헬름홀츠 정리

3. 역사

1849년 조지 가브리엘 스토크스가 3차원에서 헬름홀츠 분해를 처음 설명하였으며,^[31] 이는 회절 이론을 위한 것이었다. 헤르만 폰 헬름홀츠는 1858년에 유체역학 기본 방정식에 관한 논문을 발표했는데,^[19][21] 이는 소용돌이 선 근처의 유체 운동을 설명하는 헬름홀츠의 정리에 대한 그의 연구의 일부였다.^[21] 이들의 유도는 무한대에서 벡터장이 충분히 빠르게 감쇠해야 함을 요구했다. 이후 이 조건은 완화될 수 있었고, 헬름홀츠 분해는 더 높은 차원으로 확장될 수 있었다.^[14][34][27]

4. 푸리에 변환을 이용한 유도

헬름홀츠 정리는 푸리에 변환을 이용하여 유도할 수 있다.^[1] 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 푸리에 변환인 \(\mathbf{G}\)는 반드시 존재한다.^[1]

$$\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash iiint\; \backslash mathbf\{G\}(\backslash mathbf\{k\})\; e^\{i\backslash mathbf\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{r\}\}\; dV\_k$$

스칼라장의 푸리에 변환은 스칼라장이며, 벡터장의 푸리에 변환은 같은 차원의 벡터장이다.^[1]

다음은 고려해야 할 스칼라장과 벡터장이다.^[1]

$$\backslash begin\{align\}$$

G_\Phi(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2} \\

\mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \times \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2} \\ [8pt]

\Phi(\mathbf{r}) &= \iiint G_\Phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k \\

\mathbf{A}(\mathbf{r}) &= \iiint \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k

\end{align}

따라서,

$$\backslash begin\{align\}$$

\mathbf{G}(\mathbf{k}) &= - i \mathbf{k} G_\Phi(\mathbf{k}) + i \mathbf{k} \times \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) \\ [6pt]

\mathbf{F}(\mathbf{r}) &= -\iiint i \mathbf{k} G_\Phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k + \iiint i \mathbf{k} \times \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k \\

&= - \nabla \Phi(\mathbf{r}) + \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})

\end{align}

위 식과 같이 벡터장을 종파 성분과 횡파 성분으로 분해하고, 이를 다시 역변환하여 스칼라 포텐셜과 벡터 포텐셜을 얻는다.^[1]

5. 종파 및 횡파 성분

물리학에서 벡터장의 회전이 없는 성분을 '''종파 성분''', 발산이 없는 성분을 '''횡파 성분'''이라고 부른다.^[30] 이는 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$의 3차원 푸리에 변환 $\backslash hat\backslash mathbf\{F\}$을 계산하고, 각 점 '''k'''에서 이 필드를 '''k'''에 평행한 종방향 성분과 '''k'''에 수직인 횡방향 성분으로 분해하는 방식에서 유래한다.

$$\backslash hat\backslash mathbf\{F\}\; (\backslash mathbf\{k\})\; =\; \backslash hat\backslash mathbf\{F\}\_t\; (\backslash mathbf\{k\})\; +\; \backslash hat\backslash mathbf\{F\}\_l\; (\backslash mathbf\{k\})$$

$$\backslash mathbf\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash hat\backslash mathbf\{F\}\_t(\backslash mathbf\{k\})\; =\; 0.$$

$$\backslash mathbf\{k\}\; \backslash times\; \backslash hat\backslash mathbf\{F\}\_l(\backslash mathbf\{k\})\; =\; \backslash mathbf\{0\}.$$

이러한 각 성분에 역 푸리에 변환을 적용하면 푸리에 변환의 속성에 따라 다음이 성립한다.

$$\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_t(\backslash mathbf\{r\})+\backslash mathbf\{F\}\_l(\backslash mathbf\{r\})$$

$$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\_t\; (\backslash mathbf\{r\})\; =\; 0$$

$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\_l\; (\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash mathbf\{0\}$$

$\backslash nabla\backslash times(\backslash nabla\backslash Phi)=0$ 및 $\backslash nabla\backslash cdot(\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{A\})=0$이므로,

$$\backslash mathbf\{F\}\_t=\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{A\}=\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash nabla\backslash times\backslash int\_V\backslash frac\{\backslash nabla\text{'}\backslash times\backslash mathbf\{F\}\}\{\backslash left|\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}\backslash right|\}\backslash mathrm\{d\}V\text{'}$$

$$\backslash mathbf\{F\}\_l=-\backslash nabla\backslash Phi=-\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash nabla\backslash int\_V\backslash frac\{\backslash nabla\text{'}\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}\}\{\backslash left|\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}\backslash right|\}\backslash mathrm\{d\}V\text{'}$$

를 얻는다. 즉, 이는 헬름홀츠 분해이다.^[22]

3차원 임의의 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\; x)$는 스칼라 포텐셜 $\backslash phi(\backslash mathbf\; x)$ 과 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\; x)$ 을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$

\mathbf{F}(\mathbf x) = - \nabla\phi(\mathbf x) + \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf x)

=-\operatorname{grad}\phi(\mathbf x) + \operatorname{rot}\mathbf{A}(\mathbf x)



이는 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\; x)$를 스칼라장 $\backslash phi(\backslash mathbf\; x)$의 기울기 $\backslash nabla\backslash phi(\backslash mathbf\; x)$ 항과 벡터장 $\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\; x)$의 회전 $\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\; x)$ 항으로 분해하는 것이다. 이를 '''헬름홀츠 정리'''라고 한다.

이때, 스칼라 포텐셜과 벡터 포텐셜의 선택은 유일하지 않다.

응용상 자주 사용되는 표현은 다음과 같다.

:$$

\phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi}

\int

\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}')}

6. 응용 분야

헬름홀츠 정리는 전자기학, 유체역학, 동역학계 이론, 의료 영상, 컴퓨터 애니메이션 및 로봇 공학 등 다양한 분야에서 응용된다.

6. 1. 전자기학

6. 2. 유체 역학

6. 3. 동역학계 이론

6. 4. 의료 영상

6. 5. 컴퓨터 애니메이션 및 로봇 공학

7. 해의 유일성

일반적으로 헬름홀츠 분해는 유일하게 정의되지 않는다. 그러나 무한대에서 0으로 수렴하는 벡터장의 경우, 스칼라 및 회전 포텐셜도 무한대에서 0으로 수렴하는 조건을 추가하면 유일성이 보장된다.^[2]

만약 $(\backslash Phi\_1,\; \{\backslash mathbf\; A\_1\})$가 $\backslash mathbf\; F$의 헬름홀츠 분해라면, $(\backslash Phi\_2,\; \{\backslash mathbf\; A\_2\})$는 다음의 경우에만 다른 분해이다.

:$\backslash Phi\_1-\backslash Phi\_2\; =\; \backslash lambda\; \backslash quad$ and $\backslash quad\; \backslash mathbf\{A\}\_1\; -\; \backslash mathbf\{A\}\_2\; =\; \{\backslash mathbf\; A\}\_\backslash lambda\; +\; \backslash nabla\; \backslash varphi,$

여기서

• $\backslash lambda$는 조화 스칼라장이고,
• $\{\backslash mathbf\; A\}\_\backslash lambda$는 $\backslash nabla\backslash times\; \{\backslash mathbf\; A\}\_\backslash lambda\; =\; \backslash nabla\; \backslash lambda$를 만족하는 벡터장이며,
• $\backslash varphi$는 스칼라장이다.

8. 무한대에서 소멸하지 않는 장으로의 확장

대부분의 교과서는 무한대에서 $|\backslash mathbf\{r\}|^\{-\backslash delta\}$보다 빠르게 감소하는 벡터장, 즉 $\backslash delta\; >\; 1$인 경우만 다룬다.^[26][27][15] 하지만, 오토 블루멘탈은 1905년에 적절한 적분 커널을 사용하면 $|\backslash mathbf\{r\}|^\{-\backslash delta\}$보다 빠르게 감소하는 장, 즉 $\backslash delta\; >\; 0$인 경우도 적분할 수 있음을 보였는데, 이는 상당히 덜 엄격한 조건이다.

이를 위해, 컨볼루션 적분에서의 커널 $K(\backslash mathbf\{r\},\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})$을 $K\text{'}(\backslash mathbf\{r\},\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})\; =\; K(\backslash mathbf\{r\},\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})\; -\; K(0,\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})$으로 대체해야 한다.^[5]

더욱 복잡한 적분 커널을 사용하면, 다항식보다 빠르게 증가할 필요가 없는 발산 함수에 대한 해를 찾을 수도 있다.^{[34][27][13][17]}

무한대에서도 0으로 수렴할 필요가 없는 모든 해석적 벡터장에 대해, 부분 적분과 반복 적분을 위한 코시 공식^[7]에 기반한 방법을 사용하여 다변수 다항식, 사인, 코사인, 지수 함수 등의 경우와 같이 회전 및 스칼라 포텐셜의 닫힌 형식 해를 계산할 수 있다.^[14]

참조

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_[4] 간행물 The Natural Helmholtz-Hodge Decomposition for Open-Boundary Flow Analysis 2014-11
_[5] 간행물 Über die Zerlegung unendlicher Vektorfelder 1905
_[6] 논문 Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space 2002
_[7] 서적 Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal https://gallica.bnf.[...] Imprimerie Royale 1823
_[8] 서적 A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics Springer US, New York 1990
_[9] 서적 Spectral Theory and Applications Springer-Verlag 1990
_[10] 서적 A Treatise on the Integral Calculus Chelsea Publishing Company 1922
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_[14] 간행물 Helmholtz decomposition and potential functions for n-dimensional analytic vector fields 2023
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_[17] 간행물 On Helmholtz’s theorem and the completeness of the Papkovich-Neuber stress functions for infinite domains 1962
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_[20] 서적 An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions John Wiley & Sons 1881
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_[26] 간행물 The Helmholtz decomposition revisited 2015
_[27] 간행물 Helmholtz decomposition theorem and Blumenthal’s extension by regularization 2017
_[28] 서적 Vector Calculus: With Applications to Physics D. Van Nostrand 1922
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