보른-인펠트 이론

1. 개요

보른-인펠트 이론은 전자기학의 비선형 이론으로, 1930년대 막스 보른과 레오폴트 인펠트가 제안했다. 이 이론은 맥스웰 방정식의 문제점을 해결하고, 유한한 전자기장 세기를 도입하는 것을 목표로 한다. 보른-인펠트 이론은 끈 이론의 D-브레인 위의 게이지장과 유사한 라그랑지안을 가지며, 전기장의 최대값을 제한하고 점전하의 자기 에너지를 유한하게 만드는 특징이 있다. 이론의 매개변수 b에 대한 실험적 하한이 존재하지만, 현재까지 이 이론을 뒷받침하는 실험적 증거는 없다.

2. 정의

편의상 $c=\backslash epsilon\_0=1$로 놓는다. 보른-인펠트 이론의 작용은 다음과 같다.

:$S=\backslash int\backslash left(-\backslash sqrt\{-\backslash det\backslash left(\backslash eta+\{F\backslash over\; b\}\backslash right)\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x^4$

여기서 $\backslash eta$는 민코프스키 계량 텐서이며, F는 패러데이 텐서다. b는 척도 매개 변수다. $b$는 [길이]²의 단위를 가지므로, 장세기 $F$를 재정의하여 없앨 수 있으며, 따라서 이 이론은 사실 (단위 없는) 매개 변수를 갖지 않는다.

3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다.

:$S=\backslash int\backslash left(-\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{E^2-B^2\}\{b^2\}-\backslash frac\{(\backslash mathbf\; E\backslash cdot\backslash mathbf\; B)^2\}\{b^4\}\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x^4$

여기서 $\backslash mathbf\; E$는 전기장, $\backslash mathbf\; B$는 자기장이다.

라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{L\}\; =\; -b^2\; \backslash sqrt\{-\backslash det\backslash left(\backslash eta\; +\; \backslash frac\{F\}\{b\}\backslash right)\}\; +\; b^2,$

여기서 η는 민코프스키 계량, F는 패러데이 텐서이며 (두 개 모두 정사각 행렬로 취급되므로 그 합의 행렬식을 구할 수 있다), b는 척도 매개변수이다. 이 이론에서 전기장의 최대 가능 값은 b이고, 점전하의 자기 에너지는 유한하다. 전기장과 자기장이 b보다 훨씬 작을 때, 이 이론은 맥스웰 전자기학으로 축소된다.

4차원 시공간에서 라그랑지안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash mathcal\{L\}\; =\; -b^2\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash frac\{E^2\; -\; B^2\}\{b^2\}\; -\; \backslash frac\{(\backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{B\})^2\}\{b^4\}\}\; +\; b^2,$

여기서 E는 전기장이고, B는 자기장이다.

보른-인펠트 전자기학은 이를 처음 제안한 물리학자 막스 보른과 레오폴드 인펠트의 이름을 따서 명명되었다.

2.1. 유도

푸앵카레 변환에 대하여 불변이고, 약한 장세기 극한에서 맥스웰 이론에 수렴하며, 바일 게이지 변환에 대하여 불변이고, 점입자의 전자기 에너지가 유한하고, 전자기파의 속력이 편광 방향에 관계 없이 일정한 고전 장론은 보른-인펠트 이론이 유일하다.

3. 성질

편의상 $c=\backslash epsilon\_0=1$로 놓으면, 보른-인펠트 이론의 작용은 다음과 같다.
:$S=\backslash int\backslash left(-\backslash sqrt\{-\backslash det\backslash left(\backslash eta+\{F\backslash over\; b\}\backslash right)\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x^4$
여기서 $\backslash eta$는 민코프스키 계량 텐서이며, F는 패러데이 텐서다. b는 척도 매개 변수인데, [길이]²의 단위를 가지므로, 장세기 $F$를 재정의하여 없앨 수 있다. 따라서 이 이론은 사실 (단위 없는) 매개 변수를 갖지 않는다.

3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다.
:$S=\backslash int\backslash left(-\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{E^2-B^2\}\{b^2\}-\backslash frac\{(\backslash mathbf\; E\backslash cdot\backslash mathbf\; B)^2\}\{b^4\}\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x^4$
여기서 $\backslash mathbf\; E$는 전기장, $\backslash mathbf\; B$는 자기장이다.

보른-인펠트 이론에서 전자기장의 크기는 제한을 받는다. 정확히 말하면, 전기장 $\backslash mathbf\; E$과 자기장 $\backslash mathbf\; B$는 다음을 만족한다.
:$E^2-B^2+(\backslash mathbf\; E\backslash cdot\backslash mathbf\; B)^2/b^2\backslash le\; b^2$.
즉, 만약 자기장이 없으면 ($\backslash mathbf\; B=\backslash mathbf\; 0$) 전기장의 최댓값은 $b$이다.
:$E\backslash le\; b$.

만약 전자기장의 크기가 $b$보다 현저히 작다면 ($E,B\backslash ll\; b$) 보른-인펠트 이론은 맥스웰 이론으로 수렴한다.

이 이론은 미(Mie) 이론의 공변적인 일반화로 볼 수 있으며, 대칭 부분이 일반적인 계량 텐서에 해당하고 반대칭 부분이 전자기장 텐서에 해당하는 비대칭 계량 텐서를 도입하려는 알베르트 아인슈타인의 아이디어와 매우 유사하다.

보른-인펠트 이론이 고정밀 원자 실험 데이터와 호환되려면 이론의 원래 공식에서 도입된 값보다 약 200배 더 높은 제한 필드 값이 필요하다.

1985년 이후 끈 이론의 일부 한계 내에서 발견되면서 보른-인펠트 이론과 그 비가환 확장에 대한 관심이 되살아났다. 에핌 프라드킨(E.S. Fradkin)과 아르카디 체이틀린(A.A. Tseytlin)은 보른-인펠트 작용이 게이지장 강도의 미분 거듭제곱으로 확장된 개방 끈 이론의 저에너지 유효 작용에서 선도적인 항이라는 것을 발견했다.

3.1. 자기 쌍대 해 (BPS)

천 특성류에 따라, 자기 쌍대 장세기(아벨 양-밀스 순간자)는 BPS 조건을 만족시켜 자동적으로 보른-인펠트 이론의 해를 이룬다.

3.2. 전기-자기 이중성

4차원 보른-인펠트 작용은 전기-자기 이중성(:$F\; \backslash leftrightarrow\; \backslash star\; F$)에 대하여 맥스웰 작용과 마찬가지로 불변이다.

3.3. 점전하의 자체 에너지

맥스웰 이론에서는 점전하의 자체 에너지가 발산한다. 역사적으로 보른과 인펠트는 전자의 자체 에너지가 맥스웰 이론에서 발산하는 문제를 풀기 위하여 보른-인펠트 이론을 도입하였다. 보른-인펠트 이론에서는 점전하의 전자기장 $\backslash mathbf\; E$, $\backslash mathbf\; B$가 유한하지만, 에너지 밀도는 발산하게 된다. 그러나 이 경우 총 에너지는 유한하다. 이러한 해를 바이온(BIon^영어)이라고 한다. 여기서 "BI"는 "보른-인펠트"의 약자이다.

4. 실험적 검증

양자 전기 역학의 보정으로 여길 경우, 실제 세계를 묘사하는 보른-인펠트 이론을 뒷받침하는 실험적 증거는 현재(2016년) 존재하지 않으며, 보른-인펠트 이론의 매개 변수 $b$에 대한 하한은 실험적으로 측정되었다.

1973년의 실험에 따르면
:$b\backslash ge\; 17\backslash ;\backslash mathrm\{ZV/m\}$
이다. 그러나 이 실험의 해석에 대하여 최근에 이의가 제기되었다.

5. 끈 이론과의 관계

끈 이론에서, D-막 위의 게이지 장은 비슷한 꼴의 작용을 가지는데, 이를 디랙-보른-인펠트 작용(Dirac–Born–Infeld action^영어)이라고 부른다. 구체적인 작용은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{L\}=-T\_p\backslash sqrt\{-\backslash det\backslash left(\backslash eta+2\backslash pi\backslash alpha\text{'}F\backslash right)\}$.

여기서 $T\_p$는 D-막의 장력(tension)이다. $F\_\{ab\}$는 D-막의 게이지 장세기로, 전자기론에서의 패러데이 텐서에 해당한다. $\backslash alpha\text{'}$는 레제 기울기로, 끈 이론에 등장하는 상수다.

캘브-라몽 장 $B\_\{ab\}$와 딜라톤 $\backslash Phi$를 추가하고, 중력장을 ($\backslash eta$ 대신) 일반적으로 $G\_\{ab\}$로 쓰면 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; L=\; -T\_pe^\{-\backslash Phi\}\; \backslash sqrt\{\; \backslash det\; (G+\; B+\; 2\backslash pi\backslash alpha\text{'}F)\}$.

따라서 D-막에 붙어 있는 열린 끈이 부피 공간(bulk^영어)의 배경이 되는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장(중력장, 캘브-라몽 장, 딜라톤 장)과 직접 결합하게 된다.

디랙-보른-인펠트 작용은 제곱근 속에 있는 항($G+B+2\backslash pi\backslash alpha\text{'}F)$)의 1차 도함수가 끈 길이 $\backslash sqrt\{\backslash alpha\text{'}\}$보다 매우 작을 때 믿을 수 있다. 즉, 게이지 장 $A\_\backslash mu$ 및 스칼라 $\backslash Phi$의 2차 도함수와 캘브-라몽 장의 1차 도함수가 끈 길이보다 매우 작아야 한다.

1985년 이후 보른-인펠트 이론과 그 비가환 확장에 대한 관심이 되살아났는데, 이는 끈 이론의 일부 한계 내에서 발견되었기 때문이다. 에핌 프라드킨(E.S. Fradkin)과 아르카디 체이틀린(A.A. Tseytlin)은 보른-인펠트 작용이 게이지장 강도의 미분 거듭제곱으로 확장된 개방 끈 이론의 저에너지 유효 작용에서 선도적인 항이라는 것을 발견했다.

6. 역사

1930년대 초 막스 보른은 전자기장의 세기가 발산할 수 없는, 맥스웰 방정식의 변형을 찾으려고 노력하였다. 이에 따라 보른이 1933년에 최초로 제시한 라그랑지언은 다음과 같다.

:$L=\backslash frac1\{b^2\}\backslash sqrt\{1-b^2(\backslash mathbf\; E^2-\backslash mathbf\; B^2)\}$

같은 해에 보른과 레오폴트 인펠트는 이 항이 로런츠 불변이려면 제곱근 속에 $-b^\{-4\}\backslash mathbf\; E\backslash cdot\backslash mathbf\; B$를 추가하여야 한다는 점을 지적하였다.

보른과 인펠트는 이 이론을 도입하게 된 목표를 다음과 같이 두 가지로 제시하였다.

현대적인 관점에서, (1)번 문제는 양자 전기 역학의 도입을 통해 해결되었다. 그러나 (2)번 원리를 통한 유도는 끈 이론에서 D-막의 난부-고토 작용으로부터 자연스럽게 발생하게 된다.

이후 1980년대에 초끈 이론의 D-막이 초대칭 보른-인펠트 이론을 자연스럽게 갖는다는 사실이 발견되면서 보른-인펠트 이론은 재주목받게 되었다.

보른-인펠트 전자기학은 이를 처음 제안한 물리학자 막스 보른과 레오폴드 인펠트의 이름을 따서 명명되었다.

1985년 이후 보른-인펠트 이론과 그 비가환 확장에 대한 관심이 되살아났는데, 이는 끈 이론의 일부 한계 내에서 발견되었기 때문이다. 에핌 프라드킨(E.S. Fradkin)과 아르카디 체이틀린(A.A. Tseytlin)은 보른-인펠트 작용이 게이지장 강도의 미분 거듭제곱으로 확장된 개방 끈 이론의 저에너지 유효 작용에서 선도적인 항이라는 것을 발견했다.