폐포 연산자

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 폐포 연산자
- 2.2. 대수적 폐포 연산자
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

폐포 연산자는 부분 순서 집합에서 정의되는 함수로, 확장성, 증가성, 멱등성의 세 가지 조건을 만족한다. 대수적 폐포 연산자는 대수적 격자에서 정의되며, 추가적인 조건을 만족한다. 폐포 연산자는 격자, 완비 격자, 대수적 격자 등 다양한 구조에서 성질을 가지며, 닫힌 원소들의 집합은 격자를 이룬다. 또한, 갈루아 연결, 위상수학적 폐포, 소근기 등 다양한 수학적 개념과 연관되어 있으며, 논리학 및 대수학에서도 활용된다. 폐포 연산자는 특히 부분군 생성, 선형 덮개, 볼록 껍질 등과 관련하여 다양한 예시를 가진다. 이 개념은 E.H. 무어의 연구에서 시작되었으며, 위상 공간과 관련된 부분 집합의 폐포 개념에서 발전했다.

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폐포 연산자
기본 정보
종류	수학적 연산
분야	격자 이론
성질	단조성, 확장성, 멱등성
정의
정의	어떤 집합의 멱집합에서 자기 자신으로 가는 함수로서, 특정 공리들을 만족하는 함수
한국어 명칭	폐포 연산자, 닫힘 연산자
영어 명칭	Closure operator
설명	주어진 집합의 "닫힘"을 구하는 연산
예시
예시	집합의 위상 폐포 군론에서의 부분군 생성 선형대수학에서의 선형span 볼록 hull

2. 정의

부분 순서 집합 $(P,\le)$ 위의 '''폐포 연산자'''는 다음 세 조건을 만족시키는 함수 $c\colon P\to P$이다.

성질	설명
$x\le c(x)$	확장성
$x\le y\implies c(x)\le c(y)$	증가성
$c(c(x))=c(x)$	멱등성

더 간결하게는, 다음 단일 공리와 동등하다.

:$x\le c(y)$는 $c(x)\le c(y)$인 경우에만 해당한다.

이는 $P$의 모든 $x, y$에 적용된다.

범주론적으로, 폐포 연산자는 (범주로 본) 부분 순서 집합 위의 모나드이다. 즉, 부분 순서 집합 $P$에 대한 폐포 연산자는 범주 $P$에 대한 모나드이며, 추가적인 ''멱등원'' 및 ''광역적'' 속성을 갖는 부분 순서 집합의 범주에 대한 자기 함자(endofunctor)로 볼 수 있다.

폐포 연산자 $c$가 주어진 부분 순서 집합 $(P,\le)$의 '''닫힌 원소'''(closed element^영어)는 $x=c(x)$인 원소 $x\in P$이다. 이는 $c(x)$ 꼴의 원소와 동치이다. 닫힌 원소들의 집합은 ($P$의 순서를 물려받았을 때) 부분 순서 집합 $c[P]$을 이룬다. 함수의 고정점, 즉 ''c'' = ''c''를 만족하는 ''P''의 원소 ''c''는 '''폐포 원소'''라고 한다. 부분 순서 집합에 대한 폐포 연산자는 폐포 원소에 의해 결정된다. ''c''가 폐포 원소인 경우, ''x'' ≤ ''c''와 ''x'' ≤ ''c''는 동등한 조건이다.

만약 $P$가 어떤 집합 $S$의 부분 집합들을 모은 멱집합 $\operatorname{Pow}(S)$이라면, $c$는 단순히 '''$S$ 위의 폐포 연산자'''라고 하고, 닫힌 원소는 '''닫힌집합'''이라고 부른다.

E. H. 무어는 1910년 저서 《일반해석의 한 형태의 소개(Introduction to a form of general analysis)》에서 폐포 연산자를 연구했으며, 부분 집합의 폐포 개념은 위상 공간과 관련하여 프리제스 리스의 연구에서 비롯되었다.^[2]

2. 1. 폐포 연산자

부분 순서 집합 $(P,\le)$ 위의 '''폐포 연산자'''는 다음 세 조건을 만족시키는 함수 $c\colon P\to P$이다. 임의의 $x,y\in P$에 대하여,

(확장성) $x\le c(x)$
(증가성) $x\le y\implies c(x)\le c(y)$
(멱등성) $c(c(x))=c(x)$

범주론적으로, 폐포 연산자는 (범주로 본) 부분 순서 집합 위의 모나드이다.

폐포 연산자 $c$가 주어진 부분 순서 집합 $(P,\le)$의 '''닫힌 원소'''(closed element^영어)는 $x=c(x)$인 원소 $x\in P$이다. 이는 $c(x)$ 꼴의 원소와 동치이다. 닫힌 원소들의 집합은 ($P$의 순서를 물려받았을 때) 부분 순서 집합 $c[P]$을 이룬다.

만약 $P$가 어떤 집합 $S$의 부분 집합들을 모은 멱집합 $\operatorname{Pow}(S)$이라면, $c$는 단순히 '''$S$ 위의 폐포 연산자'''라고 하고, 닫힌 원소는 '''닫힌집합'''이라고 부른다.

E. H. 무어는 1910년 저서 《일반해석의 한 형태의 소개(Introduction to a form of general analysis)》에서 폐포 연산자를 연구했으며, 부분 집합의 폐포 개념은 위상 공간과 관련하여 프리제스 리스의 연구에서 비롯되었다.^[2]

부분 순서 ''P''에서 자신으로의 함수 cl: ''P'' → ''P''는 모든 ''P''의 원소 ''x'', ''y''에 대해 다음 공리를 만족하면 폐포 연산자라고 한다.

성질	설명
x ≤ cl(x)	cl은 광역적이다.
x ≤ y는 cl(x) ≤ cl(y)를 의미한다.	cl은 증가적이다.
cl(cl(x)) = cl(x)	cl은 멱등원이다.

더 간결한 대안도 있는데, 위의 정의는 다음 단일 공리와 동등하다.

:''x'' ≤ cl(''y'')는 cl(''x'') ≤ cl(''y'')인 경우에만 해당한다.

이는 ''P''의 모든 ''x'', ''y''에 적용된다.

함수 cl의 고정점, 즉 cl(''c'') = ''c''를 만족하는 ''P''의 원소 ''c''는 '''폐포 원소'''라고 한다. 부분 순서 집합에 대한 폐포 연산자는 폐포 원소에 의해 결정된다. ''c''가 폐포 원소인 경우, ''x'' ≤ ''c''와 cl(''x'') ≤ ''c''는 동등한 조건이다.

어떤 부분 순서 집합 ''P''도 범주론적으로 볼 수 있는데, ''x'' ≤ ''y''인 경우에만 ''x''에서 ''y''로의 단일 사상을 갖는다. 그러면 부분 순서 집합 ''P''에 대한 폐포 연산자는 범주 ''P''에 대한 모나드에 지나지 않는다. 동등하게, 폐포 연산자는 추가적인 ''멱등원'' 및 ''광역적'' 속성을 갖는 부분 순서 집합의 범주에 대한 자기 함자(endofunctor)로 볼 수 있다.

2. 2. 대수적 폐포 연산자

대수적 격자

L

위의 폐포 연산자

c\colon L\to L

가 다음 조건을 만족시키면, '''대수적 폐포 연산자'''(algebraic closure operator^영어)라고 한다.

임의의 $x\in L$ 에 대하여, $\textstyle c(x)=\bigvee_{y\ll y\le x}c(y)$

여기서

y\ll y

는

y

가

L

의 콤팩트 원소임을 나타낸다. 예를 들어,

L=\operatorname{Pow}(S)

가 멱집합인 경우, 콤팩트 원소는

S

의 유한 부분 집합이며, 대수적 폐포 연산자 조건은 임의의 집합의 폐포가 유한 부분 집합들의 폐포의 합집합임을 나타낸다.

3. 성질

집합 $S$ 의 부분 집합들의 집합 $\mathcal C\subseteq\operatorname{Pow}(S)$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[12]

$\mathcal C$ 는 어떤 폐포 연산자 $c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)$ 의 닫힌 원소들의 집합이다.
(임의 교집합에 대한 닫힘) 임의의 $\mathcal F\subset\mathcal C$ 에 대하여, $\textstyle\bigcap\mathcal F\in\mathcal C$ 이다.

집합

S

의 부분 집합들의 집합

\mathcal C\subseteq\operatorname{Pow}(S)

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[12]

$\mathcal C$ 는 어떤 대수적 폐포 연산자 $c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)$ 의 닫힌 원소들의 집합이다.
다음 두 조건을 만족시킨다.
(임의 교집합에 대한 닫힘) 임의의 $\mathcal F\subset\mathcal C$ 에 대하여, $\textstyle\bigcap\mathcal F\in\mathcal C$ 이다.
(사슬의 합집합에 대한 닫힘) 임의의 사슬 $\mathcal F\subset\mathcal C$ 에 대하여, $\textstyle\bigcup\mathcal F\in\mathcal C$ 이다.

주어진 폐포 연산자의 모든 닫힌 집합을 생성하기 위한 간단하고 빠른 알고리즘이 존재한다.^[5]

3. 1. 순서론적 성질

격자

(L,\vee,\wedge)

및 폐포 연산자

c\colon L\to L

에 대하여,

c[L]

은 다음과 같은 이음·만남 연산에 대하여 격자를 이룬다.^[11]

연산	정의
$x\vee_{c[L]}y$	$c(x\vee y)$
$x\wedge_{c[L]}y$	$x\wedge y$

마찬가지로, 완비 격자 $L$ 및 폐포 연산자 $c\colon L\to L$ 에 대하여, $c[L]$ 은 다음 상한·하한에 대하여 완비 격자를 이룬다.^[11]

연산	정의
$\bigvee\nolimits_{c[L]}S$	$c\left(\bigvee S\right)$
$\bigwedge\nolimits_{c[L]}S$	$\bigwedge S$

대수적 격자 $L$ 및 대수적 폐포 연산자 $c\colon L\to L$ 가 주어졌을 때, $c[L]$ 은 완비 격자이며, $c[L]$ 의 콤팩트 원소는 정확히 원래 격자의 콤팩트 원소의 폐포이다.^[11] 반대로, 모든 완비 격자는 폐포 연산자가 주어진 멱집합의 닫힌 원소 격자와 동형이며, 모든 대수적 격자는 대수적 폐포 연산자가 주어진 멱집합의 닫힌 원소 격자와 동형이다.^[11]

닫힌 원소들이 대수적 격자를 이루는 대수적 격자 위의 폐포 연산자는 대수적 폐포 연산자일 필요가 없다.^[11]

완비 격자 위의 폐포 연산자들의 (점별 순서에 의한) 부분 순서 집합은 완비 격자를 이룬다.^[11] 대수적 격자 위의 대수적 폐포 연산자들의 (점별 순서에 의한) 부분 순서 집합은 대수적 격자를 이룬다.^[11] 이는 폐포 연산자 격자의 부분 격자이지만, 부분 완비 격자가 아닐 수 있다.^[11]

3. 2. 닫힌 원소 집합일 조건

집합

S

의 부분 집합들의 집합

\mathcal C\subseteq\operatorname{Pow}(S)

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[12]

$\mathcal C$ 가 어떤 폐포 연산자 $c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)$ 의 닫힌 원소들의 집합이다.
(임의 교집합에 대한 닫힘) 임의의 $\mathcal F\subset\mathcal C$ 에 대하여, $\textstyle\bigcap\mathcal F\in\mathcal C$ 이다.

집합

S

의 부분 집합들의 집합

\mathcal C\subseteq\operatorname{Pow}(S)

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[12]

$\mathcal C$ 가 어떤 대수적 폐포 연산자 $c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)$ 의 닫힌 원소들의 집합이다.
다음 두 조건을 만족시킨다.
* (임의 교집합에 대한 닫힘) 임의의 $\mathcal F\subset\mathcal C$ 에 대하여, $\textstyle\bigcap\mathcal F\in\mathcal C$ 이다.
* (사슬의 합집합에 대한 닫힘) 임의의 사슬 $\mathcal F\subset\mathcal C$ 에 대하여, $\textstyle\bigcup\mathcal F\in\mathcal C$ 이다.

3. 3. 타르스키 여분이 없는 기저 정리

집합

S

위의 폐포 연산자

c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)

가 계수

n

의 폐포 연산자라는 것은

c=\phi_{c,n}^\omega

인 경우를 말한다. 여기서

\phi_{c,n}(X)=\bigcup_{Y\subseteq X}^

4. 예

다음은 폐포 연산자의 다양한 예시이다.

부분 순서 집합 $P$	$P$ 의 콤팩트 원소	$P$ 의 대수적 격자 여부	닫힌 원소들의 집합 $c[P]$	$c[P]$ 의 콤팩트 원소	$c[P]$ 의 대수적 격자 여부	폐포 연산자 $c\colon P\to P$	대수적 폐포 연산자 여부
위상 공간 $X$ 의 멱집합 $\operatorname{Pow}(X)$	$X$ 의 유한 부분 집합	참	위상수학적 닫힌집합의 격자	유한 집합의 폐포	거짓일 수 있음	위상수학적 폐포	거짓일 수 있음
가환환 $R$ 의 아이디얼 격자	유한 생성 아이디얼		반소 아이디얼 격자	주 아이디얼의 소근기	참^[13]	소근기^[14]	참
부호수 $F$ 의 대수 구조 $(A,F_A)$ 의 멱집합 $\operatorname{Pow}(A)$	$A$ 의 유한 부분 집합		부분 대수 격자 $\operatorname{Sub}(A)$	유한 생성 부분 대수	참	$S\mapsto\bigcup_{n=0}^\infty e^n(S)$	참
부호수 $F$ 의 대수 구조 $(A,F_A)$ 위의 이항 관계의 집합 $\operatorname{Pow}(A\times A)$	유한 이항 관계		합동 관계 격자 $\operatorname{Cong}(A)$	유한 생성 합동 관계	참	$S\mapsto\bigcup_{n=0}^\infty f^n(S)$	참

여기서,

부호수 $F$ 의 대수 구조 $(A,F_A)$ 의 부분 집합 $S\subseteq A$ 에 대하여,

e(S)=S\cup\bigcup_{f\in F}f_A[\underbrace{S\times\cdots\times S}_{n_f}]

부호수 $F$ 의 대수 구조 $(A,F_A)$ 위의 이항 관계 $S\subseteq A\times A$ 에 대하여,

\begin{align}    f(S)={} & S\cup\{(a,a)\colon a\in A\}\cup\{(b,a)\colon(a,b)\in S\}\cup\{(a,c)\colon(a,b),(b,c)\in S\} \\    &{}\cup\bigcup_{f\in F}\{(f_A(a_1,\dots,a_{n_f}),f_A(b_1,\dots,b_{n_f}))\colon(a_1,b_1),\dots,(a_{n_f},b_{n_f})\in S\}    \end{align}

임의의 군에서 부분군을 생성하는 함수는 계수가 3인 폐포 연산자이다. 위상수학에서 사용되는 집합의 폐포는 폐포 연산자의 일반적인 예시이며, 이 외에도 벡터 공간 부분 집합의 선형 덮개나 볼록 껍질 등이 있다.

4. 1. 위상수학

위상 공간의 멱집합에서 정의된 위상수학적 폐포는 폐포 연산자의 한 예이다. 위상 공간

X

의 멱집합

\operatorname{Pow}(X)

에서 닫힌 원소들의 집합은 위상수학적 닫힌집합의 격자이다.^[13]

위상수학에서 폐포 연산자는 '위상적' 폐포 연산자이며, 이는 모든 자연수

n

에 대해 다음을 만족해야 한다는 것을 의미한다.

:

\operatorname{cl}(X_1 \cup\dots\cup X_n) = \operatorname{cl}(X_1)\cup\dots\cup \operatorname{cl}(X_n)

(여기서

n=0

인 경우,

\operatorname{cl}(\varnothing)=\varnothing

가 성립한다.)

위상 공간의 부분 집합 ''X''의 위상 폐포는 ''X''의 모든 근방이 ''X''의 점을 포함하는 공간의 모든 점 ''y''로 구성된다. 모든 부분 집합 ''X''에 해당 폐포를 연관시키는 함수는 위상 폐포 연산자이다. 반대로, 집합에 대한 모든 위상 폐포 연산자는 닫힌 집합이 폐포 연산자에 대한 닫힌 집합과 정확히 일치하는 위상 공간을 생성한다.

4. 2. 대수학

보편 대수학에서 '''대수적 폐포 연산자'''(代數的閉包演算子, algebraic closure operator^영어)는 대수적 격자

L

위의 폐포 연산자

c\colon L\to L

가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

임의의 $x\in L$ 에 대하여, $\textstyle c(x)=\bigvee_{y\ll y\le x}c(y)$

여기서

y\ll y

는

y

가

L

의 콤팩트 원소임을 나타낸다.

L=\operatorname{Pow}(S)

가 멱집합인 경우, 콤팩트 원소는

S

의 유한 부분 집합이며, 대수적 폐포 연산자 조건은 임의의 집합의 폐포가 유한 부분 집합들의 폐포의 합집합임을 나타낸다.^[2]

일반적으로, 벡터 공간의 부분 집합의 선형 덮개를 구하는 함수가 대수적 폐포 연산자의 예시이다. 또한, 군의 모든 부분 집합에 의해 생성된 부분군을 연관시키는 함수와 체 및 기타 모든 유형의 대수 구조에도 대수적 폐포 연산자가 적용된다.

벡터 공간의 선형 덮개와 체의 유사한 대수적 폐포는 모두 ''교환 성질''을 만족한다. 즉, ''x''가 ''A''와 {''y''}의 합집합의 폐포에 있지만 ''A''의 폐포에는 없는 경우, ''y''는 ''A''와 {''x''}의 합집합의 폐포에 있다. 이 성질을 가진 유한 폐포 연산자는 매트로이드라고 불린다. 벡터 공간의 차원 또는 (그 소체에 대한) 체의 초월 차수는 해당 매트로이드의 랭크와 정확히 일치한다.

주어진 체의 모든 부분 집합을 해당 대수적 폐포에 매핑하는 함수 또한 유한 폐포 연산자이며, 일반적으로 이전에 언급된 연산자와는 다르다.

''n''차원 유클리드 공간의 볼록 껍질은 유한 폐포 연산자의 또 다른 예이다. 이는 ''반교환 성질''을 만족한다. 즉, ''x''가 {''y''}와 ''A''의 합집합의 폐포에 있지만 {''y''}와 ''A''의 폐포의 합집합에는 없는 경우, ''y''는 {''x''}와 ''A''의 합집합의 폐포에 없다. 이 성질을 가진 유한 폐포 연산자는 반매트로이드를 발생시킨다.

어떤 대수 구조가 우주 ''A''를 가지고 있고 ''X''가 ''A''의 쌍의 집합인 경우, ''X''에 ''X''를 포함하는 가장 작은 합동 관계를 할당하는 연산자는 ''A x A''에 대한 유한 폐포 연산자이다.^[4]

4. 3. 논리학

논리적 형식에서, 어떤 규칙에 따라 주어진 공식으로부터 새로운 공식을 유도할 수 있다고 가정한다. 이때 가능한 모든 공식의 집합을 ''F''라 하고, ⊆에 의해 정렬된 ''F''의 멱집합을 ''P''라고 한다. 공식 집합 ''X''에 대해, cl(''X'')를 ''X''로부터 유도될 수 있는 모든 공식의 집합이라고 하면, cl은 ''P''에 대한 폐포 연산자가 된다.^[2]

모든 방향 클래스 ''T''에 대해, ''J''(lim ''T'') = lim ''J''(''T'')인 연산자 ''J''를 "연속적"이라고 한다. 이 연속성 조건은 ''J''에 대한 고정점 정리를 기반으로 한다. 단조 논리의 한 단계 연산자 ''J''는 공식의 집합 ''X''를 논리적 공리이거나, ''X''에 있는 공식으로부터 추론 규칙에 의해 얻어지거나, ''X''에 있는 공식의 집합 ''J''(''X'')와 연관시키는 연산자이다. 그러면 그러한 연산자는 연속적이며, cl(''X'')를 ''X''보다 크거나 같은 ''J''의 최소 고정점으로 정의할 수 있다.

이러한 관점에 따라, 알프레드 타르스키, 브라운, 수슈코(Roman Suszko) 등은 폐포 연산자 이론에 기반한 논리에 대한 일반적인 접근 방식을 제안했다.^[2] 또한, 이러한 아이디어는 프로그래밍 논리와 퍼지 논리에서도 제안되었다.

1930년경, 알프레드 타르스키는 논리적 계산법의 몇 가지 속성을 모델링하는 논리적 연역에 대한 추상적인 이론을 개발했다. 이는 집합(‘문장’ 집합)에 대한 유한 폐포 연산자이며,^[2] 추상 대수 논리에서 유한 폐포 연산자는 여전히 타르스키가 만든 용어인 '귀결 연산자'라는 이름으로 연구된다. 집합 ''S''는 문장의 집합을 나타내고, ''S''의 부분 집합 ''T''는 이론을 나타내며, cl(''T'')는 이론에서 파생되는 모든 문장의 집합이다. 오늘날 이 용어는 유한할 필요가 없는 폐포 연산자를 지칭할 수 있으며, 유한 폐포 연산자는 때때로 '''유한 귀결 연산자'''라고 불린다.

4. 4. 부분 순서 집합

부분 순서 집합

(P,\le)

위의 '''폐포 연산자'''는 다음 세 가지 조건을 만족하는 함수

c\colon P\to P

이다. 임의의

x,y\in P

에 대하여,

(확장성) $x\le c(x)$
(증가성) $x\le y\implies c(x)\le c(y)$
(멱등성) $c(c(x))=c(x)$

범주론적으로, 폐포 연산자는 (범주로 본) 부분 순서 집합 위의 모나드이다.

폐포 연산자

c

가 주어진 부분 순서 집합

(P,\le)

의 '''닫힌 원소'''(closed element^영어)는

x=c(x)

인 원소

x\in P

이다. 이는

c(x)

꼴의 원소와 동치이다. 닫힌 원소들의 집합은 (

P

의 순서를 물려받았을 때) 부분 순서 집합

c[P]

을 이룬다.

(범주로 본) 두 부분 순서 집합

(P,\le_P)

,

(Q,\le_Q)

사이의 수반 함자의 쌍, 즉 갈루아 연결이 주어졌을 때,

:

gf\colon P\to P

:

fg\colon Q\to Q

는 각각

P

와

Q

위의 폐포 연산자를 이룬다.

부분 순서 집합에서, 항등 함수 id_''P''에 대해 ''k'' ≤ id_''P''를 만족하는 자체 사상 ''k''는 '''커널 연산자''',^[7] '''내부 연산자''',^[8] 또는 '''쌍대 폐포'''라고 불린다.^[9] 예를 들어, 집합 ''B''의 부분 집합 ''A''에 대해, ''λ_A''(''X'') = ''A'' ∩ ''X''는 커널 연산자이다. 실수에서 실수로의 천장 함수는 폐포 연산자의 예시이다.

함수 cl의 고정점 ''c''는 '''폐포 원소'''라고 한다. 부분 순서 집합에 대한 폐포 연산자는 폐포 원소에 의해 결정된다. ''c''가 폐포 원소인 경우, ''x'' ≤ ''c''와 cl(''x'') ≤ ''c''는 동등한 조건이다.

모든 갈루아 연결은 폐포 연산자를 생성하며,^[10] 모든 폐포 연산자는 갈루아 연결로부터 발생한다. 폐포 연산자 cl을 생성하는 하나의 갈루아 연결은 다음과 같다. ''A''가 cl에 대한 폐포 원소 집합인 경우, cl: ''P'' → ''A''는 ''P''와 ''A'' 간의 갈루아 연결의 하위 인접이며, 상위 인접은 ''A''를 ''P''로 임베딩하는 것이다.

범주론적으로 부분 순서 집합 ''P''는 ''x'' ≤ ''y''인 경우에만 ''x''에서 ''y''로의 단일 사상을 갖는 범주이다. 따라서 부분 순서 집합 ''P''에 대한 폐포 연산자는 범주 ''P''에 대한 모나드이다.

''P''가 완비 격자인 경우, ''P''의 부분 집합 ''A''가 ''P''에 대한 어떤 폐포 연산자에 대한 폐포 원소 집합이 되려면, ''A''가 ''P''에 대한 '''무어족'''이어야 한다. 즉, ''P''의 가장 큰 원소가 ''A''에 있고, ''A''의 비어 있지 않은 부분 집합의 하한 (만남)도 다시 ''A''에 있어야 한다. 그러한 집합 ''A''는 자체적으로 ''P''에서 상속된 순서를 갖는 완비 격자이다. ''P''가 집합 ''X''의 멱집합 불 대수인 경우, ''P''에 대한 무어족은 ''X''에 대한 '''폐포 시스템'''이라고 불린다.

5. 역사

폐포 연산자에 관한 연구는 E. H. 무어가 1910년에 쓴 《일반해석의 한 형태의 소개(Introduction to a form of general analysis)》라는 책에서 처음으로 등장한다.^[2]

E. H. 무어는 이 책에서 폐포 연산자를 연구했으며, 부분 집합의 폐포 개념은 프리제스 리스가 위상 공간과 관련하여 연구한 것에서 비롯되었다.^[2] 당시에는 이러한 개념이 정형화되지 않았지만, 폐포의 개념은 19세기 후반 에른스트 슈뢰더, 리하르트 데데킨트, 게오르크 칸토어의 주목할 만한 기여와 함께 시작되었다.^[2]

참조

_[1] 논문 On critical sets of a finite Moore family https://doi.org/10.1[...] 2009-11-14
_[2] 서적 Closure American Mathematical Society 2009
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_[4] 문서 Universal Algebra 2012
_[5] 문서 Algorithm 1
_[6] 문서 Section 3.2
_[7] 문서 p. 26
_[8] 문서 p. 2, uses closure (resp. interior) operation
_[9] 문서 p. 10
_[10] 문서 p. 10
_[11] arXiv The lattice of algebraic closure operators 2014
_[12] 서적 A course in universal algebra https://www.math.uwa[...] Springer 2022-08-08
_[13] 저널 Ring theory and pointfree topology 2004
_[14] 서적 Progress in commutative algebra 2. Closures, finiteness and factorization Walter de Gruyter 2012

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성질	설명
\(x\le c(x)\)	확장성
\(x\le y\implies c(x)\le c(y)\)	증가성
\(c(c(x))=c(x)\)	멱등성