에를랑겐 프로그램

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1. 개요
2. 19세기 기하학의 문제점과 에를랑겐 프로그램의 등장
- 2.1. 다양한 기하학의 등장
3. 에를랑겐 프로그램의 핵심 내용
- 3.1. 변환군과 기하학
- 3.2. 동질 공간으로서의 기하학
4. 에를랑겐 프로그램의 영향
- 4.1. 수학에 미친 영향
- 4.2. 물리학 및 다른 과학 분야에 미친 영향
5. 에를랑겐 프로그램의 확장 및 발전
6. 추상적 관점과 에를랑겐 프로그램
참조

1. 개요

에를랑겐 프로그램은 19세기 기하학의 문제점을 해결하기 위해 펠릭스 클라인이 제시한 것으로, 기하학을 변환군과 불변량의 관점에서 정의한다. 이 프로그램은 각 기하학에 변환군을 연결하여 기하학 간의 관계를 군의 계층으로 나타내며, 유클리드 기하학, 아핀 기하학, 사영 기하학 등을 통합적으로 이해하도록 돕는다. 에를랑겐 프로그램은 수학 전반, 특히 위상수학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에 영향을 미쳤으며, 기하학을 동질 공간으로 보는 현대적 관점의 기초를 마련했다. 그러나 에를랑겐 프로그램은 카르탕 기하학, 서스턴 기하학 등과 같은 확장 및 발전을 거쳤으며, 추상적 관점에서 기하학을 다루는 데 한계가 있다는 비판도 존재한다.

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절대기하학은 유클리드 기하학의 공리에서 평행선 공준을 제외한 공리들을 기반으로 하는 기하학 체계로, 유클리드 원론의 처음 28개 명제와 외각의 정리 등을 포함하며 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학 모두에서 성립하는 정리를 다루고, 평행선 공준의 추가 또는 부정으로 유클리드 기하학 또는 쌍곡 기하학으로 확장될 수 있다.

에를랑겐 프로그램

2. 19세기 기하학의 문제점과 에를랑겐 프로그램의 등장

19세기 기하학은 여러 발전과 함께 문제점에 직면했다. 유클리드 기하학의 평행선 공준에 대한 의문은 비유클리드 기하학의 탄생을 이끌었다. 사영 기하학, 아핀 기하학 등 새로운 기하학 체계들이 등장하면서 기하학 간의 관계가 복잡해졌다.

펠릭스 클라인은 이러한 문제점들을 해결하기 위해 에를랑겐 프로그램을 제시했다. 그는 "전통적인 공간"은 균질 공간이지만, 유일하게 결정된 군에 대한 것은 아니며, 군을 변경하면 적절한 기하학적 언어가 변경된다고 설명했다.

2. 1. 다양한 기하학의 등장

유클리드 이후 기하학은 2차원 유클리드 공간(평면 기하학) 또는 3차원 (입체 기하학)을 의미했다. 19세기 전반, 고차원 기하학 (4차원 이상)이 필요해지고, 평행선 공준이 독립적임이 밝혀지면서 비유클리드 기하학이 탄생하는 등 상황이 복잡해졌다.

퐁슬레, 뫼비우스, 케일리 등이 개발한 사영 기하학의 특수한 경우로 이 새로운 기하학들을 파악할 수 있다는 아이디어가 제시되었다.

원근법의 수학적 기반으로 등장한 사영 기하학을 시작으로, 아핀 기하학, 뫼비우스 기하학 등 다양한 기하학이 등장했다^[8]. 클라인은 모든 기하학에 대칭군을 연결하여 기하학의 계층을 군의 계층과 불변량의 계층으로 표현했다. 예를 들어, 길이, 각도, 면적은 유클리드 군의 대칭에 대해 보존되지만, 사영 변환에서는 결합 구조와 교차비만 보존된다. 아핀 기하학에서 보존되는 평행 개념은 사영 기하학에서는 의미가 없다.

기하학에서 기저가 되는 군의 대칭을 추상화하면, 군 수준에서 관계를 재정립할 수 있다. 아핀 기하학의 군은 사영 기하학 군의 부분군이므로, 사영 기하학에서 불변인 개념은 아핀 기하학에서 의미가 있지만, 그 반대는 성립하지 않는다.

클라인의 에를랑겐 프로그램은 소푸스 리의 변환군 이론(리 군 이론)을 기반으로^[6], 이러한 기하학들을 통일적인 시각으로 다루기 위해 기하학을 '''동질 공간'''으로 간주한다^[8].

클라인이 말하는 기하학은 리 군와, 가 추이적으로 작용하는 다양체의 조합

(G,X)

을 의미한다^[8]. 위의 점에 대해, 의 고정 부분군을

H_x =\{h \in G \mid hx=x \}

라고 하면,

(G,X)

대신 리 군과 그 닫힌 부분 리 군의 조합

(G,H_x)

을 클라인의 의미에서 기하학이라고 부를 수 있다^[8]^[12].

몇가지 구체적인 기하학의 예시는 다음과 같다.


기하학	$X$	$G$
유클리드 기하학	$\mathbb{E}^n=\mathbb{R}^n$	$\mathbb{E}^n$ 위의 등거리 변환 군
타원 기하학	$\mathbb{P}^n =\mathbb{R}^{n+1}/\sim$
쌍곡 기하학	$\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^{n+1}\mid x_1{}^2+\cdots + x_{n}{}^2 - x_{n+1}{}^2 =1\}$
(실)사영 기하학	$\mathbb{P}^n =\mathbb{R}^{n+1}/\sim$

클라인의 기하학에서는, $G$ 의 작용에 불변인 성질을 찾는 것이 목적이다. 예를 들어 유클리드 기하학에서는, 등거리 변환에 불변인 성질(예: 삼각형의 합동)을 연구한다.

공간 $X$ 가 동일하더라도, $G$ 가 다르면 다른 기하학으로 간주된다. 예를 들어 유클리드 공간 $\mathbb{E}^n$ 위에 아핀 변환 전체로 이루어진 리 군을 $G$ 로 선택한 '''아핀 기하학'''이나 닮음 변환 전체로 이루어진 리 군을 $G$ 로 선택한 '''닮음 기하학'''은 유클리드 기하학과 구분된다. 아핀 기하학에서는 아핀 변환에 불변인 성질을 찾으므로, 삼각형의 합동은 아핀 기하학의 연구 대상이 아니다.

3. 에를랑겐 프로그램의 핵심 내용

소푸스 리의 변환군 이론(리 군 이론)을 기반으로^[6], 여러 기하학을 통일적으로 다루기 위한 관점을 제시한다. 클라인은 기하학을 '''동질 공간'''으로 간주했다^[8].(과거에는 동질 공간을 '''클라인 공간'''(Klein space)이라고 불렀다^[7]).

클라인은 모든 기하학에 대칭군이라는 기저를 연결했다. 따라서 기하학의 계층은 이러한 군의 계층과 그들의 불변량의 계층으로 수학적으로 표현된다. 예를 들어, 길이, 각도 및 면적은 유클리드 군의 대칭에 대해 보존되지만, 가장 일반적인 사영 변환 하에서는 결합 구조와 교차비만 보존된다. 아핀 기하학에서 보존되는 평행 개념은 사영 기하학에서는 의미가 없다.

기하학에서 기저가 되는 군의 대칭을 추상화함으로써, 그들 간의 관계는 군 수준에서 다시 확립될 수 있다. 아핀 기하학의 군은 사영 기하학의 군의 부분군이므로, 사영 기하학에서 불변하는 모든 개념은 ''a priori'' 아핀 기하학에서 의미가 있지만, 그 반대는 아니다. 필요한 대칭을 제거하면 더 강력한 이론을 갖게 되지만, 더 적은 개념과 정리(더 심오하고 일반적)를 갖게 된다.

3. 1. 변환군과 기하학

클라인은 각 기하학에 대응하는 변환군을 정의했다. 예를 들어, 유클리드 기하학은 등거리 변환군, 아핀 기하학은 아핀 변환군, 사영 기하학은 사영 변환군에 대응된다.^[8] 유클리드 기하학에서의 등거리 변환 군은 직교군과 평행이동의 반직접곱으로 표현된다. 사영 기하학의 변환군은 일반 선형군을 스칼라 행렬로 나눈 사영 선형군으로 표현된다.

클라인이 말하는 '기하학'은 리 군와, 가 추이적으로 작용하는 다양체의 조합

(G,X)

을 의미한다.^[8] 클라인은 를 ''''(chief group)^[9]^[10]라 불렀다. 위에 점을 취하고, 의 고정 부분군을

H_x =\{h \in G \mid hx=x \}

라고 하면,

H_{gx} = g^{-1} H g

이고 에 관계없이 는 동형이며, 는

:

[g] \in G/H \to gx \in X

에 의해 자연스럽게

G/H_x

와 동형이다. 이 때문에

(G,X)

대신 리 군과 그 닫힌 부분 리 군의 조합^[11]

(G,H_x)

을 클라인의 의미에서 기하학이라고 불러도 좋다.^[8]^[12]

구체적인 예는 다음과 같다.


기하학	$X$	$G$	$H$
유클리드 기하학	$\mathbb{E}^n=\mathbb{R}^n$	$\mathbb{E}^n$ 위의 등거리 변환 군	$O(n)$
타원 기하학	$\mathbb{P}^n =\mathbb{R}^{n+1}/\sim$	$\mathbb{P}^n$ 위의 등거리 변환군	$\left\{$
쌍곡 기하학	$\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^{n+1}\mid x_1{}^2+\cdots + x_{n}{}^2 - x_{n+1}{}^2 =1\}$	$\mathbb{H}^n$ 위의 등거리 변환군	$\left\{$
(실)사영 기하학	$\mathbb{P}^n =\mathbb{R}^{n+1}/\sim$	사영 선형군 $\mathrm{PGL}_{n+1}(\mathbb{R}) =\mathrm{GL}_{n+1}(\mathbb{R})/\sim$	$\left\{$

클라인의 기하학에서는,

G

의 작용에 불변인 성질을 찾는 것이 목적이 된다. 예를 들어 유클리드 기하학에서는, 등거리 변환에 불변인 성질, 예를 들어 삼각형의 합동,을 연구한다.

공간가 동일하더라도, 가 다르면 다른 기하학으로 간주된다. 예를 들어 유클리드 공간

\mathbb{E}^n

위에 아핀 변환 전체로 이루어진 리 군을 로 선택한 '''아핀 기하학'''이나 닮음 변환 전체로 이루어진 리 군을 로 선택한 '''닮음 기하학'''은 유클리드 기하학과 구분된다. 아핀 기하학에서는, 아핀 변환에 불변인 성질을 찾는 것이므로, 유클리드 기하학에서의 연구 대상이어도 아핀 기하학의 연구 대상이 아닌 것이 존재한다. 예를 들어 앞서 언급한 삼각형의 합동은 아핀 변환에 대해 불변이 아니므로, 아핀 기하학의 연구 대상이 아니다.

3. 2. 동질 공간으로서의 기하학

클라인은 기하학을 리 군과 작용하는 다양체의 조합으로 보았다. 이는 오늘날 동질 공간의 개념으로 이해되며, 기하학을 군의 작용에 의해 균질한 공간으로 파악하는 것이다.^[8]

클라인이 말하는 '기하학'은 리 군 *G*와, *G*가 추이적으로 작용하는 다양체 *X*의 조합

(G,X)

을 의미한다.^[8] *X* 위의 점 *x*에 대해 고정 부분군을

H_x =\{h \in G \mid hx=x \}

라고 하면,

H_{gx} = g^{-1} H g

이고 *x*에 관계없이

H_x

는 동형이며, *X*는

G/H_x

와 동형이다. 따라서

(G,X)

대신 리 군 *G*와 그 닫힌 부분 리 군

H_x

의 조합^[11]

(G,H_x)

을 클라인의 의미에서 기하학이라고 부를 수 있다.^[8]^[12]

몇 가지 구체적인 예는 다음과 같다.


기하학	X	G	H
유클리드 기하학	$\mathbb{E}^n=\mathbb{R}^n$	$\mathbb{E}^n$ 위의 등거리 변환 군	$O(n)$
타원 기하학	$\mathbb{P}^n =\mathbb{R}^{n+1}/\sim$ ( $x \sim y \iff \exists k \in \mathbb{R}~:~ x = ky$ )	$\mathbb{P}^n$ 위의 등거리 변환군	$\left\{$
쌍곡 기하학	$\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^{n+1}\mid x_1{}^2+\cdots + x_{n}{}^2 - x_{n+1}{}^2 =1\}$ ( $x=(x_1,\ldots,x_{n+1})$ )	$\mathbb{H}^n$ 위의 등거리 변환군	$\left\{$
(실) 사영 기하학	$\mathbb{P}^n =\mathbb{R}^{n+1}/\sim$ ( $x \sim y \iff \exists k \in \mathbb{R}~:~ x = ky$ )	사영 선형군 $\mathrm{PGL}_{n+1}(\mathbb{R}) =\mathrm{GL}_{n+1}(\mathbb{R})/\sim$ ( $A \sim B \iff \exists k \in \mathbb{R} ~:~ A = kB$ )	$\left\{$

클라인의 기하학에서는, *G*의 작용에 불변인 성질을 찾는 것이 목적이 된다. 예를 들어 유클리드 기하학에서는 등거리 변환에 불변인 성질(예: 삼각형의 합동)을 연구한다.공간 *X*가 같더라도 *G*가 다르면 다른 기하학으로 간주된다. 예를 들어 유클리드 공간

\mathbb{E}^n

위에 아핀 변환 전체로 이루어진 리 군을 *G*로 선택한 아핀 기하학이나 닮음 변환 전체로 이루어진 리 군을 *G*로 선택한 '닮음 기하학'은 유클리드 기하학과 구분된다. 아핀 기하학에서는 아핀 변환에 불변인 성질을 찾으므로, 유클리드 기하학에서 연구 대상이더라도 아핀 기하학의 연구 대상이 아닌 경우가 있다. (예: 삼각형의 합동은 아핀 변환에 대해 불변이 아니므로 아핀 기하학의 연구 대상이 아니다.)

4. 에를랑겐 프로그램의 영향

에를랑겐 프로그램은 기하학을 대칭군과 불변량의 관점에서 바라보는 새로운 시각을 제시하여 수학, 물리학을 포함한 여러 분야에 큰 영향을 미쳤다.

클라인은 모든 기하학에 대칭군을 연결하여 기하학의 계층을 군의 계층과 불변량의 계층으로 표현했다. 예를 들어 유클리드 군에서는 길이, 각도, 면적이 보존되지만, 사영 기하학에서는 결합 구조와 교차비만 보존된다. 아핀 기하학의 평행 개념은 사영 기하학에서 의미가 없다. 기하학의 기저가 되는 군의 대칭을 추상화하면 군 수준에서 관계가 재정립된다. 아핀 기하학의 군은 사영 기하학 군의 부분군이므로, 사영 기하학에서 불변하는 개념은 아핀 기하학에서도 의미가 있지만, 그 반대는 성립하지 않는다. 필요한 대칭을 제거하면 더 강력한 이론을 갖지만, 개념과 정리는 더 적어진다.

4. 1. 수학에 미친 영향

에를랑겐 프로그램은 순수 수학 전반에 걸쳐 장기적인 영향을 미쳤다. 예를 들어 합동 개념에서 암묵적으로 사용되는 것을 볼 수 있다. 변환과 대칭 그룹을 사용한 합성에 대한 아이디어는 물리학에서 표준이 되었다.

위상수학이 동형사상 하에서 불변하는 속성 측면에서 일상적으로 설명될 때, 그 기본 아이디어가 작동하는 것을 볼 수 있다. 관련된 그룹은 거의 모든 경우에 무한 차원이 되고, 리 군은 아니지만 철학은 동일하다. H.S.M. 코세터 등의 책들은 기하학을 '배치'하는 데 도움을 주기 위해 에를랑겐 프로그램 접근 방식을 일상적으로 사용했다. 교육적인 측면에서, 이 프로그램은 변환 기하학이 되었는데, 이는 유클리드 기하학보다 더 강한 직관에 기반한다는 점에서 축복이자 저주였다. 하지만 논리적 시스템으로 변환하기가 덜 쉽다.

장 피아제는 그의 저서 ''구조주의''(1970)에서 "현대 구조주의 수학자들, 예를 들어 부르바키의 눈에는 에를랑겐 프로그램은 구조주의의 부분적인 승리에 불과하다. 왜냐하면 그들은 기하학뿐만 아니라 모든 수학을 구조라는 아이디어에 종속시키고 싶어하기 때문이다."라고 말했다.

기하학 및 해당 그룹의 경우, 그룹의 원소를 때때로 기하학의 운동이라고 부른다. 예를 들어, 쌍곡선 운동을 기반으로 하는 전개를 통해 쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델에 대해 배울 수 있다. 이러한 전개를 통해 초평행선 정리를 연속적인 운동으로 체계적으로 증명할 수 있다.

4. 2. 물리학 및 다른 과학 분야에 미친 영향

에를랑겐 프로그램에서 변환과 대칭 그룹을 사용한 합성에 대한 아이디어는 물리학에서 표준이 되었다. 위상수학이 동형사상 하에서 불변하는 속성 측면에서 일상적으로 설명될 때, 그 기본 아이디어가 작동하는 것을 볼 수 있다.^[1] 관련된 그룹은 거의 모든 경우에 무한 차원이 될 것이며, 리 군은 아니지만 철학은 동일하다.^[1]

장 피아제는 그의 저서 ''구조주의''(1970)에서 "현대 구조주의 수학자들, 예를 들어 부르바키의 눈에는 에를랑겐 프로그램은 구조주의의 부분적인 승리에 불과하다. 왜냐하면 그들은 기하학뿐만 아니라 모든 수학을 구조라는 아이디어에 종속시키고 싶어하기 때문이다."라고 말한다.^[2]

기하학 및 해당 그룹의 경우, 그룹의 원소를 때때로 기하학의 운동이라고 부른다.^[3] 예를 들어, 쌍곡선 운동을 기반으로 하는 전개를 통해 쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델에 대해 배울 수 있다.^[3]

5. 에를랑겐 프로그램의 확장 및 발전

에를랑겐 프로그램은 이후 수학과 물리학 등 여러 분야에 큰 영향을 주었으며, 다음과 같이 확장되고 발전되었다.

카르탕 기하학: 앙리 카르탕은 헤르만 바일의 아핀 접속 개념을 바탕으로, 클라인 기하학과 리만 기하학을 모두 포함하는 카르탕 기하학을 만들었다.^[13] 카르탕 기하학은 다양체의 각 점에서 접벡터 공간을 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 로 간주한다. 여기서 $\mathfrak{g}$ 와 $\mathfrak{h}$ 는 각각 클라인 기하학 $(G,H)$ 를 이루는 리 군과 리 대수이다.
서스턴 기하학: 윌리엄 서스턴은 기하화 추측을 만들면서 새로운 기하학 개념을 제시했다. 서스턴의 기하학은 리만 다양체 위에서 클라인의 기하학이며, 군 작용이 리만 계량과 양립하고 극대성을 만족하는 것으로 정의된다. 3차원 공간에는 8가지 종류의 기하학이 있으며, 페렐만이 기하화 추측을 증명하면서 이 개념이 확립되었다.
현대적 관점: 에를랑겐 프로그램은 합동 개념 등 순수 수학 전반에 영향을 주었으며, 변환과 대칭 군을 이용한 합성 개념은 물리학에서 표준이 되었다. 위상수학에서 동형사상 아래 불변하는 성질을 설명할 때도 에를랑겐 프로그램의 기본 개념이 사용된다. H.S.M. 코세터 등은 에를랑겐 프로그램 접근법을 통해 기하학을 '배치'하는 데 기여했다. 교육적으로는 변환 기하학으로 발전했는데, 이는 유클리드 방식보다 직관적이지만 논리적 시스템으로 만들기 어렵다는 단점이 있다.

장 피아제는 저서 ''구조주의''(1970)에서 부르바키와 같은 현대 구조주의 수학자들이 에를랑겐 프로그램을 구조주의의 부분적 승리로 본다고 언급했다. 그들은 기하학뿐 아니라 모든 수학을 구조 개념에 종속시키려 했기 때문이다.

기하학과 그 군에서, 군의 원소는 때때로 기하학의 운동이라고 불린다. 예를 들어 쌍곡선 운동을 통해 쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델을 배우고, 초평행선 정리를 연속적인 운동으로 증명할 수 있다.

5. 1. 카르탕 기하학

앙리 카르탕은 헤르만 바일이 창출한 아핀 접속을 계기로, 클라인 기하학과 리만 기하학을 포괄하는 카르탕 기하학을 제시하였다.^[13]

기하학의 관계
유클리드 기하학	일반화	클라인 기하학
	→

↓일반화	↓일반화
리만 기하학	일반화	카르탕 기하학
	→

리만 기하학이 다양체의 각 점의 접벡터 공간을 계량 벡터 공간으로 간주하는 것처럼, 카르탕 기하학에서는 각 점의 접벡터 공간을 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 로 간주한다. 여기서 $\mathfrak{g}$ , $\mathfrak{h}$ 는 각각 클라인의 의미의 기하학 $(G,H)$ 를 구성하는 리 군, 의 리 대수이다.

5. 2. 서스턴 기하학

서스턴은 자신의 기하화 추측을 정식화하면서 새로운 기하학 개념을 정식화했다. 서스턴이 말하는 '''기하학'''은 리만 다양체상의 클라인의 의미에서의 기하학이며, 군 작용이 리만 계량과 양립하고, 또한 어떤 종류의 극대성을 만족하는 것으로 정식화된다.

3차원 공간에는 8종류의 기하학이 존재하며, 3차원 다양체를 적절하게 분해한 것에는 반드시 이 8개의 기하학 중 하나가 들어간다는 것이 기하화 추측이며, 페렐만에 의해 해결되었다.

5. 3. 현대적 관점

에를랑겐 프로그램의 영향은 순수 수학 전반에 걸쳐 나타나며, 예를 들어 합동에서 암묵적으로 사용되는 것을 볼 수 있다. 변환과 대칭 그룹을 사용한 합성에 대한 개념은 물리학에서 표준이 되었다.

위상수학이 동형사상 하에서 불변하는 속성 측면에서 설명될 때, 그 기본 개념이 작동하는 것을 확인할 수 있다. 관련된 그룹은 거의 모든 경우에 무한 차원이 될 것이며, 리 군은 아니지만 철학은 동일하다. H.S.M. 코세터 등의 책들은 기하학을 '배치'하는 데 도움을 주기 위해 에를랑겐 프로그램 접근 방식을 사용했다. 교육적인 측면에서, 이 프로그램은 변환 기하학이 되었는데, 이는 유클리드 스타일보다 더 강한 직관에 기반한다는 점에서 긍정적이지만, 논리적 시스템으로 변환하기가 덜 쉽다는 단점도 존재한다.

장 피아제는 그의 저서 ''구조주의''(1970)에서 "현대 구조주의 수학자들, 예를 들어 부르바키는 에를랑겐 프로그램은 구조주의의 부분적인 승리일 뿐이라고 본다. 왜냐하면 그들은 기하학뿐만 아니라 모든 수학을 구조라는 개념에 종속시키고 싶어하기 때문이다."라고 언급했다.

기하학 및 해당 그룹의 경우, 그룹의 원소를 때때로 기하학의 운동이라고 부른다. 예를 들어, 쌍곡선 운동을 기반으로 하는 전개를 통해 쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델에 대해 배울 수 있다. 이러한 전개를 통해 초평행선 정리를 연속적인 운동으로 체계적으로 증명할 수 있다.

6. 추상적 관점과 에를랑겐 프로그램

자주, 동형인 자기 동형 사상군을 가진 두 개 이상의 뚜렷한 기하학이 있는 것으로 보인다. 에를랑겐 프로그램은 기하학에 대한 ''추상적'' 군으로부터 기하학을 도출하는 문제를 제기한다.^[1]

예시: 유향 (즉, 반사가 포함되지 않음) 타원 기하학 (즉, ''n''-구의 표면으로, 반대되는 점들이 동일시됨)과 유향 구면 기하학 (동일한 비유클리드 기하학이지만, 반대되는 점들이 동일시되지 않음)은 짝수 ''n''에 대해 동형 자기 동형 사상군인 SO(''n''+1)을 갖는다. 이것들은 뚜렷하게 보일 수 있다. 그러나 기하학은 매우 밀접하게 관련되어 있으며, 이를 정확하게 만들 수 있는 방법이 있다.

다른 예를 들자면, 다른 곡률 반경을 가진 타원 기하학은 동형 자기 동형 사상군을 갖는다. 이러한 모든 기하학이 동형이므로, 이것은 실제로 비판으로 간주되지 않는다. 일반적인 리만 기하학은 프로그램의 경계 밖에 있다.

복소수, 이중수 및 이중 (또는 분리 복소수) 수는 군 SL(2,'''R''')과 그 부분군 H=A, N, K에 대한 동질 공간 SL(2,'''R''')/H로 나타난다.^[1] SL(2,'''R''') 군은 선형 분수 변환에 의해 이러한 동질 공간에 작용하며, 각각의 기하학의 상당 부분이 에를랑겐 프로그램으로부터 균일한 방식으로 얻을 수 있다.

물리학에서 몇 가지 더 주목할 만한 예가 나타났다.

먼저, ''n''차원 쌍곡 기하학, ''n''차원 드 시터 공간 및 (''n''−1)차원 반전 기하학은 모두 동형 자기 동형 사상군을 갖는다.

: $\mathrm{O}(n,1)/\mathrm{C}_2,\$

정시 로렌츠 군은 에 대해 적용된다. 그러나 이것들은 명백히 뚜렷한 기하학이다. 여기서 물리학에서 몇 가지 흥미로운 결과가 들어온다. 세 기하학 각각의 물리학 모델이 일부 모델에 대해 "이중적"임이 밝혀졌다.

또한, ''n''차원 반 드 시터 공간과 "로렌츠" 부호를 갖는 (''n''−1)차원 등각 공간 (3차원 이상에서 반전 기하학과 동일한 "유클리드" 부호를 가진 등각 공간과는 대조적으로)은 동형 자기 동형 사상군을 갖지만, 뚜렷한 기하학이다. 다시 한번, 양쪽 공간 간의 "이중성"이 있는 물리학 모델이 있다. 더 자세한 내용은 AdS/CFT를 참조하십시오.

SU(2,2)의 덮개군은 4차원 등각 민코프스키 공간과 5차원 반 드 시터 공간 및 복소 4차원 트위스터 공간의 대칭군인 SO(4,2)의 덮개군과 동형이다.

따라서 에를랑겐 프로그램은 물리학의 이중성과 관련하여 여전히 유효하다고 간주할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL(2,R) Imperial College Press
_[2] 논문 A general theory of natural equivalences
_[3] 간행물 In [[Ehresmann]]'s footsteps: from group geometries to [[groupoid]] geometries
_[4] 논문 Tarski on Logical Notions
_[5] 문서 『岩波数学事典（第4版）』の項目名では「エルランゲンの目録」、[[矢野健太郎 (数学者)|矢野健太郎]]編『数学小辞典』（[[共立出版]]）では「エルランゲン目録」となる。
_[6] 문서 Klein
_[7] 문서 Sharpe
_[8] 문서 Sharpe
_[9] 문서 Birkhoff
_[10] 문서 Sharpe, Birkhoff
_[11] 문서 H가 닫혀있다는 조건
_[12] 문서 Sharpe
_[13] 문서 Sharpe

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