산란 길이

1. 개요

산란 길이는 산란 이론에서 사용되는 개념으로, 입자가 퍼텐셜과 상호 작용할 때 산란의 정도를 나타내는 척도이다. 특히 낮은 에너지에서의 산란 현상을 설명하는 데 유용하게 사용된다. 산란 길이는 산란 진폭 또는 위상 변화와 관련되며, 특히 입자의 드브로이 파장이 퍼텐셜의 크기보다 클 때 유효하다. 구체적으로, 산란 길이는 산란 진폭의 크기와 같으며, 위상 변화를 통해 정의될 수도 있다. 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물과 같은 특정 퍼텐셜의 경우 산란 길이를 계산할 수 있으며, 이는 저에너지 산란 특성을 이해하는 데 도움이 된다. 산란 길이는 산란 단면적과 밀접한 관련이 있으며, 산란 단면적은 산란 길이의 제곱에 비례한다.

2. 정의

크기가 대략 $r$인 퍼텐셜에 의한 산란을 생각할 때, 입사하는 입자의 드브로이 파장이 $r$보다 매우 크면(즉, 입사하는 입자의 운동 에너지가 $\backslash hbar^2/2mr^2$보다 매우 작으면) 산란 진폭 $\backslash phi$는 방향에 관계없이 거의 일정하다. 이 경우 미분 단면적은 다음과 같다.
:$\backslash frac\{d\backslash sigma\}\{d\backslash Omega\}=|\backslash phi|^2$
총 단면적은 다음과 같다.
:$\backslash sigma=4\backslash pi|\backslash phi|^2$
이 때 $a=|\backslash phi|$를 산란 길이라고 정의한다.

2.1. 낮은 에너지에서의 산란과 위상 변화

부분파 방법에 따라, 산란되는 파동을 각운동량 양자수 $(l,m)$에 따라 전개할 수 있다. 이 때, 입사하는 입자의 드브로이 파장이 퍼텐셜의 크기 $r$보다 매우 크다면 (즉, 입사하는 입자의 운동 에너지가 $\backslash hbar^2/2mr^2$보다 매우 작다면) $(l,m)=(0,0)$ 성분 이외는 무시할 수 있다. 낮은 에너지에서의 산란은 산란 길이뿐만 아니라 위상 변화 (phase shift^영어)$\backslash delta(k)$로도 나타낼 수 있다. 이 때 산란 길이 $a$와 위상 변화 $\backslash delta$ 사이의 관계는 다음과 같다.
:$a=\backslash lim\_\{k\backslash to0\}|\backslash delta(k)|/k$.
즉, 낮은 $k$의 경우 위상 변화는 다음과 같은 꼴이다.
:$\backslash delta(k)=-ak+\backslash mathcal\; O(k^2)$.

3. 일반적인 개념

느린 입자가 단거리 산란체(예: 고체 내 불순물 또는 무거운 입자)에서 산란될 때, 그 입자의 드브로이 파장이 매우 길기 때문에 물체의 구조를 분해할 수 없다. 즉, 어떤 정확한 퍼텐셜에서 산란되는지가 중요한 것이 아니라, 긴 길이 스케일에서 퍼텐셜이 어떻게 보이는지가 중요하다.

낮은 에너지에서의 산란은 산란 길이 대신 위상 변화 (phase shift^영어) $\backslash delta(k)$로도 나타낼 수 있다. 이때 산란 길이 $a$와 위상 변화 $\backslash delta$ 사이의 관계는 다음과 같다.

:$a=\backslash lim\_\{k\backslash to0\}|\backslash delta(k)|/k$.

즉, 낮은 $k$의 경우 위상 변화는 다음과 같은 꼴이다.

:$\backslash delta(k)=-ak+\backslash mathcal\; O(k^2)$.

3.1. 부분파 전개

부분파 방법에 따라, 산란되는 파동을 각운동량 양자수 $(l,m)$에 따라 전개할 수 있다. 이 문제를 해결하기 위해 부분파 전개를 사용하는데, 이는 나가는 파의 각운동량 성분으로 전개하는 것이다. 이는 고전 전자기학의 다극자 전개와 다소 유사하다. 매우 낮은 에너지에서 입사 입자는 어떤 구조도 볼 수 없으므로, 최저차수로는 각운동량 양자수 l=0인 원자 궤도함수와 유사하게 s-파라고 불리는 구형의 나가는 파만 존재한다. 더 높은 에너지에서는 p-파 및 d-파 (l=1,2) 산란 등도 고려해야 한다.

3.2. 재규격화

부분파 전개(고전 전자기학의 다극자 전개와 다소 유사)를 통해 저에너지 특성을 설명하는 개념은 매우 강력하며, 재규격화 개념의 기반이 된다.

몇몇 매개변수와 대칭성을 이용한다.

3.3. 쿨롱 수정 산란 길이

산란 길이 개념은 $r\backslash to\; \backslash infty$일 때 $1/r^3$보다 느리게 감소하는 퍼텐셜로도 확장될 수 있다. 양성자-양성자 산란과 관련된 유명한 예로는 쿨롱 수정 산란 길이가 있다.

4. 예시: 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물

반지름 $r\_0$의 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물에 대한 s-파 산란 길이를 계산하는 예시를 통해 산란 길이의 개념을 이해할 수 있다. 이 예시에서는 3차원에서 반지름 $r\_0$를 가지는 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물을 고려하며, 각운동량 $l=0$인 s파 산란 길이를 계산한다.

s파 산란만을 고려하면 미분 산란 단면적은 각도 $\backslash theta$에 의존하지 않으며, 총 산란 단면적 $\backslash sigma$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash sigma=\; \backslash frac\{4\; \backslash pi\}\{k^2\}\; \backslash sin^2\; \backslash delta\_s\; =4\; \backslash pi\; a\_s^2$

4.1. 슈뢰딩거 방정식 풀이

예시로, 주어진 퍼텐셜에 대한 s파(즉, 각운동량 $l=0$) 산란 길이를 계산하기 위해 3차원에서 반지름 $r\_0$의 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물을 고려한다. 우물 바깥 영역의 방사형 슈뢰딩거 방정식($l=0$)은 자유 입자와 동일하다.

:$-\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\; u\text{'}\text{'}(r)=E\; u(r),$

여기서 단단한 코어 퍼텐셜은 파동 함수 $u(r)$가 $r=r\_0$에서 0이 되어야 함을 요구한다. 즉, $u(r\_0)=0$이다. 해는 쉽게 구할 수 있다.

:$u(r)=A\; \backslash sin(k\; r+\backslash delta\_s)$.

여기서 $k=\backslash sqrt\{2m\; E\}/\backslash hbar$이고 $\backslash delta\_s=-k\; \backslash cdot\; r\_0$는 s파 위상 이동(입사파와 굴절파 사이의 위상차)이며, 경계 조건 $u(r\_0)=0$에 의해 결정된다. $A$는 임의의 정규화 상수이다.

일반적으로 작은 $k$(즉, 저에너지 산란)에 대해 $\backslash delta\_s(k)\backslash approx-k\; \backslash cdot\; a\_s\; +O(k^2)$임을 보일 수 있다. 길이 차원의 매개변수 $a\_s$는 산란 길이로 정의된다. 따라서 주어진 퍼텐셜에 대해 $a=r\_0$이다. 즉, 단단한 구의 산란 길이는 반지름과 같다. (또는 s파 산란 길이 $a\_s$를 갖는 임의의 퍼텐셜은 반지름 $a\_s$의 단단한 구와 동일한 저에너지 산란 특성을 가진다고 말할 수 있다.)

4.2. 산란 길이와 산란 단면적

부분파 방법에 따라, 산란되는 파동을 각운동량 양자수 $(l,m)$에 따라 전개할 수 있다. 이 때, 입사하는 입자의 드브로이 파장이 퍼텐셜의 크기 $r$보다 매우 크다면 (즉, 입사하는 입자의 운동 에너지가 $\backslash hbar^2/2mr^2$보다 매우 작다면) $(l,m)=(0,0)$ 성분 이외는 무시할 수 있다. 이 경우에는 산란 진폭 $\backslash phi$가 방향에 관계없이 거의 일정하다. 따라서 미분 단면적은 방향에 관계없이
:$\backslash frac\{d\backslash sigma\}\{d\backslash Omega\}=|\backslash phi|^2$
이고, 총 단면적은
:$\backslash sigma=4\backslash pi|\backslash phi|^2$
이다. 이 때 $a=|\backslash phi|$를 산란 길이라고 한다.

낮은 에너지에서의 산란은 산란 길이 대신 위상 변화(phase shift^영어) $\backslash delta(k)$로도 나타낼 수 있다. 이 때 산란 길이 $a$와 위상 변화 $\backslash delta$ 사이의 관계는 다음과 같다.
:$a=\backslash lim\_\{k\backslash to0\}|\backslash delta(k)|/k$.
즉, 낮은 $k$의 경우 위상 변화는 다음과 같은 꼴이다.
:$\backslash delta(k)=-ak+\backslash mathcal\; O(k^2)$.

일반적으로 작은 $k$(즉, 저에너지 산란)에 대해 $\backslash delta\_s(k)\backslash approx-k\; \backslash cdot\; a\_s\; +O(k^2)$임을 보일 수 있다. 여기서 길이 차원의 매개변수 $a\_s$는 산란 길이로 정의된다.

산란 단면적 $\backslash sigma$는 산란 이론에서 점근적 파동 함수를 이용하여 구할 수 있다.
:$\backslash psi(r,\backslash theta)=e^\{i\; k\; z\}+f(\backslash theta)\; \backslash frac\{e^\{i\; k\; r\}\}\{r\}$

여기서 $f$는 산란 진폭이다. s파 산란만을 고려하면 미분 산란 단면적은 각도 $\backslash theta$에 의존하지 않으며, 총 산란 단면적은 $\backslash sigma=4\; \backslash pi\; |f|^2$이다.

:$f=\backslash frac\{1\}\{2\; i\; k\}(e^\{2\; i\; \backslash delta\_s\}-1)\backslash approx\; \backslash delta\_s/k\; \backslash approx\; -\; a\_s$

따라서, 총 산란 단면적은 다음과 같다.

:$\backslash sigma=\; \backslash frac\{4\; \backslash pi\}\{k^2\}\; \backslash sin^2\; \backslash delta\_s\; =4\; \backslash pi\; a\_s^2$