두 조건을 만족해야 한다.

* 괄호 보존: $f [x,y]_{L} = [f(x),f(y)]_{L^\prime}$
* 미분 보존: $f (d_L x) = d_{L^\prime} f (x)$

여기서 $[\cdot,\cdot]_L$ 과 $d_L$ 은 미분 등급 리 대수 $L$ 의 괄호와 미분이고, $[\cdot,\cdot]_{L^\prime}$ 과 $d_{L^\prime}$ 은 미분 등급 리 대수 $L^\prime$ 의 괄호와 미분이다.

미분 등급 리 대수들을 대상으로 하고, 위에서 정의된 사상들을 사상으로 하는 범주를 정의할 수 있다.

3. 곱과 쌍대곱

두 미분 등급 리 대수에 대해 곱과 쌍대곱(자유곱) 연산을 정의할 수 있다. 곱은 두 공간의 직합을 기반으로 정의되며, 쌍대곱은 자유 등급 리 대수를 이용하여 정의된다.

3.1. 곱

두 미분 등급 리 대수 $L$ 과 $L^\prime$ 의 곱 $L\times L^\prime$ 은 다음과 같이 정의된다. 먼저, 기저 등급 벡터 공간으로 두 공간의 직합 $L\oplus L^\prime$ 을 취한다. 이 직합 공간 위에 다음과 같은 리 괄호 연산과 미분 연산자를 정의한다.
*리 괄호: $[(x,x^\prime),(y,y^\prime)] = ([x,y]_L, [x^\prime,y^\prime]_{L^\prime})$ (모든 $x, y \in L$ , $x^\prime, y^\prime \in L^\prime$ 에 대해)
*미분: $D(x,x^\prime) = (d_L x, d_{L^\prime} x^\prime)$ (모든 $x \in L$ , $x^\prime \in L^\prime$ 에 대해)

여기서 $[ \cdot, \cdot ]_L$ 과 $d_L$ 은 $L$ 의 리 괄호와 미분이고, $[ \cdot, \cdot ]_{L^\prime}$ 과 $d_{L^\prime}$ 은 $L^\prime$ 의 리 괄호와 미분이다.

3.2. 쌍대곱 (자유곱)

두 미분 등급 리 대수 $L$ 과 $L^\prime$ 의 쌍대곱 $L*L^\prime$ 은 종종 자유곱이라고도 불린다. 이는 두 원래 리 대수 $L$ 과 $L^\prime$ 에서 나타나는 관계식을 제외하고, 두 원래 리 대수를 확장하는 고유한 미분과 함께 두 기저 벡터 공간에 대한 자유 등급 리 대수로 정의된다.

4. 변형 이론과의 연관성

미분 등급 리 대수는 표수 0인 체, 특히 복소수체 위의 변형 이론에서 중요한 도구로 사용된다. 이러한 접근 방식은 대니얼 퀼렌의 유리 호모토피 이론 연구에 뿌리를 두고 있으며, 특정 조건 하에서 형식적인 변형 문제를 미분 등급 리 대수의 마우러-카르탕 원소를 통해 설명할 수 있다는 아이디어로 이어졌다. 이 개념은 블라디미르 드린펠트, 보리스 페이긴, 피에르 들리뉴, 막심 콘체비치 등에 의해 더욱 발전되었다.

4.1. 퀼렌의 유리 호모토피 이론

미분 등급 리 대수의 주요 응용 분야 중 하나는 표수 0인 체(특히 복소수체) 위의 변형 이론이다. 이러한 아이디어는 대니얼 퀼렌이 유리 호모토피 이론을 연구하면서 시작되었다. 블라디미르 드린펠트, 보리스 페이긴, 피에르 들리뉴, 막심 콘체비치 등은 이 명제를 다음과 같이 공식화했다.
: 표수 0에서 적절한 미분 등급 리 대수의 마우러-카르탕 원소로 모든 합리적인 형식적 변형 문제를 설명할 수 있다.

여기서 마우러-카르탕 원소는 차수가 -1인 원소 $x\in L_{-1}$ 이며, 마우러-카르탕 방정식
: $dx +\frac{1}{2}[x,x]=0$
의 해이다.

4.2. 마우러-카르탕 원소

마우러-카르탕 원소는 차수가 −1인 원소 $x\in L_{-1}$ 이며, 마우러-카르탕 형식의 해이다.

: $dx +\frac{1}{2}[x,x]=0.$

이 개념은 주로 표수 0의 체(특히 복소수체) 위에서의 변형 이론에 응용된다. 이러한 아이디어는 대니얼 퀼렌의 유리 호모토피 이론 연구에서 비롯되었다. 블라디미르 드린펠트, 보리스 페이긴, 피에르 들리뉴, 막심 콘체비치 등은 표수 0에서 모든 합리적인 형식적 변형 문제가 적절한 미분 등급 리 대수의 마우러-카르탕 원소로 설명될 수 있음을 보였다.