메르텐스 정리 (수론)

1. 개요

메르텐스 정리는 소수와 관련된 세 개의 정리로 구성되며, 소수의 분포에 대한 정보를 제공한다. 제1정리는 소수 p에 대해 ∑(log p)/p를 log n으로 근사할 수 있음을 나타내며, 제2정리는 소수 p에 대해 ∑1/p를 log log n으로 근사할 수 있음을 보여준다. 제3정리는 소수 p에 대해 ∏(1 - 1/p)를 log n으로 근사할 수 있음을 나타내며, 오일러-마스케로니 상수와 관련이 있다. 각 정리는 란다우 기호를 사용하여 표현되며, 메르텐스 제2정리와 제3정리에서는 부호 변화에 대한 연구 결과도 제시된다.

2. 메르텐스의 제1정리

메르텐스 제1 정리는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{p\; \backslash le\; n\}\; \backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; -\; \backslash log\; n$

위 식의 값은 임의의 $n\backslash ge\; 2$에 대해 절댓값이 2를 초과하지 않는다.

$p$가 소수를 나타낼 때, 메르텐스의 제1정리는 다음 평가식으로 표현될 수도 있다.
:$\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}=\backslash log\; n+O(1)$
여기서 O는 란다우 기호이다.

3. 메르텐스의 제2정리

마이셀-메르텐스 상수 $M$은 다음과 같이 정의된다.
$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left(\backslash sum\_\{p\backslash le\; n\}\backslash frac1p\; -\backslash ln\backslash ln\; n\backslash right)\; =\; M\; \backslash approx\; 0.2614972128\backslash ldots$

메르텐스 제2정리는 이 상수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left(\backslash sum\_\{p\backslash le\; n\}\backslash frac1p\; -\backslash ln\backslash ln\; n-M\backslash right)\; =0$

이는 $n$이 커짐에 따라 합 $\backslash sum\_\{p\backslash le\; n\}\backslash frac1p$과 $\backslash ln\backslash ln\; n\; +\; M$의 차이가 0에 수렴함을 의미한다. 메르텐스는 이 차이의 절댓값이 임의의 $n\backslash ge\; 2$에 대해 다음 값을 넘지 않음을 증명했다.

:$\backslash left|\; \backslash sum\_\{p\backslash le\; n\}\backslash frac1p\; -\backslash ln\backslash ln\; n-M\; \backslash right|\; \backslash le\; \backslash frac\; 4\{\backslash ln(n+1)\}\; +\backslash frac\; 2\{n\backslash ln\; n\}$

메르텐스의 세 가지 정리는 소수의 분포에 관한 중요한 결과들을 담고 있으며, 점근적인 형태로 표현된다. $p$가 소수를 나타낼 때, 각 정리는 다음과 같이 요약될 수 있다. 여기서 O와 o는 란다우 기호이다.

* 제1정리: $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash ln\; p\}\{p\}=\backslash ln\; n+O(1)$
* 제2정리: $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{1\}\{p\}=\backslash ln\backslash ln\; n+M+o(1)$
* 제3정리: $\backslash prod\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)=\backslash frac\{e^\{-\backslash gamma\}+o(1)\}\{\backslash ln\; n\}$ (여기서 $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.)

3.1. 메르텐스 제2정리의 부호 변화

1983년에 발표된 논문에서 가이 로빈은 메르텐스 제2정리에서 나타나는 차이
:$\backslash sum\_\{p\backslash le\; n\}\backslash frac1p\; -\backslash log\backslash log\; n-M$
가 무한히 자주 부호를 바꾼다는 사실을 증명했다. 여기서 $M$은 마이셀-메르텐스 상수이다. 또한, 메르텐스 제3정리에서 나타나는 차이
:$\backslash log\; n\backslash prod\_\{p\backslash le\; n\}\backslash left(1-\backslash frac1p\backslash right)-e^\{-\backslash gamma\}$
역시 무한히 자주 부호를 바꾼다는 것을 증명했다. 여기서 $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.

로빈의 이러한 결과는 소수 정리와 관련된 함수 $\backslash pi(x)\; -\; \backslash operatorname\{li\}(x)$의 차이가 무한히 자주 부호를 바꾼다는 리틀우드의 유명한 정리와 유사하다. ($\backslash pi(x)$는 소수 계량 함수, $\backslash operatorname\{li\}(x)$는 로그 적분 함수이다.) 하지만 메르텐스 제2정리와 제3정리의 경우, 스큐어스 수 ($\backslash pi(x)\; >\; \backslash operatorname\{li\}(x)$를 만족하는 첫 번째 자연수 $x$의 상한)와 같은 구체적인 부호 변경 지점에 대한 결과는 아직 알려져 있지 않다.

4. 메르텐스의 제3정리

메르텐스 제3 정리는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash log\; n\backslash prod\_\{p\backslash le\; n\}\backslash left(1-\backslash frac1p\backslash right)=e^\{-\backslash gamma\}\; \backslash approx\; 0.561459483566885$

여기서 $p$는 소수를 나타내고, $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.

메르텐스의 정리들은 소수의 분포에 관한 세 가지 주요 평가식을 포함한다. $p$가 소수를 나타낼 때, 충분히 큰 $n$에 대해 다음 평가가 성립한다.

:$\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}=\backslash log\; n+O(1)$
:$\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{1\}\{p\}=\backslash log\backslash log\; n+b+o(1)$
:$\backslash prod\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)=\backslash frac\{e^\{-\backslash gamma\}+o(1)\}\{\backslash log\; n\}$

여기서 $O$와 $o$는 란다우 기호이다. 이 세 부등식을 순서대로 메르텐스의 제1정리, 제2정리, 제3정리라고 부른다. 제2정리에 나타나는 상수 $b$는 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant^영어)라고 한다.

4.1. 메르텐스 제3정리의 부호 변화

$p$를 소수라 하고, $\backslash gamma$를 오일러-마스케로니 상수라 하면, 다음 등식이 성립한다.
:
이것은 제타 함수와 관계가 있는 유명한 식이다.

또는 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:$\backslash prod\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)\; \backslash sim\; \backslash frac\{e^\{-\backslash gamma\}\}\{\backslash ln\; n\}$

5. 증명

메르텐스의 세 가지 정리에 대한 증명은 각각 아래의 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

5.1. 메르텐스 제1정리의 증명

소수 $p$가 $n$의 팩토리얼 $n!$을 나누는 횟수를 $e(p,\; n)$이라고 하면, 르장드르 공식에 의해 다음 식이 성립한다.
: $e(n,\; p)=\backslash sum\_\{i=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left\; \backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{p^i\}\; \backslash right\; \backslash rfloor$
이 식으로부터 $e(n,\; p)$에 대한 다음 부등식을 얻는다.
:
한편, $\backslash log\; n!$은 소수들의 거듭제곱으로 인수분해하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
: $\backslash log\; n!=\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\; e(n,\; p)\backslash log\; p$
위의 $e(n,\; p)$에 대한 부등식을 이용하면 $\backslash log\; n!$에 대해 다음 부등식이 성립한다.
:
이 부등식의 좌변과 우변을 각각 정리하여 $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}$에 대한 상계와 하계를 유도할 수 있다.

상계 유도:
좌변 부등식 $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash log\; p\backslash left(\backslash frac\{n\}\{p\}-1\backslash right)\backslash leq\; \backslash log\; n!$ 을 정리하면 다음과 같다.
: $n\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; -\; \backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash log\; p\; \backslash leq\; \backslash log\; n!$
: $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash left(\backslash log\; n!\; +\; \backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash log\; p\backslash right)$
여기서 체비쇼프 함수의 초등적인 평가에 의해 제1 체비쇼프 함수 $\backslash theta(n)\; =\; \backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash log\; p$ 에 대해 다음이 성립한다.
:
또한, 팩토리얼의 증가 정도에 대한 근사식 (스털링 공식보다 약하지만 유도하기 쉬운 형태)은 다음과 같다.
: $\backslash log\; n!\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash log\; k\; =\; n\backslash log\; n\; -\; n\; +\; O(\backslash log\; n)$
이 두 결과를 위 부등식에 대입하면,
: $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; (n\backslash log\; n\; -\; n\; +\; O(\backslash log\; n)\; +\; 2n\backslash log\; 2)\; =\; \backslash log\; n\; -\; 1\; +\; 2\backslash log\; 2\; +\; O(\backslash frac\{\backslash log\; n\}\{n\})$
따라서 충분히 큰 $n$에 대해 $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; \backslash leq\; \backslash log\; n\; +\; C\_1$ 를 만족하는 상수 $C\_1$ (예: $2\backslash log\; 2\; -\; 1\; +\; \backslash epsilon$)이 존재한다.

하계 유도:
원래 부등식의 우변 을 이용한다.
:
여기서 $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p(p-1)\}$ 부분은 $n$이 무한대로 갈 때 수렴하는 값이다. 왜냐하면,
:
이고, 우변의 급수는 예를 들어 $\backslash sum\_\{k=2\}^\backslash infty\; \backslash frac\{2\backslash log\; k\}\{k^2\}$ 와 비교하여 수렴함을 알 수 있다. 따라서 $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p(p-1)\}\; =\; C\_2\; -\; \backslash delta\_n$ 형태이며, 여기서 $C\_2\; =\; \backslash sum\_\{p\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p(p-1)\}$ 는 상수이고 $\backslash delta\_n\; \backslash to\; 0$ 이다.
이를 다시 부등식에 적용하고 $\backslash log\; n!\; =\; n\backslash log\; n\; -\; n\; +\; O(\backslash log\; n)$ 을 대입하면,
:
양변을 $n$으로 나누고 정리하면,
:
: $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; >\; \backslash log\; n\; -\; 1\; -\; C\_2\; +\; O(\backslash frac\{\backslash log\; n\}\{n\})\; +\; \backslash delta\_n$
따라서 충분히 큰 $n$에 대해 $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; \backslash geq\; \backslash log\; n\; -\; C\_3$ 를 만족하는 상수 $C\_3$ (예: $1\; +\; C\_2\; +\; \backslash epsilon$)가 존재한다.

결론:
위에서 유도한 상계와 하계 $\backslash log\; n\; -\; C\_3\; \backslash leq\; \backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; \backslash leq\; \backslash log\; n\; +\; C\_1$ 로부터 다음이 성립한다.
: $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}\; =\; \backslash log\; n\; +\; O(1)$
이는 메르텐스 제1정리의 내용이다. 즉, 는 $n\backslash to\backslash infty$일 때 O(1)이며, 어떤 상수로 수렴한다. 이 수렴값은 약 $1.3325822757..$(OEIS,A083343)이다.

5.2. 메르텐스 제2정리의 증명

메르텐스 제2정리의 증명의 주요 단계는 다음과 같다.
:$O(n)+n\backslash log\; n=\backslash log\; n!\; =\backslash sum\_\{p^k\backslash le\; n\}\; \backslash lfloor\; n/p^k\backslash rfloor\backslash log\; p\; =$
\sum_{p^k\le n} \left(\frac{n}{p^k}+O(1)\right)\log p= n \sum_{p^k\le n}\frac{\log p}{p^k}\ + O(n)
여기서 마지막 등식은 $\backslash sum\_\{p^k\backslash le\; n\}\backslash log\; p\; =O(n)$을 필요로 하는데, 이는 $\backslash sum\_\{p\backslash in\; (n,2n]\}\backslash log\; p\backslash le\; \backslash log\{2n\backslash choose\; n\}=O(n)$에서 따른다.

따라서 다음을 증명했다.
:$\backslash sum\_\{p^k\backslash le\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p^k\}=\backslash log\; n+O(1)$.
$k\; \backslash ge\; 2$인 소수 거듭제곱에 대한 합은 수렴하므로, 이는 다음을 의미한다.
:$\backslash sum\_\{p\backslash le\; n\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\}=\backslash log\; n+O(1)$.
부분합 공식을 적용하면 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{p\backslash le\; n\}\; \backslash frac1\{p\}\; =\; \backslash log\backslash log\; n+M+O(1/\backslash log\; n)$.
$S(x)=\backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\backslash frac\{\backslash log\; p\}\{p\},\; R(x)=S(x)-\backslash log\; x$라 하자. 제1정리에 의해 $R(x)=O(1)$이다. 따라서 적분
:$\backslash int\_\{2\}^\{x\}\; \backslash frac\{R(t)dt\}\{t\backslash log^2\; t\}$
는 $x\backslash rightarrow\backslash infty$일 때 수렴한다. 따라서, 아벨의 부분합 공식에 의해
: $\backslash begin\{align\}\; \backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{1\}\{p\}$
&= \frac{S(n)}{\log n}+\int_{2}^{n} \frac{S(t)}{t\log^2 t}dt\\
&= 1+\frac{R(n)}{\log n}+\int_{2}^{n} \frac{dt}{t\log t}+\int_{2}^{n} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}\\
&= \log\log n+1-\log\log 2+\frac{R(n)}{\log n}+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}-\int_{n}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t} \\
&= \log\log n+1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}+\frac{R(n)}{\log n}+O\left(\int_{n}^{\infty} \frac{dt}{t\log^2 t}\right)\\
&= \log\log n+1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}+O\left(\frac{1}{\log n}\right)
\end{align}
가 되므로, 제2정리는
: $b=1-\backslash log\backslash log\; 2+\backslash int\_\{2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{R(t)dt\}\{t\backslash log^2\; t\}$
에 대해 성립한다.

5.3. 메르텐스 제3정리의 증명

:$p$를 소수, $\backslash gamma$를 오일러-마스케로니 상수라 하면, 메르텐스 제3정리는 다음과 같이 표현된다.
:
이 식은 제타 함수와 관련된 유명한 식이다. 또는 점근적 형태로 다음과 같이 쓸 수도 있다.
:$\backslash prod\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)\; \backslash sim\; \backslash frac\{e^\{-\backslash gamma\}\}\{\backslash ln\; n\}$

이 정리의 수렴성은 다음 식과
:$\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\; -\backslash log\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)=\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash frac\{1\}\{p\}+\backslash sum\_\{p\backslash leq\; n\}\backslash sum\_\{m\backslash geq\; 2\}\backslash frac\{1\}\{mp^m\}$
다음의 점근적 분석
:$\backslash sum\_\{p>n\}\backslash sum\_\{m\backslash geq\; 2\}\backslash frac\{1\}\{mp^m\}=O\backslash left(\backslash sum\_\{p>n\}\backslash frac\{1\}\{p^2\}\backslash right)=O\backslash left(\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)$
을 통해 메르텐스 제2정리로부터 바로 유도된다.

상수 부분이 $e^\{-\backslash gamma\}$ 임을 증명하는 과정은 다음과 같이 개략적으로 설명할 수 있다. 먼저 다음 함수들을 정의한다.
:$h(s)=\backslash sum\_p\; \backslash frac\{1\}\{p^s\},\; \backslash quad\; g(s)=h(s)+\backslash log\; \backslash zeta(s)=\backslash sum\_p\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{p^s\}-\backslash log\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p^s\}\backslash right)\; \backslash right),\; \backslash quad\; P(x)=\backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\backslash frac\{1\}\{p\}$
여기서 $g(s)$에 대한 등식은 리만 제타 함수의 오일러 곱 표현으로부터 얻어진다. 아벨의 부분합 공식을 이용하면 다음을 얻는다.
:$h(s)=(s-1)\backslash int\_\{1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{P(t)\}\{t^s\}dt$
여기서 $t=e^\{u/(s-1)\}$로 치환하고 오일러-마스케로니 상수의 적분 표현을 이용하면 다음 관계를 얻는다.
:$(s-1)\backslash int\_\{1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash log\backslash log\; t\}\{t^s\}dt=\backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}e^\{-u\}\backslash log\backslash frac\{u\}\{s-1\}du=-\backslash gamma-\backslash log\; (s-1)$

이 결과와 메르텐스 제2정리를 함께 사용하면 $s\backslash rightarrow\; 1+0$일 때 다음 극한을 증명할 수 있다 (여기서 $M$은 메르텐스 상수).
:$h(s)+\backslash log\; (s-1)+\backslash gamma-M\; \backslash rightarrow\; 0$
또한, 리만 제타 함수의 성질인 $\backslash lim\_\{s\backslash rightarrow\; 1+0\}\; (s-1)\backslash zeta(s)\; =\; 1$을 이용해 $g(1)$의 값을 계산하면 다음과 같다.
:$g(1)=\backslash lim\_\{s\backslash rightarrow\; 1+0\}\; g(s)=\backslash lim\_\{s\backslash rightarrow\; 1+0\}\; (h(s)+\backslash log\; \backslash zeta(s))=M-\backslash gamma$

한편, $g(1)$은 테일러 급수를 이용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.
:$g(1)\; =\; \backslash sum\_p\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; +\; \backslash log\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)\; \backslash right)$
따라서, $\backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; +\; \backslash log\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)\; \backslash right)\; \backslash approx\; M-\backslash gamma$ 이고, 이를 정리하면 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\backslash log\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)\; =\; (M-\backslash gamma)\; -\; \backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\backslash frac\{1\}\{p\}\; +\; o(1)$
다시 메르텐스 제2정리 ($\backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\backslash frac\{1\}\{p\}\; \backslash approx\; \backslash log\; \backslash log\; x\; +\; M$)를 사용하면 다음을 얻는다.
:$\backslash sum\_\{p\backslash leq\; x\}\backslash log\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)\; =\; (M-\backslash gamma)\; -\; (\backslash log\; \backslash log\; x\; +\; M)\; +\; o(1)\; =\; -\backslash gamma\; -\; \backslash log\; \backslash log\; x\; +\; o(1)$
양변에 지수 함수를 취하면 $\backslash prod\_\{p\backslash leq\; x\}\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)\; \backslash approx\; \backslash frac\{e^\{-\backslash gamma\}\}\{\backslash log\; x\}$ 이므로, 메르텐스 제3정리가 증명된다.