불연속점의 분류

1. 개요

불연속점의 분류는 실수 함수의 불연속성을 좌극한과 우극한의 존재 여부에 따라 제1종과 제2종으로 나누는 것이다. 제1종 불연속점은 제거 가능 불연속점과 비약 불연속점으로, 제2종 불연속점은 무한 불연속점과 진동 불연속점으로 세분된다. 불연속점의 성질, 리만 적분 가능성, 도함수의 불연속성 등과 관련된 내용을 다루며, 디리클레 함수, 토메 함수 등을 예시로 든다.

2. 정의

실수 함수의 경우, 불연속점은 좌극한과 우극한의 존재 여부에 따라 제1종 불연속점과 제2종 불연속점으로 분류된다. 제1종 불연속점은 좌극한과 우극한이 일치하는지에 따라 제거 가능 불연속점과 비약 불연속점으로 분류되며, 제2종 불연속점은 무한대인 좌극한이나 우극한이 있는지에 따라 무한 불연속점과 진동 불연속점으로 분류된다.

구체적으로, 정의역이 실수 열린구간 $I\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$, 공역이 실수 집합 $\backslash mathbb\; R$인 함수 $f\backslash colon\; I\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어졌다고 하자.
실수 축 위의 점 x₀의 근방에서 정의되는 실수 변수 x의 실수 값을 갖는 함수 f가 점 x = x₀에서 불연속인 경우를 생각한다.
:$\backslash begin\{align\}$
L^{-} &:= \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) = f(x_0 - 0), \\
L^{+} &:= \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) = f(x_0 + 0)
\end{align}
를 각각 x = x₀에서의 f의 좌극한 또는 우극한으로 한다. 또한, L⁻ = L⁺일 때는 이 일치하는 값을 단순히
: $L\; :=\; \backslash lim\_\{x\backslash to\; x\_0^\{\}\}\; f(x)$
로 나타낸다.

== 제1종 불연속점 ==
제거 가능한 불연속점과 도약 불연속점을 통칭하여 제1종 불연속점이라고 한다.

=== 제거 가능 불연속점 ===

L⁻와 L⁺가 유한 확정(존재하고 유한)이고 같지만 f(x₀) ≠ L일 때, f(x)는 x = x₀에 제거 가능한 불연속점 removable discontinuity^영어을 갖는다고 한다. f(x₀)의 값을 변경하여 "x = x₀에서도 연속이 되도록 할 수 있다"는 의미에서 이 불연속성은 제거할 수 있다. 더 명확히 말하면, 함수
:$$
g(x) = \begin{cases}f(x) & (x\ne x_0) \\ L & (x = x_0)\end{cases}

는 x = x₀에서도 연속이 된다.

"제거 가능한 불연속성(점)"이라는 말은, x₀의 좌우 양쪽에서의 극한이 유한 확정이고 같지만, 함수는 x₀에서 정의되지 않는 경우에 잘못 사용되는 경우가 있다.。그러나 함수의 연속성과 불연속성의 개념은, 함수의 정의역에 속하는 점에 대해서만 정의되므로, 이러한 용법은 부적절하다. 이러한 부정점은 정확히는 제거 가능한 특이점이다.

=== 비약 불연속점 ===

L⁻와 L⁺가 유한 확정이나 같지 않은 경우
:$$
j := L^+ - L^- = f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0)

을 함수 f의 x₀에서의 도약, 점프 jump^영어, 계단 step^영어 또는 간극 gap)^영어 등이라고 하며, f는 x = x₀에서 도약 j의 도약 불연속점 jump discontinuity^영어, 계단 불연속점 step discontinuity^영어 또는 간극 불연속점 gap discontinuity^영어을 갖는다고 한다. 이 불연속성에 대해서는 f(x₀)의 값이 무엇인지는 영향을 미치지 않는다(그러나, x₀에서 좌연속 또는 우연속 중 하나로 만들 수 있다).

== 제2종 불연속점 ==
제2종 불연속점은, 한쪽 극한이 존재하지 않는 경우(진성 불연속점)를 말한다.

=== 무한 불연속점 ===

=== 진동 불연속점 ===

2.1. 제1종 불연속점

불연속점 $a\backslash in\; I$가 다음 조건을 만족시키면, 제1종 불연속점이라고 한다.

* (좌·우극한 존재) $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^-\}f(x)$와 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}f(x)$가 둘 다 존재한다.

편의상,
:$\backslash begin\{align\}$
L^{-} &:= \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) = f(x_0 - 0), \\
L^{+} &:= \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) = f(x_0 + 0)
\end{align}
를 각각 x = x₀에서의 f의 좌극한 또는 우극한으로 한다.

제거 가능한 불연속점과 도약 불연속점을 통칭하여 제1종 불연속점이라고 한다(제거 가능한 불연속점은 도약이 0인 도약 불연속점으로 생각할 수 있다).

== 제거 가능 불연속점 ==

L⁻와 L⁺가 유한 확정(존재하고 유한)이고 같지만 f(x₀) ≠ L일 때, f(x)는 x = x₀에 제거 가능한 불연속점 removable discontinuity^영어을 갖는다고 한다. f(x₀)의 값을 변경하여 "x = x₀에서도 연속이 되도록 할 수 있다"는 의미에서 이 불연속성은 제거할 수 있다.

== 도약 불연속점 ==

L⁻와 L⁺가 유한 확정이나 같지 않은 경우
:$$
j := L^+ - L^- = f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0)

을 함수 f의 x₀에서의 도약, 점프 jump^영어, 계단 step^영어 또는 간극 gap)^영어 등이라고 하며, f는 x = x₀에서 도약 j의 도약 불연속점 jump discontinuity^영어, 계단 불연속점 step discontinuity^영어 또는 간극 불연속점 gap discontinuity^영어을 갖는다고 한다. 이 불연속성에 대해서는 f(x₀)의 값이 무엇인지는 영향을 미치지 않는다(그러나, x₀에서 좌연속 또는 우연속 중 하나로 만들 수 있다).

2.1.1. 제거 가능 불연속점

제1종 불연속점 $a\backslash in\; I$가 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 $a$를 제거 가능 불연속점 또는 없앨 수 있는 불연속점이라고 한다.

* (좌·우극한 일치) $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^-\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}f(x)$
* (극한 존재) $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}f(x)$가 존재한다.
* (제거 가능) $f|\_\{I\backslash setminus\backslash \{a\backslash \}\}=g|\_\{I\backslash setminus\backslash \{a\backslash \}\}$인 연속 함수 $g\backslash colon\; I\backslash to\backslash mathbb\; R$가 존재한다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 제거 가능 불연속점이다.

:$f(x)=\backslash begin\{cases\}$
x^2&x<1\\0&x=1\\2-x&x>1
\end{cases}

제거 가능 불연속점은 함수의 재정의를 통해 연속점으로 만들 수 있다. 예를 들어, 위 함수를 다음과 같이 재정의한다.

:$f(1)=1$

그러면, 1은 새로운 함수의 연속점이 된다.

다음과 같은 구간 함수를 고려해 본다.

:$$f(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
x^2 & \text{ for } x < 1 \\
0 & \text{ for } x = 1 \\
2-x & \text{ for } x > 1
\end{cases}

점 $x\_0\; =\; 1$은 제거 가능한 불연속점이다.

음의 방향에서 오는 단측 극한:
:$$L^-\; =\; \backslash lim\_\{x\backslash to\; x\_0^-\}\; f(x)$$

양의 방향에서 오는 단측 극한:
:$$L^+\; =\; \backslash lim\_\{x\backslash to\; x\_0^+\}\; f(x)$$

$x\_0$에서 모두 존재하고, 유한하며, $L\; =\; L^-\; =\; L^+$과 같다. 즉, 두 단측 극한이 존재하고 같으므로, $x$가 $x\_0$에 접근할 때 $f(x)$의 극한 $L$이 존재하고 이와 같은 값과 같다. 만약 $f\backslash left(x\_0\backslash right)$의 실제 값이 $L$과 같지 않다면, $x\_0$를 제거 가능한 불연속점이라고 한다. 이 불연속점은 $f$가 $x\_0$에서 연속이 되도록 제거할 수 있다. 더 정확하게는, 함수

:$$g(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
f(x) & x \neq x_0 \\
L & x = x_0
\end{cases}

는 $x\; =\; x\_0$에서 연속이다.

제거 가능한 불연속점이라는 용어는 때때로 두 방향의 극한이 존재하고 같지만, 함수가 점 $x\_0$에서 정의되지 않은 제거 가능한 특이점을 포함하도록 확장되기도 한다. 그러나 함수의 연속성과 불연속성은 함수의 정의된 점에 대해서만 정의되는 개념이기 때문에, 이러한 용어의 사용은 부적절하다.

실수 축 위의 점 x₀의 근방에서 정의되는 실수 변수 x의 실수 값을 갖는 함수 f가 점 x = x₀에서 불연속인 경우를 생각한다.
:$\backslash begin\{align\}$
L^{-} &:= \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) = f(x_0 - 0), \\
L^{+} &:= \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) = f(x_0 + 0)
\end{align}
를 각각 x = x₀에서의 f의 좌극한 또는 우극한으로 한다. 또한, L⁻ = L⁺일 때는 이 일치하는 값을 단순히
: $L\; :=\; \backslash lim\_\{x\backslash to\; x\_0^\{\}\}\; f(x)$
로 나타낸다.

L⁻와 L⁺가 유한 확정(존재하고 유한)이고 같지만 f(x₀) ≠ L일 때, f(x)는 x = x₀에 제거 가능한 불연속점 (removable discontinuity)^영어을 갖는다고 한다. f(x₀)의 값을 변경하여 "x = x₀에서도 연속이 되도록 할 수 있다"는 의미에서 이 불연속성은 제거할 수 있다. 더 명확히 말하면, 함수
:$$
g(x) = \begin{cases}f(x) & (x\ne x_0) \\ L & (x = x_0)\end{cases}

는 x = x₀에서도 연속이 된다.

제거 가능한 불연속점과 도약 불연속점을 통칭하여 제1종 불연속점 (discontinuity of the first kind)^영어이라고 한다(제거 가능한 불연속점은 도약이 0인 도약 불연속점으로 생각할 수 있다).

"제거 가능한 불연속성(점)"이라는 말은, x₀의 좌우 양쪽에서의 극한이 유한 확정이고 같지만, 함수는 x₀에서 정의되지 않는 경우에 잘못 사용되는 경우가 있다.그러나 함수의 연속성과 불연속성의 개념은, 함수의 정의역에 속하는 점에 대해서만 정의되므로, 이러한 용법은 부적절하다. 이러한 부정점은 정확히는 제거 가능한 특이점이다.

2.1.2. 비약 불연속점

제1종 불연속점 $a\backslash in\; I$가 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a를 비약 불연속점 또는 뜀 불연속점이라고 한다.
* (좌·우극한 불일치) $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^-\}f(x)\backslash ne\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}f(x)$
* (극한 부재) $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}f(x)$가 존재하지 않는다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 비약 불연속점이다.
:$f(x)=\backslash begin\{cases\}$
x^2&x<1\\0&x=1\\2-(x-1)^2&x>1
\end{cases}

함수
$$f(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
x^2 & \mbox{ for } x < 1 \\
0 \text{ (or possibly undefined)} & \mbox{ for } x = 1 \\
2 - (x-1)^2 & \mbox{ for } x > 1
\end{cases}
에서, 점 $x\_0\; =\; 1$은 '이다.

이 경우, 좌극한 $L^-$과 우극한 $L^+$은 존재하고 유한하지만 서로 같지 않기 때문에($L^-\; \backslash neq\; L^+,$), 단일 극한은 존재하지 않는다. 그러면 $x\_0$을 점프 불연속점, 계단 불연속점, 또는 제1종 불연속점이라고 부른다. 이러한 유형의 불연속점의 경우, 함수 $f$는 $x\_0$에서 임의의 값을 가질 수 있다.

실수 축 위의 점 x₀의 근방에서 정의되는 실수 변수 x의 실수 값을 갖는 함수 f가 점 x = x₀에서 불연속인 경우를 생각할때,
:$\backslash begin\{align\}$
L^{-} &:= \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) = f(x_0 - 0), \\
L^{+} &:= \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) = f(x_0 + 0)
\end{align}
를 각각 x = x₀에서의 f의 좌극한 또는 우극한으로 한다. L⁻ = L⁺일 때는 이 일치하는 값을 단순히
: $L\; :=\; \backslash lim\_\{x\backslash to\; x\_0^\{\}\}\; f(x)$
로 나타낸다.

L⁻와 L⁺가 유한 확정이나 같지 않은 경우
:$$
j := L^+ - L^- = f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0)

을 함수 f의 x₀에서의 도약, 점프 (jump)^영어, 계단 (step)^영어 또는 간극 (gap)^영어 등이라고 하며, f는 x = x₀에서 도약 j의 도약 불연속점 (jump discontinuity)^영어, 계단 불연속점 (step discontinuity)^영어 또는 간극 불연속점' (gap discontinuity)^영어을 갖는다고 한다. 이 불연속성에 대해서는 f(x₀)의 값이 무엇인지는 영향을 미치지 않는다(그러나, x''₀에서 좌연속 또는 우연속 중 하나로 만들 수 있다).

2.2. 제2종 불연속점

불연속점 $a\backslash in\; I$가 다음 조건을 만족시키면, 제2종 불연속점이라고 한다.

* (좌/우극한 부재) $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^-\}f(x)$와 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}f(x)$ 가운데 적어도 하나가 존재하지 않는다.

실수 축 위의 점 x₀의 근방에서 정의되는 실수 변수 x의 실수 값을 갖는 함수 f가 점 x = x₀에서 불연속인 경우를 생각한다. 편의상,
:$\backslash begin\{align\}$
L^{-} &:= \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) = f(x_0 - 0), \\
L^{+} &:= \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) = f(x_0 + 0)
\end{align}
를 각각 x = x₀에서의 f의 좌극한 또는 우극한으로 한다.

제2종 불연속점은, 한쪽 극한이 존재하지 않는 경우(진성 불연속점)를 말한다.

2.2.1. 무한 불연속점

제2종 불연속점 $a\backslash in\; I$가 다음 조건을 만족시키면, 무한 불연속점이라고 한다.
* (좌/우극한 무한대) $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^-\}f(x)$와 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}f(x)$ 가운데 적어도 하나가 사영 무한대 $\backslash hat\backslash infty$이다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 무한 불연속점이다.
:$f(x)=\backslash begin\{cases\}$
\sin\frac5{x-1}&x<1\\0&x=1\\\frac1{x-1}&x>1
\end{cases}

2.2.2. 진동 불연속점

$a\backslash in\; I$가 다음 조건을 만족시키면, 진동 불연속점이라고 한다.

* (좌·우극한 무한대 아님) $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^-\}f(x)$가 사영 무한대 $\backslash hat\backslash infty$가 아니며, $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}f(x)$가 사영 무한대 $\backslash hat\backslash infty$가 아니다.

예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 진동 불연속점이다.

:$f(x)=\backslash begin\{cases\}$
\sin\frac5{x-1}&x\ne1\\0&x=1
\end{cases}

필수 불연속점의 경우, 적어도 한쪽의 극한은 $\backslash mathbb\{R\}$에서 존재하지 않는다. (한쪽 또는 양쪽 극한이 $\backslash pm\backslash infty$일 수도 있다.)

다음 함수를 생각해 보자.

$$f(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
\sin\frac{5}{x-1} & \text{ for } x < 1 \\
0 & \text{ for } x = 1 \\
\frac{1}{x-1} & \text{ for } x > 1.
\end{cases}

이때, 점 $x\_0\; =\; 1$은 이다.

이 예시에서, $L^-$과 $L^+$ 둘 다 $\backslash mathbb\{R\}$에서 존재하지 않으므로 필수 불연속점의 조건을 만족한다. 따라서 $x\_0$는 필수 불연속점, 무한 불연속점, 또는 제2종 불연속점이다. (이것은 복소 변수 함수의 연구에서 종종 사용되는 본질적 특이점과는 다르다.)

제2종 불연속점은, 한쪽 극한이 존재하지 않는 경우(진성 불연속점)를 말한다.

3. 성질

함수의 연속점 집합은 항상 G_δ 집합이다. 함수의 불연속점 집합은 항상 F_σ 집합이다.

실변수 실숫값 함수의 제1종 불연속점 집합은 가산 집합이다. 특히, 실변수 실숫값 단조함수의 불연속점은 항상 제1종 불연속점이므로, 단조함수의 불연속점 집합은 커야 가산 집합이다. 이를 프로다의 정리(Froda's theorem^영어)라고 한다.

함수 *f*가 구간 *I* ⊆ R에서 정의되었다고 가정하면, *D*를 *I*에서 *f*의 모든 불연속점의 집합으로 나타낸다. *R*은 *f*가 *x*₀에서 제거 가능한 불연속성을 갖는 모든 *x*₀∈ *I*의 집합을 의미한다. 유사하게 *J*는 *f*가 *x*₀에서 점프 불연속성을 갖는 모든 *x*₀∈ *I*로 구성된 집합을 나타낸다. *f*가 *x*₀에서 본질적인 불연속성을 갖는 모든 *x*₀∈ *I*의 집합은 *E*로 나타낸다.

* 집합 *D*는 $F\_\{\backslash sigma\}$ 집합이다.
* 구간 *I*에서, *f*가 단조 함수이면, *D*는 최대 가산이며, *D* = *J*이다. 이것은 프로다 정리이다.

토메 함수는 모든 유리수 점에서 불연속이지만, 모든 무리수 점에서 연속이다. 디리클레 함수로 알려진, 유리수 전체의 집합의 지시 함수는 모든 곳에서 불연속이다.

4. 리만 적분 가능성

르베그의 정리(르베그-비탈리 정리)에 따르면, 유계 함수 f가 I = [a,b]에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 불연속점 집합의 르베그 측도가 0인 것이다.

이는 모든 종류의 불연속성이 유계 함수 f가 [a,b]에서 리만 적분 가능하지 않게 만드는 데 동일한 비중을 갖는 것처럼 보이지만, 가산 집합은 르베그 측도 0인 집합이고, 르베그 측도 0인 집합들의 가산 합집합 역시 르베그 측도 0인 집합이므로, 그렇지 않다. 집합 R ∪ J ∪ E₂ ∪ E₃의 불연속성은 f의 리만 적분 가능성과 관련하여 중립적이다. 주요 불연속성은 제1종 본질적 불연속성이다.

따라서 르베그-비탈리 정리는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

* 유계 함수 f가 [a,b]에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 f의 모든 제1종 본질적 불연속성의 해당 집합 E₁이 르베그 측도 0을 갖는 것이다.

만약 E₁ = ∅ 이라면, 이는 유계 함수 f : [a, b] → ℝ의 리만 적분 가능성에 대한 고전적인 보완적인 상황에 해당한다.

* f가 [a, b]의 각 점에서 우극한을 갖는다면, f는 [a, b]에서 리만 적분 가능하다.
* f가 [a, b]의 각 점에서 좌극한을 갖는다면, f는 [a, b]에서 리만 적분 가능하다.
* f가 [a, b]에서 조절 함수라면, f는 [a, b]에서 리만 적분 가능하다.

5. 도함수의 불연속성

다르부 정리에 따르면, 도함수는 중간값 성질을 만족한다. 즉, 연속 함수가 아니더라도 중간값을 취한다. 도함수의 불연속점은 제거 가능 불연속점이나 점프 불연속점이 될 수 없고, 본질적 불연속점만이 가능하다. 특히, 극한값이 무한대가 되는 불연속점은 도함수의 불연속점이 될 수 없다.

6. 예

디리클레 함수는 모든 점에서 불연속이며, 이 불연속점은 모두 진동 불연속점이다. 토메 함수는 모든 유리수 점에서 불연속이며, 이 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

전체 유리수를 나열한 수열 $(r\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$에 대하여, 함수

함수
:
에서 x₀ = 1은 제거 가능한 불연속점이다. f(x)의 x = 1에서의 값을 1로 변경하면 연속이 된다.

함수
:
에서 x₀ = 1은 점프 불연속점이다.

함수
:
에서 x₀ = 1은 본질적 불연속점이다. 극한의 어느 한쪽이 존재하지 않거나 무한대이면 본질적 불연속점이 된다. 이 함수를 복소수 변수로 확장해도 불연속성은 본질적이다.

칸토어 집합의 지시 함수 $\backslash mathbf\; 1\_\backslash mathcal\{C\}(x)$는 칸토어 집합의 모든 점에서 제1종 본질적 불연속성을 가지는 리만 적분 가능한 함수이다.

7. 한국 사회와 불연속점