뻣뻣함

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1. 개요
2. 계산
3. 강성의 종류
4. 순응도(Compliance)
5. 회전 강성
6. 탄성 계수와의 관계
7. 응용
- 7.1. 재료 과학
- 7.2. 생체 역학
참조

1. 개요

뻣뻣함은 변형에 대한 탄성체의 저항을 나타내는 척도이다. 단일 자유도를 가진 탄성체의 경우, 가해지는 힘과 변위의 비율로 정의되며, 여러 자유도를 갖는 물체의 경우 행렬로 표현된다. 뻣뻣함은 축 강성, 굽힘 강성, 전단 강성, 비틀림 강성 등 다양한 종류로 분류되며, 물체의 탄성 계수와 단면적, 길이 등의 기하학적 특성에 따라 결정된다. 뻣뻣함의 역수는 유연성 또는 순응도로 나타내며, 구조 공학, 재료 과학, 생체 역학 등 다양한 분야에서 응용된다.

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뻣뻣함

2. 계산

탄성체의 강성 $k$ 는 변형에 대한 탄성체의 저항을 측정하는 척도이다. 단일 자유도 (DOF)를 가진 탄성체(예: 막대의 신장 또는 압축)의 경우 강성은 다음과 같이 정의된다.

$k = \frac {F}{\delta}$

여기서,

$F$ 는 물체에 가해지는 힘이다.
$\delta$ 는 동일한 자유도에 의해 생성된 변위이다(예: 늘어난 스프링의 길이 변화).

강성은 일반적으로 준정적 조건에서 정의되지만 때로는 동적 하중 하에서도 정의된다.^[3]

국제 단위계(SI)에서 강성은 일반적으로 미터당 뉴턴 (

N/m

)으로 측정된다. 영국 단위계에서 강성은 일반적으로 인치당 파운드 (lbs/in)로 측정된다.

일반적으로, 탄성체 내의 무한소 요소(점으로 간주됨)의 처짐 (또는 운동)은 여러 DOF에서 발생할 수 있다(점에서 최대 6개의 DOF). 예를 들어, 수평 보의 한 점은 수직 변위와 변형되지 않은 축에 대한 회전을 모두 겪을 수 있다.

M

개의 자유도가 있는 경우, 해당 지점에서의 강성을 설명하기 위해

M \times M

행렬을 사용해야 한다. 행렬의 대각선 항은 직접 관련 강성(또는 단순히 강성)이며 동일한 자유도를 따라 작용하고, 비대각선 항은 두 개의 다른 자유도(동일한 지점 또는 다른 지점) 또는 두 개의 다른 지점에서의 동일한 자유도 간의 결합 강성이다. 산업에서는 영향 계수라는 용어가 결합 강성을 지칭하는 데 사용되기도 한다.

여러 DOF를 가진 물체의 경우, 적용된 힘이 해당 방향(또는 자유도)뿐만 아니라 다른 방향으로의 처짐도 생성하므로 위의 방정식은 일반적으로 적용되지 않는다.

여러 DOF를 가진 물체의 경우, 특정 직접 관련 강성(대각선 항)을 계산하기 위해 해당 DOF는 자유롭게 두고 나머지는 제약해야 한다. 이러한 조건에서 위의 방정식은 구속되지 않은 자유도의 직접 관련 강성을 얻을 수 있다. 반응력(또는 모멘트)과 생성된 처짐 사이의 비율은 결합 강성이다.

탄성 텐서는 가능한 모든 신장 및 전단 매개변수를 설명하는 일반화이다.

단일 스프링은 의도적으로 변위 전반에 걸쳐 가변적인(비선형) 강성을 갖도록 설계될 수 있다.

강성의 역수는 유연성 또는 컴플라이언스이며, 일반적으로 미터/뉴턴 단위로 측정된다. 유변학에서 이는 변형률 대 응력의 비율로 정의될 수 있으며,^[4] 따라서 역 응력의 단위를 갖는다. 예를 들어 1/Pa이다.

축 방향 모멘트 $M$ 에 의해 발생된 길이 $L$ 의 원통형 막대의 비틀림, 각도 $\alpha$

물체는 회전 강성

k

를 가질 수 있으며, 다음과 같이 나타낸다.

k = \frac{M}{\theta}

여기서

$M$ 은 가해진 모멘트
$\theta$ 는 회전 각도

국제 단위계(SI)에서 회전 강성은 일반적으로 뉴턴·미터 매 라디안 (N·m/rad)으로 측정된다.

SAE 단위계에서 회전 강성은 일반적으로 인치-파운드 매 도 (in·lbf/degree)로 측정된다.

다음과 같은 강성의 추가 측정 방법은 유사한 기준으로 파생된다.

전단 강성 - 가해진 전단 힘과 전단 변형의 비율
비틀림 강성 - 가해진 비틀림 모멘트와 비틀림 각도의 비율

재료의 탄성 계수는 해당 재료로 만들어진 부품의 강성과 동일하지 않다. 탄성 계수는 구성 재료의 속성이며, 강성은 구조 또는 구조 부품의 속성이므로 해당 부품을 설명하는 다양한 물리적 치수에 따라 달라진다. 즉, 계수는 재료의 내포적 성질이다. 반면에 강성은 재료와 모양 및 경계 조건에 따라 달라지는 고체 외연적 성질이다. 예를 들어, 인장 또는 압축의 요소의 경우 축 방향 강성은 다음과 같다.

k = E \cdot \frac{A}{L}

여기서

$E$ 는 (인장) 탄성 계수(또는 영률)이다.
$A$ 는 단면적이다.
$L$ 은 요소의 길이이다.

마찬가지로, 직선 단면의 비틀림 강성은 다음과 같다.

k = G \cdot \frac{J}{L}

여기서

$G$ 는 재료의 강성률이다.
$J$ 는 단면의 비틀림 상수이다.

비틀림 강성은 [힘] * [길이] / [각도]의 차원을 가지므로 SI 단위는 N*m/rad이다.

구속되지 않은 단축 인장 또는 압축의 특수한 경우, 영률은 구조의 강성 척도로 볼 수 있다.

3. 강성의 종류

탄성체의 강성 $k$ 는 변형에 대한 저항을 측정하는 척도이다. 단일 자유도(DOF)를 가진 탄성체의 경우, 강성은 가해진 힘 $F$ 와 그로 인해 발생하는 변위 $\delta$ 의 비율( $k = F/\delta$ )로 정의된다. 강성은 보통 준정적 조건에서 정의되지만, 동적 하중 하에서도 정의될 수 있다.^[3] 국제 단위계(SI)에서는 보통 미터당 뉴턴(N/m)으로, 영국 단위계에서는 인치당 파운드(lbf/in)로 측정한다.

일반적으로 물체 내 한 점은 여러 방향으로 변형될 수 있으므로(최대 6개의 자유도), 강성을 표현하기 위해 행렬이 사용되기도 한다. 행렬의 대각선 항은 직접 관련 강성을, 비대각선 항은 결합 강성(산업계에서는 영향 계수라고도 함)을 나타낸다.

물체는 회전 변형에 저항하는 회전 강성 $k$ 도 가질 수 있으며, 이는 가해진 모멘트 $M$ 과 회전 각도 $\theta$ 의 비율( $k = M/\theta$ )로 정의된다. SI 단위는 뉴턴·미터/라디안(N·m/rad)이다.

물체의 변형은 작용하는 힘의 종류에 따라 축 변형, 굽힘 변형, 전단 변형, 비틀림 변형 등으로 나누어 생각할 수 있다. 이에 대응하여 각각 축 강성, 굽힘 강성, 전단 강성, 비틀림 강성이 존재한다. 각 강성은 사용 재료의 탄성 계수, 단면 형상, 부재의 길이 등에 따라 결정된다.

재료 자체의 특성인 탄성 계수(예: 영률, 강성률)와 구조 또는 부품의 특성인 강성은 구별해야 한다. 탄성 계수는 재료 고유의 내포적 성질인 반면, 강성은 재료뿐만 아니라 형상, 크기, 경계 조건 등 다양한 요인에 따라 달라지는 외연적 성질이다. 예를 들어, 단순 인장/압축 시 축 강성은 $k = E \cdot A/L$ 로, 비틀림 강성은 $k = G \cdot J/L$ 로 표현될 수 있다.

단일 스프링 등은 의도적으로 변위에 따라 강성이 변하는 비선형 강성을 갖도록 설계될 수도 있다.

3. 1. 축 강성

물체의 변형은 축 변형, 굽힘 변형, 전단 변형, 비틀림 변형 등으로 나누어 생각할 수 있다. 각각의 변형에 대응하여 축 강성, 굽힘 강성, 전단 강성, 비틀림 강성이 존재한다. 각 강성은 사용되는 재료의 탄성률, 단면적이나 단면 이차 모멘트 같은 단면 성능, 그리고 변형하는 부분의 길이와 형상 등에 따라 결정된다.

한쪽 끝이 고정된 균일한 단면을 가진 탄성 부재의 축 강성은 다음과 같이 정의된다.

k_{N}=\dfrac{N}{\delta_{N}}=\dfrac{EA}{L}

기호	의미
$k_{N}$	축 강성
$N$	축 방향으로 작용하는 힘
$\delta_{N}$	축 방향 변형 (길이 변화)
$E$	재료의 탄성 계수 (영률)
$A$	부재의 단면적
$L$	부재의 원래 길이

3. 2. 굽힘 강성

금속, 목재 등 일정 두께를 가진 재료에 대해서는 일반적으로 강성이라는 용어가 사용되지만, 시트, 종이, 필름 등 얇은 재료에서는 영어의 '''스티프니스'''(stiffness), '''요'''(허리), '''강도'''(굳기) 등의 표현도 사용된다.

재질 측면에서 보면, 영률이나 강성률 등의 탄성률이 큰 재료를 사용함으로써 강성을 높일 수 있다. 같은 재질이라면 판 두께를 두껍게 하거나, H형이나 관과 같은 단면 성능이 큰 단면으로 하여 강성을 높일 수 있다. 또한, 자동차의 프레스 가공처럼 평판에 리브 모양의 요철을 내어 단면 성능을 높이거나, 부재를 입체적인 곡면 형상으로 하여 아치나 셸 구조 효과로 강성을 높일 수도 있다. 합성수지 필름의 경우, 같은 소재를 사용하여 같은 두께로 가공하더라도, 연신 정도나, 핵제, 필러, 분자량의 고저, 첨가제의 유무에 따라 탄성률이 달라지므로 강성은 변화한다.

물체의 변형은 축 변형, 굽힘 변형, 전단 변형, 비틀림 변형 등으로 분해하여 생각할 수 있으며, 각각의 변형에 대응하여 축 강성, 굽힘 강성, 전단 강성, 비틀림 강성이 존재한다. 각 강성은 사용하고 있는 재료의 탄성률, 단면적이나 단면 이차 모멘트 등의 단면 성능, 그리고 변형하는 부분의 길이와 형상 등에 따라 정해진다. 한쪽 고정의 균일 단면 탄성 부재의 굽힘 강성을 아래에 나타낸다.

k_{B}=\dfrac{M}{\theta}=\dfrac{EI}{L^3}

:

k_{B}

：굽힘 강성

:

M

：굽힘 모멘트

:

\theta

：굽힘 변형 각도

:

I

：단면 2차 모멘트

3. 3. 전단 강성

물체의 변형은 축 변형, 굽힘 변형, 전단 변형, 비틀림 변형 등으로 나누어 생각할 수 있으며, 각각의 변형에 대응하여 축 강성, 굽힘 강성, 전단 강성, 비틀림 강성이 존재한다. 각 강성은 사용되는 재료의 탄성률, 단면적이나 단면 이차 모멘트 같은 단면 성능, 그리고 변형하는 부분의 길이와 형상 등에 따라 결정된다.

전단 강성(

k_{S}

)은 전단력(

Q

)에 의한 전단 변형(

\delta_{Q}

)에 대한 저항 정도를 나타내는 값으로, 한쪽이 고정된 균일 단면 탄성 부재의 경우 다음과 같이 정의된다.

k_{S}=\dfrac{Q}{\delta_{Q}}=\dfrac{GA}{\kappa L}

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$k_{S}$ : 전단 강성
$Q$ : 전단력
$\delta_{Q}$ : 전단 변형
$G$ : 전단 탄성 계수 (재료 고유의 값)
$A$ : 단면적
$\kappa$ : 형상 계수 (단면의 형상에 따라 결정되는 값. 예를 들어, 직사각형 단면의 경우 1.2이다.)
$L$ : 변형이 일어나는 부분의 길이

3. 4. 비틀림 강성

물체가 비틀림에 저항하는 정도를 나타내는 비틀림 강성(Torsional stiffness)은 가해진 비틀림 모멘트와 그로 인해 발생하는 비틀림 각도의 비율로 정의된다. 이는 물체의 회전 변형에 대한 저항을 나타내는 회전 강성(Rotational stiffness)의 한 종류로 볼 수 있다.

회전 강성

k

는 다음과 같이 표현된다.

k = \frac{M}{\theta}

여기서

$M$ 은 가해진 모멘트
$\theta$ 는 회전 각도이다.

국제 단위계(SI)에서 회전 강성(및 비틀림 강성)은 일반적으로 뉴턴 미터/라디안으로 측정된다. SAE 단위계에서는 인치-파운드/도로 측정되기도 한다.

4. 순응도(Compliance)

뻣뻣함의 반대는 유연성(flexibility) 또는 순응도(compliance^영어)이다.^[10] 일반적으로 순응도는 힘에 대한 변위의 비율로 정의하며, 미터 매 뉴턴(m/N) 단위를 사용한다. 유변학에서는 변형률(strain) 대 변형력(stress)의 비율로 정의하기도 하며,^[11]^[4] 이때 단위는 역 변형력 단위(예: 1/Pa)를 사용한다.

5. 회전 강성

물체는 회전 강성 $k$ 를 가질 수 있으며, 이는 가해진 모멘트 $M$ 과 그로 인해 발생하는 회전 각도 $\theta$ 의 비율로 정의된다.

$k = \frac{M}{\theta}$

여기서

$M$ 은 가해진 모멘트
$\theta$ 는 회전 각도

국제 단위계(SI)에서 회전 강성의 단위는 일반적으로 뉴턴 미터/라디안(N·m/rad)으로 측정된다. 미국 자동차 공학회(SAE) 단위계에서는 인치-파운드/도(in·lbf/deg) 단위를 사용하기도 한다.

회전 강성과 유사한 개념으로 다음과 같은 강성 측정 방법들이 있다.

'''전단 강성''': 가해진 전단 힘과 전단 변형의 비율
'''비틀림 강성''': 가해진 비틀림 모멘트와 비틀림 각도의 비율

6. 탄성 계수와의 관계

재료의 탄성 계수는 해당 재료로 만들어진 부품의 강성과 동일하지 않다. 탄성 계수는 구성 재료의 속성, 즉 재료 고유의 내포적 성질이다. 반면, 강성은 구조 또는 구조 부품의 속성으로, 재료 ''및'' 모양과 경계 조건에 따라 달라지는 외연적 성질이다.

예를 들어, 인장 또는 압축을 받는 요소의 축 방향 강성 ''k''는 다음과 같이 표현된다.

$k = E \cdot \frac{A}{L}$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$E$ : (인장) 탄성 계수 또는 영률
$A$ : 단면적
$L$ : 요소의 길이

마찬가지로, 직선 단면을 가진 부재의 비틀림 강성 ''k''는 다음과 같다.

k = G \cdot \frac{J}{L}

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$G$ : 재료의 강성률
$J$ : 단면의 비틀림 상수

비틀림 강성은 [힘] × [길이] / [각도]의 차원을 가지며, SI 단위로는 N·m/rad이다.

구속되지 않은 상태에서 단축 인장 또는 압축을 받는 특수한 경우에는 영률을 구조의 강성 척도로 ''볼 수 있다''.

금속이나 목재처럼 일정 두께를 가진 재료에 대해서는 일반적으로 '강성'이라는 용어가 사용되지만, 시트, 종이, 필름 등 얇은 재료에서는 영어의 '''스티프니스'''(stiffness), '''요'''(허리), '''강도'''(굳기) 등의 표현도 사용된다.

강성을 높이기 위한 방법은 다음과 같다.

재질 변경: 영률이나 강성률과 같은 탄성률이 더 큰 재료를 사용한다.
형상 변경:
같은 재질이라면 판 두께를 더 두껍게 한다.
H형강이나 관(파이프)처럼 단면 성능이 우수한 단면 형상을 사용한다.
자동차의 프레스 가공 부품처럼 평판에 리브(rib) 모양의 요철을 만들어 단면 성능을 높인다.
부재를 입체적인 곡면 형상으로 만들어 아치 효과나 셸 효과를 이용하여 강성을 높인다.
기타 요인 (합성수지 필름의 경우): 같은 소재와 두께라도 연신 정도, 핵제나 필러의 사용, 분자량의 차이, 첨가제의 유무 등에 따라 탄성률이 달라져 강성이 변화한다.

7. 응용

구조물의 강성은 다양한 공학 분야에서 중요한 요소로 고려된다. 재료를 선택할 때 탄성 계수는 주요 고려 사항 중 하나인데, 구조물의 처짐을 최소화해야 하는 경우에는 높은 탄성 계수를 가진 재료가, 반대로 유연성이 중요한 경우에는 낮은 탄성 계수를 가진 재료가 선택된다.

7. 1. 재료 과학

금속, 목재 등 일정 두께를 가진 재료에 대해서는 일반적으로 강성이라는 용어가 사용된다. 하지만 시트, 종이, 필름 등 얇은 재료에서는 영어의 '''스티프니스'''(stiffness|스티프니스^eng), 또는 '''요'''(腰, 허리), '''강도'''(剛度, 굳기) 등의 표현도 사용된다.

재질 측면에서 보면, 영률이나 강성률 등의 탄성률이 큰 재료를 사용함으로써 강성을 높일 수 있다. 같은 재질이라면 판 두께를 두껍게 하거나, H형강이나 관과 같이 단면 성능이 큰 단면으로 만들어 강성을 높일 수 있다. 또한, 자동차의 프레스 가공처럼 평판에 리브(rib) 모양의 요철을 만들어 단면 성능을 높이거나, 부재를 입체적인 곡면 형상으로 만들어 아치 구조나 쉘 구조의 효과를 이용해 강성을 높이는 방법도 있다. 합성수지 필름의 경우, 같은 소재를 사용하여 같은 두께로 가공하더라도, 필름을 늘리는 정도(연신 정도), 핵제, 필러, 분자량의 높고 낮음, 첨가제의 유무 등에 따라 탄성률이 달라지므로 강성은 변화한다.

7. 2. 생체 역학

생물학에서 세포 외 기질의 강성은 경성 주성(durotaxis)이라고 불리는 현상에서 세포 이동을 유도하는 데 중요하다.

강성의 또 다른 응용 분야는 피부 생물학에서 찾아볼 수 있다. 피부는 고유의 장력에 의해 구조를 유지하며, 이는 건조 중량의 약 75%를 차지하는 세포 외 단백질인 콜라겐에 의해 기여한다.^[5] 피부의 유연성은 굳기, 신장성과 같은 특성을 포괄하는 관심 매개변수이며, 탄성, 강성, 부착력 등을 포함한다. 이러한 요소들은 환자에게 기능적으로 중요하다.^[6] 이는 피부에 외상을 입은 환자에게 중요하며, 병리학적 흉터에 의해 건강한 피부 조직이 형성되고 대체됨으로써 유연성이 감소할 수 있다. 이는 주관적으로 평가하거나, 큐토미터(Cutometer)와 같은 장치를 사용하여 객관적으로 평가할 수 있다. 큐토미터는 피부에 진공을 가하여 수직으로 늘어날 수 있는 정도를 측정한다. 이러한 측정은 건강한 피부, 정상적인 흉터 및 병리학적 흉터를 구별할 수 있으며,^[7] 이 방법은 임상 및 산업 환경에서 병태생리학적 후유증과 피부 치료 효과를 모니터링하는 데 적용되었다.

참조

_[1] 논문 Stiffness--an unknown world of mechanical science? Elsevier
_[2] 서적 200 science investigations for young students SAGE Publications
_[3] 서적 A Dictionary of Mechanical Engineering http://www.oxfordref[...] Oxford University Press 2019
_[4] 간행물 "Delayed flow in thermo-reversible colloidal gels" Society of Rheology, U.S.A. 2007-07
_[5] 논문 Collagen-Based Biomaterials for Wound Healing 2014-08
_[6] 논문 How stiff is skin? 2019-02
_[7] 논문 Longitudinal burn scar quantification 2014
_[8] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[9] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[10] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[11] 간행물 "Delayed flow in thermo-reversible colloidal gels" Society of Rheology, U.S.A. 2007-07

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