불변면

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정식화
3. 태양계의 불변면
참조

1. 개요

불변면은 고립된 질점계의 전체 각운동량 벡터에 수직하며, 계의 질량 중심을 통과하는 평면으로 정의된다. 태양계의 불변면은 주로 거대 행성들의 궤도 각운동량에 의해 결정되며, 목성의 궤도면과 거의 일치한다. 이 면은 다른 궤도면과 비교하여 고립계의 역학에서 자연스러운 기준면이 되며, 태양계 천체들의 궤도 경사각을 측정하는 데 사용된다. 불변면은 라플라스의 저서에서 유래되었으며, 행성 위성의 궤도면이 세차운동하는 라플라스 평면과는 구분된다.

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불변면
개요
정의	행성계의 질량 중심을 통과하는 면
다른 이름	불변면 (不變面), 라플라스 면 (Laplace plane)
영어	invariable plane, invariable plane of Laplace, Laplace plane
설명
중요성	행성계 전체의 각운동량 벡터에 의해 정의됨. 행성들의 궤도 변화를 기술하는 기준면으로 사용됨.
태양계	태양계 불변면은 태양과 행성들의 질량 분포에 따라 결정됨. 목성의 질량이 크기 때문에, 목성 궤도면에 가까움.
근사값	태양계 불변면은 목성의 궤도면과 약 1.6도 차이가 남. 태양-목성 질량 중심과 태양 중심을 잇는 선은 목성 궤도면에 거의 수직임.
계산	불변면은 행성계 구성원들의 질량, 위치, 속도를 이용하여 계산함. 각 구성원의 각운동량 벡터를 합하여 전체 각운동량 벡터를 구함. 전체 각운동량 벡터에 수직인 면이 불변면이 됨.
활용
행성계 역학 연구	행성들의 장기적인 궤도 변화 연구에 사용됨. 행성 간의 중력적 상호작용 분석에 활용됨.
외계 행성계 연구	외계 행성계의 구조와 안정성 연구에 적용 가능함.

2. 정의

천체의 궤도 각운동량 벡터의 크기는 다음과 같다.

:

L = R^2 M \dot{\theta}

$R$ 은 질량중심으로부터의 궤도 반지름이다.
$M$ 은 천체의 질량이다.
$\dot{\theta}$ 은 궤도 각속도이다.

태양계의 각운동량에서 목성은 60.3%로 가장 많은 양을 차지하며, 토성 24.5%, 해왕성 7.9%, 천왕성 5.3%가 뒤따른다. 태양은 균형추 역할을 하며, 전체 각운동량에서 2%밖에 차지하지 않는다.

태양계 천체 모두를 점질량으로 간주하면 관성계 내에서 불변면은 궤도로만 결정되기 때문에 완전히 불변으로 유지되지만, 실제 천체는 구형이 아니기 때문에 자전과 공전 운동 사이 극소량의 운동량이 이동하며 각운동량 벡터에 미세한 영향을 준다. 하지만 이 효과는 극히 미미하기 때문에, 고전역학에서는 불변으로 간주할 수 있다.

이 평면은 때때로 "라플라스 평면" 또는 "라플라스의 불변면"이라고 불리지만, 행성 위성의 개별 궤도면이 세차하는 평면인 라플라스 평면과 혼동해서는 안 된다.^[3] 둘 다 라플라스의 저서에서 유래했으며(그리고 적어도 때때로 그의 이름을 따서 명명되었다) 프랑스의 천문학자 피에르-시몽 라플라스의 업적이다.^[4] 두 평면은 모든 섭동과 공명이 세차 운동하는 천체로부터 멀리 떨어져 있을 경우에만 동일하다. 불변면은 각운동량의 합으로부터 유도되며, 전체 시스템에 걸쳐 "불변"인 반면, 시스템 내의 서로 다른 궤도 천체에 대한 라플라스 평면은 다를 수 있다. 라플라스는 불변면을 "최대 면적의 평면"이라고 불렀는데, 여기서 "면적"은 반지름과 그 시간 변화율의 곱, 즉, 그 방사 속도에 질량을 곱한 값이다.

2. 1. 정식화

고립된(외부 힘이 미치지 않는) 질점계에서의 불변면은 질점의 전체 각운동량 벡터에 수직이며, 계의 질량중심을 통과하는 평면으로 정의된다. 외부 힘이 작용하지 않는 한, 전체 각운동량 벡터는 시간적으로나 공간적으로 일정하기 때문에 "불변"면이라고 불린다. 불변면은 행성의 섭동에 의해 시간에 따라 변하는 황도면과 비교하여, 단순한 기하학적 특성을 따르며, 고립계의 역학에서 필연적인 결과로 도출되는 것으로, 보다 자연스럽고 이치에 맞는 천체역학의 기준면이 된다.^[1] 불변면은 라플라스가 정의한 것에 따라 "라플라스면"이라고 불리는 경우도 있지만, 일반적으로 "Laplace plane|라플라스면^영어"이라 하면 위성 등의 세차 운동의 축에 수직인 평면을 의미하며, 두 가지를 혼동해서는 안 된다.^[2]

뉴턴 역학에서 질점이 N개인 질점계의 총 각운동량 벡터는 다음과 같이 표현된다.

:

\vec L_{tot} = \sum_{j=1}^N m_j \vec r_j \times \dot{\vec r}_j

여기서,

m_j

,

\vec r_j

,

\dot{\vec r}_j

는 각각 j번째 질점의 질량, 계의 질량중심을 원점으로 한 위치 벡터, 계의 질량중심을 원점으로 한 속도 벡터를 나타낸다. 여기에 상대성 이론적 효과를 고려하면, 질량

m_j

는 다음과 같이 대체된다.

:

m_j^* = m_j \cdot \left [ 1 + \frac{\dot{\vec r}^2_j}{2c^2} - \frac{1}{2c^2}\left (\sum_{k \neq j} \frac{Gm_k}

\right ) \right ]

여기서,

c

는 진공 속의 광속,

G

는 중력 상수이다^[3]^[1]。

3. 태양계의 불변면

태양계의 불변면은 태양계 모든 천체의 각운동량을 합한 벡터에 수직인 평면이다. 이 평면은 주로 목성의 각운동량(60.3%)에 의해 결정된다. 토성(24.5%), 해왕성(7.9%), 천왕성(5.3%)도 영향을 미친다. 태양은 나머지 2%를 차지하며 균형추 역할을 한다.^[4]

모든 천체를 점으로 가정하면 불변면은 변하지 않지만, 실제로는 완전한 구형이 아니므로 자전과 공전 운동 사이에 약간의 운동량 교환이 발생한다. 이로 인한 각운동량 벡터의 변화는 고전역학에서는 무시할 수 있을 정도로 작다.^[4]

황도면이 천체역학의 기준으로 사용되어 왔지만, 피에르시몽 라플라스는 태양계의 총각운동량 벡터에 수직이며 질량 중심을 지나는 불변면을 정의했다. 외부 힘이 없으면 총각운동량 벡터는 항상 일정하므로 불변면은 변하지 않는다.^[4]

라플라스 이후 여러 천문학자들이 불변면 계산을 시도했다. 해왕성, 명왕성 등이 발견되고, 우주 탐사선 관측으로 태양계 천체들의 질량과 운동 계산 정확도가 향상되면서, 이론적 개념이었던 불변면을 실제로 매우 정확하게 구할 수 있게 되었다.^[4]

과거 불변면 산출 예
연도	계산자	황도면에 대한 경사각 (°)	적경 (°)	비고
1802	라플라스^[4]	1.5919	102.9581	1750.0분점
1802	라플라스^[4]	1.5919	102.9542	1750.0분점
1834	퐁테쿠랑^[4]	1.5711	103.1458	1800.0분점
1834	퐁테쿠랑^[4]	1.5708	103.1472	1800.0분점
1872	스톡웰^[4]	1.5788716	106.235000	1850.0분점
1903	시^[4]	1.5854847	106.1463022	1850.0분점
1920	이네스^[4]	1.5831	106.5836	1900.0분점
1955	클레멘스 & 브라우어^[4]	1.6469 ± 0.0061	107.222 ± 0.035	1950.0분점
1982	부르크하르트^[4]	1.589706	107.12736	1950.0분점
1982	부르크하르트^[4]	1.587183	107.60856	J2000.0분점
2012	Souami & Souchay^[4]	1.57869	107.5822	2000.0분점

3. 1. 불변면과 라플라스 평면

천체의 궤도 각운동량 벡터의 크기는 다음과 같다.

:

L = R^2 M \dot{\theta}

$R$ 은 질량중심으로부터의 궤도 반지름이다.
$M$ 은 천체의 질량이다.
$\dot{\theta}$ 은 궤도 각속도이다.

태양계의 각운동량에서 목성은 60.3%로 가장 많은 양을 차지하며, 토성 24.5%, 해왕성 7.9%, 천왕성 5.3%가 뒤따른다. 태양은 균형추 역할을 하며, 전체 각운동량에서 2%밖에 차지하지 않는다.

태양계 천체 모두를 점질량으로 간주하면 관성계 내에서 불변면은 궤도로만 결정되기 때문에 완전히 불변으로 유지되지만, 실제 천체는 구형이 아니기 때문에 자전과 공전 운동 사이 극소량의 운동량이 이동하며 각운동량 벡터에 미세한 영향을 준다. 하지만 이 효과는 극히 미미하기 때문에, 고전역학에서는 불변으로 간주할 수 있다.

이 평면은 때때로 "라플라스 평면" 또는 "라플라스의 불변면"이라고 불리지만, 행성 위성의 개별 궤도면이 세차하는 평면인 라플라스 평면과 혼동해서는 안 된다.^[3] 둘 다 라플라스의 저서에서 유래했으며(그리고 적어도 때때로 그의 이름을 따서 명명되었습니다) 프랑스의 천문학자 피에르시몽 라플라스의 업적이다.^[4]

두 평면은 모든 섭동과 공명이 세차 운동하는 천체로부터 멀리 떨어져 있을 경우에만 동일하다. 불변면은 각운동량의 합으로부터 유도되며, 전체 시스템에 걸쳐 "불변"인 반면, 시스템 내의 서로 다른 궤도 천체에 대한 라플라스 평면은 다를 수 있다. 라플라스는 불변면을 "최대 면적의 평면"이라고 불렀는데, 여기서 "면적"은 반지름과 그 시간 변화율의 곱, 즉, 그 방사 속도에 질량을 곱한 값이다.

고립된(외부 힘이 미치지 않는) 질점계에서의 불변면은 질점의 전체 각운동량 벡터에 수직이며, 계의 질량중심을 통과하는 평면으로 정의된다. 외부 힘이 작용하지 않는 한, 전체 각운동량 벡터는 시간적으로나 공간적으로 일정하기 때문에 "불변"면이라고 불린다. 불변면은 행성의 섭동에 의해 시간에 따라 변하는 황도면과 비교하여, 단순한 기하학적 특성을 따르며, 고립계의 역학에서 필연적인 결과로 도출되는 것으로, 보다 자연스럽고 이치에 맞는 천체역학의 기준면이 된다. 불변면은 라플라스가 정의한 것에 따라 "라플라스면"이라고 불리는 경우도 있지만, 일반적으로 ""이라 하면 위성 등의 세차 운동의 축에 수직인 평면을 의미하며, 두 가지를 혼동해서는 안 된다.

3. 2. 불변면의 계산

천체의 궤도 각운동량 벡터의 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

L = R^2 M \dot{\theta}

$R$ 은 질량중심으로부터의 궤도 반지름이다.
$M$ 은 천체의 질량이다.
$\dot{\theta}$ 은 궤도 각속도이다.

태양계의 각운동량에서 목성은 60.3%로 가장 많은 양을 차지하며, 토성 24.5%, 해왕성 7.9%, 천왕성 5.3%가 뒤따른다. 태양은 균형추 역할을 하며, 전체 각운동량에서 2%밖에 차지하지 않는다.^[4]

태양계 천체 모두를 점질량으로 간주하면 관성계 내에서 불변면은 궤도로만 결정되기 때문에 완전히 불변으로 유지되지만, 실제 천체는 구형이 아니기 때문에 자전과 공전 운동 사이 극소량의 운동량이 이동하며 각운동량 벡터에 미세한 영향을 준다. 하지만 이 효과는 극히 미미하기 때문에, 고전역학에서는 불변으로 간주할 수 있다.^[4]

만약 모든 태양계 천체가 질점이거나 구형 대칭 질량 분포를 가진 강체이고, 은하수의 불균일한 중력으로 인한 외부 효과가 없다면, 궤도만으로 정의된 불변면은 진정으로 불변하며 관성 기준틀을 구성할 것이다. 그러나 거의 모든 천체가 그렇지 않아 조석 마찰과 비구형 천체로 인해 자전 운동량이 궤도 운동량으로 매우 적은 양이 전달된다. 이는 궤도 각운동량의 크기 변화뿐만 아니라 회전축이 궤도축과 평행하지 않기 때문에 방향 변화(세차 운동)를 야기한다.^[4]

그럼에도 불구하고 이러한 변화는 시스템의 총 각운동량에 비해 매우 작으며, 이러한 효과에도 불구하고 거의 보존된다. 뉴턴 역학에서 작업할 때, 태양계를 떠나는 물질과 중력파에서 방출되는 더욱 작은 양의 각운동량과 근처를 지나는 다른 별, 은하수 은하 조석 등에 의해 태양계에 작용하는 극히 작은 토크를 무시하면, 거의 모든 목적으로 거대 행성의 궤도만으로 정의된 면을 불변면으로 간주할 수 있다.^[4]

프랑스의 수학자·천문학자 피에르-시몽 라플라스는 태양계의 총각운동량 벡터에 수직이며, 태양계의 질량중심을 통과하는 평면이 유일하게 결정된다는 것을 발견하고, 이것을 "불변면"으로 정의하여 도입했다. 계에 외력이 작용하지 않는 경우, 총각운동량 벡터는 시간·공간에 대해 항상 일정하므로, 불변면은 문자 그대로 불변이 된다.^[4]

라플라스 이후, 여러 천문학자들이 태양계의 불변면을 구하려고 했다. 그 사이에, 해왕성, 명왕성 등이 발견되었고, 더 나아가 우주탐사기 등의 관측 결과에 따라 태양계 내 천체의 질량과 운동을 계산하는 정확도가 크게 향상되어, 이론적인 개념이었던 불변면이 실제 불변면에 매우 가까운 것을 구할 수 있게 되었다.^[4]

과거 불변면 산출 예
연도	계산자	황도면에 대한 경사각 (°)	적경 (°)	비고
1802	라플라스	1.5919	102.9581	1750.0분점
1802	라플라스	1.5919	102.9542	1750.0분점
1834	퐁테쿠랑	1.5711	103.1458	1800.0분점
1834	퐁테쿠랑	1.5708	103.1472	1800.0분점
1872	스톡웰	1.5788716	106.235000	1850.0분점
1903	시	1.5854847	106.1463022	1850.0분점
1920	이네스	1.5831	106.5836	1900.0분점
1955	클레멘스 & 브라우어	1.6469 ± 0.0061	107.222 ± 0.035	1950.0분점
1982	부르크하르트	1.589706	107.12736	1950.0분점
1982	부르크하르트	1.587183	107.60856	J2000.0분점
2012	Souami & Souchay	1.57869	107.5822	2000.0분점

^[4]

3. 3. 태양계 천체의 궤도 경사

천체		황도	태양의 적도	불변면^[46]
지구형 행성	수성	7.01°	3.38°	6.34°
	금성	3.39°	3.86°	2.19°
	지구	0°	7.155°	1.57°
	화성	1.85°	5.65°	1.67°
목성형 행성	목성	1.31°	6.09°	0.32°
	토성	2.49°	5.51°	0.93°
	천왕성	0.77°	6.48°	1.02°
	해왕성	1.77°	6.43°	0.72°
소행성체	명왕성	17.14°	11.88°	15.55°
	세레스	10.62°	—	9.20°
	팔라스	35.06°	—	34.43°
	베스타	5.58°	—	7.13°

참조

_[1] 웹사이트 MeanPlane (invariable plane) for 142400/01/01 http://home.surewest[...] 2009-04-10
_[2] 웹사이트 MeanPlane (invariable plane) for 168000/01/01 http://home.surewest[...] 2009-04-10
_[3] 논문 Satellite dynamics on the Laplace surface
_[4] 서적 Celestial Mechanics https://books.google[...]
_[5] 문서 21世紀初頭における数値
_[6] 문서 なるべく数値を有効数字3桁に揃える。
_[7] 간행물 Astronomical Almanac 2010 IAU 2010-01-00
_[8] 문서 回転の方向を考慮した数値。
_[9] 문서 地球の公転面（黄道面）が基準
_[10] 문서 Invariable_plane
_[11] 문서 180°-177.36°=2.64°（正味）
_[12] 문서 逆向
_[13] 문서 180°-97.8°=82.23°（正味）
_[14] 문서 180°-119.59°=60.41°（正味）
_[15] 뉴스 冥王星、自転軸の傾きと揺らぎで地表の環境が激変　観測結果 https://www.cnn.co.j[...] CNN.co.jp
_[16] 웹사이트 Planetary Satellite Mean Orbital Parameters http://ssd.jpl.nasa.[...] Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology 2019-01-28
_[17] 문서 衛星の公転軌道の傾斜は対「ラプラス面」の値。例外は月の対黄道面。
_[18] 문서 地球の赤道面に対しては18.29°から28.58°
_[19] 문서 対月の公転面。対黄道面=1.54°、対地球の赤道面=24°
_[20] 서적 The Cambridge Guide to the Solar System https://books.google[...]
_[21] 문서 太陽には公転という意味での主星は存在しないが、銀河面内で天の川銀河の中心である銀河核の周りを約2.2億年余り（銀河年）をかけて回っている。
_[22] 간행물 太陽、惑星および月定数表 http://ebw.eng-book.[...] 国立天文台、丸善
_[23] 문서 銀河面に対しては67.23°である（sunより）。
_[24] 문서 赤道面で。緯度75度で31.8。
_[25] 서적 学術用語集天文学編
_[26] 서적 天体の位置と運動日本評論社 2009-01-15
_[27] 서적 天文小事典地人書館 1994-07-01
_[28] 논문 The solar system's invariable plane 2012-07
_[29] 서적 A Dictionary of Astronomy Oxford University Press 2012
_[30] 서적 Oeuvres complètes de Laplace https://gallica.bnf.[...] Gauthier-Villars et Fils 1878
_[31] 논문 On the Degree of Accuracy Attainable in Determining the Position of Laplace's Invariable Plane of the Planetary System 1904-01
_[32] 논문 1982-02
_[33] 서적 Traité de mécanique céleste (t. 3) https://www.kyoto-su[...] Chez J.B.M. Duprat 1802
_[34] 서적 Théorie analytique du système du monde https://books.google[...] Mallet-Bachelier 1834
_[35] 논문 The Invariable Plane of the Solar System 1920-07
_[36] 논문 The accuracy of the coordinates of the five outer planets and the invariable plane 1955-05
_[37] 논문 Satellite Dynamics on the Laplace Surface 2009-03
_[38] 논문 A Theory of the Earth's Precession Relative to the Invariable Plane of the Solar System University of Florida 1990
_[39] 논문 Precession Theory Using the Invariable Plane of the Solar System 1991
_[40] 웹사이트 Introduction to Celestial Mechanics http://farside.ph.ut[...] University of Texas at Austin 2016-03-31
_[41] 논문 Spectrum of 100-Kyr Glacial Cycle: Orbital Inclination, not Eccentricity 1997-08
_[42] 웹인용 MeanPlane (invariable plane) for 142400/01/01 https://web.archive.[...] 2009-04-08
_[43] 웹인용 MeanPlane (invariable plane) for 168000/01/01 https://web.archive.[...] 2009-04-06
_[44] 논문 Satellite dynamics on the Laplace surface http://adsabs.harvar[...]
_[45] 서적 Mécanique Céleste https://books.google[...]
_[46] 웹인용 Solex 10 https://web.archive.[...] 2020-04-13

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