노름 공간

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1. 개요

노름 공간은 벡터 공간에 노름이 부여된 공간으로, 반노름 공간의 특수한 경우이다. 노름은 벡터의 크기를 나타내는 함수로, 반양수성, 동차성, 삼각 부등식을 만족해야 한다. 노름 공간은 유클리드 공간, L^p 공간 등이 있으며, 선형 사상과 쌍대 공간의 개념을 통해 연구된다. 노름 공간은 완비화 과정을 통해 바나흐 공간으로 확장될 수 있으며, 노름화 가능 공간은 노름에 의해 위상이 유도되는 위상 벡터 공간을 의미한다.

노름 공간

정의

설명	거리가 정의된 벡터 공간

특징

노름 유도 거리	노름에 의해 유도된 거리 공간임

참고

관련 문서	노름

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노름 공간 - 내적 공간
내적 공간은 실수체 또는 복소수체 위의 벡터 공간에서 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식을 만족하는 내적을 갖춘 공간으로, 코시-슈바르츠 부등식, 삼각 부등식과 같은 성질을 만족하며 노름 공간 구조를 유도하고 직교성을 정의하는 데 사용된다.
노름 공간 - 민코프스키 거리
민코프스키 거리는 n차원 공간에서 두 점 사이의 거리를 정의하는 일반화된 방법으로, p값에 따라 맨해튼 거리, 유클리드 거리, 체비셰프 거리 등을 포함하며, 기계 학습에서 데이터 유사성 비교에 활용된다.

2. 정의

실수체 또는 복소수체 $\mathbb{K}$ 에 대하여, $\mathbb{K}$ -벡터 공간 위에 정의된 반노름(seminorm)과 노름(norm)은 벡터의 크기를 측정하는 함수의 일종이다. 반노름은 양의 동차성과 삼각 부등식의 두 가지 조건을 만족시킨다. 노름은 반노름의 조건을 만족시키면서 추가로 양의 정부호성 조건을 만족시킨다. 노름이 주어진 벡터 공간을 노름 공간이라고 하며, 반노름이 주어진 벡터 공간을 반노름 공간이라고 한다.

이러한 정의는 민코프스키 범함수를 사용하여 다르게 표현할 수도 있다.

2.1. 통상적 정의

$\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체라고 하자. $\mathbb K$ -벡터 공간 $V$ 위의 반노름(seminorm)은 다음 두 조건을 만족하는 함수 $\lVert\cdot\rVert\colon V\to[0,\infty)$ 이다.

* (양의 동차성) 임의의 $a\in K$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $\Vert av\Vert=|a|\Vert v\Vert$
* (삼각 부등식) 임의의 $u,v\in V$ 에 대하여, $\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert$

반노름이 주어진 $\mathbb K$ -벡터 공간 $(V,\lVert\cdot\rVert)$ 을 $\mathbb K$ -반노름 공간이라고 한다.

$V$ 위의 노름(norm)은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름 $\lVert\cdot\rVert$ 이다.

* (양의 정부호성) 모든 $v\in V$ 에 대하여, $\Vert v\Vert=0$ 임은 $v=0$ 임과 동치이다.

노름이 주어진 $\mathbb K$ -벡터 공간 $(V,\lVert\cdot\rVert)$ 을 $\mathbb K$ -노름 공간이라고 한다. 노름 벡터 공간은 벡터 공간에 노름이 주어진 공간이다. 세미노름 벡터 공간은 세미노름이 주어진 벡터 공간이다.

다음과 같은 삼각 부등식의 변형도 유용하다.

: $\|x-y\| \geq | \|x\| - \|y\| |$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 임의의 벡터이다. 이는 벡터 노름이 (균등) 연속 함수임을 보여준다.

스칼라 필드에 대한 노름 $|\alpha|$ 의 선택에 따라 조건 3은 달라진다. 스칼라 필드가 $\R$ (또는 더 일반적으로 $\Complex$ 의 부분 집합)일 때, 이것은 보통 일반적인 절댓값으로 간주되지만, 다른 선택도 가능하다. 예를 들어, $\Q$ 에 대한 벡터 공간의 경우, $|\alpha|$ 를 $p$ -진법 절댓값으로 사용할 수 있다.

2.2. 민코프스키 범함수를 통한 정의

$\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체일 때, $\mathbb K$ -벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $S \subseteq V$ 의 민코프스키 범함수는 다음과 같다.

: $\mu_S \colon V \to [0, \infty]$
: $\mu_S(v) = \inf\{t \in \mathbb R^+ \colon v \in tS\}$

$\mathbb K$ -벡터 공간 $V$ 위의 반노름은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

: $\lVert \cdot \rVert \colon V \to [0, \infty]$
: $\lVert \cdot \rVert \colon v \mapsto \Vert v \Vert$

* 어떤 균형 볼록 흡수 집합의 민코프스키 범함수이다. (흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치이다.

3. 연산

노름 공간^한국어 및 반노름 공간에는 다양한 연산을 정의할 수 있다.

* 노름의 유도 위상: $(V, )$ 가 노름 공간이면, 노름 은 거리 함수를 유도하여 $V$ 상에 위상을 정의한다. 이 위상은 을 연속으로 만드는 가장 약한 위상이며, 다음 성질을 만족시킨다.
# 벡터의 덧셈 $+: V \times V \to V$ 는 이 위상에 관해 두 변수의 연속 사상이다.
# 스칼라 곱셈 $\cdot: K \times V \to V$ 는 이 위상에 관해 두 변수의 연속 사상이다. 여기서 $K$ 는 $V$ 의 계수체이다.
* 반노름 공간의 위상: 반노름 공간에서도 $p(u-v)$ 를 통해 유사 거리 공간 구조를 만들어 연속성이나 극한 등의 개념을 정의할 수 있다. 반노름은 위상 선형 공간의 위상 구조를 유도한다.
* 국소 볼록 공간: 반노름 공간의 위상은 영벡터 $0$ 의 근방계를 통해 구성할 수 있으며, 흡수 볼록 집합으로 이루어진 $0$ 의 기본 근방계가 존재한다. 이러한 성질은 함수 해석학에서 유용하며, 이 성질을 만족하는 위상 선형 공간을 국소 볼록 공간이라고 부른다.

3.1. 직합

$\mathbb K$ -노름 공간들의 족 $(V_i)_{i\in I}$ 과 실수 $1\le p<\infty$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합
: $V=\bigoplus_iV_i$
에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
: $\|(v_i)_{i\in I}\|_p=\sqrt[p]{\|v_i\|_{V_i}^p}$
그렇다면, $(V,\lVert\cdot\rVert_p)$ 역시 노름 공간을 이룬다.

$n$ 개의 반노름 공간 $(X_i, q_i)$ 가 주어졌을 때, 노름 공간으로서의 직적 공간은 벡터 공간으로서는

: $X := \prod_{i=1}^{n} X_i = X_1\times X_2\times\dotsb\times X_n$

이며, 원소별 합

: $(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n):=(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n)$

과 스칼라 곱

: $\alpha(x_1,\ldots,x_n):=(\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n)$

으로 주어지는 직적이다. 게다가 그 위에 함수

: $q\colon X \to \mathbb{R}$

를 예를 들어

: $q\colon (x_1,\ldots,x_n) \mapsto \sum_{i=1}^n q_i(x_i)$

로 정의하면, 이 $q$ 는 $X$ 위의 반노름이 된다. 이것이 노름이 되기 위한 필요충분조건은 임의의 $q_i$ 가 노름이 되는 것이다.

더 일반적으로, 임의의 실수 $p \ge 1$ 에 대해 반노름

: $q\colon (x_1,\ldots,x_n) \to \Bigl(\sum_{i=1}^n q_i(x_i)^p \Bigr)^{1/p}$

을 얻을 수 있다. 어떤 $p$ 에 대해서도 이 반노름으로부터 얻어지는 위상 공간은 같다.

초등적인 선형대수학의 직접적인 논의에 의해, 자명한 반노름을 갖춘 노름 공간의 직적 공간으로서 생기는 노름 공간은 유한 차원 반노름 공간에 한정된다는 것을 보일 수 있다.

3.2. 부분 공간과 몫

노름 공간^한국어 $V$ 의 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$ 가 주어졌을 때, $W$ 에 $V$ 의 노름을 제한하여 노름을 부여하면, $W$ 역시 노름 공간^한국어이 된다.

노름 공간^한국어 $V$ 의 닫힌 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$ 가 주어졌을 때, 몫공간 $V/W$ 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
: $\|v+W\|_{V/W}=\inf_{w\in W}\|v+w\|_V$
이렇게 하면 $V/W$ 역시 노름 공간^한국어이 된다.

3.3. 연속 쌍대 공간

$\mathbb K$ -노름 공간 $(V,\|\|)$ 의 연속 쌍대 공간 $V'$ 위에는 쌍대 노름
: $\|f\|_{V'}=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac$

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{\|v\|_V}
을 부여할 수 있으며, 이에 따라

V'

역시

\mathbb K

-노름 공간을 이룬다.

노름 공간

V

의 쌍대 공간

V'

는

V

에서 계수체 (보통 실수체

\mathbb R

또는 복소수체

\mathbb C

)로의 연속 선형 사상(선형 범함수)이다. 범함수

\varphi

의 노름은

V

의 모든 단위 벡터(노름이 1인 벡터)

v

에 대해

|\varphi(v)|

의 상한(상한 노름)으로 정의된다. 이렇게 정의된 쌍대 공간

V'

는 노름 공간이 된다. 노름 공간 위의 연속 선형 범함수에 관한 중요한 정리로 한-바나흐 정리가 있다.

3.4. 하우스도르프화

반노름 공간에서 반노름이 0이 되는 벡터들의 부분 공간으로 몫공간을 만들어 노름 공간을 얻을 수 있다.

임의의 $\mathbb K$ -반노름 공간 $(V,\|\|)$ 에 대하여, 다음과 같은 $\mathbb K$ -부분 벡터 공간을 정의한다.
: $N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}$
그렇다면, 몫공간 $V/N$ 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.

많은 노름 공간(특히 바나흐 공간)의 정의로서, 우선 벡터 공간 위에 반노름을 정의하고, 그 다음 반노름이 0인 원소로 이루어진 부분 공간에 의한 몫공간으로서 노름 공간을 만드는 방법이 있다. 예를 들어, 르베그 공간은

: $\|f\|_p = \Bigl( \int |f(x)|^p \;dx \Bigr)^{1/p}$

로 정의되는 함수를 반노름으로 하는, 우변의 르베그 적분이 정의되고 유한이 되는 함수 전체로 이루어진 선형 공간이다. 단, 르베그 측도에 관한 영집합 위에 지지를 갖는 임의의 함수는 반노름이 0이다. 그러한 함수 전체는 부분 공간을 이루지만, 그 부분 공간으로 "나누어" 버리면, 그 함수들은 모두 영함수와 동치로 할 수 있다.

3.5. 완비화

$\mathbb K$ -노름 공간^한국어 $(V,\|\|)$ 의 (거리 공간으로서의) 완비화 $\bar V$ 위에 다음과 같은 노름을 정의한다.
: $\|\bar v\|_{\bar V}=\lim_{i\to\infty}\|v_i\|_V\qquad(\bar v\in V)$
여기서 $(v_i)_{i\in\mathbb N}$ 는 $\bar v$ 로 수렴하는 코시 열이다. 이를 부여하면 $\bar V$ 는 $\mathbb K$ -바나흐 공간^한국어을 이룬다.

이 경우, 자연스러운 단사 $\mathbb K$ -선형 등거리 변환
: $V\hookrightarrow\bar V$
가 존재하여, $V$ 를 $\bar V$ 의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 $V$ 가 이미 $\mathbb K$ -바나흐 공간^한국어이라면, 위 함수는 전단사 함수이다.

4. 성질

$\mathbb{K}$ -반노름 공간 $V$ 에는 유사 거리 함수 $d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad(u,v\in V)$ 를 부여하여 유사 거리 공간으로 만들 수 있다. 만약 $V$ 가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간을 이룬다. 이러한 유사 거리 공간 구조에 의해, $\mathbb{K}$ -반노름 공간은 항상 $\mathbb{K}$ -위상 벡터 공간을 이룬다.

두 $\mathbb{K}$ -반노름 공간 사이의 $\mathbb{K}$ -선형 변환에서 유계 작용소인 것과 연속 함수인 것은 서로 동치이다.

벡터 덧셈 $\,+\, : V \times V \to V$ 는 위상에 대해 결합적으로 연속이며, 이는 삼각 부등식에서 직접적으로 유도된다. 스칼라 곱셈 $\,\cdot\, : \mathbb{K} \times V \to V,$ (여기서 $\mathbb{K}$ 는 $V$ 의 기본 스칼라 필드)는 결합적으로 연속이며, 이는 삼각 부등식과 노름의 동차성에서 유도된다.

임의의 세미노름 벡터 공간에서 두 벡터 $\mathbf{u}$ 와 $\mathbf{v}$ 사이의 거리를 $\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|.$ 로 정의할 수 있다. 이렇게 하면 세미노름 공간은 유사 거리 공간이 되며, 연속성 및 수렴과 같은 개념을 정의할 수 있다. 모든 세미노름 벡터 공간은 위상 벡터 공간이며, 반노름에 의해 유도되는 위상 구조를 갖는다.

완비 노름 공간은 바나흐 공간으로 알려져 있다. 모든 노름 벡터 공간 $V$ 는 어떤 바나흐 공간 내의 조밀한 부분 공간으로 존재하며, 이 바나흐 공간은 $V$ 에 의해 본질적으로 고유하게 정의되고, $V$ 의 완비화라고 불린다.

동일한 벡터 공간에 대한 두 개의 노름은 동일한 위상을 정의하는 경우 동치라고 한다. 유한 차원 벡터 공간에서는 모든 노름이 동치이지만, 무한 차원 벡터 공간에서는 그렇지 않다.

유한 차원 벡터 공간의 모든 노름은 위상학적 관점에서 동치이다. 모든 유클리드 공간은 완비이므로, 모든 유한 차원 노름 벡터 공간은 바나흐 공간이다. 노름 벡터 공간 $V$ 가 국소 콤팩트가 되기 위한 필요충분 조건은, 단위 구 $B = \{ x : \|x\| \leq 1\}$ 가 콤팩트가 되는 것이며, 이는 $V$ 가 유한 차원일 때에만 해당한다.

세미노름 벡터 공간의 위상은 흡수 집합과 볼록 집합으로 구성된 원점에 대한 근방 기저가 존재한다. 이러한 성질은 함수 해석학에서 매우 유용하며, 이러한 성질을 가진 노름 벡터 공간의 일반화는 국소 볼록 공간이라는 이름으로 연구된다.

위상 벡터 공간 $(X, \tau)$ 에 대한 노름 (또는 세미노름) $\|\cdot\|$ 가 연속이 되기 위한 필요충분 조건은 $\|\cdot\|$ 가 $X$ 에 유도하는 위상 $\tau_{\|\cdot\|}$ 가 $\tau$ 보다 더 약한 경우이다.

4.1. 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

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K-노름 공간	K-내적 공간
⇑	⇑
K-바나흐 공간	K-힐베르트 공간
⇐	⇐

즉, K-노름 공간

(V,\|\|)

가 주어졌을 때,
* 만약

(u,v)\mapsto(\|u+v\|-\|u-v\|)/2

가 K-쌍선형 형식을 이루면,

(V,\|\|)

는 K-내적 공간을 이룬다.
* 만약 완비 거리 공간이라면,

(V,\|\|)

는 K-바나흐 공간을 이룬다.
* 만약

(V,\|\|)

가 K-내적 공간이자 K-바나흐 공간이라면,

(V,\|\|)

를 K-힐베르트 공간이라고 한다.

4.2. 노름화 가능 공간

반노름화 가능 공간(seminormable space^영어)인 위상 벡터 공간 $V$ 는 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $V$ 의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다.
* 국소 볼록 공간이자 국소 유계 공간이다. 즉, $0\in V$ 가 볼록 유계 근방을 갖는다.

노름화 가능 공간(normable space^영어)인 위상 벡터 공간 $V$ 는 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시킨다.
* $V$ 의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다.
* 반노름화 가능 공간이며, 하우스도르프 공간이다.

위상 벡터 공간 $(X, \tau)$ 이 $X$ 위에 노름 $\| \cdot \|$ 가 존재하여, 표준 거리(canonical metric) $(x, y) \mapsto \|y-x\|$ 가 $X$ 위에 위상 $\tau$ 를 유도하면 노름 가능이라고 한다.
다음 정리는 콜모고로프에 의한 것이다.

콜모고로프의 노름 가능성 기준: 하우스도르프 위상 벡터 공간은 볼록하고 폰 노이만 유계인 $0 \in X$ 의 근방이 존재할 경우에만 노름 가능하다.

만약 $X$ 가 하우스도르프 국소 볼록 위상 벡터 공간이면, 다음은 동등하다.

# $X$ 는 노름 가능하다.
# $X$ 는 원점의 유계인 근방을 가진다.
# $X$ 의 강한 쌍대 공간 $X^{\prime}_b$ 는 노름 가능하다.
# $X$ 의 강한 쌍대 공간 $X^{\prime}_b$ 는 거리화 가능 위상 벡터 공간이다.

5. 예

모든 벡터 공간에서 $\Vert v\Vert=0$ 은 반노름을 이루지만, $V$ 가 0차원이 아니라면 노름을 이루지 못한다. 이를 자명 반노름(trivial seminorm^영어)이라고 한다.

체 $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C} \}$는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 $\Vert a \Vert = |a|$은 노름이 된다. 스칼라 필드가 $\mathbb{R}$(또는 더 일반적으로 $\mathbb{C}$의 부분 집합)일 때, 이는 보통 일반적인 절댓값으로 간주되지만, 다른 선택도 가능하다. 예를 들어, $\mathbb{Q}$에 대한 벡터 공간의 경우, $|\alpha|$를 $p$-진법 절댓값으로 사용할 수 있다.

임의의 $1\le p\le\infty$에 대하여, 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 위에 L^p 노름 $\lVert\cdot\rVert_p$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\Vert\mathbf{x}\Vert_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$

$\ell^p$ 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.

5.1. 자명 반노름

모든 벡터 공간에서 자명 반노름(trivial seminorm^영어) $\Vert v\Vert=0$ 은 반노름을 이루지만, ( $V$ 가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.

5.2. 체

체 $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C} \}$ 는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 $\Vert a \Vert = |a|$ 은 노름이 된다.

스칼라 필드가 $\mathbb{R}$ (또는 더 일반적으로 $\mathbb{C}$ 의 부분 집합)일 때, 이는 보통 일반적인 절댓값으로 간주되지만, 다른 선택도 가능하다. 예를 들어, $\mathbb{Q}$ 에 대한 벡터 공간의 경우, $|\alpha|$ 를 $p$ -진법 절댓값으로 사용할 수 있다.

5.3. 유클리드 공간에서의 노름

임의의

1\le p\le\infty

에 대하여, 유클리드 공간

\mathbb R^n

위에 다음과 같은 노름

\lVert\cdot\rVert_p

을 정의할 수 있으며, 이를 L^p 노름이라고 한다.

:

\Vert\mathbf{x}\Vert_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}

여기서

p=2

인 경우는 표준적인 유클리드 노름이다.

:

\Vert\mathbf{x}\Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2 }

만약

p=\infty

일 경우는 상한 노름(supremum norm^영어)이다.

:

\Vert\mathbf{x}\Vert_\infty = \lim_{p\to\infty}\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}=\max\{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_n| \}

p=1

인 경우는 맨해튼 노름이다.

:

\Vert\mathbf{x}\Vert_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|

\ell^p

노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.

6. 선형 사상과 쌍대 공간

$\mathbb K$ -노름 공간 사이의 가장 중요한 사상은 연속 선형 변환이다. 노름은 해당 벡터 공간에서 연속 함수이며, 유한 차원 벡터 공간 사이의 모든 선형 사상 또한 연속이다.

두 노름 벡터 공간 사이의 등거리 사상은 노름을 보존하는 선형 사상 $f$ 이다 (즉, 모든 벡터 $\mathbf{v}$ 에 대해 $\|f(\mathbf{v})\| = \|\mathbf{v}\|$ ). 등거리 사상은 항상 연속이며 단사이다. 노름 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 전사 등거리 사상을 등거리 동형 사상이라고 하며, $V$ 와 $W$ 를 등거리 동형이라고 한다.

노름 벡터 공간 $V$ 의 연속 쌍대 공간 $V'$ 위에는 쌍대 노름을 부여할 수 있다.
: $\|f\|_{V'}=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac$

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{\|v\|_V}
여기서

V'

는

V

에서 기본 체(복소수 또는 실수)로 가는 모든 연속 선형 사상의 공간으로, "범함수"라고 불리는 이러한 선형 사상의 노름은

V

의 모든 단위 벡터에 대해

|\varphi(\mathbf{v})|

의 상한으로 정의된다. 이를 통해

V'

은 노름 벡터 공간이 된다. 노름 벡터 공간에 대한 연속 선형 범함수에 대한 중요한 정리로 한-바나흐 정리가 있다.

7. 반노름 공간의 몫

임의의 $\mathbb K$ -반노름 공간 $(V,\|\|)$ 에 대하여, 다음과 같은 $\mathbb K$ -부분 벡터 공간을 정의한다.

: $N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}$

그렇다면, 몫공간 $V/N$ 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.

많은 노름 공간(특히, 바나흐 공간)은 벡터 공간 위에 반노름을 정의하고, 그 다음 반노름이 0인 원소로 이루어진 부분 공간에 대한 몫공간으로서 노름 공간을 만드는 방식으로 정의된다. 예를 들어, $L^p$ 공간은 다음과 같이 정의되는 함수를 반노름으로 갖는다.

: $\|f\|_p = \Bigl( \int |f(x)|^p \;dx \Bigr)^{1/p}$

이때, 우변의 르베그 적분이 정의되고 유한한 함수 전체는 선형 공간을 이룬다. 단, 르베그 측도에 관한 영집합 위에 지지를 갖는 임의의 함수는 반노름이 0이다. 그러한 함수 전체는 부분 공간을 이루지만, 그 부분 공간으로 "나누어" 버리면, 그 함수들은 모두 영함수와 동치로 취급할 수 있다.

8. 노름 공간의 유한 직적

$n$ 개의 반노름 공간 $\left(X_i, q_i\right)$ 와 각 공간에 대한 반노름 $q_i : X_i \to \R$ 가 주어졌을 때, 곱 공간은 다음과 같이 정의된다.

: $X := \prod_{i=1}^n X_i$

이 곱 공간에서의 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

* 벡터 덧셈:
: $\left(x_1,\ldots,x_n\right) + \left(y_1,\ldots,y_n\right) := \left(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n\right)$

* 스칼라 곱셈:
: $\alpha \left(x_1,\ldots,x_n\right) := \left(\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n\right).$

이 곱 공간 $X$ 에 대한 반노름 $q : X \to \R$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $q\left(x_1,\ldots,x_n\right) := \sum_{i=1}^n q_i\left(x_i\right),$

이 함수 $q$ 는 $X$ 의 반노름이며, 모든 $q_i$ 가 노름일 때에만 노름이 된다.

더 일반적으로, 각 실수 $p \geq 1$ 에 대해 다음과 같이 정의되는 사상 $q : X \to \R$ 도 반노름이다.

: $q\left(x_1,\ldots,x_n\right) := \left(\sum_{i=1}^n q_i\left(x_i\right)^p\right)^{\frac{1}{p}}$

이때, 각 $p$ 값에 관계없이 이 정의로부터 얻어지는 위상 공간은 동일하다.

설명	거리가 정의된 벡터 공간

특징

노름 유도 거리	노름에 의해 유도된 거리 공간임

참고

관련 문서	노름