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산술의 기본 정리

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목차

1. 개요

산술의 기본 정리는 모든 1보다 큰 양의 정수가 소수의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다는 정리이다. 이 정리는 소수의 집합을 이용하여 정의되며, 소인수분해의 존재성과 유일성을 포함한다. 유클리드의 『기하학 원론』에서 그 기원을 찾을 수 있으며, 유클리드의 보조정리를 사용하여 증명된다. 정수의 환이 유일 인수 분해 정역이라는 명제와 동치이며, 표준 표현을 통해 정수의 곱, 최대공약수, 최소공배수를 쉽게 계산할 수 있다. 또한, 가법 함수와 곱셈 함수를 정의하는 데 사용되며, 가우스 정수와 아이젠슈타인 정수를 포함한 다른 환으로 일반화될 수 있다.

2. 정의

소수의 집합을 \mathbb P\subset\mathbb Z^+라고 할 때, '''산술의 기본 정리'''에 따르면, 임의의 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여, 곱하여 n이 되는 소수의 유한 중복집합이 유일하게 존재한다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 p_1,\dots,p_k\subset\mathbb P 및 r_1,\dots,r_k\in\mathbb Z^+가 존재하며, 이는 i=1,\dots,k의 순열을 무시하면 유일하다.

:n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}

만약 n=1인 경우, k=0이며, 이 소수 중복집합은 공집합이 된다.

추상대수학의 용어를 사용하면, 이는 정수의 환 \mathbb Z가 유일 인수 분해 정역이라는 명제와 동치이다.

산술의 기본 정리는 2 이상의 모든 자연수에 대해 "소수의 곱으로 분해된다(소인수분해의 존재)"는 주장과 "소인수분해가 있다면 유일하게 결정된다(분해의 유일성)"는 두 가지 중요한 부분으로 이루어져 있음에 유의해야 한다. 왜냐하면, 분해의 존재는 비교적 간단하게 증명할 수 있는 반면, 유일성의 증명은 그보다 다소 고차원적인 논증을 필요로 하기 때문이다. 유일성의 증명에는 여러 가지 방법이 있지만, 다음과 같은 사실(유클리드의 보조정리)을 사용하는 경우가 많다.[19]

:소수 p가 두 자연수 a, b의 곱 ab을 나누면, p는 a 또는 b 중 하나를 나눈다.

또한, 소수의 곱으로서의 순서를 고려하지 않는 것은 자연수가 곱셈에 대해 교환법칙과 결합법칙을 만족하기 때문이다. 그리고 일반적으로는 보기 쉽게 하기 위해 소인수를 가장 작은 것부터 순서대로 나열한다.

이 정리의 정수 경우로의 자연스러운 일반화는 "0이 아닌 임의의 정수는 소수와 단원의 곱으로 인수의 순서의 차이를 제외하고 유일하게 나타낼 수 있다"이다(이러한 의미에서 "정수에 대해 산술의 기본 정리가 성립한다"라고 말할 수 있다). 유사한 주장은 더 일반적인 환 등에서도 (성립하는지 성립하지 않는지를 생각할 수 있다는 의미에서) 의미를 가지지만, 반드시 성립하는 것은 아니다.

:0이 아닌 정수 n ≠ 0은 단원과 소수의 곱으로 유일하게 표현된다:

:

n = \varepsilon p_1^{n_1}p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}

= \varepsilon \prod_{i=1}^{k} p_i^{n_i}



:단, \varepsilon는 단원 ±1이고, 0 < p1 < p2 < ... < pk는 소수이며, ni는 양의 정수이다.

3. 역사

산술의 기본 정리는 유클리드의 『기하학 원론』에서 그 기원을 찾을 수 있다. 유클리드의 원론 제7권 명제 30, 31, 32와 제9권 명제 14는 산술의 기본 정리의 내용을 담고 있다.[7] 특히, 명제 30은 유클리드의 보조정리로 불리며, 산술의 기본 정리 증명의 핵심이다.


  • '''원론 제7권 명제 30'''[19]

Εἴ τινες δύο ἀριθμοὶ ἀλλήλους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινα, ὁ δὲ γενόμενος ἐξ αὐτῶν ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ μετρῆται, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει.|에이 티네스 뒤오 아리트모이 알렐루스 폴라플라시아산테스 포이오시 티나, 호 데 게노메노스 엨스 아우톤 휘포 티노스 프로투 아리트무 메트레타이, 카이 헤나 톤 엨스 아르케스 메트레세이.grc

: "만약 두 수를 곱하여 어떤 수를 만들고, 어떤 소수가 그 곱을 측정한다면, 그것은 원래의 수 중 하나도 측정할 것이다."

: (현대 용어로: 만약 소수 ''p''가 곱 ''ab''를 나눈다면, ''p''는 ''a'' 또는 ''b'' 또는 둘 다를 나눈다.)

  • '''원론 제7권 명제 31'''

Πᾶς σύνθετος ἀριθμὸς ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ μετρεῖται.|파스 쉰테토스 아리트모스 휘포 티노스 프로투 아리트무 메트레이타이.grc

: "어떤 합성수는 어떤 소수로 측정된다."

: (현대 용어로: 1보다 큰 모든 정수는 어떤 소수로 나누어떨어진다.) 명제 31은 무한강하법으로 직접 증명된다.

  • '''원론 제7권 명제 32'''

Πᾶς ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ μετρεῖται.|파스 아리트모스 에토이 프로토스 에스틴 에 휘포 티노스 프로투 아리트무 메트레이타이.grc

: "어떤 수는 소수이거나 어떤 소수로 측정된다."

: 명제 32는 명제 31에서 도출되며, 분해가 가능하다는 것을 증명한다.

  • '''원론 제9권 명제 14'''

Ἐὰν ἀριθμὸς ἐλαχίστων μετρῆται ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν, ὑπ᾽ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ἐξ ἀρχῆς αὐτὸν μετρού.|에안 아리트모스 엘라키스톤 메트레타이 휘포 프로톤 아리트몬, 휩 우데노스 알루 프로투 아리트무 메트레테세타이 파렠스 톤 엨스 아르케스 아우톤 메트루.grc

: "만약 어떤 수가 소수로 측정되는 수 중 가장 작은 수라면, 그것은 원래 그것을 측정하는 소수들을 제외한 다른 어떤 소수로도 측정되지 않을 것이다."

: (현대 용어로: 여러 소수의 최소공배수는 다른 어떤 소수의 배수가 아니다.) 제9권 명제 14는 제7권 명제 30에서 도출되며, 분해의 유일성을 부분적으로 증명한다. 앙드레 베이유가 중요하게 언급한 점이다.[7] 실제로 이 명제에서 지수는 모두 1과 같으므로 일반적인 경우에 대해서는 아무것도 언급되지 않는다.

카말 알딘 알 파리시가 처음으로 산술의 기본 정리를 명확하게 진술하였다.[8][9] 카를 프리드리히 가우스는 『산술연구』에서 모듈러 산술을 사용하여 현대적인 증명을 제시했다.[1]

4. 증명

산술의 기본 정리 증명은 크게 두 단계로 나뉜다. 첫 번째는 1보다 큰 모든 양의 정수가 소수의 곱으로 표현될 수 있음을 보이는 것이고(존재성 증명), 두 번째는 그 표현이 유일함을 보이는 것이다(유일성 증명).
존재성 증명 (간략하게)1보다 큰 모든 양의 정수는 소수의 곱으로 표현될 수 있다.
유일성 증명유일성 증명은 유클리드의 보조정리를 사용하거나, 유클리드 호제법을 응용하여 증명할 수 있다. 유클리드의 보조정리는 소수 p가 두 정수 a, b의 곱 ab를 나누면, p는 a 또는 b 중 하나를 나눈다는 내용이다.[19]


  • 유클리드의 보조정리를 이용한 증명: 서로 다른 두 가지 소인수분해를 갖는 가장 작은 정수를 n이라 하고, n = p_1 p_2 ... p_j = q_1 q_2 ... q_k라고 하자. 유클리드의 보조정리에 의해 p_1는 어떤 q_i를 나눈다. p_1가 q_1를 나눈다고 하면, p_1와 q_1는 모두 소수이므로 p_1 = q_1이다. 이 두 인수를 소거하면 p_2 ... p_j = q_2 ... q_k인데, 이는 n의 최소성에 모순된다.

  • 유클리드 호제법을 이용한 증명: 어떤 양의 정수 s가 두 가지 다른 방법으로 소수의 곱으로 표현될 수 있다고 가정하고, 다음과 같이 표현한다.


:

\begin{align}

s

&= p_1 p_2 \cdots p_m \\

&= q_1 q_2 \cdots q_n.

\end{align}



각 p_i는 각 q_j와 달라야 한다. 만약 p_i = q_j라면, s보다 작은 양의 정수 t = s / p_i = s / q_j가 존재하며, 이는 두 가지 서로 다른 소인수분해를 갖는다. p_1 < q_1이라고 가정하고, P = p_2 \cdots p_m 및 Q = q_2 \cdots q_n이라고 하면, s = p_1 P = q_1 Q이고 Q < P이다.

:s - p_1 Q = (q_1 - p_1) Q = p_1 (P - Q) < s.

s보다 작은 양의 정수는 유일한 소인수분해를 갖는다고 가정했으므로, p_1은 q_1 - p_1 또는 Q의 소인수분해에 나타나야 한다. Q는 s보다 작으므로 유일한 소인수분해를 가져야 하며, p_1은 모든 q_j와 다르므로 Q의 소인수분해에는 나타날 수 없다. 또한 p_1이 q_1 - p_1의 약수라면, q_1의 약수도 되어야 하며, 이는 p_1과 q_1이 서로 다른 소수이므로 불가능하다. 따라서 서로 다른 소인수분해를 하나 이상 갖는 가장 작은 정수는 존재할 수 없다.

가우스의 『산술연구』에 따르면, 소수 p가 자연수의 곱 ab를 나눈다면, p는 a 또는 b 중 적어도 하나를 나눈다.[20] 이를 유클리드의 보조정리라고 부른다.

만약 2 이상의 자연수가 적어도 두 가지의 "소수의 곱"으로 나타낼 수 있다면, 그러한 자연수 중 가장 작은 수를 n이라고 하고,

: n = p_1 p_2 ... p_r = q_1 q_2 ... q_s

와 같이 서로 다른 "소수의 곱"으로 나타낼 수 있다고 하자. 유클리드의 보조정리로부터 p_1은 q_1, q_2, ..., q_s 중 적어도 하나를 나눈다. 그러나 n의 최소성으로부터 q_1, q_2, ..., q_s에 대해서는 모두 소인수분해가 유일하므로, p_1 = q_j 가 되는 j가 존재한다 (1 \leqq j \leqq s). 이때,

:n' = p_2 ... p_r = q_1 ... q_{j-1} q_{j+1} ... q_s

가 서로 다른 "소수의 곱"으로의 표현이라고 하면 n의 최소성에 모순된다.[21]

유클리드는 『원론』에서 이와 관련된 명제들을 제시했다. 예를 들어, 제7권 명제 30은 "만약 두 수를 곱하여 어떤 수를 만들고, 어떤 소수가 그 곱을 측정한다면, 그것은 원래의 수 중 하나도 측정할 것이다"라고 기술되어 있는데, 이는 현대적으로 표현하면 유클리드의 보조정리와 같다.[19] 또한, 제7권 명제 31은 "어떤 합성수는 어떤 소수로 측정된다"라고 하여, 1보다 큰 모든 정수가 어떤 소수로 나누어떨어진다는 것을 보였다. 제7권 명제 32는 "어떤 수는 소수이거나 어떤 소수로 측정된다"라고 하여, 분해가 가능하다는 것을 증명한다. 제9권 명제 14는 여러 소수의 최소공배수는 다른 어떤 소수의 배수가 아니라는 것을 부분적으로 증명한다.[7]

카말 알딘 알 파리시가 산술의 기본 정리를 처음으로 진술했다.[8][9] 카를 프리드리히 가우스는 『산술연구』에서 모듈러 산술을 사용하여 현대적인 증명을 제시했다.[1]

4. 1. 존재성 증명

1보다 큰 양의 정수는 소수의 곱으로 표현될 수 있음을 증명한다. 1보다 큰 양의 정수 n의 두 번째로 작은 약수는 반드시 소수여야 한다. (첫 번째로 작은 약수는 1이다.) 만약 m이 두 번째로 작은 약수이고 소수가 아니라면(즉, 합성수라면), 합성수의 정의에 의해 1 < l < m 이면서 m을 나누는 양의 정수 l이 존재하게 된다. 따라서 l은 n도 나눌 수 있기 때문에, m이 두 번째로 작은 약수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 n은 반드시 소수인 약수를 가지며, 이를 다음과 같이 표현할 수 있다.

: n=p_1n_1

만약 n_1이 소수라면 증명은 여기서 종료된다. 하지만 n_1이 소수가 아니라면, n_1 역시 1을 제외한 약수 중 가장 작은 약수를 소수로 갖기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있다.

: n=p_1p_2n_2

이를 소수만 남을 때까지 반복할 수 있기 때문에, 1보다 큰 모든 양의 정수는 소수의 곱으로 표현 가능하다.

유클리드의 보조정리(『원론』 Ⅶ, 30)를 사용하면 다음과 같이 증명할 수 있다. 소수가 두 정수의 곱을 나누면, 그 소수는 적어도 그 두 정수 중 하나를 나누어야 한다. 1보다 큰 모든 정수는 소수이거나 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다는 것을 보이면 된다. 먼저, 2는 소수이다. 그런 다음 수학적 귀납법에 의해 1보다 크고 n보다 작은 모든 수에 대해 이것이 참이라고 가정한다. 만약 n이 소수라면 더 이상 증명할 것이 없다. 그렇지 않다면, 1 < a ≤ b < n인 정수 a와 b가 존재하여 n = ab이다. 귀납적 가정에 의해 a = p₁p₂⋅⋅⋅pⱼ 와 b = q₁q₂⋅⋅⋅qₖ는 소수들의 곱이다. 그러면 n = ab = p₁p₂⋅⋅⋅pⱼq₁q₂⋅⋅⋅qₖ는 소수들의 곱이다.

유클리드의 『원론』 제7권에는 다음과 같은 실질적인 증명이 적혀 있다.[16]

  • 모든 합성수는 어떤 소수로 나누어진다. (『원론』 제7권 명제 31)
  • 모든 수는 소수이거나 어떤 소수로 나누어진다. (『원론』 제7권 명제 32)


가우스의 『산술연구』에는 완전한 형태의 증명이 처음으로 등장한다.[16] 이를 현대적인 표현으로 바꾸면 다음과 같다.

소수의 곱으로 나타낼 수 없는 2 이상의 자연수가 존재한다고 가정하자. 자연수의 정렬성에 의해, 그러한 수 중 가장 작은 수(최소 반례)가 존재한다. 소수는 이미 소수의 곱으로 나타낼 수 있으므로, 최소 반례 n은 합성수이다. 따라서 적당한 자연수 a \ne 1, b \ne 1에 대해 n = ab로 나타낼 수 있다. 그런데 a < n이고 b < n이므로, n의 최소성에 의해 a와 b는 소수의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 n도 소수의 곱으로 나타낼 수 있게 되어 모순이 발생한다. 그러므로 2 이상의 모든 자연수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있다.

4. 2. 유일성 증명

소수의 곱으로 표현하는 방법이 유일하지 않은 가장 작은 양의 정수를 n이라고 가정한다.

:n=p_1p_2p_3...p_k=q_1q_2q_3...q_l, (p_1 \le p_2 \le p_3 \le ... \le p_k, q_1 \le q_2 \le q_3 \le ... \le q_l 이고, p_i 와 q_j는 소수, 그리고 p_i \ne q_j)

(p_i=q_j이면, n'=\frac{n}{p_i}=\frac{n}{q_j} 인 n' 을 얻을 수 있는데 이는 소수의 곱이 유일하지 않은 1 보다 큰 정수 중 가장 작은 수가 n이라는 가정과 모순된다.)

귀류법을 사용하여 증명한다. 즉, 위와 같이 가정하고 모순을 이끌어낸다. 이 증명은 유클리드의 보조정리를 사용하거나 유클리드 호제법의 변형을 이용하여 증명할 수 있다.

  • 유클리드의 보조정리를 이용한 증명[13]: 소수가 두 정수의 곱을 나누면, 그 소수는 적어도 그 두 정수 중 하나를 나누어야 한다. 서로 다른 두 가지 소인수분해를 갖는 가장 작은 정수를 n이라 하고, n = p_1p_2...p_j = q_1q_2...q_k라고 하자. 유클리드의 보조정리에 의해 p_1는 어떤 q_i를 나눈다. 일반성을 잃지 않고, p_1가 q_1를 나눈다고 하면, p_1와 q_1는 모두 소수이므로 p_1 = q_1이다. 이 두 인수를 소거하면 p_2...p_j = q_2...q_k인데, 이는 n의 최소성에 모순된다.

  • 유클리드 호제법을 이용한 증명: 어떤 양의 정수 s가 두 가지 다른 방법으로 소수의 곱으로 표현될 수 있다고 가정하고, 다음과 같이 표현한다.


:

\begin{align}

s

&=p_1 p_2 \cdots p_m \\

&=q_1 q_2 \cdots q_n.

\end{align}



각 p_i는 각 q_j와 달라야 한다. 만약 p_i=q_j라면, s보다 작은 양의 정수 t=s/p_i=s/q_j가 존재하며, 이는 두 가지 서로 다른 소인수 분해를 갖는다. p_1 < q_1이라고 가정하고, P=p_2\cdots p_m 및 Q=q_2\cdots q_n이라고 하면, s=p_1P=q_1Q이고 Q < P이다.

:s-p_1Q = (q_1-p_1)Q = p_1(P-Q) < s.

s보다 작은 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 갖는다고 가정했으므로, p_1은 q_1-p_1 또는 Q의 소인수 분해에 나타나야 한다. Q는 s보다 작으므로 유일한 소인수 분해를 가져야 하며, p_1은 모든 q_j와 다르므로 Q의 소인수 분해에는 나타날 수 없다. 또한 p_1이 q_1-p_1의 약수라면, q_1의 약수도 되어야 하며, 이는 p_1과 q_1이 서로 다른 소수이므로 불가능하다. 따라서, 서로 다른 소인수 분해를 하나 이상 갖는 가장 작은 정수는 존재할 수 없다.

가우스의 『산술연구』에 따르면, 소수 p가 자연수의 곱 ab를 나눈다면, p는 a 또는 b 중 적어도 하나를 나눈다.[20] 이를 유클리드의 보조정리라고 부른다.

만약 2 이상의 자연수가 적어도 두 가지의 "소수의 곱"으로 나타낼 수 있다면, 그러한 자연수 중 가장 작은 수를 n이라고 하고,

: n = p_1p_2...p_r = q_1q_2...q_s

와 같이 서로 다른 "소수의 곱"으로 나타낼 수 있다고 하자. 유클리드의 보조정리로부터 p_1은 q_1, q_2, ..., q_s 중 적어도 하나를 나눈다. 그러나 n의 최소성으로부터 q_1, q_2, ..., q_s에 대해서는 모두 소인수분해가 유일하므로, p_1 = q_j 가 되는 j가 존재한다 ( 1 \leqq j \leqq s). 이때,

:n' = p_2...p_r = q_1...q_{j-1}q_{j+1}...q_s

가 서로 다른 "소수의 곱"으로의 표현이라고 하면 n의 최소성에 모순된다.[21]

5. 응용

산술의 기본 정리는 양의 정수를 소인수의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다는 것을 보여준다.[10][11][12] 이를 통해 두 수의 곱, 최대공약수, 최소공배수를 쉽게 계산할 수 있지만, 큰 수의 소인수분해는 어렵기 때문에 실제 활용은 제한적이다. 산술 함수는 소인수 분해를 이용하여 정의되며, 특히 가법 함수와 곱셈 함수의 값은 소수의 거듭제곱에 대한 값으로 결정된다.

5. 1. 정수의 표준 표현

1보다 큰 모든 양의 정수 은 소수의 거듭제곱의 곱으로 유일하게 나타낼 수 있다.

:

n = p_1^{n_1}p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}

= \prod_{i=1}^{k} p_i^{n_i},



여기서 는 소수이고 는 양의 정수이다. 이 표현은 공집합의 곱이 1과 같다는 관례에 따라 (에 해당) 1을 포함한 모든 양의 정수로 일반화될 수 있다.

이 표현을 의 '''표준형'''[10] 또는 '''정규 표현'''[11][12]이라고 한다. 예를 들어 다음과 같다.

:999 = 3³×37,

:1000 = 2³×5³,

:1001 = 7×11×13.

인 인수를 삽입해도 의 값은 변하지 않는다 (예: ). 사실, 모든 양의 정수는 모든 양의 소수에 대한 무한곱으로 유일하게 나타낼 수 있다.

:n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}7^{n_4}\cdots=\prod_{i=1}^\infty p_i^{n_i},

여기서 유한 개의 는 양의 정수이고 나머지는 0이다.

음의 지수를 허용하면 양의 유리수에 대한 표준형을 제공한다.

0이 아닌 정수 ≠ 0은 단원과 소수의 곱으로 유일하게 표현된다.

:

n = \varepsilon p_1^{n_1}p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}

= \varepsilon \prod_{i=1}^{k} p_i^{n_i}



단, 는 단원 이고, < 1 < 2 < ... < k는 소수이며, 는 양의 정수이다.

5. 2. 산술 연산

두 수 ''a''와 ''b''의 곱, 최대공약수(GCD), 최소공배수(LCM)의 표준 표현은 ''a''와 ''b'' 자체의 표준 표현으로 간단하게 나타낼 수 있다.

:\begin{alignat}{2}

a\cdot b & = 2^{a_1+b_1}3^{a_2+b_2}5^{a_3+b_3}7^{a_4+b_4}\cdots

&& = \prod p_i^{a_i+b_i},\\

\gcd(a,b) & = 2^{\min(a_1,b_1)}3^{\min(a_2,b_2)}5^{\min(a_3,b_3)}7^{\min(a_4,b_4)}\cdots

&& = \prod p_i^{\min(a_i,b_i)},\\

\operatorname{lcm}(a,b) & = 2^{\max(a_1,b_1)}3^{\max(a_2,b_2)}5^{\max(a_3,b_3)}7^{\max(a_4,b_4)}\cdots

&& = \prod p_i^{\max(a_i,b_i)}.

\end{alignat}

하지만, 특히 큰 수의 소인수분해는 곱셈, 최대공약수 또는 최소공배수를 계산하는 것보다 훨씬 어렵다. 따라서 이러한 공식은 실제로 활용되는 경우가 제한적이다.

5. 3. 산술 함수

많은 산술 함수는 소인수 분해를 이용하여 정의된다. 특히, 가법 함수와 곱셈 함수의 값은 소수의 거듭제곱에 대한 값으로 결정된다.

6. 일반화

산술의 기본 정리는 가우스 정수, 아이젠슈타인 정수 등 다른 환으로 일반화될 수 있다. 유일 인수 분해 정역(UFD)은 산술의 기본 정리가 성립하는 정역이다.

가우스 정수는 복소수 ''a'' + ''bi'' (여기서 ''a''와 ''b''는 정수)의 형태로, \mathbb{Z}[i]로 표기된다. 가우스는 이 환이 ±1과 ±''i''의 네 개의 단위를 가지며, 0이 아닌 비단위 수는 소수와 합성수의 두 종류로 나뉘고, 합성수는 소수의 곱으로 유일하게 인수분해된다는 것을 보였다.[14]

아이젠슈타인 정수는 \mathbb{Z}[\omega] (여기서 \omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}, \omega^3 = 1은 세제곱 일의근)로 표현되는 환이다. 아이젠슈타인은 이 환이 \pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2의 여섯 개의 단위를 가지며 유일한 인수분해를 가진다는 것을 증명했다.

그러나 유일한 인수분해가 항상 성립하는 것은 아니다. 예를 들어 \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] 에서는 다음과 같은 식이 성립한다.[15]

:

6 =

2 \cdot 3 =

\left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right).



이러한 예는 "소수"의 개념을 수정하게 만들었다. 대수적 정수론에서 \mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]의 2는 기약이지만 소수는 아니다.

기약 원소로의 인수분해가 본질적으로 유일한 환을 유일 인수 분해 정역이라고 한다. 주 아이디얼 정역은 유일 인수 분해 정역의 중요한 예시이다.

추상대수학에서 이 정리는 "0이 아닌 임의의 원소는 소원 및 단원의 곱으로 유일하게 표현된다"로 일반화된다. 정수의 집합에서는 1과 -1이 단원이지만, 정수의 범위에서 역원을 가지므로 산술의 기본 정리가 성립한다고 할 수 있다. 유클리드 정역이나 주 아이디얼 정역에서도 이와 유사한 형태로 산술의 기본 정리가 성립한다.

하지만, 네터 환은 소원분해를 반드시 갖지만, 일의분해환이 아닌 네터 환이 많이 존재한다.

참조

[1] harvtxt
[2] harvtxt
[3] harvtxt
[4] harvtxt
[5] harvtxt
[6] 문서 In a ring of algebraic integers, the factorization into prime elements may be non unique, but one can recover a unique factorization if one factors into ideals.
[7] harvtxt
[8] 저널 A Historical Survey of the Fundamental Theorem of Arithmetic https://core.ac.uk/d[...]
[9] 서적 Encyclopedia of the History of Arabic Science https://books.google[...] Routledge 2002-09-11
[10] harvtxt
[11] harvtxt
[12] harvtxt
[13] citation Why Prove it Again? Alternative Proofs in Mathematical Practice. Springer 2015
[14] harvtxt
[15] harvtxt
[16] harv
[17] harvnb
[18] harv
[19] harv
[20] 문서 これが定理の証明において、鍵となる補題である。が、一般の代数体ではこの事実は成立しない。
[21] harvnb
[22] harvnb


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