믹스마스터 우주

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 가설 풀이
- 2.2. 동역학
3. 성질
- 3.1. 믹스마스터 퍼텐셜
4. 역사
5. 논의 (Discussion)
6. 우주론에의 응용 (Applications to cosmology)
참조

1. 개요

믹스마스터 우주는 위상 공간 $M=\mathbb S^3\times\mathbb R$ 으로 표현되며, 3차원 초구 $\mathbb S^3$ 는 공간 방향을, $\mathbb R$ 는 시간 방향을 나타낸다. 이 우주는 리만 계량 가설 풀이를 도입하여 비등방적 팽창을 나타내며, 팽창은 세 함수 $L_1(t),L_2(t),L_3(t)$ 로 표현된다. 믹스마스터 우주는 아인슈타인 방정식을 통해 우주의 크기와 모양의 변화를 기술하며, 혼돈적인 특성을 보인다. 1969년 찰스 윌리엄 미스너에 의해 도입되었으며, 초기 우주의 균질성을 설명하려는 시도로 개발되었지만, 현재는 우주 인플레이션으로 더 잘 설명된다고 여겨진다.

더 읽어볼만한 페이지

일반 상대성 이론의 엄밀해 - 슈바르츠실트 계량
슈바르츠실트 계량은 전하와 자하가 0인 정적이고 구면 대칭을 가지는 회전하지 않는 구형 별 또는 블랙홀을 나타내는 시공간의 계량으로, 아인슈타인 방정식의 해이며 블랙홀의 질량에 따라 사건 지평선을 가지는 특징을 보인다.
일반 상대성 이론의 엄밀해 - 정적 우주
정적 우주는 우주가 팽창하거나 수축하지 않는다고 가정하는 우주 모형이었으나, 아인슈타인이 제시하고 우주 상수를 도입했음에도 허블 법칙 발표 이후 폐기되었으며, 현대 우주론에서 암흑 에너지 개념으로 부활하기도 한다.

믹스마스터 우주
일반 정보
믹스마스터 우주의 애니메이션
유형	우주론 모형
제안자	찰스 미스너
발표 연도	1969년
특징	일반 상대성이론의 해, 우주 특이점 회피 시도, 카오스 이론과 관련
상세 정보
주요 내용	우주의 초기 상태는 등방성이 아니라 이방성이며, 시간이 지남에 따라 진동하고 혼란스러운 방식으로 팽창 및 수축함.
변수	세 개의 시간 의존적 스케일 팩터 (a(t), b(t), c(t))
방정식	아인슈타인 방정식의 해
관련 개념
관련 이론	일반 상대성이론, 카오스 이론
연관 연구	양자 우주론
비판	우주 마이크로파 배경의 등방성을 설명하지 못함

2. 정의

믹스마스터 우주는 3차원 초구 형태의 공간과 시간으로 이루어진 위상 공간을 갖는다.

2. 1. 가설 풀이

믹스마스터 우주는 위상 공간으로서 M|엠^영어=S|에스^영어³×R|아르^영어이다. 여기서 3차원 초구 S|에스^영어³는 공간 방향이며, R|아르^영어는 시간 방향이다. S|에스^영어³ 위에 표준적인 구면 좌표계 (θ, ψ, φ)를 부여한다.

초구 S|에스^영어³ 위의 세 1차 미분 형식

:σ₁ = sin ψ dθ - cosψ sinθ dφ

:σ₂ = cos ψ dθ + sinψ sinθ dφ

:σ₃ = -dψ - cosθ dφ

을 부여할 수 있으며, 이는

:dσ_i=½ε_ijkσ_j∧σ_k

를 만족시킨다.

이제, M|엠^영어 위의 다음과 같은 (부호수 -+++의) 리만 계량 가설 풀이를 생각한다.

:ds²=-dt²+∑_i=1³(L_i(t))²σ_i²

이 가설 풀이는 비안키 분류 Ⅸ형의 일반형이며, S|에스^영어⁴의 SO|에스오^영어(4)≅(SU|에스유^영어(2)×SU|에스유^영어(2))/(Z|제트^영어/2) 대칭 가운데 하나의 SU|에스유^영어(2)만을 보존한다. 이 가설 풀이는 세 개의 미지의 함수 L₁(t), L₂(t), L₃(t)를 갖는다. 이들은 편의상 우주의 팽창을 나타내는 함수 (L_i의 자연 로그의 산술 평균 × -1)

:Ω(t)=-⅓(ln L₁(t)+ln L₂(t)+ln L₃(t))

와 우주의 비등방성을 나타내는 두 함수

:β₊(t)=Ω(t)-ln(L₃(t))

:β_-(t)=(1/√3)ln(L₁(t)/L₂(t))

로 다시 쓸 수 있다. Ω는 대략 우주의 너비의 로그 ×-1에 해당하며, Ω가 더 클 수록 우주의 부피가 더 작다 (즉, 빅뱅은 Ω→∞ 극한이다). 마찬가지로, β_±가 (양 또는 음으로) 0에서 더 멀 수록 우주는 더 일그러진 모양을 한다. 만약 β₊=β_-=0인 경우 (등방적 우주) 이는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량이 된다.

2. 2. 동역학

아인슈타인 방정식을 <math>\Omega(t)</math> (우주의 크기)와 <math>\beta_\pm(t)</math> (우주의 모양)에 대하여 적용할 수 있다. 에너지-운동량 텐서와 우주 상수가 0이라고 가정하면(즉, 리치 곡률이 0이라고 하자), <math>\Omega\to+\infty</math> 극한(빅뱅 근처)에서 아인슈타인 방정식은 다음과 같은 두 방정식이 된다.^[6]

<math>4=\left(\frac{\mathrm d\beta_+}{\mathrm d\Omega}\right)^2+\left(\frac{\mathrm d\beta_-}{\mathrm d\Omega}\right)^2+4\Lambda(t)^{-1}\exp(-4\Omega(t))V(\beta_+,\beta_-)</math>
<math>\frac{\mathrm d\Lambda}{\mathrm d\Omega}=-4\Lambda^{-1}\exp(-4\Omega(t))V(\beta_+,\beta_-)</math>

첫째 식에 의하여 <math>\Lambda(t)</math>를 정의할 수 있고, 둘째 식에 의하여 <math>\Lambda</math>는 <math>\Omega\gg1</math>일 때 거의 변화하지 않는다.

<math>\Omega</math>를 "시간", <math>\vec\beta=(\beta_+,\beta_-)</math>를 "위치"로 간주하면, 이는 시간 의존 라그랑지언^[6]

:<math>L(\beta_+,\beta_-;\Omega)=\frac12\sqrt{\Lambda(\Omega)}\dot{\boldsymbol\beta}^2-\frac{2V(\beta_+,\beta_-)}{\sqrt{\Lambda(\Omega)}\exp(4\Omega)}</math>

에 의하여 묘사된다. 여기서 퍼텐셜 <math>V(\beta)</math>는 다음과 같다.^[6]

:<math>V(\beta_+,\beta_-)=1+\frac13\exp(-4\beta_+)-\frac43\exp(-\beta_+)\cosh(\sqrt3\beta_-)+\frac23\exp(2\beta_+)\left(\cosh\left(2\sqrt3\beta_-\right)-1\right)</math>

이 퍼텐셜의 벽은 매우 가파르게 증가한다. 시간 의존 "질량"에 해당하는 <math>\Lambda(\Omega)^2</math>가 우주 초기(<math>\Omega\gg1</math>)에는 매우 천천히 변한다. 따라서, 믹스마스터 우주의 빅뱅 근처에서의 시간 변화는 대략 "당구대" 위의 "당구공"의 운동으로 근사되는데, 이러한 동역학계는 혼돈적 현상을 보인다.

3. 성질

믹스마스터 우주는 혼돈적이라는 것이 1996년에 증명되었다.^[4]^[5] 믹스마스터 우주의 빅뱅 근처 시간 변화는 '당구대' 위 '당구공'의 운동으로 근사할 수 있으며, 이는 혼돈적 현상을 보인다.

3. 1. 믹스마스터 퍼텐셜

아인슈타인 방정식을 믹스마스터 우주에 적용하면, 우주의 크기를 나타내는

\Omega(t)

와 우주의 모양을 나타내는

\beta_\pm(t)

사이의 관계를 얻을 수 있다. 빅뱅 근처(

\Omega\to+\infty

)에서, 이 방정식들은 다음과 같이 간단해진다.^[6]

:

4=\left(\frac{\mathrm d\beta_+}{\mathrm d\Omega}\right)^2+\left(\frac{\mathrm d\beta_-}{\mathrm d\Omega}\right)^2+4\Lambda(t)^{-1}\exp(-4\Omega(t))V(\beta_+,\beta_-)

:

\frac{\mathrm d\Lambda}{\mathrm d\Omega}=-4\Lambda^{-1}\exp(-4\Omega(t))V(\beta_+,\beta_-)

여기서

\Lambda(t)

는 첫 번째 식에 의해 정의되며,

\Omega\gg1

일 때 거의 변하지 않는다. 이 상황은

\Omega

를 '시간',

\vec\beta=(\beta_+,\beta_-)

를 '위치'로 생각하면, 다음과 같은 시간 의존 라그랑지언으로 묘사할 수 있다.^[6]

:

L(\beta_+,\beta_-;\Omega)=\frac12\sqrt{\Lambda(\Omega)}\dot{\boldsymbol\beta}^2-\frac{2V(\beta_+,\beta_-)}{\sqrt{\Lambda(\Omega)}\exp(4\Omega)}

이때 퍼텐셜

V(\beta)

는 다음과 같다.^[6]

:

V(\beta_+,\beta_-)=1+\frac13\exp(-4\beta_+)-\frac43\exp(-\beta_+)\cosh(\sqrt3\beta_-)+\frac23\exp(2\beta_+)\left(\cosh\left(2\sqrt3\beta_-\right)-1\right)

이 퍼텐셜은 매우 가파르게 증가하는 벽을 가지고 있으며, 우주 초기에는

\Lambda(\Omega)^2

가 매우 천천히 변한다. 따라서 믹스마스터 우주의 빅뱅 근처 시간 변화는 '당구대' 위 '당구공'의 운동으로 근사할 수 있으며, 이는 혼돈적 현상을 보인다.

믹스마스터 우주의 퍼텐셜은 항상 0 이상이며(

V\ge0

), 원점에서

V(0,0)=0

이다. 원점 근처에서 매클로린 급수는 다음과 같다.

:

V(\beta_+,\beta_-)=2\beta_+^2+2\beta_-^2+O(\beta_+\beta_-^2)+O(\beta_-^4)

이 퍼텐셜은

\beta_-\mapsto-\beta_-

대칭을 가지며, 바닥은

\beta_+

축을 대칭축으로 하는 이등변 삼각형 모양이다. 이 이등변 삼각형의 각 꼭짓점은 무한히 계속되는 골짜기 모양을 하며, 위치는 다음과 같다.

$1\ll\beta_+$ 이고 $|\beta_-|^{-1}\gg\exp(\beta_+)$ 일 때,
: $V=1+4\exp(2\beta_+)\beta_-^2+O\left(\exp(2\beta_+)\beta_-^4\right)+O\left(\exp(-\beta_+)\right)$
$1\ll-\beta_+$ 이고 $\beta_-\approx\pm\sqrt3\beta_+$ 일 때, ( $\beta_-=\pm\sqrt3\beta_+\mp(\ln a)/\sqrt3$ 로 놓으면)
: $V=1+\frac13\exp(-4\beta_+)(1-a)^2+O\left(\exp(2\beta_+)\right)$

4. 역사

찰스 윌리엄 미스너(Charles William Misner^영어, 1932~)가 1969년에 믹스마스터 우주를 제안했다.^[6] "믹스마스터"라는 이름은 미국의 가전 제품 회사 선빔프로덕츠(Sunbeam Products^영어, 舊名 시카고 유연 샤프트 회사 Chicago Flexible Shaft Company^영어)가 1930년부터 생산하기 시작한 믹서 브랜드 믹스마스터(Mixmaster^영어, 혼합mix|믹스^영어의 달인master|마스터^영어)에서 따온 것이다.

미스너는 이 모형을 우주론의 지평선 문제를 해결하기 위해 개발하였다. 빅뱅 초기의 우주가 마치 "믹서"로 뒤섞은 듯한 혼돈적인 현상을 보인다면, 우주가 광역에 걸쳐 등방적인 것을 설명할 수 있기 때문이다. 그러나 실제 우주의 모형으로서 믹스마스터 우주는 급팽창 이론으로 대체되었다.^[3]

5. 논의 (Discussion)

믹스마스터 우주는 닫힌 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 우주와 유사하지만, 공간이 팽창하거나 수축할 때 비등방적으로 왜곡될 수 있다는 점에서 더 복잡한 동역학을 가진다.^[6] 믹스마스터 우주의 진화는 척도 인자 $a(t)$ 와 두 개의 형상 매개변수 $\beta_\pm(t)$ 로 설명된다. 형상 매개변수는 부피와 리치 곡률 스칼라를 일정하게 유지하면서 $S^3$ (3차원 초구)의 왜곡을 나타낸다.

미스너는 형상 매개변수 $\beta_\pm(t)$ 의 움직임을 통해 우주의 혼돈적 진화를 설명하고자 하였다. 그는 $\beta_\pm(t)$ 가 마치 마찰이 있는 가파른 삼각형 퍼텐셜 안에서 움직이는 점 입자의 좌표처럼 작용한다고 보았다.^[6] 이러한 점 입자의 운동을 통해, 미스너는 우주가 일부 방향으로는 팽창하고 다른 방향으로는 수축하며, 팽창과 수축의 방향이 반복적으로 바뀌는 현상을 보였다. 퍼텐셜이 삼각형 모양이기 때문에 미스너는 이러한 진화가 혼돈적일 것이라고 제안했다.

6. 우주론에의 응용 (Applications to cosmology)

찰스 윌리엄 미스너(Charles William Misner^영어)는 믹스마스터 우주의 혼돈적 특성이 초기 우주를 균질하게 만들고 지평선 문제를 해결할 수 있다고 제안했다.^[6] 빅뱅 초기의 우주가 마치 믹서로 뒤섞은 듯한 혼돈적인 현상을 보인다면, 우주가 광역에 걸쳐 등방적인 것을 설명할 수 있기 때문이다. 그러나 실제 우주의 모형으로서 믹스마스터 우주는 급팽창 이론으로 대체되었다.^[3]

미스너가 연구한 믹스마스터 우주의 계량은 비앙키 유형 IX 계량으로도 알려져 있다. 믹스마스터 우주는 닫힌 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 우주와 유사하며, 공간은 양의 곡률을 가지고 위상학적으로 3차원 구 $S^3$ 이다. FRW 우주에서는 $S^3$ 가 팽창하거나 수축할 수만 있지만, 믹스마스터 우주에서 $S^3$ 는 팽창하거나 수축할 수 있을 뿐만 아니라 비등방적으로 왜곡될 수도 있다.

믹스마스터 우주의 진화는 척도 인자 $a(t)$ 뿐만 아니라 두 개의 형상 매개변수 $\beta_\pm(t)$ 로 설명된다. 형상 매개변수 값은 부피를 유지하고 일정한 리치 곡률 스칼라를 유지하는 $S^3$ 의 왜곡을 설명한다. 따라서 세 개의 매개변수 $a,\beta_\pm$ 가 다른 값을 취함에 따라 균질성은 유지되지만 등방성은 유지되지 않는다.

미스너는 형상 매개변수 $\beta_\pm(t)$ 가 마찰이 있는 급격하게 상승하는 벽이 있는 삼각형 퍼텐셜에서 움직이는 점 질량의 좌표처럼 작용한다는 것을 보여주었다. 이 점의 움직임을 연구하여 물리적 우주가 일부 방향으로 팽창하고 다른 방향으로 수축하며 팽창과 수축의 방향이 반복적으로 변경된다는 것을 보여주었다. 퍼텐셜이 대략 삼각형이기 때문에 진화가 혼돈적이라고 제안했다.

또한, 한 방향이 정적인 기간(예: 팽창에서 수축으로 전환) 동안에는 해당 방향의 허블 지평선 $H^{-1}$ 이 무한대가 되며, 이는 지평선 문제를 해결할 수 있다는 것을 의미한다고 제시했다. 팽창과 수축의 방향이 다양했기 때문에, 충분한 시간이 주어진다면 모든 방향에서 지평선 문제가 해결될 것이라고 추정했다.

하지만, 중력적 혼돈의 흥미로운 예시이기는 하지만, 믹스마스터 우주가 해결하려는 우주론적 문제는 우주 인플레이션으로 더 우아하게 해결된다는 것이 널리 알려져 있다.

참조

_[1] 서적 Chaos in the Cosmos: The Stunning Complexity of the Universe Springer 2013
_[2] 논문 Mixmaster Universe http://astrophysics.[...] 1969-05
_[3] 간행물 Bianchi universes 2016
_[4] 간행물 The mixmaster universe is chaotic 1997
_[5] 간행물 The mixmaster universe: a chaotic Farey tale 1997
_[6] 간행물 Mixmaster universe http://www.gravityre[...] 2010-03-15

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com