보른-인펠트 이론

3. 성질

편의상 $c=\backslash epsilon\_0=1$로 놓으면, 보른-인펠트 이론의 작용은 다음과 같다.

:$S=\backslash int\backslash left(-\backslash sqrt\{-\backslash det\backslash left(\backslash eta+\{F\backslash over\; b\}\backslash right)\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x^4$

여기서 $\backslash eta$는 민코프스키 계량 텐서이며, ''F''는 패러데이 텐서다. ''b''는 척도 매개 변수인데, [길이]²의 단위를 가지므로, 장세기 $F$를 재정의하여 없앨 수 있다. 따라서 이 이론은 사실 (단위 없는) 매개 변수를 갖지 않는다.

3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다.

:$S=\backslash int\backslash left(-\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{E^2-B^2\}\{b^2\}-\backslash frac\{(\backslash mathbf\; E\backslash cdot\backslash mathbf\; B)^2\}\{b^4\}\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x^4$

여기서 $\backslash mathbf\; E$는 전기장, $\backslash mathbf\; B$는 자기장이다.

보른-인펠트 이론에서 전자기장의 크기는 제한을 받는다. 정확히 말하면, 전기장 $\backslash mathbf\; E$과 자기장 $\backslash mathbf\; B$는 다음을 만족한다.

:$E^2-B^2+(\backslash mathbf\; E\backslash cdot\backslash mathbf\; B)^2/b^2\backslash le\; b^2$.

즉, 만약 자기장이 없으면 ($\backslash mathbf\; B=\backslash mathbf\; 0$) 전기장의 최댓값은 $b$이다.

:$E\backslash le\; b$.

만약 전자기장의 크기가 $b$보다 현저히 작다면 ($E,B\backslash ll\; b$) 보른-인펠트 이론은 맥스웰 이론으로 수렴한다.

이 이론은 미(Mie) 이론의 공변적인 일반화로 볼 수 있으며, 대칭 부분이 일반적인 계량 텐서에 해당하고 반대칭 부분이 전자기장 텐서에 해당하는 비대칭 계량 텐서를 도입하려는 알베르트 아인슈타인의 아이디어와 매우 유사하다.

보른-인펠트 이론이 고정밀 원자 실험 데이터와 호환되려면 이론의 원래 공식에서 도입된 값보다 약 200배 더 높은 제한 필드 값이 필요하다.^[8]

1985년 이후 끈 이론의 일부 한계 내에서 발견되면서 보른-인펠트 이론과 그 비가환 확장에 대한 관심이 되살아났다. 에핌 프라드킨(E.S. Fradkin)과 아르카디 체이틀린(A.A. Tseytlin)^[9]은 보른-인펠트 작용이 게이지장 강도의 미분 거듭제곱으로 확장된 개방 끈 이론의 저에너지 유효 작용에서 선도적인 항이라는 것을 발견했다.

3. 1. 자기 쌍대 해 (BPS)

3. 2. 전기-자기 이중성

3. 3. 점전하의 자체 에너지

4. 실험적 검증

양자 전기 역학의 보정으로 여길 경우, 실제 세계를 묘사하는 보른-인펠트 이론을 뒷받침하는 실험적 증거는 현재(2016년) 존재하지 않으며, 보른-인펠트 이론의 매개 변수 $b$에 대한 하한은 실험적으로 측정되었다.^[22]

1973년의 실험에 따르면

:$b\backslash ge\; 17\backslash ;\backslash mathrm\{ZV/m\}$

이다.^[23] 그러나 이 실험의 해석에 대하여 최근에 이의가 제기되었다.^[24]

5. 끈 이론과의 관계

끈 이론에서, D-막 위의 게이지 장은 비슷한 꼴의 작용을 가지는데, 이를 '''디랙-보른-인펠트 작용'''(Dirac–Born–Infeld action^영어)이라고 부른다.^[25] 구체적인 작용은 다음과 같다.^[26]

:$\backslash mathcal\{L\}=-T\_p\backslash sqrt\{-\backslash det\backslash left(\backslash eta+2\backslash pi\backslash alpha\text{'}F\backslash right)\}$.

여기서 $T\_p$는 D-막의 장력(tension)이다. $F\_\{ab\}$는 D-막의 게이지 장세기로, 전자기론에서의 패러데이 텐서에 해당한다. $\backslash alpha\text{'}$는 레제 기울기로, 끈 이론에 등장하는 상수다.

캘브-라몽 장 $B\_\{ab\}$와 딜라톤 $\backslash Phi$를 추가하고, 중력장을 ($\backslash eta$ 대신) 일반적으로 $G\_\{ab\}$로 쓰면 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; L=\; -T\_pe^\{-\backslash Phi\}\; \backslash sqrt\{\; \backslash det\; (G+\; B+\; 2\backslash pi\backslash alpha\text{'}F)\}$.

따라서 D-막에 붙어 있는 열린 끈이 부피 공간(bulk^영어)의 배경이 되는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장(중력장, 캘브-라몽 장, 딜라톤 장)과 직접 결합하게 된다.

디랙-보른-인펠트 작용은 제곱근 속에 있는 항($G+B+2\backslash pi\backslash alpha\text{'}F)$)의 1차 도함수가 끈 길이 $\backslash sqrt\{\backslash alpha\text{'}\}$보다 매우 작을 때 믿을 수 있다. 즉, 게이지 장 $A\_\backslash mu$ 및 스칼라 $\backslash Phi$의 2차 도함수와 캘브-라몽 장의 1차 도함수가 끈 길이보다 매우 작아야 한다.

1985년 이후 보른-인펠트 이론과 그 비가환 확장에 대한 관심이 되살아났는데, 이는 끈 이론의 일부 한계 내에서 발견되었기 때문이다. 에핌 프라드킨(E.S. Fradkin)과 아르카디 체이틀린(A.A. Tseytlin)은 보른-인펠트 작용이 게이지장 강도의 미분 거듭제곱으로 확장된 개방 끈 이론의 저에너지 유효 작용에서 선도적인 항이라는 것을 발견했다.^[9]

6. 역사

1930년대 초 막스 보른은 전자기장의 세기가 발산할 수 없는, 맥스웰 방정식의 변형을 찾으려고 노력하였다. 이에 따라 보른이 1933년에 최초로 제시한 라그랑지언은 다음과 같다.^[27]

:$L=\backslash frac1\{b^2\}\backslash sqrt\{1-b^2(\backslash mathbf\; E^2-\backslash mathbf\; B^2)\}$

같은 해에 보른과 레오폴트 인펠트는 이 항이 로런츠 불변이려면 제곱근 속에 $-b^\{-4\}\backslash mathbf\; E\backslash cdot\backslash mathbf\; B$를 추가하여야 한다는 점을 지적하였다.^[28][29]

보른과 인펠트는 이 이론을 도입하게 된 목표를 다음과 같이 두 가지로 제시하였다.

현대적인 관점에서, (1)번 문제는 양자 전기 역학의 도입을 통해 해결되었다. 그러나 (2)번 원리를 통한 유도는 끈 이론에서 D-막의 난부-고토 작용으로부터 자연스럽게 발생하게 된다.

이후 1980년대에 초끈 이론의 D-막이 초대칭 보른-인펠트 이론을 자연스럽게 갖는다는 사실이 발견되면서 보른-인펠트 이론은 재주목받게 되었다.^[26]

보른-인펠트 전자기학은 이를 처음 제안한 물리학자 막스 보른과 레오폴드 인펠트의 이름을 따서 명명되었다.

1985년 이후 보른-인펠트 이론과 그 비가환 확장에 대한 관심이 되살아났는데, 이는 끈 이론의 일부 한계 내에서 발견되었기 때문이다. 에핌 프라드킨(E.S. Fradkin)과 아르카디 체이틀린(A.A. Tseytlin)은 보른-인펠트 작용이 게이지장 강도의 미분 거듭제곱으로 확장된 개방 끈 이론의 저에너지 유효 작용에서 선도적인 항이라는 것을 발견했다.^[9]

참조

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_[4] 웹사이트 Dirac-Born-Infeld action in nLab https://ncatlab.org/[...] 2023-11-01
_[5] 논문 Image of the Electron Suggested by Nonlinear Electrodynamics Coupled to Gravity 2021
_[6] 논문 Foundations of the New Field Theory
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_[28] 저널 Foundations of the new field theory 1933-12-30
_[29] 저널 Foundations of the new field theory 1934-03-29