회전 (벡터)

2.1. 직교 좌표계에서의 정의

어떤 벡터장 F=F₁i+F₂j+F₃k의 회전은 다음과 같이 표현되는 기호 행렬식이다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; F=\backslash det\backslash begin\{pmatrix\}$
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
\partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\
F_1 & F_2 & F_3 \\
\end{pmatrix} =\left( \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} \right)\mathbf i+\left( \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} \right)\mathbf j+\left( \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right)\mathbf k

만일 왼손좌표계의 경우에는 위의 행렬식에 음의 부호를 취한다.

3차원 직교 좌표계로 전개하면, F가 [F_x, F_y, F_z]로 구성된 경우(첨자는 벡터의 성분을 나타내고 편미분을 나타내지 않음):

:$$
\nabla \times \mathbf{F} =
\begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat\imath} & \boldsymbol{\hat\jmath} & \boldsymbol{\hat k} \\[5mu]
{\dfrac{\partial}{\partial x}} & {\dfrac{\partial}{\partial y}} & {\dfrac{\partial}{\partial z}} \\[5mu]
F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}


여기서 i, j, k는 각각 x축, y축, z축의 단위 벡터이다. 이는 다음과 같이 전개된다.

:$$
\nabla \times \mathbf{F} =
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} +
\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} +
\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k}


좌표로 표현되지만, 그 결과는 좌표축의 적절한 회전에 대해 불변이지만 반사에 대해서는 반전된다.

직교 좌표 (x₁, x₂, x₃)와 직교 좌표 (u₁, u₂, u₃)에 대해,

:$h\_i\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; x\_1\}\{\backslash partial\; u\_i\}\; \backslash right\; )^2\; +\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; x\_2\}\{\backslash partial\; u\_i\}\; \backslash right\; )^2\; +\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial\; x\_3\}\{\backslash partial\; u\_i\}\; \backslash right\; )^2\}$

는 u_i에 해당하는 좌표 벡터의 길이이다.

2.2. 좌표계 독립적인 정의

좌표계에 의존하지 않는, 보다 일반적인 정의는 다음과 같다. 여기서 $V$는 특정 점을 둘러싸는 임의의 닫힌 곡면 $S$로 둘러싸인 부피이고, n은 곡면 $S$의 바깥 방향 법선벡터이다. 이 정의는 회전이 단위 부피당 벡터장의 순환(circulation)으로 해석될 수 있음을 보여준다.
:$\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\; F=\backslash lim\_\{V\; \backslash to\; 0\}\backslash frac\{1\}\{V\}\backslash oint\_\{S\}\backslash mathbf\{n\}\backslash times\backslash mathbf\{F\}\backslash ,da$
위 정의에서 면적분을 선적분 형태로 바꿀 수 있다. 여기서 a는 임의의 단위벡터이고, $S\text{'}$는 a에 수직인 평면, $C$는 $S\text{'}$의 둘레이다.
:$\backslash hat\{\backslash mathbf\; a\}\backslash cdot\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\; F=\backslash lim\_\{S\text{'}\backslash to\; 0\}\backslash frac\{1\}\{S\text{'}\}\backslash oint\_C\backslash mathbf\; F\backslash cdot\; d\backslash mathbf\; l$

3. 성질

회전은 벡터 연산의 일종으로, 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다.

일반적으로 곡선 좌표계에서 벡터장 $\backslash mathbf\{v\}$와 $\backslash mathbf\{F\}$의 외적의 회전은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{v\; \backslash times\; F\}\; \backslash right)\; =\; \backslash Big(\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; F\; \}\; \backslash right)\; +\; \backslash mathbf\{F\; \backslash cdot\; \backslash nabla\}\; \backslash Big)\; \backslash mathbf\{v\}-\; \backslash Big(\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; v\; \}\; \backslash right)\; +\; \backslash mathbf\{v\; \backslash cdot\; \backslash nabla\}\; \backslash Big)\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash \; .$$

벡터장 $\backslash mathbf\{v\}$와 $\backslash nabla$ 연산자를 바꾸면 벡터장과 벡터장의 회전의 외적을 얻는다.
$$\backslash mathbf\{v\; \backslash times\; \}\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{\; \backslash nabla\; \backslash times\; F\}\; \backslash right)\; =\backslash nabla\_\backslash mathbf\{F\}\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{v\; \backslash cdot\; F\; \}\; \backslash right)\; -\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{v\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; \}\; \backslash right)\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash \; ,$$
여기서 $\backslash nabla\_\backslash mathbf\{F\}$는 파인만 첨자 표기법으로, 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$에 의한 변화만을 고려한다(즉, 이 경우 $\backslash mathbf\{v\}$는 공간적으로 일정하다고 간주한다).

벡터장의 회전의 회전은 일반 좌표계에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\; \backslash times\; F\}\; \backslash right)\; =\; \backslash mathbf\{\backslash nabla\}(\backslash mathbf\{\backslash nabla\; \backslash cdot\; F\})\; -\; \backslash nabla^2\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash \; ,$$
이 항등식은 $\backslash mathbf\{F\}$의 벡터 라플라시안을 정의하며, $\backslash nabla^2\; \backslash mathbf\{F\}$로 표시한다.

* 회전하는 원판의 각 부분의 선속도를 나타내는 벡터장에서 회전은 각 점에서 같은 값을 가진다.
* 맥스웰 방정식 네 가지 중 두 가지인 패러데이 전자기 유도 법칙과 앙페르 법칙은 회전을 사용하여 간결하게 쓸 수 있다. 패러데이 법칙은 전기장의 회전이 자기장의 시간 변화율의 음의 배와 같다는 것을 설명하며, 앙페르 법칙은 자기장의 회전이 전류 및 전기장의 시간 변화율과 관련이 있음을 설명한다.

3.1. 선형성

회전은 선형 연산자이다. 즉, 임의의 벡터장 F, G와 상수 a, b에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; (a\backslash mathbf\{F\}\; +\; b\backslash mathbf\{G\})\; =\; a\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\})\; +\; b\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{G\}).$

3.2. 곱셈 규칙

스칼라 값 함수 $\backslash varphi$와 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$의 곱의 회전은 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; (\; \backslash varphi\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; \backslash nabla\; \backslash varphi\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; +\; \backslash varphi\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}$

3.3. 발산과의 관계

임의의 벡터장 F의 회전의 발산은 항상 0이다.
:$\backslash nabla\backslash cdot(\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\})\; =\; 0.$
이는 회전이 발산이 없는 벡터장(divergence-free vector field)을 생성함을 의미한다.

3.4. 기울기와의 관계

임의의 스칼라장 φ의 기울기의 회전은 항상 영벡터이다.
$$\backslash nabla\; \backslash times\; (\; \backslash nabla\; \backslash varphi\; )\; =\; \backslash boldsymbol\{0\}$$
이는 회전의 정의에서의 반대칭성과 이계도함수의 대칭성에 따른다. 따라서 어떤 함수의 기울기로 표현되는 벡터장은 회전이 없다.

4. 물리적 의미 및 활용

어떤 강체가 축을 중심으로 각속도 ω로 회전하고 있을 때, 이 강체 각 부분의 속도의 벡터장을 V라고 하면, z축을 축으로 잡는 경우 각속도는 다음과 같다.
:$\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}=\backslash omega\backslash mathbf\{k\}$
그리고 V는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:$\backslash mathbf\{V\}\backslash left(\; x,y,z\backslash right)\; =\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\backslash times\backslash mathbf\{r\}=\backslash omega\backslash mathbf\{k\}\backslash times(x\backslash mathbf\{i\}+y\backslash mathbf\{j\})=\backslash omega\; x\backslash mathbf\{j\}-\backslash omega\; y\backslash mathbf\{i\}$
V의 회전을 계산하면 다음과 같다.
:
즉, 회전은 각속도와 연관되어 있으며, $\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{V\}=\backslash mathbf\{0\}$이면 그 강체는 회전하고 있지 않다는 것을 의미한다.

회전 연산자는 3차원 외적과의 유사성에서 유래했으며, 델 연산자를 벡터 미분 연산자로 간주하는 경우 직교 좌표계에서 유용하다. 3차원 직교 좌표계에서 F가 로 구성된 경우, 회전은 다음과 같이 전개된다.
:$$$$
\nabla \times \mathbf{F} =
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} +
\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} +
\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k}

4.1. 유체역학

유체의 한 지점에서 회전은 그 지점에 놓인 강체의 각속도의 2배이다. 만약 그 지점의 회전이 0이라면 그 지점에 소용돌이가 존재하지 않는다. 예를 들어 목욕탕 배수구를 열었을 때 나타나는 물의 운동의 경우 배수구가 있는 정중앙을 제외한 나머지 부분에서 회전이 0이다. 즉, 물은 배수구를 중심으로 원운동을 하고 있지만 각각의 점에서 소용돌이가 일어나고 있지 않고 전체적으로 배수구를 휘감아 빠져나간다. 그러므로 만약 나뭇잎을 띄우면 나뭇잎은 흔들리지 않고 배수구 주위를 원운동하다가 배수구 근처에 다다랐을 때 회전을 시작할 것이다.

벡터장이 유체 흐름(예: 큰 탱크의 액체 또는 기체)의 속도장을 나타낸다고 가정하고, 작은 공이 유체 또는 기체 내에 위치한다고 하자(공의 중심은 특정 지점에 고정되어 있음). 공의 표면이 거칠다면, 공을 지나치는 유체의 흐름으로 인해 공이 회전하게 된다. 회전축(오른손 법칙에 따라 방향이 결정됨)은 공의 중심에서 장의 회전(curl) 방향을 가리키며, 회전의 각속도는 이 지점에서 회전의 크기의 절반이다.

4.2. 전자기학

전자기학에서 맥스웰 방정식 중 패러데이 법칙과 앙페르 법칙은 회전을 사용하여 간결하게 표현할 수 있다. 패러데이 법칙은 전기장의 회전이 자기장의 시간 변화율의 음의 배와 같다고 설명하며, 앙페르 법칙은 자기장의 회전이 전류 및 전기장의 시간 변화율과 관련이 있음을 설명한다.

4.3. 기타 응용

회전은 기상학, 해양학, 항공우주공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 대기나 해수의 흐름을 분석하고 예측하는 데 회전 개념이 사용된다.

* 등속 원운동을 하는 원판 각 부분의 선속도를 나타내는 벡터장에서, 회전은 모든 점에서 같은 값을 가지며, 이 값은 원판의 벡터 각속도의 정확히 두 배이다(오른손 법칙에 따라 방향이 정해짐). 보다 일반적으로, 임의의 유동 질량에 대해 질량 유동의 각 점에서 선속도 벡터장의 회전(그 점에서의 유동의 와도)은 그 점을 중심으로 한 질량의 국소 벡터 각속도의 정확히 두 배와 같다.
* 외부 물리적 힘(중력이나 전자기력 등)을 받는 모든 고체 물체에 대해, 물체의 각 점에서 작용하는 미소 단위 부피당 힘 기여를 나타내는 벡터장을 고려할 수 있다. 이 힘장은 물체의 질량 중심을 중심으로 순 토크를 생성할 수 있으며, 이 토크는 힘장의 회전의 전체 부피에 대한 벡터 적분에 대해 직접 비례하고 벡터적으로 평행함을 알 수 있다.
* 맥스웰 방정식 네 개 중 패러데이 유도 법칙과 앙페르 회로 법칙 두 가지는 회전을 사용하여 간결하게 표현할 수 있다. 패러데이 법칙은 전기장의 회전이 자기장의 시간 변화율의 반대와 같다고 명시하는 반면, 앙페르 법칙은 자기장의 회전을 전류와 전기장의 시간 변화율과 관련짓는다.

5. 회전의 일반화

벡터 미적분의 회전(curl) 연산은 미분 형식을 사용하여 고차원으로 일반화할 수 있다. 3차원에서 회전은 미분 1-형식의 외미분에 해당한다.

기하학적으로 회전은 2-벡터장 또는 반대칭 텐서로 해석될 수 있다. 이는 무한소 회전을 나타내는 특수 직교 리 대수와 관련된다. 3차원에서 2-벡터 전체는 무한소 회전 전체와 동일시될 수 있다.

3차원에서 미분 0-형식은 실수 값 함수이다. 미분 1-형식은 다음과 같은 표현이다.
$$a\_1\backslash ,dx\; +\; a\_2\backslash ,dy\; +\; a\_3\backslash ,dz;$$
미분 2-형식은 다음과 같다.
$$a\_\{12\}\backslash ,dx\backslash wedge\; dy\; +\; a\_\{13\}\backslash ,dx\backslash wedge\; dz\; +\; a\_\{23\}\backslash ,dy\backslash wedge\; dz;$$
미분 3-형식은 다음과 같이 정의된다.
$$a\_\{123\}\backslash ,dx\backslash wedge\; dy\backslash wedge\; dz.$$
$k$-형식의 외미분은 $\backslash mathbb\{R\}^3$에서 위와 같은 $(k+1)$-형식으로 정의된다. 예를 들어,

이면 외미분 $d$는 다음을 산출한다.


1-형식의 외미분은 2-형식이고, 2-형식의 외미분은 3-형식이다. 외미분을 두 번 적용하면 0이 된다.

$k$-형식의 공간을 $\backslash Omega^k\backslash left(\backslash mathbb\{R\}^3\backslash right)$로, 외미분을 $d$로 표기하면 다음과 같은 수열을 얻는다.
$$0\; \backslash ,\; \backslash overset\{d\}\{\backslash longrightarrow\}\; \backslash ;$$
\Omega^0\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \;
\Omega^1\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \;
\Omega^2\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \;
\Omega^3\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \, 0.

차원만 쓰면 다음과 같다.

0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0

리만 다양체에서 $k$-형식은 $k$-벡터 필드로 식별될 수 있다. 방향이 있는 벡터 공간과 비퇴화 형식이 있으면 $k$-벡터와 $(n-k)$-벡터 사이에 동형사상이 있다.

$\backslash mathbb\{R\}^3$에서 1-형식과 1-벡터 필드는 다음과 같이 대응된다.
* 1-형식 $a\_x\; dx\; +\; a\_y\; dy\; +\; a\_z\; dz$은 벡터 필드 $(a\_x,\; a\_y,\; a\_z)$에 해당한다.

1-형식과 2-형식은 다음과 같이 대응된다.
* 형식 $a\_x\; dx\; +\; a\_y\; dy\; +\; a\_z\; dz$은 "이중 형식" $a\_z\; dx\; \backslash wedge\; dy\; +\; a\_y\; dz\; \backslash wedge\; dx\; +\; a\_x\; dy\; \backslash wedge\; dz$에 해당한다.

0-형식과 3-형식은 스칼라 필드, 1-형식과 2-형식은 벡터 필드로 식별하면 다음과 같다.
* grad는 스칼라 필드(0-형식)를 벡터 필드(1-형식)로 취한다.
* curl은 벡터 필드(1-형식)를 유사 벡터 필드(2-형식)로 취한다.
* div는 유사 벡터 필드(2-형식)를 유사 스칼라 필드(3-형식)로 취한다.

$d^2\; =\; 0$이라는 사실은 다음 항등식에 해당한다.
$$\backslash nabla\backslash times(\backslash nabla\; f)\; =\; \backslash mathbf\; 0$$
$$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash times\backslash mathbf\; v)=0$$

4차원에서 차원은 다음과 같다.

0 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0

1-벡터 필드의 curl은 각 점에서 6차원 벡터 공간에 속하는 2-벡터 필드이다.


2-벡터는 외적 거듭제곱 $\backslash Lambda^2\; V$에 대응하며, 기하학적으로는 무한소 회전의 특수 직교 리 대수 $\backslash mathfrak\{so\}(V)$로 간주된다.

6. 한국에서의 회전 연구 및 활용

회전 개념은 한국의 다양한 과학기술 분야에서 널리 활용되고 있다. 특히, 조선해양공학 분야에서는 선박이나 해양 구조물 주변의 유체 흐름을 해석하고 설계하는 데 회전 개념이 필수적으로 사용된다. 또한, 기상청에서는 태풍, 해류 등 대규모 대기 및 해양 현상을 예측하고 분석하는 데 회전 개념을 활용하고 있다.