미분 등급 리 대수

2. 정의

가환환 $K$ 위의 '''미분 등급 리 대수'''$(L^\backslash bullet,\backslash mathrm\; d,[,])$는 등급 리 대수의 구조와 사슬 복합체의 구조를 함께 갖춘 대수적 대상이다. 이는 등급이 매겨진 $K$-가군 $\backslash textstyle\; L=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}\; L^i$ 위에 정의되며, 특정 조건을 만족하는 리 괄호 연산 $[-,-]$와 미분 $\backslash mathrm\; d$를 포함한다. 리 괄호는 등급 리 대수의 성질을, 미분은 공사슬 복합체의 성질($\backslash mathrm\; d\backslash circ\backslash mathrm\; d=0$)을 만족하며, 이 둘은 등급 라이프니츠 규칙과 같은 호환 조건을 통해 서로 연관된다. 미분 연산자가 차수를 높이는지($\backslash mathrm\; d\backslash colon\; L^i\backslash to\; L^\{i+1\}$) 낮추는지($d:\; L\_i\; \backslash to\; L\_\{i-1\}$)에 따라 각각 코호몰로지적 등급 또는 호몰로지적 등급으로 구분하기도 한다.

2. 1. 기본 정의

• $K$-공사슬 복합체 $\backslash textstyle\; L=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}\; L^i$와 공경계 사상 $\backslash mathrm\; d\backslash colon\; L^i\backslash to\; L^\{i+1\}$. 이는 다음을 만족한다.
• 각 $L^i$는 $K$-가군이다.
• $\backslash mathrm\; d\backslash circ\backslash mathrm\; d=0$이다. (즉, $d$는 미분이다)
• $\backslash textstyle\; L^+=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}L^\{2i\}$(짝수 차수 부분)와 $\backslash textstyle\; L^-=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}L^\{2i+1\}$(홀수 차수 부분) 위의 $K$-리 초대수 구조인 리 괄호 $[-,-]$. 이는 다음을 만족한다.
• $[x,x]=0\backslash qquad(x\backslash in\; L^+)$
• $[x,[x,x]]=0\backslash qquad(x\backslash in\; L^-)$
• (등급 교환 법칙) $[x,y]+(-)^\{ij\}[y,x]=0\backslash qquad\; (x\backslash in\; L^i,\backslash ;y\backslash in\; L^j)$
• (등급 야코비 항등식) $(-)^\{ki\}[x,[y,z]]+(-)^\{ij\}[y,[z,x]]+(-)^\{jk\}[z,[x,y]]=0\backslash qquad(x\backslash in\; L^i,\backslash ;y\backslash in\; L^j,\backslash ;z\backslash in\; L^k)$

• (차수) 리 괄호는 차수를 더한다: $[x,y]\backslash in\; L^\{i+j\}\backslash qquad(x\backslash in\; L^i,\backslash ;y\backslash in\; L^j)$
• (등급 라이프니츠 규칙) 미분 $d$는 리 괄호에 대해 등급 라이프니츠 규칙을 만족한다: $\backslash mathrm\; d[x,y]=[\backslash mathrm\; dx,y]+(-)^i[x,\backslash mathrm\; dy]\backslash qquad(x\backslash in\; L^i,\backslash ;y\backslash in\; L^j)$

• 등급 교환 법칙: $[x,y]\; =\; (-1)^\{|x||y|+1\}[y,x],$
• 등급 야코비 항등식: $(-1)^$
  [x,[y,z]] +(-1)^

  [y,[z,x]] +(-1)^

  [z,[x,y]] = 0,

  등급 라이프니츠 규칙: $d\; [x,y]\; =\; [d\; x,y]\; +\; (-1)^$

  [x, d y]
  
  여기서 ''x'', ''y'', ''z''는 ''L''의 균질 원소(즉, 특정 차수 $L\_i$에 속하는 원소)이고, $|x|$는 원소 $x$의 차수를 나타낸다. 이 정의에서 미분 $d$는 차수를 낮추므로, 이 미분 등급 리 대수는 호몰로지적으로 등급이 매겨진 것으로 간주된다. 일반적으로 호몰로지적 등급은 아래첨자($L\_i$)로 표기한다.
  
  코호몰로지적 등급과 호몰로지적 등급 방식은 본질적으로 동등하며, 선택은 개인적인 선호도나 상황에 따라 다르다. 호몰로지적으로 등급이 매겨진 공간은 $L^i=L\_\{-i\}$로 설정하여 코호몰로지적 공간으로 변환할 수 있다.
  
  미분 등급 리 대수의 다른 동등한 정의는 다음과 같다.
  
  # 사슬 복합체의 범주 내의 리 대수 객체.
  
  # 엄격한 L∞-대수.
  
  두 미분 등급 리 대수 $L$, $L\text{'}$ 사이의 '''사상'''은 리 괄호 연산과 미분 연산을 보존하는 등급 선형 사상 $f:L\backslash to\; L^\backslash prime$이다. 즉, 다음 두 조건을 만족한다.

  
  
  • $f\; ([x,y]\_\{L\})\; =\; [f(x),f(y)]\_\{L^\backslash prime\}$ (리 괄호 보존)
  • $f\; (d\_L\; x)\; =\; d\_\{L^\backslash prime\}\; f\; (x)$ (미분 보존)

  
  
  미분 등급 리 대수들과 그 사상들은 하나의 범주를 형성한다.
  

  2. 2. 동치 정의

  미분 등급 리 대수의 다른 동등한 정의는 다음과 같다.
  
  # 사슬 복합체의 범주 내의 리 대수 객체
  
  # 엄격한 $L\_\backslash infty$-대수
  

  2. 3. 사상

  미분 등급 리 대수의 사상은 괄호 연산과 미분 연산을 보존하는 등급 선형 사상 $f:L\backslash to\; L^\backslash prime$이다. 구체적으로, 사상 $f$는 다음 두 조건을 만족해야 한다.

  
  
  • 괄호 보존: $f\; [x,y]\_\{L\}\; =\; [f(x),f(y)]\_\{L^\backslash prime\}$
  • 미분 보존: $f\; (d\_L\; x)\; =\; d\_\{L^\backslash prime\}\; f\; (x)$

  
  
  여기서 $[\backslash cdot,\backslash cdot]\_L$과 $d\_L$은 미분 등급 리 대수 $L$의 괄호와 미분이고, $[\backslash cdot,\backslash cdot]\_\{L^\backslash prime\}$과 $d\_\{L^\backslash prime\}$은 미분 등급 리 대수 $L^\backslash prime$의 괄호와 미분이다.
  
  미분 등급 리 대수들을 대상으로 하고, 위에서 정의된 사상들을 사상으로 하는 범주를 정의할 수 있다.
  

  3. 곱과 쌍대곱

  두 미분 등급 리 대수에 대해 곱과 쌍대곱(자유곱) 연산을 정의할 수 있다. 곱은 두 공간의 직합을 기반으로 정의되며, 쌍대곱은 자유 등급 리 대수를 이용하여 정의된다.
  

  3. 1. 곱

  두 미분 등급 리 대수 $L$과 $L^\backslash prime$의 곱 $L\backslash times\; L^\backslash prime$은 다음과 같이 정의된다. 먼저, 기저 등급 벡터 공간으로 두 공간의 직합 $L\backslash oplus\; L^\backslash prime$을 취한다. 이 직합 공간 위에 다음과 같은 리 괄호 연산과 미분 연산자를 정의한다.

  
  
  • '''리 괄호''': $[(x,x^\backslash prime),(y,y^\backslash prime)]\; =\; ([x,y]\_L,\; [x^\backslash prime,y^\backslash prime]\_\{L^\backslash prime\})$ (모든 $x,\; y\; \backslash in\; L$, $x^\backslash prime,\; y^\backslash prime\; \backslash in\; L^\backslash prime$에 대해)
  • '''미분''': $D(x,x^\backslash prime)\; =\; (d\_L\; x,\; d\_\{L^\backslash prime\}\; x^\backslash prime)$ (모든 $x\; \backslash in\; L$, $x^\backslash prime\; \backslash in\; L^\backslash prime$에 대해)

  
  
  여기서 $[\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; ]\_L$과 $d\_L$은 $L$의 리 괄호와 미분이고, $[\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; ]\_\{L^\backslash prime\}$과 $d\_\{L^\backslash prime\}$은 $L^\backslash prime$의 리 괄호와 미분이다.
  

  3. 2. 쌍대곱 (자유곱)

  두 미분 등급 리 대수 $L$과 $L^\backslash prime$의 쌍대곱 $L*L^\backslash prime$은 종종 자유곱이라고도 불린다. 이는 두 원래 리 대수 $L$과 $L^\backslash prime$에서 나타나는 관계식을 제외하고, 두 원래 리 대수를 확장하는 고유한 미분과 함께 두 기저 벡터 공간에 대한 자유 등급 리 대수로 정의된다.
  

  4. 변형 이론과의 연관성

  미분 등급 리 대수는 표수 0인 체, 특히 복소수체 위의 변형 이론에서 중요한 도구로 사용된다. 이러한 접근 방식은 대니얼 퀼렌의 유리 호모토피 이론 연구에 뿌리를 두고 있으며, 특정 조건 하에서 형식적인 변형 문제를 미분 등급 리 대수의 마우러-카르탕 원소를 통해 설명할 수 있다는 아이디어로 이어졌다.^[1] 이 개념은 블라디미르 드린펠트, 보리스 페이긴, 피에르 들리뉴, 막심 콘체비치 등에 의해 더욱 발전되었다.
  

  4. 1. 퀼렌의 유리 호모토피 이론

  미분 등급 리 대수의 주요 응용 분야 중 하나는 표수 0인 체(특히 복소수체) 위의 변형 이론이다. 이러한 아이디어는 대니얼 퀼렌이 유리 호모토피 이론을 연구하면서 시작되었다. 블라디미르 드린펠트, 보리스 페이긴, 피에르 들리뉴, 막심 콘체비치 등은 이 명제를 다음과 같이 공식화했다.^[1]
  
  : 표수 0에서 적절한 미분 등급 리 대수의 마우러-카르탕 원소로 모든 합리적인 형식적 변형 문제를 설명할 수 있다.
  
  여기서 마우러-카르탕 원소는 차수가 -1인 원소 $x\backslash in\; L\_\{-1\}$이며, 마우러-카르탕 방정식
  
  :$dx\; +\backslash frac\{1\}\{2\}[x,x]=0$
  
  의 해이다.
  

  4. 2. 마우러-카르탕 원소

  마우러-카르탕 원소는 차수가 −1인 원소 $x\backslash in\; L\_\{-1\}$이며, 마우러-카르탕 형식의 해이다.
  
  :$dx\; +\backslash frac\{1\}\{2\}[x,x]=0.$
  
  이 개념은 주로 표수 0의 체(특히 복소수체) 위에서의 변형 이론에 응용된다. 이러한 아이디어는 대니얼 퀼렌의 유리 호모토피 이론 연구에서 비롯되었다. 블라디미르 드린펠트, 보리스 페이긴, 피에르 들리뉴, 막심 콘체비치 등은 표수 0에서 모든 합리적인 형식적 변형 문제가 적절한 미분 등급 리 대수의 마우러-카르탕 원소로 설명될 수 있음을 보였다.^[1]
  

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