비비아니 정리

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1. 개요

비비아니 정리는 정삼각형 내부의 점에서 각 변에 내린 수선의 길이의 합이 점의 위치에 관계없이 일정하다는 정리이다. 이 정리는 정삼각형뿐만 아니라 정다각형, 정다면체로 일반화될 수 있으며, 평행사변형과 같은 다른 도형에도 적용될 수 있다. 비비아니 정리는 삼각형의 넓이를 이용해 증명할 수 있으며, 3원 플롯과 같은 좌표를 제공하는 데 응용된다.

비비아니 정리

이미지 준비중입니다.

비비아니 정리 설명 그림

내용	정삼각형 내부의 임의의 점에서 각 변에 내린 수선의 길이의 합은 일정하며, 정삼각형 높이와 같다.
관련 인물	빈첸초 비비아니

추가 정보

활용	이 정리는 비비아니의 정리 지도를 만들거나, 특정 영역을 삼각형 좌표로 나타내는 데 사용할 수 있다.

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1. 개요
2. 공식화
3. 증명
- 3.1. 삼각형의 넓이를 이용한 증명
4. 역
5. 일반화
6. 응용

2. 공식화

비비아니 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

* 임의의 정삼각형 내부의 한 점에서 세 변에 내린 수선의 길이의 합은 정삼각형의 높이와 같다.

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좌우로 밀어서 보기

단계	설명
1	점 P에서 정삼각형 ABC의 각 변까지의 최단 거리(수선의 발)를 표시한다.
2	점 P를 지나면서 정삼각형의 각 변(AB, BC, CA)에 평행한 선분(DE, FG, HI)을 그으면, 세 개의 작은 닮은 정삼각형(PHE, PFI, PDG)이 만들어진다.
3	이 작은 삼각형들은 정삼각형이므로, 각 삼각형의 높이는 원래 내린 수선의 길이와 같다.
4	평행사변형(예: PGCH)의 성질을 이용하고 작은 정삼각형들을 이동시키면, 세 수선의 길이의 합이 원래 정삼각형 ABC의 높이와 같음을 시각적으로 확인할 수 있다.

이 증명은 삼각형의 넓이가 밑변과 높이의 곱의 절반이라는 사실에 기반한다.

높이가 h이고 한 변의 길이가 a인 정삼각형 ABC가 있다고 가정하자.

삼각형 내부의 임의의 점을 P라 하고, P에서 세 변에 내린 수선의 길이를 각각 s, t, u라고 하자. 점 P와 정삼각형의 세 꼭짓점(A, B, C)을 연결하면 세 개의 작은 삼각형 PAB, PBC, PCA가 만들어진다.

이 세 삼각형의 넓이는 각각

\frac{u \cdot a}{2}

\frac{s \cdot a}{2}

\frac{t \cdot a}{2}

이다. 이 세 삼각형의 넓이를 합하면 원래 정삼각형 ABC의 넓이와 같으므로, 다음과 같은 등식이 성립한다.

:

\frac{u \cdot a}{2} + \frac{s \cdot a}{2} + \frac{t \cdot a}{2} = \frac{h \cdot a}{2}

양변에

\frac{2}{a}

를 곱하면 다음과 같다.

:

u + s + t = h

따라서 정삼각형 내부의 임의의 점에서 세 변에 내린 수선의 길이의 합(s + t + u)은 항상 정삼각형의 높이(h)와 같다. Q.E.D.

3. 증명

정삼각형의 넓이를 이용하여 비비아니 정리를 증명할 수 있다.

정삼각형의 한 변의 길이를 S라 하고, 삼각형 내부의 한 점에서 각 변에 내린 수선의 길이를 각각 a, b, c라고 하자. 이 점과 정삼각형의 세 꼭짓점을 연결하면 정삼각형은 세 개의 작은 삼각형으로 나뉜다. 이 세 삼각형의 넓이의 합은 원래 정삼각형의 넓이와 같다. 각 작은 삼각형의 밑변은 S이고 높이는 각각 a, b, c이므로, 세 삼각형 넓이의 합은 $\frac{1}{2} S a + \frac{1}{2} S b + \frac{1}{2} S c = \frac{1}{2} S (a + b + c)$ 가 된다.

한편, 정삼각형의 넓이는 $\frac{S^2}{2} \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} S^2$ 로 일정하다. 따라서 $\frac{1}{2} S (a + b + c) = \frac{\sqrt{3}}{4} S^2$ 이 성립한다. 이 식을 정리하면 $a + b + c = \frac{\sqrt{3}}{2} S$ 가 되는데, 이는 정삼각형의 높이와 같다. 즉, 내부의 점에서 세 변에 내린 수선의 길이의 합(a + b + c)은 점의 위치에 관계없이 항상 정삼각형의 높이( $h = \frac{\sqrt{3}}{2} S$ )로 일정하다.

다음 표는 그림의 시각적 증명 과정을 단계별로 설명한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

단계	설명
1	점 P에서 정삼각형 ABC의 각 변까지 내린 수선(최단 거리)을 표시한다.
2	P를 지나면서 각 변 AB, BC, CA에 평행한 선분 DE, FG, HI를 그린다. 이 선분들은 서로 닮은 작은 정삼각형 PHE, PFI, PDG를 만든다.
3	이 작은 삼각형들은 정삼각형이므로, 각 삼각형의 높이(P에서 각 평행선까지의 거리)는 원래 수선 길이와 같다. 이 높이들을 수직 방향으로 회전시킬 수 있다.
4	사각형 PGCH는 평행사변형이므로 PG와 HC의 길이는 같다. 작은 삼각형들의 높이를 쌓아 올리면, 세 수선의 길이 합이 큰 정삼각형 ABC의 높이와 같음을 시각적으로 확인할 수 있다.

삼각형의 넓이를 이용한 다른 접근 방식도 있으며, 이에 대한 자세한 증명은 하위 섹션에서 다룬다.

3.1. 삼각형의 넓이를 이용한 증명

이 증명은 삼각형의 넓이가 밑변과 높이의 곱의 절반이라는 사실에 기반한다.

높이가 h이고 변의 길이가 a인 정삼각형 ABC가 있다고 가정한다. 삼각형 내부의 임의의 점을 P라 하고, P에서 세 변에 내린 수선의 길이를 각각 s, t, u라고 하자. 점 P에서 정삼각형의 각 꼭짓점 A, B, C에 선분을 그으면, 정삼각형 ABC는 세 개의 작은 삼각형 PAB, PBC, PCA로 나뉜다.

이 세 삼각형의 밑변은 모두 정삼각형의 변 a이고, 높이는 각각 P에서 각 변까지의 수선 길이 u, s, t가 된다. 따라서 각 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
* 삼각형 PAB의 넓이 = $\frac{u \cdot a}{2}$
* 삼각형 PBC의 넓이 = $\frac{s \cdot a}{2}$
* 삼각형 PCA의 넓이 = $\frac{t \cdot a}{2}$

이 세 삼각형의 넓이의 합은 원래 정삼각형 ABC의 넓이와 같다. 정삼각형 ABC의 넓이는 밑변 a와 높이 h를 이용하여 $\frac{h \cdot a}{2}$ 로 나타낼 수 있다. 따라서 다음 등식이 성립한다.

: $\frac{u \cdot a}{2} + \frac{s \cdot a}{2} + \frac{t \cdot a}{2} = \frac{h \cdot a}{2}$

이 식의 양변에 $\frac{2}{a}$ 를 곱하면 변의 길이 a와 관계없이 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

: $u + s + t = h$

이는 정삼각형 내부의 어떤 점 P를 선택하든, 그 점에서 세 변에 내린 수선의 길이의 합(s + t + u)은 항상 정삼각형의 높이 h와 같다는 것을 의미한다. 즉, 이 합은 점 P의 위치에 관계없이 항상 일정하다.

4. 역

일반적으로 비비아니 정리의 역은 성립한다. 즉, 삼각형의 내부 점에서 각 변까지의 거리의 합이 점의 위치에 관계없이 일정하다면, 그 삼각형은 정삼각형이다.

5. 일반화

비비아니 정리는 정삼각형 내부에 있는 한 점에서 세 변에 내린 수선의 길이 합이 점의 위치에 관계없이 일정하다는 정리이다. 이 정리는 다음과 같은 다른 도형으로도 확장될 수 있다.

* 임의의 정다각형
* 모든 각의 크기가 같은 등각 다각형
* 모든 변의 길이가 같은 볼록 다각형

또한, 3차원 공간으로 확장하여 정다면체 내부의 한 점에서 각 면에 내린 수선의 길이 합 역시 일정하다는 성질이 성립한다.

5.1. 평행사변형

평행사변형 내부의 임의의 점에서 각 변에 내린 수선의 길이의 합은 점의 위치에 관계없이 일정하다. 반대로, 사변형 내부의 임의의 점에서 각 변까지의 거리의 합이 점의 위치에 관계없이 일정하다면, 그 사변형은 평행사변형이다.

5.2. 정다각형

비비아니 정리는 정삼각형뿐만 아니라 임의의 정다각형으로 일반화될 수 있다. 정다각형은 모든 각의 크기가 같고(등각 다각형) 모든 변의 길이가 같은(등변 다각형) 다각형을 의미한다.

정다각형 내부의 한 점에서 각 변에 내린 수선의 길이의 합은 그 점의 위치에 관계없이 항상 일정하다. 이 일정한 값은 정다각형의 변의 개수를 n이라 하고, 아포테마(다각형의 중심에서 각 변까지의 거리)를 a라고 할 때, n × a 와 같다.

하지만 이 명제의 역은 성립하지 않는다. 즉, 다각형 내부의 임의의 점에서 각 변까지의 거리의 합이 일정하다고 해서 그 다각형이 항상 정다각형인 것은 아니다. 예를 들어, 정사각형이 아닌 평행사변형은 내부의 점에서 각 변까지의 거리 합이 일정할 수 있지만 정다각형이 아니므로, 이 명제의 역에 대한 반례가 된다.

비비아니 정리는 정다각형이 아니더라도 다음 조건을 만족하는 다각형에서도 성립한다.
* 모든 각의 크기가 같은 등각 다각형
* 모든 변의 길이가 같은 볼록 등변 다각형

또한, 이 정리는 3차원 공간으로 확장될 수 있다. 정다면체 내부의 한 점에서 각 면에 내린 수선의 길이의 합 역시 그 점의 위치에 관계없이 일정하다.

5.3. 등각다각형

등각 다각형의 내부 한 점으로부터 각 변에 내린 수선의 길이 합은 점의 위치에 관계없이 일정하다. 예를 들어, 정삼각형 내부에 있는 한 점에서 세 변에 내린 수선의 길이 합은 항상 같다.

이 정리는 정삼각형뿐만 아니라 임의의 정다각형에서도 성립한다. 더 나아가 다음 조건을 만족하는 다각형에서도 성립한다.
* 모든 각의 크기가 같은 다각형 (즉, 등각 다각형)
* 모든 변의 길이가 같은 볼록 다각형

5.4. 볼록 다각형

볼록 다각형에서 임의의 내부점에서 각 변까지의 거리의 합이 일정할 필요충분 조건은, 거리의 합이 같은 세 개의 일직선상에 있지 않은 내부 점이 존재하는 것이다.

예를 들어, 정삼각형 내부의 한 점에서 세 변에 내린 수선의 길이의 합은 항상 일정하다. 이 정리는 임의의 정다각형에서도 성립한다.

정다각형이 아니더라도 다음 조건을 만족하는 다각형에서도 성립한다.
* 모든 각의 크기가 같은 다각형
* 모든 변의 길이가 같은 볼록 다각형

이 개념은 3차원으로 확장될 수 있는데, 정다면체 내부의 한 점에서 각 면에 내린 수선의 길이의 합 역시 일정하다.

5.5. 정다면체

정다면체 내부의 임의의 점에서 각 면에 내린 수선의 길이의 합은 그 점의 위치에 관계없이 일정하다. 하지만 이 명제의 역은 성립하지 않으며, 심지어 사면체에 대해서도 성립하지 않는다.

6. 응용

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비비아니 정리는 정삼각형의 변과 평행한 선이 3원 플롯과 같은 좌표를 제공한다는 것을 의미하며, 예를 들어 가연성 다이어그램이 있다.

더 일반적으로, 이는 동일한 방식으로 정규 단순체에 좌표를 부여할 수 있게 해준다.