코니폴드

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 뿔 구조 (Conical Structure)
- 3.2. 대칭성
4. 응용
- 4.1. 클레바노프-위튼 모형
- 4.2. 끈 이론에서의 역할
5. 역사
참조

1. 개요

코니폴드는 국소적으로 뿔 모양의 특이점을 가질 수 있는 칼라비-야우 대수다양체이다. 코니폴드의 특이점은 변형(deformation)과 분해(resolution)라는 두 가지 방법으로 해소할 수 있으며, 끈 이론과 관련하여 D-막의 감김으로 해석된다. 코니폴드는 끈 이론에서 공간의 위상 변화를 설명하는 데 중요한 역할을 하며, 클레바노프-위튼 모형과 같은 응용 분야에서 활용된다. 1980년대 후반에 코니폴드에 의한 위상 변환 가능성이 발견되었으며, 1990년에 '코니폴드'라는 용어가 처음 사용되었다.

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코니폴드
개요
학문 분야	수학, 물리학
연구 분야	끈 이론, 대수기하학
상세 정보
설명	칼라비-야우 다양체의 일종

2. 정의

'''코니폴드'''는 국소적으로 뿔 모양의 특이점을 가질 수 있는 칼라비-야우 대수다양체이다. 이 대수 다양체의 특이점은 두 가지의 방법으로 해소할 수 있다. 하나는 이 대수다양체의 복소 모듈러스를 바꾸는 것으로, 이를 '''변형'''(deformation^영어)이라고 한다. 다른 하나는 대수 다양체의 특이점을 부풀리는 것이다. 이를 '''분해'''(resolution^영어)라고 한다. 6차원 코니폴드의 경우, 코니폴드를 변형시키면 대개 꼭짓점이 3차원 부분공간으로 부풀려지고, 코니폴드를 분해시키면 꼭짓점이 2차원 부분공간으로 부풀려진다.

코니폴드의 변형과 분해는 끈 이론으로 해석할 수 있다. 끈 이론은 특이점에도 불구하고 6차원의 코니폴드에 축소화할 수 있다. 끈 이론에서, 특이점 주위에 D-막이 감겨 있음을 알 수 있다. IIA종 끈 이론의 관점에서는 분해된 코니폴드의 2차원 꼭짓점에 D2-막이 감긴 것으로 해석하고, IIB종 끈 이론의 관점에서는 변형된 코니폴드의 3차원 꼭짓점에 D3-막이 감긴 것으로 해석한다.

이와 같이, 변형된 코니폴드에서 꼭짓점의 크기를 0으로 보내고, 이를 분해하여 위상수학적으로 다른 칼라비-야우 다양체를 얻을 수 있다. 이로써 알려진 대부분의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 연관지을 수 있다.^[1]

'''코니폴드'''는 다음과 같은 3차원 복소수 아핀 대수다양체이다.^[2]

X = \operatorname{Spec} \frac{\mathbb C[z_1,z_2,z_3,z_4]}{(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)}

이는 칼라비-야우 다양체이며, $z_1=z_2=z_3=z_4=0$ 에서 2차 특이점(double point^영어)을 가진다.

대신

M = \begin{pmatrix}

를 정의하면, 코니폴드를 정의하는 식은

\det M = z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2 = 0

인 것이 된다.

2. 1. 변형 (Deformation)

코니폴드의 특이점은 변형을 통해 3차원 구/3-sphere^영어 (

S^3

)로 해소할 수 있다. 코니폴드의 특이점을 해소하기 위해, 대수다양체를 다음과 같이 변형한다.

:

z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=\psi

여기서

\psi

는 복소수 모듈러스다.

\psi\ne0

인 경우,

z_i

를 재정의하여

\psi

가 양의 실수가 되게 할 수 있다.

\psi=2r_0^2

라고 놓으면,

:

\Vert\mathbf x\Vert^2=r^2+r_0^2

:

\Vert\mathbf y\Vert^2=r^2-r_0^2

:

\mathbf x\perp\mathbf y

이다. 따라서

r\ge r_0

임을 알 수 있다.

r=r_0

에서는

\mathbf y=0

이고,

\lVert\mathbf x\rVert=\sqrt 2r_0

이므로, 특이점이 S³로 부풀려진다. 이를 코니폴드의 변형(變形, deformation^영어)이라고 한다.

끈 이론에서, IIB종 끈 이론의 D3-막이 3차원 꼭짓점에 감기는 현상으로 해석할 수 있다.

2. 2. 분해 (Resolution)

코니폴드의 특이점은 변형을 통해

S^3

로, 또는 분해를 통해

S^2

로 해소된다.

특이점을 다른 방법으로 없앨 수도 있다. 대수다양체의 정의식을 다음과 같이 쓰자.

:

\det\begin{pmatrix}z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\i(z_3-z_4)&z_1-z_2\end{pmatrix}=0

여기에 하나의 좌표

(w_1,w_2)\in\mathbb CP^2

를 추가하자. 여기서

(w_1,w_2)

는

\mathbb CP^2

의 동차좌표이다.

:

\begin{pmatrix}z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\i(z_3-z_4)&z_1-z_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=0

특이점

z_i=0

밖에서는 행렬

:

\begin{pmatrix}z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\i(z_3-z_4)&z_1-z_2\end{pmatrix}

가 하나의 교윳값 0의 고유벡터를 가지므로

(w_1,w_2)\in\mathbb CP^2

는 완전히 결정되고, 이 대수다양체는 원래 코니폴드와 같다. 하지만 원래 특이점

z_i=0

에서는

(w_1,w_2)\in\mathbb CP^2

는 임의의 값을 가질 수 있다. 따라서 특이점이 매끄러운

\mathbb CP^2

로 대체되고, 특이점이 해소된 것을 알 수 있다. 이러한 과정을 코니폴드의 '''분해'''(resolution^영어)라고 한다.

2. 3. 코니폴드 방정식

3. 성질

3. 1. 뿔 구조 (Conical Structure)

코니폴드의 특이점 근처에서는 국소 좌표계를 도입하여 뿔 구조를 확인할 수 있다. 이 좌표계에서 대수다양체를 정의하는 식은 다음과 같다.

:

\Vert\mathbf x\Vert^2-\Vert\mathbf y\Vert^2=\operatorname{Re}\psi

:

\mathbf x\cdot\mathbf y=\operatorname{Im}\psi

여기서

\psi=0

일 경우,

2r=\sqrt{\Vert\mathbf x\Vert^2+\Vert\mathbf y\Vert^2}

에 대하여 다음이 성립한다.

:

\Vert\mathbf x\Vert^2=r^2

:

\Vert\mathbf y\Vert^2=r^2

:

\mathbf x\perp\mathbf y

주어진

r

에 대하여,

\Vert\mathbf x\Vert^2=r^2

는 반지름이

r

인 3차원 초구 S³를 정의한다. 주어진

\rho

와

\mathbf x

에 대하여

\Vert\mathbf y\Vert^2=r^2

은 (

\mathbf y

는

\mathbf x

에 수직이므로) 2차원 구 S²를 정의한다. S³와 S²의 반지름은 둘 다

r

이므로, 이는 위상수학적으로 밑(base)이 S³×S²인 뿔을 정의한다. 이는 S³ 위의 접다발 TS³의 사영화(projectivization)이지만, S³의 접다발은 자명하므로 S³×S²로 간주할 수 있다.

3. 2. 대칭성

코니폴드는 실수 5차원 사사키-아인슈타인 다양체에 대한 뿔이다.^[2] 이 사사키-아인슈타인 다양체는 다음과 같다.

:

T^{1,1} = \frac{\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)}{\operatorname U(1)}

이는 위상수학적으로

S^3\times S^2

이다.^[2] 그 등거리변환군은 SU(2)×SU(2)×U(1)이다.^[2]

4. 응용

코니폴드는 끈 이론에서 축소화 및 AdS/CFT 대응성 연구에 활용된다.

=== 클레바노프-위튼 모형 ===

코니폴드 위에 ⅡB 초끈 이론을 축소화한 뒤, 코니폴드의 꼭짓점에 $N$ 개의 D3-막을 추가하면, D3-막의 세계부피 위에는 3+1차원 $\mathcal N=1$ 초대칭 게이지 이론이 존재한다. AdS/CFT 대응성에 의하여, 적절한 극한을 취하면, 이 초끈 이론과 동치인 $\mathcal N=1$ 초등각 장론을 찾을 수 있다. 이를 '''클레바노프-위튼 모형'''(Клебанов–Witten model^영어)이라고 한다.^[3]^[4]

이에 대응하는 4차원 $\mathcal N=1$ 장론은 다음과 같은 초장을 갖는다.

종류	기호	맛깔 SU(2)_L 표현	맛깔 SU(2)_R 표현	게이지 U(N)×U(N) 표현
U(N)×U(N) 게이지 초장	$V$	1	1	딸림표현
손지기 초장	$A$	2	1	('N', 'N')
손지기 초장	$B$	1	2	('N', 'N')

이 경우, 초퍼텐셜은 다음과 같은 꼴이다.

: $W = \frac12\lambda \epsilon^{ij}\epsilon^{kl} \operatorname{tr} (A_i B_k A_j B_l )$

여기서

$\lambda$ 는 고전적으로 [질량]⁻¹의 단위를 갖는 결합 상수이다.
$\operatorname{tr}$ 은 ''N''×''N'' 정사각 행렬의 대각합이다.
$\epsilon^{ij}$ 는 2차원 레비치비타 기호이며, SU(2)의 표현 $\mathbf{2}\otimes\mathbf{2}=\mathbf{3}\oplus\mathbf{1}$ 에서 자명한 표현을 고른다.

이는 음의 단위의 결합 상수를 가지므로 고전적으로 재규격화될 수 없지만, 양자역학적으로 이 항은 비정상 차원으로 인하여 사실 경계 연산자(marginal operaor^영어)를 이룬다.

N=1

인 경우, 페예-일리오풀로스 항을 켤 수 있으며, 그 ''D'' 보조장은 다음과 같다.

:

|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2 - \zeta

여기서

\zeta

는 페예-일리오풀로스 항의 결합 상수이다. 페예-일리오풀로스 항을 켜지 않으면, 그 모듈라이 공간은 코니폴드가 됨을 알 수 있다. 페예-일리오풀로스 항을 켜는 것은 코니폴드의 변형에 해당한다.

코니폴드 위의 ⅡB 초끈 이론	4차원 $\mathcal N=1$ 초등각 장론
꼭짓점 위의 D3-막의 수 N	게이지 군 U(N)×U(N)의 계수 N
코니폴드 (하나의 D3-막의 위치)	$N=1$ 모듈라이 공간
코니폴드의 SU(2)×SU(2) 대칭	$A_i$ 및 $B_i$ 의 SU(2)×SU(2) 맛깔 대칭
코니폴드의 U(1) 대칭	R대칭

=== 끈 이론에서의 역할 ===

코니폴드는 끈 이론에서 공간의 위상 변화를 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 브라이언 그린은 그의 저서 ''엘레건트 유니버스''에서 코니폴드의 물리학을 설명하는데, 공간이 원뿔 근처에서 찢어질 수 있고, 그 위상이 변할 수 있다는 내용이 포함된다. 이러한 가능성은 원래 칸델라스 등이 발견했고, 그린과 휩쉬가 끈 이론에서 알려진 모든 칼라비-야우 콤팩트화 사이의 연결을 증명하는 데 사용했다. 이는 레이드가 제안한, 코니폴드가 가능한 모든 칼라비-야우 복소수 3차원 공간을 연결한다는 추측을 부분적으로 뒷받침한다.

코니폴드 특이점 근처에서 D-막이 감기는 현상을 통해 끈 이론의 동역학을 이해할 수 있다. 기하학적으로 특이한 코니폴드는 끈의 부드러운 물리학으로 이어진다. IIB형 끈 이론에서 수축하는 3차원 구에 D3-브레인이 감기거나, IIA형 끈 이론에서 수축하는 2차원 구에 D2-브레인이 감기면서 발산이 "분산"된다. 이는 스트로민저가 처음 지적했으며, 그린, 모리슨, 스트로민저가 코니폴드 전이를 통한 위상 변화의 끈 이론적 설명을 제공했다. 이들은 "코니폴드"라는 용어와 관련 다이어그램을 만들었다. 코니폴드를 매끄럽게 만드는 두 가지 위상학적으로 다른 방법은 특이 정점을 3차원 구 (복소 구조를 변형) 또는 2차원 구 ("작은 해상도")로 대체하는 것이다. 거의 모든 칼라비-야우 다양체는 이러한 "임계 전이"를 통해 연결될 수 있으며, 이는 레이드의 추측과 일치한다.

코니폴드의 잘 알려진 예는 5차 방정식, 즉 복소 사영 평면 $\mathbb{CP}^4$ 의 5차 초곡면의 변형 극한으로 얻어진다. 공간 $\mathbb{CP}^4$ 는 복소수 차원이 4이고, 5차 방정식(차수 5)으로 정의된 공간은 다음과 같다.

: $z_1^5+z_2^5+z_3^5+z_4^5+z_5^5-5\psi z_1z_2z_3z_4z_5 = 0$

균질 좌표 $z_i$ 를 $\mathbb{CP}^4$ 에 적용하고, 임의의 고정된 복소수 $\psi$ 에 대해, 복소수 차원이 3이다. 이 5차 초곡면의 집합은 칼라비-야우 다양체의 가장 유명한 예이다. 만약 복소 구조 매개변수 $\psi$ 가 1과 같도록 선택되면, 위에 설명된 다양체는 특이점을 갖게 된다. 방정식에서 5차 다항식의 미분이 모든 좌표 $z_i$ 가 같거나, 그 비율이 1의 특정 5제곱근일 때 사라지기 때문이다. 이 특이점의 근방은 단순히 원뿔처럼 보이는데, 그 밑면은 위상적으로 다음과 같다.

: $S^2 \times S^3$

4. 1. 클레바노프-위튼 모형

D3-막의 세계부피 위에는 3+1차원

\mathcal N=1

초대칭 게이지 이론이 존재한다. AdS/CFT 대응성에 의하여, 적절한 극한을 취하면, 이 초끈 이론과 동치인

\mathcal N=1

초등각 장론을 찾을 수 있다. 이를 '''클레바노프-위튼 모형'''(Клебанов–Witten model^영어)이라고 한다.^[3]^[4]

이 경우, 대응하는 4차원

\mathcal N=1

장론은 다음과 같은 초장을 갖는다.

종류	기호	맛깔 SU(2)_L 표현	맛깔 SU(2)_R 표현	게이지 U(N)×U(N) 표현
U(N)×U(N) 게이지 초장	$V$	1	1	딸림표현
손지기 초장	$A$	2	1	('N', )
손지기 초장	$B$	1	2	(, 'N')

이 경우, 초퍼텐셜은 다음과 같은 꼴이다.

: $W = \frac12\lambda \epsilon^{ij}\epsilon^{kl} \operatorname{tr} (A_i B_k A_j B_l )$

여기서

$\lambda$ 는 고전적으로 [질량]⁻¹의 단위를 갖는 결합 상수이다.
$\operatorname{tr}$ 은 ''N''×''N'' 정사각 행렬의 대각합이다.
$\epsilon^{ij}$ 는 2차원 레비치비타 기호이며, SU(2)의 표현 $\mathbf{2}\otimes\mathbf{2}=\mathbf{3}\oplus\mathbf{1}$ 에서 자명한 표현을 고른다.

이는 음의 단위의 결합 상수를 가지므로 고전적으로 재규격화될 수 없지만, 양자역학적으로 이 항은 비정상 차원으로 인하여 사실 경계 연산자(marginal operaor^영어)를 이룬다.

N=1

인 경우, 페예-일리오풀로스 항을 켤 수 있으며, 그 ''D'' 보조장은 다음과 같다.

:

|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2 - \zeta

여기서

\zeta

는 페예-일리오풀로스 항의 결합 상수이다. 페예-일리오풀로스 항을 켜지 않으면, 그 모듈라이 공간은 코니폴드가 됨을 알 수 있다. 페예-일리오풀로스 항을 켜는 것은 코니폴드의 변형에 해당한다.

코니폴드 위의 ⅡB 초끈 이론	4차원 $\mathcal N=1$ 초등각 장론
꼭짓점 위의 D3-막의 수 N	게이지 군 U(N)×U(N)의 계수 N
코니폴드 (하나의 D3-막의 위치)	$N=1$ 모듈라이 공간
코니폴드의 SU(2)×SU(2) 대칭	$A_i$ 및 $B_i$ 의 SU(2)×SU(2) 맛깔 대칭
코니폴드의 U(1) 대칭	R대칭

4. 2. 끈 이론에서의 역할

코니폴드는 끈 이론에서 공간의 위상 변화를 설명하는 데 중요한 역할을 한다.^[3]^[4] 브라이언 그린은 그의 저서 ''엘레건트 유니버스''에서 코니폴드의 물리학을 설명하는데, 공간이 원뿔 근처에서 찢어질 수 있고, 그 위상이 변할 수 있다는 내용이 포함된다. 이러한 가능성은 원래 칸델라스(Candelas) 등이 발견했고, 그린(Green)과 휩쉬(Hübsch)가 끈 이론에서 알려진 모든 칼라비-야우 콤팩트화 사이의 연결을 증명하는 데 사용했다. 이는 레이드(Reid)가 제안한, 코니폴드가 가능한 모든 칼라비-야우 복소수 3차원 공간을 연결한다는 추측을 부분적으로 뒷받침한다.

코니폴드 특이점 근처에서 D-막이 감기는 현상을 통해 끈 이론의 동역학을 이해할 수 있다. 기하학적으로 특이한 코니폴드는 끈의 부드러운 물리학으로 이어진다. IIB형 끈 이론에서 수축하는 3차원 구에 D3-브레인이 감기거나, IIA형 끈 이론에서 수축하는 2차원 구에 D2-브레인이 감기면서 발산이 "분산"된다. 이는 스트로민저(Strominger)가 처음 지적했으며, 그린, 모리슨(Morrison), 스트로민저가 코니폴드 전이를 통한 위상 변화의 끈 이론적 설명을 제공했다. 이들은 "코니폴드"라는 용어와 관련 다이어그램을 만들었다. 코니폴드를 매끄럽게 만드는 두 가지 위상학적으로 다른 방법은 특이 정점을 3차원 구 (복소 구조를 변형) 또는 2차원 구 ("작은 해상도")로 대체하는 것이다. 거의 모든 칼라비-야우 다양체는 이러한 "임계 전이"를 통해 연결될 수 있으며, 이는 레이드의 추측과 일치한다.

코니폴드의 잘 알려진 예는 5차 방정식, 즉 복소 사영 평면

\mathbb{CP}^4

의 5차 초곡면의 변형 극한으로 얻어진다. 공간

\mathbb{CP}^4

는 복소수 차원이 4이고, 5차 방정식(차수 5)으로 정의된 공간은 다음과 같다.

:

z_1^5+z_2^5+z_3^5+z_4^5+z_5^5-5\psi z_1z_2z_3z_4z_5 = 0

균질 좌표

z_i

를

\mathbb{CP}^4

에 적용하고, 임의의 고정된 복소수

\psi

에 대해, 복소수 차원이 3이다. 이 5차 초곡면의 집합은 칼라비-야우 다양체의 가장 유명한 예이다. 만약 복소 구조 매개변수

\psi

가 1과 같도록 선택되면, 위에 설명된 다양체는 특이점을 갖게 된다. 방정식에서 5차 다항식의 미분이 모든 좌표

z_i

가 같거나, 그 비율이 1의 특정 5제곱근일 때 사라지기 때문이다. 이 특이점의 근방은 단순히 원뿔처럼 보이는데, 그 밑면은 위상적으로 다음과 같다.

:

S^2 \times S^3

코니폴드 위에 ⅡB 초끈 이론을 축소화한 뒤, 코니폴드의 꼭짓점에

N

개의 D3-막을 추가하면, D3-막의 세계부피 위에는 3+1차원

\mathcal N=1

초대칭 게이지 이론이 존재한다. AdS/CFT 대응성에 의하여, 적절한 극한을 취하면, 이 초끈 이론과 동치인

\mathcal N=1

초등각 장론을 찾을 수 있다. 이를 클레바노프-위튼 모형('N'/Клебанов–Witten model}})이라고 한다.

이에 대응하는 4차원

\mathcal N=1

장론은 다음과 같은 초장을 갖는다.

종류	기호	맛깔 SU(2)_L 표현	맛깔 SU(2)_R 표현	게이지 U(N)×U(N) 표현
U(N)×U(N) 게이지 초장	$V$	1	1	딸림표현
손지기 초장	$A$	2	1	('N', , 'N')

이 경우, 초퍼텐셜은 다음과 같은 꼴이다.

: $W = \frac12\lambda \epsilon^{ij}\epsilon^{kl} \operatorname{tr} (A_i B_k A_j B_l )$

여기서

$\lambda$ 는 고전적으로 질량⁻¹의 단위를 갖는 결합 상수이다.
$\operatorname{tr}$ 은 ''N''×''N'' 정사각 행렬의 대각합이다.
$\epsilon^{ij}$ 는 2차원 레비치비타 기호이며, SU(2)의 표현 $\mathbf{2}\otimes\mathbf{2}=\mathbf{3}\oplus\mathbf{1}$ 에서 자명한 표현을 고른다.

이는 음의 단위의 결합 상수를 가지므로 고전적으로 재규격화될 수 없지만, 양자역학적으로 이 항은 비정상 차원으로 인하여 사실 경계 연산자를 이룬다. 즉, 이 항을 켜는 것은 등각 장론의 모듈라이 공간 속을 이동하는 것에 해당한다.

특히, 만약

N=1

인 경우를 생각하면, 페예-일리오풀로스 항을 켤 수 있으며, 그 ''D'' 보조장은 다음과 같다.

:

|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2 - \zeta

여기서

\zeta

는 페예-일리오풀로스 항의 결합 상수이다. 페예-일리오풀로스 항을 켜지 않으면, 그 모듈라이 공간은 코니폴드가 됨을 알 수 있다. 페예-일리오풀로스 항을 켜는 것은 코니폴드의 변형에 해당한다.

코니폴드 위의 ⅡB 초끈 이론	4차원 $\mathcal N=1$ 초등각 장론
꼭짓점 위의 D3-막의 수 N	게이지 군 U(N)×U(N)의 계수 N
코니폴드 (하나의 D3-막의 위치)	$N=1$ 모듈라이 공간
코니폴드의 SU(2)×SU(2) 대칭	$A_i$ 및 $B_i$ 의 SU(2)×SU(2) 맛깔 대칭
코니폴드의 U(1) 대칭	R대칭

5. 역사

1987년에 마일스 리드(Miles Reid)는 칼라비-야우 다양체 모듈러스 공간의 연결 가능성을 제안하였다.^[5] 1988년에 필립 칸델라스(Philip Candelas) 등은 코니폴드에 의한 위상 변환 가능성을 발견하였다.^[6] 이후 알려진 거의 모든 복소 3차원 칼라비-야우 다양체들의 모듈러스 공간들이 코니폴드 변환을 통해 연결되어 있다는 사실이 발견되었다.^[7]

‘코니폴드’(conifold)라는 용어는 뿔(cone)과 다양체(manifold)를 합성한 단어로, 1990년에 최초로 사용되었다.^[8] 1995년 앤드루 스트로민저 등은 이를 D-막을 통해 해석하였다.^[9]^[10]

코니폴드는 끈 이론에서 중요한 대상이다. 브라이언 그린은 저서 ''엘레건트 유니버스'' 13장에서 코니폴드의 물리학을 설명했다. 여기에는 공간이 원뿔 근처에서 찢어질 수 있고, 그 위상이 변할 수 있다는 사실이 포함된다.

코니폴드의 잘 알려진 예는 복소 사영 평면 $\mathbb{CP}^4$ 의 5차 초곡면의 변형 극한으로 얻어진다. 공간 $\mathbb{CP}^4$ 는 복소수 차원이 4이고, 5차 방정식(차수 5)으로 정의된 공간은 복소수 차원이 3이다. 이 5차 초곡면의 집합은 칼라비-야우 다양체의 가장 유명한 예이다. 만약 복소 구조 매개변수 $\psi$ 가 1과 같도록 선택되면, 다양체는 특이점을 갖게 된다. 이 특이점의 근방은 원뿔처럼 보이는데, 그 밑면은 위상적으로 $S^2 \times S^3$ 이다.

끈 이론의 맥락에서, 기하학적으로 특이한 코니폴드는 끈의 완전히 부드러운 물리학으로 이어진다는 것을 보여줄 수 있다. D3-브레인이 IIB형 끈 이론에서 수축하는 3차원 구에 감싸지고, D2-브레인이 IIA형 끈 이론에서 수축하는 2차원 구에 감싸지면서 "분산"된다.

참조

_[1] 저널 Connecting moduli spaces of Calabi–Yau threefolds
_[2] 서적 String theory and M-theory: a modern introduction https://web.archive.[...] Cambridge University Press 2013-04-13
_[3] 저널 Superconformal field theory on threebranes at a Calabi–Yau singularity 1998
_[4] 저널 Conifolds and geometric transitions 2007
_[5] 저널 The moduli space of 3-folds with ''K''=0 may nevertheless be irreducible 1987
_[6] 저널 Complete intersection Calabi–Yau manifolds 1988
_[7] 저널 Connecting moduli spaces of Calabi–Yau threefolds 1988
_[8] 저널 Rolling among Calabi–Yau vacua 1990-01-22
_[9] 저널 Massless black holes and conifolds in string theory 1995-09-25
_[10] 저널 Black hole condensation and the unification of string vacua 1995-09-25

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