무차원량

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1. 개요

무차원량은 차원을 가지지 않는 물리량을 의미하며, 19세기 푸리에와 맥스웰의 연구를 통해 현대적 개념이 발전했다. 버킹엄 파이 정리는 물리 법칙이 특정 단위계에 의존하지 않음을 보여주며, 무차원수들은 물리 현상을 분석하고 특성화하는 데 사용된다. 무차원량은 비율, 정수, 무차원 물리 상수 등 다양한 종류가 있으며, 유체역학, 재료 공학, 전자기학, 광학, 화학 등 여러 분야에서 활용된다.

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무차원량
정의
설명	차원이 없는 물리량
특징
설명	물리량이지만 물리 차원을 가지지 않음. 단위가 없거나 단위가 1인 물리량. 환산 인자가 필요하지 않음. 물리량의 비율로 표현될 수 있음.
예시	각도 이득 감쇠 계수 상대 밀도 마찰 계수 푸아송 비 스미트 수 상대 습도 스트레인 굴절률 질량 분율 몰 분율 차원 없는 상수 (π, e, φ)
단위
설명	국제단위계 (SI)에서 차원 없는 양은 단위 '1'로 정의됨. 필요에 따라 '1' 대신 백분율 (%) 또는 천분율 (‰)이 사용될 수 있음. 각도와 같은 양은 라디안 (rad) 또는 스테라디안 (sr)과 같은 SI 유도 단위를 가질 수 있지만, 이들은 본질적으로 차원 없는 양임.
예시	순수 숫자 라디안 (rad) 스테라디안 (sr) 데시벨 (dB)
활용
설명	물리적 관계 단순화 스케일링된 문제 표현 차원 분석 모델링 비율 및 상대적 측정 무차원 군: 여러 물리량의 곱 또는 비율로 정의되어 물리적 시스템의 특성을 나타내는 데 사용됨 (예: 레이놀즈 수, 프란틀 수, 마하 수).
참고
설명	무차원 물리량은 물리적 차원이 없는 양으로, 단위가 없는 숫자 값으로 표현됨. 다양한 과학 및 공학 분야에서 중요한 역할 수행. 차원이 0인 물리량.

2. 역사

차원 분석 분야에서 공식적으로 다루어지는 무차원량은 과학에서 자주 나타난다. 19세기, 프랑스의 수학자 조제프 푸리에와 스코틀랜드의 물리학자 제임스 클러크 맥스웰은 차원과 단위의 현대적 개념을 발전시키는 데 크게 기여했다.^[10] 이후 영국의 물리학자 오즈본 레이놀즈와 레일리 경의 연구는 물리학에서 무차원수를 이해하는 데 기여했다. 에드거 버킹엄은 레일리의 차원 분석 방법을 바탕으로 버킹엄 파이 정리를 증명하여 이러한 양의 특성을 공식화했다.^[10]

1900년대 초, 특히 유체 역학과 열전도 분야에서 수많은 무차원수, 주로 비(比)가 만들어졌다. 비의 로그를 ''레벨''로 측정하는 (파생된) 단위 데시벨 (dB)은 오늘날 널리 사용된다.

2000년대 초, 국제도량형위원회는 1의 단위를 "우노"로 명명하는 것을 논의했지만, 1에 대한 새로운 SI 이름을 도입하려는 아이디어는 폐기되었다.^[13]^[14]^[15]

3. 버킹엄 파이 정리

버킹엄 $\pi$ 정리^[16]는 물리 법칙이 특정 단위계에 의존하지 않는다는 것을 나타낸다. 모든 물리 법칙은 그 법칙에 의해 연결된 변수들의 무차원 조합(비율 또는 곱)만을 포함하는 항등식으로 표현될 수 있다. 만약 무차원 조합의 값이 단위계에 따라 변경된다면, 그 방정식은 항등식이 아니게 되고 버킹엄 정리는 성립하지 않는다.

이 정리의 또 다른 결과는 특정 수(예: ''n'')의 변수 간의 함수적 종속성이 해당 변수에서 발생하는 독립 차원의 수(예: ''k'')만큼 감소하여 ''p'' = ''n'' − ''k''개의 독립적이고 무차원적인 양의 집합을 제공할 수 있다는 것이다. 실험자의 목적에 따라, 무차원 양에 의해 동일한 설명을 공유하는 서로 다른 시스템은 동등하다.

4. 무차원량의 종류

무차원량은 크게 비율, 계수, 무차원 물리 상수로 나눌 수 있다.

'''비율'''은 같은 종류의 양을 서로 나누어 차원을 상쇄시킨 값이다. 예를 들어 기울기는 수직 거리를 수평 거리로 나눈 값이며, 알코올 도수는 에탄올의 부피를 전체 음료의 부피로 나눈 값이다.
'''계수'''는 셀 수 있는 양을 나타내는 정수이다. 입자수, 인구 크기 등이 이에 해당한다.
'''무차원 물리 상수'''는 단위계에 관계없이 일정한 값을 가지는 물리 상수이다. 미세 구조 상수, 양성자-전자 질량비 등이 이에 해당한다.

4. 1. 비율 (Ratios, proportions, and angles)

무차원량은 같은 종류의 양을 비율로 나타내어 수학적 연산에서 차원이 상쇄되는 값이다.^[19]^[20] 예를 들어, 기울기는 수평 거리에 대한 수직 거리의 비로 나타낼 수 있으며, 길이라는 같은 종류의 양을 나누어 무차원량이 된다. 질량 분율이나 몰 분율과 같이, ppm (10⁻⁶), ppb (10⁻⁹), ppt (10⁻¹²)와 같은 부분별 표기법을 사용하거나, kg/kg 또는 mol/mol과 같이 동일한 단위의 비율로 표시하기도 한다. 알코올 도수는 알코올 음료에 포함된 에탄올의 농도를 나타내는 값으로, mL / 100 mL로 표현될 수 있다.

% (0.01), ‰ (0.001) 와 같은 비율도 흔히 사용된다. 회전, 라디안, 스테라디안과 같은 각도의 단위는 같은 종류의 양의 비율로 정의된다. 통계에서 변동 계수는 표준 편차를 평균으로 나눈 값으로, 분산 정도를 측정하는 데 사용된다.

분자와 분모가 같은 차원을 가지는 비율(A/B)로 정의된 양은 실제로 "무단위 양"일 뿐이며, 여전히 물리적 차원(dim ''Q'' = dim ''A'' × dim ''B''⁻¹)을 갖는다고 주장하는 경우도 있다.^[21] 예를 들어, 수분 함량은 부피의 비율(체적 수분, m³⋅m⁻³, 차원 L⋅L) 또는 질량의 비율(중량 수분, 단위 kg⋅kg⁻¹, 차원 M⋅M)로 정의할 수 있는데, 두 경우 모두 무단위 양이지만 서로 다른 차원을 가진다.

이러한 무차원량의 일관성 있는조립 단위는 1이다. 실용적인 목적을 위해 백분율 (퍼센트, % = 0.01), 천분율 (퍼밀, ‰ = 0.001), ppm (10^-6), ppb (10^-9), ppt (10^-12) 등의 Parts-per 표기법이 사용된다.

또한, 어떤 종류의 양의 비인지를 명시하기 위해 kg/kg, mol/mol 등과 같이 대응하는 단위의 비로 표시하기도 한다. 예를 들어, 알코올 도수는 일반적으로 백분율(%)로 표시되지만, 부피비이므로 % = mL/100mL로 바꿔 쓸 수 있다.

각도의 단위는 무차원량이다. 라디안은 원주상의 길이와 반지름의 비율이며, 도, 그래드 등은 원주상의 길이와 원주의 비율에 상수를 곱한 것이다.

통계학에서 변동 계수는 평균에 대한 표준 편차의 비이며, 데이터의 분산을 나타낸다.

그 외에 다음과 같은 예가 있다.

예시	설명
종횡비	길이끼리의 비
비중, 원자량	질량끼리의 비
Q 값	주파수끼리의 비 (진동이나 공진의 예민함을 나타내는 값)
이득	입력과 출력의 비 (전력-, 전압-)
알베도	입사광과 반사광의 비

평균과 표준 편차를 정규화하여 어떤 수치가 모집단 내에서 어느 정도의 위치에 있는지를 나타내는 것을 편차값이라고 한다.

4. 2. 계수 (Integers)

정수는 이산량, 즉 무차원일 수도 있는 양을 나타낼 수 있다.^[17]^[18] 계수는 셀 수 있는 양을 표현하는 데 사용될 수 있다. 이 개념은 ISO 80000-1에서 양 '''개체수''' (기호 ''N'')로 공식화되었다.^[19] 입자수와 인구 크기가 그 예시이다. 수학에서 집합의 "원소의 개수"는 ''기수''라고 불린다. ''가산 명사''는 관련된 언어학적 개념이다.

비트 수와 같은 계수는 주파수 단위(역초)와 결합되어 비트율과 같은 개수율 단위를 파생할 수 있다. 계수 데이터는 통계학에서 관련된 개념이다.

회전수와 같이 정수가 아닌 수를 허용하여 전체 항목의 분수를 고려할수 있도록 일반화 할 수 있다. 예를 들어 회전수는 1/2과 같다.

국제 단위계(SI)와 대응하는 국제량 체계(ISQ)에서, 계수량(counting quantity^영어)은 일반적으로 무차원량으로 간주된다.^[32] 그러나 길이, 질량 등 다른 기본량으로부터 조립되는 양이 아니다.^[32]

계수량의 단위인 일본어에서의 수사(개, 명, 회 등)나, 이들과 대응하는 영어에서의 count(s), turn(s), rotation(s)^영어 등, 및 기타 외국어에서 대응하는 단어 등은 현재 SI에서는 일관성이 있는 조립 단위 1의 재작성으로 위치하고 있지만, 이들을 새로운 기본량의 단위로 간주해야 할 가능성이 시사되고 있다.^[33]

수 계수를 포함하는 계수량의 단위로는 십이진법으로 개수를 세는 경우의 다스나 그로스 등이 있다.

4. 3. 무차원 물리 상수 (Dimensionless physical constants)

시간, 길이, 질량, 전하, 온도에 적절한 단위를 선택하면 광속, 만유인력 상수, 플랑크 상수, 쿨롱 상수, 볼츠만 상수와 같은 특정 보편적인 유차원 물리 상수는 1로 정규화될 수 있다. 결과적인 단위계는 자연 단위계로 알려져 있으며, 특히 이 다섯 개의 상수에 관해서는 플랑크 단위라고 한다. 그러나 이 방식으로 모든 물리 상수를 정규화할 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, 다음 상수들의 값은 단위계에 독립적이며, 정의될 수 없고, 실험적으로만 결정될 수 있다.^[22]

공학적 변형률, 초기 길이에 대한 길이 변화로 정의되는 물리적 변형의 척도.

미세 구조 상수, ''α'' ≈ 1/137, 전자의 전자기 상호작용의 크기를 특징짓는 값.^[23]
''β'' (또는 ''μ'') ≈ 1836, 양성자-전자 질량비. 이 비율은 정지 질량의 양성자를 전자의 정지 질량으로 나눈 값이다. 유사한 비율은 모든 기본 입자에 대해 정의될 수 있다.
강력 결합 세기 ''α''_s ≈ 1.
텐서-스칼라 비율 $r$ , CMB에서 관측된 초기 동력 스펙트럼에 대한 텐서 모드와 스칼라 모드의 기여도 간의 비율.^[23]
Immirzi-Barbero 매개변수 $\gamma$ , 루프 양자 중력에서 면적 간격을 특징짓는 값.^[24]

수학 상수인 1, 허수 단위 i, 원주율 π, 자연로그의 밑 e 등 모든 순수한 '''수'''는 차원이 1이다.

5. 구체적인 예시

수학 상수인 1, 허수 단위, 원주율, 자연로그의 밑 등 모든 순수한 '''수'''는 차원이 1이다. 평균과 표준 편차를 정규화하여, 어떤 수치가 모집단 내에서 어느 정도의 위치에 있는지를 나타내는 것을 편차값이라고 한다.

반발 계수: 충돌 전후 속도의 비이다.

유체역학에서 사용되는 무차원량은 유체의 흐름, 열 및 물질 전달 현상을 이해하고 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 이러한 무차원량들은 다양한 물리적 힘과 과정 간의 상대적인 중요성을 나타내며, 복잡한 유체 시스템을 단순화하고 일반화하는 데 기여한다.

좀머펠트 수: 윤활 상태를 평가하는 수이다.
푸아송 비: 변형의 비이다.

비유전율
비투자율
전기 감수율
자화율

굴절률
아베 수
진동자 세기

미세 구조 상수

얼랑: 통신 트래픽 공학에서의 통신량 척도이다.
신호 대 잡음비: 신호량과 잡음량의 비이다.

비중 - 물에 대한 밀도
상대 원자 질량, 표준 원자량
평형 상수 (때로는 무차원)
하타 수: 화학 공업에서의 가스 흡수 조작에 관한 무차원수.
치일레 수: 촉매 입자 내에서의 반응 속도와 확산 속도의 비.
물질 수송에 관한 무차원수

비습

운송 비용은 한 장소에서 다른 장소로 이동하는 효율이다.
탄력성은 다른 경제 변수의 변화에 대한 경제 변수의 비례적 변화를 측정하는 것이다.
기본 재생산수는 감염의 전염성을 정량화하기 위해 역학에서 사용되는 무차원 비율이다.
무차원수는 분야나 이론에 따라 많은 종류가 있다. 이는 현상을 기술하는 이론마다 무차원수를 찾을 수 있으며, 무차원수를 만드는 방식에 자유도가 있기 때문이다.

5. 1. 수학

수학 상수인 1, 허수 단위, 원주율, 자연로그의 밑 등 모든 순수한 '''수'''는 차원이 1이다. 평균과 표준 편차를 정규화하여, 어떤 수치가 모집단 내에서 어느 정도의 위치에 있는지를 나타내는 것을 편차값이라고 한다.

5. 2. 역학

반발 계수: 충돌 전후 속도의 비이다.

5. 3. 유체 역학

유체역학에서 사용되는 무차원량은 유체의 흐름, 열 및 물질 전달 현상을 이해하고 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 이러한 무차원량들은 다양한 물리적 힘과 과정 간의 상대적인 중요성을 나타내며, 복잡한 유체 시스템을 단순화하고 일반화하는 데 기여한다.

무차원 수	설명
레이놀즈 수(Reynolds number)	관성력과 점성력의 비율. 유동 형태(층류, 난류) 판별.^[29]
프란틀 수(Prandtl number)	운동량 확산과 열 확산의 비율.
마하 수(Mach number)	물체 또는 유체 속도와 음속의 비율.
베타	플라즈마 압력과 자기 압력의 비율 (자기권 및 핵융합 플라즈마 물리학).
담쾨러 수(Damköhler numbers)	화학 반응 시간 척도와 전달 현상 속도의 비율.
셔우드 수(Sherwood number)	대류 질량 전달과 확산 질량 수송 속도의 비율.
슈미트 수(Schmidt number)	운동량 확산율(동점성 계수)과 질량 확산율의 비율.
에커트 수(Eckert number)
비오 수(Biot number)
그라쇼프 수(Grashof number)

5. 4. 재료 공학

좀머펠트 수: 윤활 상태를 평가하는 수이다.
푸아송 비: 변형의 비이다.

5. 5. 전자기학

비유전율
비투자율
전기 감수율
자화율

5. 6. 광학

굴절률
아베 수
진동자 세기

5. 7. 소립자 물리학

미세 구조 상수

5. 8. 통신 공학

얼랑: 통신 트래픽 공학에서의 통신량 척도이다.
신호 대 잡음비: 신호량과 잡음량의 비이다.

5. 9. 화학

비중 - 물에 대한 밀도
상대 원자 질량, 표준 원자량
평형 상수 (때로는 무차원)
하타 수：화학 공업에서의 가스 흡수 조작에 관한 무차원수.
치일레 수：촉매 입자 내에서의 반응 속도와 확산 속도의 비.
물질 수송에 관한 무차원수
* 셔우드 수：성분 수송에서의 물질 이동과 확산의 비.
* 슈미트 수：물질 이동과 운동량 수송의 비.

5. 10. 기상학

비습

5. 11. 기타 분야

운송 비용은 한 장소에서 다른 장소로 이동하는 효율이다.
탄력성은 다른 경제 변수의 변화에 대한 경제 변수의 비례적 변화를 측정하는 것이다.
기본 재생산수는 감염의 전염성을 정량화하기 위해 역학에서 사용되는 무차원 비율이다.
무차원수는 분야나 이론에 따라 많은 종류가 있다. 이는 현상을 기술하는 이론마다 무차원수를 찾을 수 있으며, 무차원수를 만드는 방식에 자유도가 있기 때문이다.

6. 단위의 표현

무차원수는 기본적으로 단위를 부여하지 않지만^[34], 레벨과 같이 로그를 사용하여 정의되는 양에는 특별한 단위를 부여하는 경우가 있다.

데시벨: 기준량과의 비의 상용로그(밑을 10으로 한다).
네이피어: 기준량과의 비의 자연로그(밑을 네이피어 수 ''e'' ≈ 2.718281828459045... 로 한다).

참조

_[1] 웹사이트 "1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity" http://www.iso.org/s[...] International Organization for Standardization 2008
_[2] 웹사이트 SI Brochure: The International System of Units, 9th Edition https://www.bipm.org[...] International Bureau of Weights and Measures
_[3] 논문 Dimensionless units in the SI https://www.nist.gov[...] 2015-06-01
_[4] 논문 Unity as a Unit https://dx.doi.org/1[...] 1995-05
_[5] 서적 A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe https://books.google[...] Rutgers University Press 1999
_[6] 서적 EBOOK: Fluid Mechanics Fundamentals and Applications (SI units) https://books.google[...] McGraw Hill 2013-10-16
_[7] 논문 Indications of a Spatial Variation of the Fine Structure Constant https://link.aps.org[...] 2011-10-31
_[8] 논문 Zur Elektrodynamik bewegter Körper [AdP 17, 891 (1905)] https://onlinelibrar[...] 2005-02-23
_[9] 논문 Dimensionless Equation of State to Predict Microemulsion Phase Behavior https://pubs.acs.org[...] 2016-09-06
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_[11] 논문 Lost dimension: A flaw in the SI system leaves physicists grappling with ambiguous units - SI units need reform to avoid confusion https://www.nature.c[...] 2017-08-10
_[12] 논문 Don't tamper with SI-unit consistency 2017-09
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_[14] 웹사이트 BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 16th Meeting http://www.bipm.fr/u[...]
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_[20] 웹사이트 7.3 Dimensionless groups http://web.mit.edu/6[...]
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_[23] 논문 Review of Particle Physics https://link.aps.org[...] 2024-08-01
_[24] 서적 Quantum Gravity https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2004
_[25] 논문 Zur Elektrodynamik bewegter Körper [AdP 17, 891 (1905)] https://onlinelibrar[...] 2005-02-23
_[26] 웹사이트 NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics http://www.ipp.mpg.d[...] Naval Research Laboratory 2007
_[27] 웹사이트 Fluid Dynamic Aspects of Room Fires https://authors.libr[...] Fire Safety Science 1986
_[28] 웹사이트 "1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity" http://www.iso.org/s[...] International Organization for Standardization 2008
_[29] 웹사이트 BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 15th Meeting http://www.bipm.fr/u[...] 2003-04-17
_[30] 웹사이트 BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 16th Meeting http://www.bipm.fr/u[...]
_[31] 논문 An ontology on property for physical, chemical, and biological systems http://www.iupac.org[...]
_[32] 웹사이트 http://www.bipm.org/[...]
_[33] 웹사이트 http://www.bipm.org/[...]
_[34] 문서 無次元であることを明記したい場合に [1] などと書く場合もある。

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