사사키 다양체

1. 개요

사사키 다양체는 리만 뿔이 켈러 다양체인 접촉 리만 다양체이다. 사사키 다양체는 1960년 사사키 시게오에 의해 정의되었으며, 끈 이론의 발달과 함께 물리학 및 대수 기하학에서 중요성이 부각되었다. 사사키-아인슈타인 다양체와 3-사사키 다양체는 사사키 다양체의 특수한 경우이며, 다양한 예시가 존재한다.

2. 정의

사사키 다양체는 특정 조건을 만족하는 접촉 다양체의 일종이다. 리만 다양체 $(M,g)$에 접촉 구조 $\backslash theta$가 주어졌다고 하자. 이 다양체 $(M,g,\backslash theta)$의 리만 뿔(Riemannian cone^영어)이라는 특정 기하학적 구조를 생각할 수 있다. 만약 이 리만 뿔이 켈러 다양체의 성질을 가지면, 원래의 다양체 $M$을 사사키 다양체라고 부른다.

리만 뿔은 대략적으로 원래 다양체 $M$과 양의 반직선 $\backslash mathbb\{R\}^\{>0\}$ (또는 실수 전체 $\backslash mathbb\{R\}$)의 곱 공간 $M\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}^\{>0\}$에 특별한 계량 텐서를 부여한 것이다. 리만 뿔이 켈러 다양체가 된다는 것은, 이 뿔 공간 위에 정의된 특정 2차 미분형식이 켈러 형식이 되고, 이것이 뿔의 계량 텐서와 잘 호환된다는 것을 의미한다. 사사키 다양체의 구체적인 정의와 관련된 리만 뿔 및 켈러 구조에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

2.1. 리만 뿔

리만 다양체 $(M,g)$가 주어졌다고 하자. 이 다양체 $M$의 리만 뿔(Riemannian cone^영어)은 위상 공간 $M\backslash times\; \{\backslash R\}^\{>0\}$에 다음과 같은 "뿔 계량"(cone metric^영어)이라는 계량 텐서를 부여한 리만 다양체이다.
:$\backslash hat\; g\; =\; t^2\; g\; +\; dt^2$
여기서 $t$는 양의 실수 값을 가지는 반직선 $\{\backslash R\}^\{>0\}$의 좌표를 나타낸다. 이 정의는 마치 다양체 $M$의 각 점 위에 양의 반직선을 세우고, 그 위에서의 거리를 $t$와 원래 다양체의 거리 $g$를 이용해 정의하는 것과 유사하다.

다른 정의 방식으로는 리만 뿔 $(\backslash hat\; M,\backslash hat\; g)$을 위상수학적으로 $M\backslash times\backslash mathbb\; R$로 보고, 계량 텐서를 다음과 같이 정의하기도 한다.
:$\backslash hat\; g=\backslash exp(2t)(g+dt^2)$
여기서 $t$는 실수 전체($\backslash mathbb\; R$)의 좌표이다. $t\text{'}\; =\; \backslash exp(t)$로 치환하면 두 정의가 변수 변환을 통해 연결됨을 알 수 있다.

리만 뿔의 개념은 사사키 다양체를 정의하는 데 사용된다. 구체적으로, 접촉 구조를 가진 리만 다양체의 리만 뿔이 특정 조건을 만족하여 켈러 다양체가 될 때, 원래의 다양체를 사사키 다양체라고 부른다.

2.2. 접촉 구조

$(M,g)$가 리만 다양체라고 하자. $M$의 리만 뿔(Riemannian cone^영어)은 위상수학적으로 $M\backslash times\; \backslash mathbb\{R\}^\{>0\}$ (또는 $M\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}$)이고, 다음과 같은 계량 텐서를 갖춘 리만 다양체이다.
:$\backslash hat\; g\; =\; t^2\; g\; +\; dt^2$
여기서 $t$는 $\backslash mathbb\{R\}^\{>0\}$ (양의 실수) 좌표를 나타낸다. (때로는 $t$ 대신 $e^t$를 사용하여 $\backslash hat\; g\; =\; \backslash exp(2t)(g+dt^2)$ 형태로 표현하기도 한다.)

$(M,g,\backslash theta)$가 접촉 구조 $\backslash theta$ (1-형식)를 갖춘 리만 다양체라고 하자. $M$의 리만 뿔 위에는 다음과 같은 2차 미분형식을 정의할 수 있다.
:$d(t^2\backslash theta)\; =\; t^2\; d\backslash theta\; +\; 2t\; dt\; \backslash wedge\; \backslash theta$
이 2-형식이 심플렉틱 형식일 때, $M$은 접촉 다양체이다.

만약 이 리만 뿔 $(M\backslash times\; \backslash mathbb\{R\}^\{>0\},\; \backslash hat\; g)$이 켈러 다양체이고, 위에서 정의한 2-형식 $t^2\; d\backslash theta\; +\; 2t\; dt\; \backslash wedge\; \backslash theta$가 해당 켈러 구조의 켈러 형식이 된다면, 원래의 다양체 $M$을 사사키 다양체라고 부른다. 즉, 접촉 구조를 가진 리만 다양체의 리만 뿔이 켈러 다양체가 될 때, 그 다양체를 사사키 다양체라고 정의한다.

3. 관련 개념

사사키 다양체의 리만 뿔(Riemannian cone)이 어떤 성질을 가지는지에 따라 다음과 같은 중요한 하위 개념들이 정의된다.

* 사사키-아인슈타인 다양체(Sasaki–Einstein manifold^영어): 리만 뿔이 칼라비-야우 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.
* 3-사사키 다양체(3-Sasakian manifold^영어): 리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.

3.1. 사사키-아인슈타인 다양체

사사키-아인슈타인 다양체(Sasaki–Einstein manifold^영어)는 그 리만 뿔(Riemannian cone)이 칼라비-야우 다양체를 이루는 사사키 다양체이다. 사사키 다양체 $M$의 리만 뿔이 켈러 다양체이고 추가적으로 리치 평탄일 경우, $M$을 사사키-아인슈타인 다양체라고 부른다.

리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체는 3-사사키 다양체(3-Sasakian manifold^영어)라고 한다. 모든 3-사사키 다양체는 사사키-아인슈타인 다양체이자 아인슈타인 다양체이며, 스핀 구조를 갖춘 스핀 다양체이다.

만약 M이 양의 스칼라 곡률을 갖는 켈러-아인슈타인 다양체라면, 고바야시 쇼시치의 관찰에 따라 정칙 선다발 위의 원 다발 S는 사사키-아인슈타인 계량을 가지며, S에서 M으로의 사영을 리만 잠김(Riemannian submersion)으로 만든다. 예를 들어, 3차부터 8차까지의 델 페초 곡면에 대응하는 적절한 원 다발에는 사사키-아인슈타인 계량이 존재한다. 이러한 리만 잠김 구조는 모든 사사키-아인슈타인 다양체의 국소적인 형태를 정확히 설명하지만, 이 다양체들의 전체적인 구조는 더 복잡할 수 있다. 예를 들어, 켈러-아인슈타인 성질을 만족하는 오비폴드 M에서 시작하여 더 일반적으로 사사키-아인슈타인 다양체를 구성할 수도 있다. 이러한 방법을 사용하여 보이어(Boyer), 갈리키(Galicki), 그리고 콜라르 야노스는 위상 동형 유형이 무한히 많은 사사키-아인슈타인 5차원 다양체를 구성했다. 이와 동일한 구성 방법은 5차원 구에 대한 아인슈타인 계량의 모듈라이 공간이 적어도 수백 개의 연결 성분을 가지고 있음을 보여준다.

3.2. 3-사사키 다양체

3-사사키 다양체(3-Sasakian manifold^영어)는 그 리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체이다. 모든 3-사사키 다양체는 사사키-아인슈타인 다양체이며, 스핀 구조를 갖춘다.

4. 리브 벡터장

사사키 다양체의 원뿔 위에 정의된 호모세틱 벡터장은 다음과 같이 표현된다.
:$t\backslash partial/\backslash partial\; t.$
원뿔은 정의상 켈러 다양체이므로, 복소 구조 J가 존재한다. 사사키 다양체의 리브 벡터장은 이 복소 구조와 호모세틱 벡터장을 이용하여 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash xi\; =-J(t\backslash partial/\backslash partial\; t).$
이 리브 벡터장은 벡터장의 크기가 0이 되는 지점이 없다. 또한, 원뿔 위의 모든 정칙 킬링 벡터장과 가환하며, 특히 사사키 다양체의 모든 등거리 변환과도 가환한다. 만약 리브 벡터장의 궤도가 닫혀 있다면, 그 궤도들의 공간은 켈러 오비폴드가 된다. 단위 반지름을 가지는 사사키 다양체에서 리브 벡터장은 단위 벡터장이며, 다양체가 매입된 공간에 접한다.

5. 예시

사사키 다양체의 구체적인 예시는 다음과 같다.

* 코니폴드는 실수 차원으로 6차원인 칼라비-야우 다양체인데, 이는 5차원 사사키-아인슈타인 다양체 T^1,1의 리만 뿔(Riemannian cone)로 나타낼 수 있다. 이 T^1,1은 위상수학적으로 S²×S³과 같으며, SU(2)×SU(2)×U(1) 등거리변환군을 가진다.
* 2004년에는 Y^p,q라는 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다. 여기서 p와 q는 서로소인 양의 정수이다. 이들은 위상수학적으로 S²×S³과 같으며, SU(2)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.
* 2005년에는 L^{p,q,r₁,…,r_n−1}이라는 (2n+1)차원 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다. 5차원의 경우, 이들은 위상수학적으로 S²×S³과 같으며, U(1)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

이 외에도 구, 유클리드 공간, 사영 공간 등을 이용하여 사사키 다양체의 예시를 구성할 수 있다.

5.1. 구 (Sphere)

$S^\{2n-1\}$ 구는 자연스러운 켈러 다양체 구조를 가지는 $\{\backslash R\}^\{2n\}=\{\backslash C\}^\{n\}$ 공간의 부분 다양체로 생각할 수 있다. 이는 사사키 다양체의 한 예시가 된다.

이 포함 관계 $S^\{2n-1\}\backslash hookrightarrow\; \{\backslash R\}^\{2n\}=\{\backslash C\}^\{n\}$에서 우변인 $\{\backslash R\}^\{2n\}=\{\backslash C\}^\{n\}$은 자연스러운 켈러 다양체이다. 기하학적으로 이는 구 위에 원뿔 구조를 부여한 것으로 해석할 수 있다 (주어진 내장 메트릭 사용).

$S^\{2n-1\}$ 위의 접촉 1-형식은 구의 각 점에서의 단위 법선 벡터 $\backslash vec\{N\}$과 $\{\backslash C\}^n$의 복소 구조 $i$를 이용하여 구성할 수 있다. 구체적으로, 법선 벡터에 복소 구조를 작용한 $i\backslash vec\{N\}$는 구의 접벡터가 되며, 이 벡터와 관련된 형식이 바로 접촉 1-형식이다.

5.2. 유클리드 공간

유클리드 공간 $\{\backslash R\}^\{2n+1\}$은 특정한 접촉 형식과 리만 메트릭을 부여하여 사사키 다양체의 비콤팩트 예시로 만들 수 있다. 좌표 $(\backslash vec\{x\},\backslash vec\{y\},z)$를 갖춘 $\{\backslash R\}^\{2n+1\}$ 공간에 다음과 같은 접촉 형식 $\backslash theta$와 리만 메트릭 $g$를 부여한다.

$\backslash theta=\backslash frac12\; dz+\backslash sum\_i\; y\_i\backslash ,dx\_i$

$g=\backslash sum\_i\; (dx\_i)^2+(dy\_i)^2+\backslash theta^2.$

5.3. 사영 공간

사사키 다양체의 예시로 실수 사영 공간을 들 수 있다.

$\{\backslash mathbb\; P\}^\{2n-1\}\{\backslash mathbb\; R\}\backslash hookrightarrow\; \{\backslash C\}^\{n\}/\{\backslash Z\}\_2$

여기서 우변 $\{\backslash C\}^\{n\}/\{\backslash Z\}\_2$는 자연스러운 켈러 구조를 가지며, 군 $\{\backslash Z\}\_2$는 원점에 대한 반사(antipodal map)로 작용한다.

다른 예시들은 다음과 같다.

* (2n-1)차원 구 $S^\{2n-1\}$는 다음과 같이 $\{\backslash C\}^\{n\}$에 포함될 수 있다.

$S^\{2n-1\}\backslash hookrightarrow\; \{\backslash R\}^\{2n\}=\{\backslash C\}^\{n\}$

여기서 우변 $\{\backslash C\}^\{n\}$은 자연스러운 켈러 다양체이며, 구 위의 원뿔 구조(cone structure)로 볼 수 있다. $S^\{2n-1\}$ 위의 접촉 1-형식은 구에 대한 단위 법선 벡터 $\backslash vec\{N\}$으로부터 구성된 접선 벡터 $i\backslash vec\{N\}$와 관련된 형식이다. 여기서 $i$는 $\{\backslash C\}^n$의 복소 구조이다.

* 좌표 $(\backslash vec\{x\},\backslash vec\{y\},z)$를 갖는 $$ 공간도 예시가 될 수 있다. 이 공간은 다음과 같은 접촉 형식 $\backslash theta$와 리만 메트릭 $g$를 가진다.

$\backslash theta=\backslash frac12\; dz+\backslash sum\_i\; y\_i\backslash ,dx\_i$
$g=\backslash sum\_i\; (dx\_i)^2+(dy\_i)^2+\backslash theta^2.$

5.4. 코니폴드

코니폴드는 실수 차원으로 6차원인 칼라비-야우 다양체의 한 종류이다. 이는 5차원 사사키-아인슈타인 다양체인 T^1,1의 리만 뿔(conifold)로 표현될 수 있다. 이 T^1,1 다양체는 위상수학적으로 S²×S³과 같으며, SU(2)×SU(2)×U(1) 등거리변환군을 가진다. 코니폴드는 끈 이론에서 중요한 예시로 다루어진다.

5.5. ''Y''^''p'',''q'' 다양체

2004년에 Y^p,q라는 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다. 여기서 p와 q는 서로소인 양의 정수이다. 이 다양체들은 위상수학적으로 S²×S³과 같으며, SU(2)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

5.6. ''L''^{''p'',''q'',''r''₁,…,''r''_n−1} 다양체

2005년에는 L^{p,q,r₁,…,r_n−1}이라는 (2n+1)차원 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다. 5차원의 경우, 이들은 위상수학적으로 S²×S³이고, U(1)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

6. 역사

사사키 다양체는 1960년 일본의 기하학자 사사키 시게오佐々木 重夫^일본어가 처음으로 정의하였다. 1970년대 중반 이후에는 끈 이론이 등장하기 전까지 이 분야에 대한 연구 활동이 상대적으로 적었다. 이후 끈 이론의 발전과 함께, 찰스 P. 보이어Charles P. Boyer^영어와 Krzysztof Galicki^폴란드어 및 동료 연구자들의 연구를 통해 물리학과 대수 기하학 분야에서 다시 중요하게 다루어지기 시작했다.

6.1. 사사키 시게오의 정의 (1960)

사사키 다양체는 1960년 일본의 기하학자 사사키 시게오(佐々木 重夫^일본어)가 처음으로 정의하였다.

6.2. 끈 이론과의 연관성

사사키 다양체는 1960년 일본의 기하학자 사사키 시게오에 의해 처음 소개되었다. 그러나 1970년대 중반 이후 끈 이론이 등장하기 전까지 이 분야에 대한 연구는 활발하지 않았다. 끈 이론의 발전 이후, 찰스 P. 보이어와 크시슈토프 갈리츠키 및 그들의 공동 연구자들의 일련의 논문을 통해 사사키 다양체는 물리학과 대수 기하학 분야에서 중요한 대상으로 주목받기 시작했다.

6.3. 현대적 연구 동향

1970년대 중반 이후 끈 이론이 등장하기 전까지 사사키 다양체 분야는 상대적으로 활동이 적었다. 그러나 이후 찰스 P. 보이어와 크시슈토프 갈리츠키 및 그들의 공동 연구자들의 일련의 논문을 통해 물리학과 대수 기하학 분야에서 다시 주목받기 시작했다.

사사키 다양체 $M$의 리만 원뿔이 켈러 다양체이면서 추가적으로 리치 평탄일 경우, $M$은 사사키-아인슈타인 다양체라고 불린다. 만약 리만 원뿔이 초켈러 다양체라면, $M$은 3-사사키 다양체라고 한다. 모든 3-사사키 다양체는 아인슈타인 다양체이자 스핀 다양체이다.

양의 스칼라 곡률을 가진 켈러-아인슈타인 다양체 M이 주어졌을 때, 고바야시 쇼시치는 정규 선다발 내의 원 다발 S가 사사키-아인슈타인 메트릭을 가지며, S에서 M으로의 사영이 리만 부분 침강을 이룬다는 사실을 관찰했다. 예를 들어, 3번째부터 8번째까지의 델 페초 곡면에 대한 적절한 원 다발에는 사사키-아인슈타인 메트릭이 존재한다. 이러한 리만 부분 침강 구조는 모든 사사키-아인슈타인 다양체의 국소적인 모습을 정확히 설명해주지만, 이들 다양체의 전역적인 구조는 더 복잡할 수 있다.

보다 일반적으로, 켈러-아인슈타인 오비폴드(orbifold) M에서 시작하여 사사키-아인슈타인 다양체를 구성할 수도 있다. 보이어, 갈리키, 그리고 콜라르 야노스는 이러한 관찰을 이용하여 위상적으로 구별되는 무한히 많은 사사키-아인슈타인 5-다양체를 구성했다. 이와 동일한 구성 방법은 5-구에 대한 아인슈타인 메트릭의 모듈 공간이 적어도 수백 개의 연결 성분을 가지고 있음을 보여주는 데 사용되기도 했다.