비네 방정식

1. 개요

비네 방정식은 프랑스 수학자 자크 필리프 마리 비네가 유도한 미분 방정식으로, 이체 문제를 일체 문제로 변환하여 궤도의 형태를 설명하는 데 사용된다. 각운동량 보존 법칙을 활용하여 유도되며, 궤도의 형태는 역수 u = 1/r을 각도 θ의 함수로 표현한다. 비네 방정식은 케플러 문제, 역 케플러 문제, 코테스 나선 등 다양한 물리적 상황에 적용될 수 있으며, 상대론적 효과를 포함하는 경우에도 활용된다.

2. 역사

프랑스의 수학자 자크 필리프 마리 비네가 유도하였다.

3. 정의

이체 문제는 일반적으로 환산 질량을 통해 일체 문제로 바꿀 수 있다. 즉, 일반적으로 다음과 같은 형태의 방정식을 얻는다.
:$\backslash mu\backslash ddot\{\backslash mathbf\; r\}=F(r)\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}$.
여기서 $\backslash mu$는 환산 질량이고, $\backslash mathbf\; r$은 입자의 위치, $F(r)$는 입자에 가해지는 힘이다. 각운동량 보존에 의하여, 일반적으로 $\backslash mathbf\; r$은 각운동량에 수직인 평면에 국한된다. 이 2차원 공간에 극좌표 $(r,\backslash theta)$를 잡자. 그렇다면 입자의 궤도는 $r(\backslash theta)$의 꼴로 나타낼 수 있다.

도움변수 $u(\backslash theta)$를 $r$의 역수로 정의하자.
:$u(\backslash theta)=1/r(\backslash theta)$.
그렇다면 $u$는 다음과 같은 미분 방정식을 만족한다. 이를 비네 방정식이라고 한다.
:$u\text{'}\text{'}+u+\backslash frac\{\backslash mu\}\{L^2u^2\}F(1/u)=0$.
여기서 $L$은 계의 (질량 중심으로부터의) 총 각운동량 $L=\backslash mu\; r^2\backslash dot\backslash theta$이다.

궤도의 형태는 흔히 각도 $\backslash theta$의 함수로서 상대 거리 $r$의 관점에서 편리하게 설명된다. 비네 방정식의 경우, 궤도 형태는 대신 역수 $u\; =\; 1/r$을 $\backslash theta$의 함수로 사용하여 더욱 간결하게 설명된다. 비선형 운동량을 $h=L/m$으로 정의하는데, 여기서 $L$은 각운동량이고, $m$은 질량이다. 비네 방정식은 함수 $u(\backslash theta)$의 관점에서 힘을 다음과 같이 나타낸다.
$$F(u^\{-1\})\; =\; -m\; h^2\; u^2\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^2\}+u\backslash right).$$

4. 유도

궤도의 형태는 흔히 각도 $\backslash theta$의 함수로서 상대 거리 $r$의 관점에서 편리하게 설명된다. 비네 방정식의 경우, 궤도 형태는 대신 역수 $u\; =\; 1/r$을 $\backslash theta$의 함수로 사용하여 더욱 간결하게 설명된다. 비선형 운동량을 $h=L/m$으로 정의하는데, 여기서 $L$은 각운동량이고, $m$은 질량이다. 그러면, 비네 방정식은 함수 $u(\backslash theta)$의 관점에서 힘을 다음과 같이 나타낸다.
:$F(u^\{-1\})\; =\; -m\; h^2\; u^2\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^2\}+u\backslash right).$
뉴턴의 제2법칙에서 순수한 중심력은 다음과 같다.
:$F(r)\; =\; m\; \backslash left(\backslash ddot\{r\}-r\backslash dot\{\backslash theta\; \}^2\backslash right).$

각운동량 보존은 다음을 요구한다.
:$r^\{2\}\backslash dot\{\backslash theta\; \}\; =\; h\; =\; \backslash text\{상수\}.$

시간에 대한 $r$의 미분은 각도에 대한 $u=1/r$의 미분으로 다시 쓸 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
&\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta } = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta }=-\frac}{r^{2}\dot{\theta }}=-\frac}{h} \\
& \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}=-\frac{1}{h}\frac{\mathrm{d}\dot{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{\ddot{r}}{h\dot{\theta }} = -\frac{\ddot{r}}{h^2 u^2}
\end{align}


위의 모든 것을 결합하면 다음을 얻는다.
:$F\; =\; m\backslash left(\backslash ddot\{r\}-r\backslash dot\{\backslash theta\; \}^2\backslash right)\; =\; -m\backslash left(h^2\; u^2\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^2\}\; +h^\{2\}u^\{3\}\backslash right)=-mh^\{2\}u^\{2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^\{2\}\}+u\backslash right)$

일반 해는
:$\backslash theta\; =\; \backslash int\_\{r\_0\}^r\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; dr\}\{r^2\backslash sqrt\{\backslash frac\{2m\}\{L^2\}\; (E-V)\; -\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\}\}\; +\; \backslash theta\_0$ 여기서 $(r\_0,\; \backslash theta\_0)$는 입자의 초기 좌표이다.

5. 예시

비네 방정식은 케플러 문제에서 역제곱 법칙을 따르는 궤도를 계산하는 데 사용되는 미분 방정식이다.

슈바르츠실트 좌표를 사용한 상대론적 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta^\{2\}\}+u=\backslash frac\{r\_s\; c^\{2\}\}\{2h^\{2\}\}+\backslash frac\{3r\_s\}\{2\}u^\{2\}$

여기서 $c$는 광속, $r\_s$는 슈바르츠실트 반지름이다. 라이스너-노르드스트룀 계량을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta^\{2\}\}+u=\backslash frac\{r\_s\; c^\{2\}\}\{2h^\{2\}\}+\backslash frac\{3r\_s\}\{2\}u^\{2\}-\backslash frac\{G\; Q^\{2\}\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\; c^\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{c^\{2\}\}\{h^\{2\}\}u+2u^3\backslash right)$

여기서 $Q$는 전하, $\backslash varepsilon\_0$는 진공 유전율이다.

5.1. 케플러 문제

케플러 문제에서 역제곱 법칙을 따르는 궤도를 계산하기 위해 비네 방정식을 미분 방정식으로 풀 수 있다. 슈바르츠실트 좌표를 사용한 상대론적 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta^\{2\}\}+u=\backslash frac\{r\_s\; c^\{2\}\}\{2h^\{2\}\}+\backslash frac\{3r\_s\}\{2\}u^\{2\}$

여기서 $c$는 광속, $r\_s$는 슈바르츠실트 반지름이다. 라이스너-노르드스트룀 계량을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta^\{2\}\}+u=\backslash frac\{r\_s\; c^\{2\}\}\{2h^\{2\}\}+\backslash frac\{3r\_s\}\{2\}u^\{2\}-\backslash frac\{G\; Q^\{2\}\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\; c^\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{c^\{2\}\}\{h^\{2\}\}u+2u^3\backslash right)$

여기서 $Q$는 전하, $\backslash varepsilon\_0$는 진공 유전율이다.

5.1.1. 고전

전통적인 케플러 문제에서 역제곱 법칙을 따르는 궤도를 계산하려면, 비네 방정식을 미분 방정식으로 풀면 된다.
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta^\{2\}\}+u=\backslash text\{constant\}>0$
근점에서 각도 θ^영어를 측정하면, 일반해는 다음과 같이 (역수) 극 방정식으로 나타낼 수 있다.
:$lu=1+\backslash varepsilon\backslash cos\backslash theta$
이 식은 반통경 l^영어, 이심률 ε^영어을 갖는 원뿔 곡선을 나타낸다.

5.1.2. 상대론적

슈바르츠실트 좌표에 대해 유도된 상대론적 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^\{2\}\}+u=\backslash frac\{r\_s\; c^2\}\{2\; h^\{2\}\}+\backslash frac\{3\; r\_s\}\{2\}u^\{2\}$

여기서 $c$는 빛의 속도이고, $r\_s$는 슈바르츠실트 반지름이다. 라이스너-노르드스트룀 계량의 경우 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^\{2\}\}+u=\backslash frac\{r\_s\; c^2\}\{2\; h^\{2\}\}+\backslash frac\{3\; r\_s\}\{2\}\; u^2-\backslash frac\{G\; Q^\{2\}\}\{4\; \backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\; c^\{4\}\}\backslash left(\backslash frac\{c^2\}\{h^2\}\; u\; +2u^3\backslash right)$

여기서 $Q$는 전하이고, $\backslash varepsilon\_0$는 진공 유전율이다.

5.2. 역 케플러 문제

역 케플러 문제를 고려해 보자. 어떤 종류의 힘의 법칙이 타원 궤도(또는 더 일반적으로 비원형 원뿔 곡선)를 타원의 초점 주위에서 생성하는가?

타원의 위 극좌표 방정식을 두 번 미분하면 다음과 같다.
:$l\; \backslash ,\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^2\}\; =\; -\; \backslash varepsilon\; \backslash cos\; \backslash theta.$

따라서 힘의 법칙은 다음과 같다.
:$F\; =\; -mh^\{2\}u^\{2\}\; \backslash left(\backslash frac\{-\; \backslash varepsilon\; \backslash cos\; \backslash theta\}\{l\}+\backslash frac\{1\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash cos\; \backslash theta\}\{l\}\backslash right)=-\backslash frac\{m\; h^2\; u^2\}\{l\}=-\backslash frac\{m\; h^2\}\{l\; r^2\},$
이는 예상된 역제곱 법칙이다. 궤도 $h^2/l\; =\; \backslash mu$를 $GM$ 또는 $k\_e\; q\_1\; q\_2/m$과 같은 물리적 값에 맞추면 각각 뉴턴의 만유인력의 법칙 또는 쿨롱의 법칙이 재현된다.

슈바르츠실트 좌표의 유효한 힘은 다음과 같다.
:$F\; =\; -GMmu^2\; \backslash left(1+3\backslash left(\backslash frac\{hu\}\{c\}\backslash right)^2\backslash right)=\; -\; \backslash frac\{GMm\}\{r^2\}\; \backslash left(1+3\backslash left(\backslash frac\{h\}\{rc\}\backslash right)^2\backslash right).$
여기서 두 번째 항은 근점의 각도 이동과 같은 사중극 효과에 해당하는 역 4차 힘이다 (지연 전위를 통해 얻을 수도 있다.).

매개변수화된 포스트 뉴턴 형식주의에서 우리는 다음을 얻을 것이다.
:$F\; =\; -\backslash frac\{GMm\}\{r^2\}\; \backslash left(1+(2+2\backslash gamma-\backslash beta)\backslash left(\backslash frac\{h\}\{rc\}\backslash right)^2\backslash right).$
여기서 일반 상대성 이론의 경우 $\backslash gamma\; =\; \backslash beta\; =\; 1$이고 고전적인 경우에는 $\backslash gamma\; =\; \backslash beta\; =\; 0$이다.

5.3. 코테스 나선

역 세제곱 힘 법칙은 다음과 같은 형태를 갖는다.
:$F(r)\; =\; -\backslash frac\{k\}\{r^3\}.$
역 세제곱 법칙 궤도의 모양은 코테스 나선으로 알려져 있다. 비네 방정식은 궤도가 다음 방정식의 해여야 함을 보여준다.
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\; u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta^2\}+u=\backslash frac\{k\; u\}\{m\; h^2\}\; =\; C\; u.$
미분 방정식은 케플러 문제의 서로 다른 원뿔 곡선과 유사하게 세 가지 종류의 해를 갖는다. 일 때, 해는 에피스파이럴이며, $C\; =\; 0$일 때의 특수한 경우인 직선을 포함한다. $C\; =\; 1$일 때, 해는 쌍곡선 나선이다. $C\; >\; 1$일 때 해는 푸아소 나선이다.

5.4. 축에서 벗어난 원 운동

비네 방정식은 중심력에 대한 원운동에 대해 고유한 힘의 법칙을 제공하지 못하지만, 원의 중심과 힘의 중심이 일치하지 않는 경우 방정식을 통해 힘의 법칙을 제공할 수 있다. 예를 들어, 힘의 중심을 직접 통과하는 원 궤도를 생각해 보자. 직경이 $D$인 이러한 원 궤도에 대한 (역수) 극 방정식은 다음과 같다.

:$D\; \backslash ,\; u(\backslash theta)=\; \backslash sec\; \backslash theta.$

$u$를 두 번 미분하고 피타고라스 정리를 사용하면 다음과 같다.

:$D\; \backslash ,\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^2\}\; =\; \backslash sec\; \backslash theta\; \backslash tan^2\; \backslash theta\; +\; \backslash sec^3\; \backslash theta\; =\; \backslash sec\; \backslash theta\; (\backslash sec^2\; \backslash theta\; -\; 1)\; +\; \backslash sec^3\; \backslash theta\; =\; 2\; D^3\; u^3-D\; \backslash ,\; u.$

따라서 힘의 법칙은 다음과 같다.

:$F\; =\; -mh^2u^2\; \backslash left(\; 2\; D^2\; u^3-\; u\; +\; u\backslash right)\; =\; -2mh^2D^2u^5\; =\; -\backslash frac\{2mh^2D^2\}\{r^5\}.$

일반적인 역 문제, 즉 인력 $1/r^5$ 힘의 법칙의 궤도를 구성하는 것은 다음과 같은 방정식을 푸는 것과 같으므로 훨씬 더 어려운 문제라는 점에 유의해야 한다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^\{2\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; ^\{2\}\}+u=Cu^3$

이것은 2차 비선형 미분 방정식이다.