헬름홀츠 정리

2.1. 기본적인 형식

3차원 유클리드 공간에서, 어떤 벡터 함수 $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{R\})$의 발산 $d(\backslash mathbf\{R\})$과 회전 $\backslash mathbf\{C\}(\backslash mathbf\{R\})$이 주어지고, $|\backslash mathbf\{R\}|=r$이 무한대로 갈 때 이 둘 모두 $\backslash frac\{1\}\{r^2\}$보다 빨리 $0$으로 접근하며 $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{R\})$ 역시 $0$으로 접근한다고 가정한다. 그러면 $\backslash mathbf\{F\}$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash nabla\; u\; +\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{W\}$

여기서 $u(\backslash mathbf\{R\})$는 어떤 스칼라 함수이며, $\backslash mathbf\{W\}(\backslash mathbf\{R\})$는 어떤 벡터 함수이다. 즉, 벡터 함수 $\backslash mathbf\{F\}$는 스칼라 함수 $u$의 기울기와 벡터 함수 $\backslash mathbf\{W\}$의 회전의 합으로 표현될 수 있다.

2.2. 따름정리와 응용

헬름홀츠 정리에는 다음과 같은 두 가지 중요한 따름정리가 있다.

* 헬름홀츠 정리의 조건을 만족하는 벡터 함수 F(R)의 회전이 0이면, 어떤 스칼라 함수 *u*(R)가 존재하여 F = ∇*u* 이다.
* 헬름홀츠 정리의 조건을 만족하는 벡터 함수 F(R)의 발산이 0이면, 어떤 벡터 함수 W(R)가 존재하여 F = ∇ × W 이다.

이 따름정리들은 어떤 스칼라 함수에 기울기를 취하고 회전을 취하면 0이 되고, 어떤 벡터 함수에 회전을 취하고 발산을 취하면 0이 된다는 관계식에서 헬름홀츠 정리를 적용하여 바로 얻을 수 있다.

이러한 따름정리들은 전자기학에서 중요하게 응용된다. 맥스웰 방정식에 따르면, 정전기학에서 전기장의 회전은 0이고 정자기학에서 자기장의 발산은 0이다. 따라서 위 따름정리들을 이용하여 전위와 자기 퍼텐셜을 정의할 수 있으며, 이 과정이 정당하다는 것을 보장한다.

2.3. 다양한 차원으로의 일반화

헬름홀츠 정리는 뉴턴 퍼텐셜 연산자를 이용해 다른 방식으로 다시 쓸 수 있다. 이 정리를 3차원 유클리드 공간에서 일반적인 리만 다양체 위의 미분형식으로 일반화시킨 결과를 하지 분해정리라 하며, 이는 헬름홀츠 정리와 밀접하게 연관되어 있다.

d차원으로의 일반화는 벡터 포텐셜로는 수행할 수 없다. 왜냐하면 회전 연산자와 외적은 (벡터로) 3차원에서만 정의되기 때문이다.

$\backslash mathbf\{F\}$를 $V\backslash subseteq\backslash mathbb\{R\}^d$인 유계 영역에 대한 벡터장으로 정의하고, 이는 $|\backslash mathbf\{r\}|\; \backslash to\; \backslash infty$이고 $\backslash delta\; >\; 2$일 때 $|\backslash mathbf\{r\}|^\{-\backslash delta\}$보다 더 빠르게 감소한다고 가정한다.

스칼라 포텐셜은 3차원 경우와 유사하게 다음과 같이 정의된다.
$$\backslash Phi(\backslash mathbf\{r\})\; =\; -\; \backslash int\_\{\backslash mathbb\{R\}^d\}\; \backslash operatorname\{div\}(\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'}))\; K(\backslash mathbf\{r\},\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})\; \backslash mathrm\{d\}V\text{'}\; =\; -\; \backslash int\_\{\backslash mathbb\{R\}^d\}\; \backslash sum\_i\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_i\}\{\backslash partial\; r\_i\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\; K(\backslash mathbf\{r\},\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})\; \backslash mathrm\{d\}V\text{'},$$
여기서 적분 커널 $K(\backslash mathbf\{r\},\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})$는 다시 라플라스 방정식의 기본 해인데, 이는 d차원 공간에서 다음과 같다.

여기서 $V\_d\; =\; \backslash pi^\backslash frac\{d\}\{2\}\; /\; \backslash Gamma\backslash big(\backslash tfrac\{d\}\{2\}+1\backslash big)$는 d차원 단위 구의 부피이고, $\backslash Gamma(\backslash mathbf\{r\})$는 감마 함수이다.

$d\; =\; 3$인 경우, $V\_d$는 $\backslash frac\{4\; \backslash pi\}\{3\}$와 같으며, 위와 동일한 상수 계수를 생성한다.

회전 포텐셜은 다음과 같은 요소들을 가진 반대칭 행렬이다.
$$A\_\{ij\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash int\_\{\backslash mathbb\{R\}^d\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_i\}\{\backslash partial\; x\_j\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_j\}\{\backslash partial\; x\_i\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\; \backslash right)\; K(\backslash mathbf\{r\},\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})\; \backslash mathrm\{d\}V\text{'}.$$
대각선 위에는 $\backslash textstyle\backslash binom\{d\}\{2\}$개의 항목이 있으며, 이는 대각선에서 부호가 반전된 채로 다시 나타난다. 3차원 경우에, 행렬 요소는 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{A\}\; =\; [A\_1,\; A\_2,\; A\_3]\; =\; [A\_\{23\},\; A\_\{31\},\; A\_\{12\}]$의 성분에 해당한다. 그러나, 이러한 행렬 포텐셜은 3차원인 경우에만 벡터로 쓸 수 있는데, 그 이유는 $\backslash textstyle\backslash binom\{d\}\{2\}\; =\; d$가 $d\; =\; 3$일 때만 성립하기 때문이다.

3차원 경우와 마찬가지로, 기울기장은 다음과 같이 정의된다.
$$$$
\mathbf{G}(\mathbf{r}) = - \nabla \Phi(\mathbf{r}).

반면에, 회전장은 일반적인 경우에 행렬의 행 발산으로 정의된다.
$$\backslash mathbf\{R\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash left[\; \backslash sum\backslash nolimits\_k\; \backslash partial\_\{r\_k\}\; A\_\{ik\}(\backslash mathbf\{r\});\; \{1\; \backslash leq\; i\; \backslash leq\; d\}\; \backslash right].$$
3차원 공간에서, 이는 벡터 포텐셜의 회전과 동일하다.

$d\; \backslash ne\; 3$인 $d$차원 벡터 공간에서 $-\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash left|\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}\backslash right|\}$는 다음과 같이 정의되는 적절한 라플라시안에 대한 그린 함수로 대체될 수 있다.
$$$$
\nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \delta^d(\mathbf{r}-\mathbf{r}')

여기서 인덱스 $\backslash mu$에 대해 아인슈타인 합 규칙이 사용된다. 예를 들어, 2D에서는 $G(\backslash mathbf\{r\},\backslash mathbf\{r\}\text{'})=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash ln\backslash left|\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}\backslash right|$이다.

위와 동일한 단계를 따르면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$$$
F_\mu(\mathbf{r}) = \int_V F_\mu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
= \delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'

여기서 $\backslash delta\_\{\backslash mu\backslash nu\}$는 크로네커 델타이다(그리고 합 규칙이 다시 사용된다). 위에서 사용된 벡터 라플라시안의 정의 대신, 레비-치비타 기호 $\backslash varepsilon$에 대한 항등식을 사용한다.
$$$$
\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} = (d-2)!(\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho})

이는 $d\backslash ge\; 2$ 차원에서 유효하며, 여기서 $\backslash alpha$는 $(d-2)$ 성분 다중 인덱스이다.

이를 통해 다음을 얻는다.
$$$$
F_\mu(\mathbf{r}) = \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
+ \frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'


따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$$$
F_\mu(\mathbf{r}) = -\frac{\partial}{\partial r_\mu} \Phi(\mathbf{r}) + \varepsilon_{\mu\rho\alpha}\frac{\partial}{\partial r_\rho} A_{\alpha}(\mathbf{r})

여기서
$$$$
\begin{aligned}
\Phi(\mathbf{r}) &= -\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\nu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'\\
A_{\alpha} &= \frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
\end{aligned}

벡터 포텐셜은 $d$차원에서 랭크-$(d-2)$ 텐서로 대체된다.

$G(\backslash mathbf\{r\},\backslash mathbf\{r\}\text{'})$은 $\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}$의 함수이기 때문에 $\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\_\backslash mu\}\backslash rightarrow\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\text{'}\_\backslash mu\}$로 대체할 수 있으며, 이는 다음을 제공한다.
$$$$
\begin{aligned}
\Phi(\mathbf{r}) &= \int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r'_\nu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'\\
A_{\alpha} &= -\frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\sigma'}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
\end{aligned}

부분 적분을 사용하여 다음을 얻을 수 있다.
$$$$
\begin{aligned}
\Phi(\mathbf{r}) &= -\int_V G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\frac{\partial}{\partial r'_\nu}F_\nu(\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}' + \oint_{S} G(\mathbf{r},\mathbf{r}') F_\nu(\mathbf{r}') \hat{n}'_\nu \,\mathrm{d}^{d-1} \mathbf{r}'\\
A_{\alpha} &= \frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \int_V G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\sigma'}F_\nu(\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'- \frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \oint_{S} G(\mathbf{r},\mathbf{r}') F_\nu(\mathbf{r}') \hat{n}'_\sigma \,\mathrm{d}^{d-1} \mathbf{r}'
\end{aligned}

여기서 $S=\backslash partial\; V$는 $V$의 경계이다. 이러한 표현식은 위에 제공된 3차원 공간에서의 표현식과 유사하다.

호지 분해는 헬름홀츠 분해와 밀접한 관련이 있으며, R³ 상의 벡터장에서 리만 다양체 M 상의 미분 형식으로 일반화된다.

3. 역사

1849년 조지 가브리엘 스토크스가 3차원에서 헬름홀츠 분해를 처음 설명하였으며, 이는 회절 이론을 위한 것이었다. 헤르만 폰 헬름홀츠는 1858년에 유체역학 기본 방정식에 관한 논문을 발표했는데, 이는 소용돌이 선 근처의 유체 운동을 설명하는 헬름홀츠의 정리에 대한 그의 연구의 일부였다. 이들의 유도는 무한대에서 벡터장이 충분히 빠르게 감쇠해야 함을 요구했다. 이후 이 조건은 완화될 수 있었고, 헬름홀츠 분해는 더 높은 차원으로 확장될 수 있었다.

4. 푸리에 변환을 이용한 유도

헬름홀츠 정리는 푸리에 변환을 이용하여 유도할 수 있다. 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 푸리에 변환인 \(\mathbf{G}\)는 반드시 존재한다.

$$\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash iiint\; \backslash mathbf\{G\}(\backslash mathbf\{k\})\; e^\{i\backslash mathbf\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{r\}\}\; dV\_k$$

스칼라장의 푸리에 변환은 스칼라장이며, 벡터장의 푸리에 변환은 같은 차원의 벡터장이다.

다음은 고려해야 할 스칼라장과 벡터장이다.

$$\backslash begin\{align\}$$
G_\Phi(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2} \\
\mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \times \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2} \\ [8pt]
\Phi(\mathbf{r}) &= \iiint G_\Phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k \\
\mathbf{A}(\mathbf{r}) &= \iiint \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k
\end{align}

따라서,

$$\backslash begin\{align\}$$
\mathbf{G}(\mathbf{k}) &= - i \mathbf{k} G_\Phi(\mathbf{k}) + i \mathbf{k} \times \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) \\ [6pt]
\mathbf{F}(\mathbf{r}) &= -\iiint i \mathbf{k} G_\Phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k + \iiint i \mathbf{k} \times \mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k \\
&= - \nabla \Phi(\mathbf{r}) + \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})
\end{align}

위 식과 같이 벡터장을 종파 성분과 횡파 성분으로 분해하고, 이를 다시 역변환하여 스칼라 포텐셜과 벡터 포텐셜을 얻는다.

5. 종파 및 횡파 성분

물리학에서 벡터장의 회전이 없는 성분을 종파 성분, 발산이 없는 성분을 횡파 성분이라고 부른다. 이는 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$의 3차원 푸리에 변환 $\backslash hat\backslash mathbf\{F\}$을 계산하고, 각 점 k에서 이 필드를 k에 평행한 종방향 성분과 k에 수직인 횡방향 성분으로 분해하는 방식에서 유래한다.

$$\backslash hat\backslash mathbf\{F\}\; (\backslash mathbf\{k\})\; =\; \backslash hat\backslash mathbf\{F\}\_t\; (\backslash mathbf\{k\})\; +\; \backslash hat\backslash mathbf\{F\}\_l\; (\backslash mathbf\{k\})$$
$$\backslash mathbf\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash hat\backslash mathbf\{F\}\_t(\backslash mathbf\{k\})\; =\; 0.$$
$$\backslash mathbf\{k\}\; \backslash times\; \backslash hat\backslash mathbf\{F\}\_l(\backslash mathbf\{k\})\; =\; \backslash mathbf\{0\}.$$

이러한 각 성분에 역 푸리에 변환을 적용하면 푸리에 변환의 속성에 따라 다음이 성립한다.

$$\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_t(\backslash mathbf\{r\})+\backslash mathbf\{F\}\_l(\backslash mathbf\{r\})$$
$$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\_t\; (\backslash mathbf\{r\})\; =\; 0$$
$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\_l\; (\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash mathbf\{0\}$$

$\backslash nabla\backslash times(\backslash nabla\backslash Phi)=0$ 및 $\backslash nabla\backslash cdot(\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{A\})=0$이므로,

$$\backslash mathbf\{F\}\_t=\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{A\}=\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash nabla\backslash times\backslash int\_V\backslash frac\{\backslash nabla\text{'}\backslash times\backslash mathbf\{F\}\}\{\backslash left|\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}\backslash right|\}\backslash mathrm\{d\}V\text{'}$$
$$\backslash mathbf\{F\}\_l=-\backslash nabla\backslash Phi=-\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash nabla\backslash int\_V\backslash frac\{\backslash nabla\text{'}\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}\}\{\backslash left|\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}\backslash right|\}\backslash mathrm\{d\}V\text{'}$$

를 얻는다. 즉, 이는 헬름홀츠 분해이다.

3차원 임의의 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\; x)$는 스칼라 포텐셜 $\backslash phi(\backslash mathbf\; x)$ 과 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\; x)$ 을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$
\mathbf{F}(\mathbf x) = - \nabla\phi(\mathbf x) + \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf x)
=-\operatorname{grad}\phi(\mathbf x) + \operatorname{rot}\mathbf{A}(\mathbf x)


이는 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\; x)$를 스칼라장 $\backslash phi(\backslash mathbf\; x)$의 기울기 $\backslash nabla\backslash phi(\backslash mathbf\; x)$ 항과 벡터장 $\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\; x)$의 회전 $\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\; x)$ 항으로 분해하는 것이다. 이를 헬름홀츠 정리라고 한다.

이때, 스칼라 포텐셜과 벡터 포텐셜의 선택은 유일하지 않다.

응용상 자주 사용되는 표현은 다음과 같다.

:$$
\phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi}
\int
\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}')}