산술 기하 평균

1. 개요

산술 기하 평균은 두 양수의 산술 평균과 기하 평균을 반복적으로 계산하여 얻는 극한값이다. 이 개념은 조제프루이 라그랑주에 의해 처음 연구되었고, 카를 프리드리히 가우스에 의해 심층적으로 분석되었다. 산술 기하 평균 M(x, y)는 x와 y의 산술 평균과 기하 평균 사이에 존재하며, 임의의 양수 r에 대해 M(rx, ry) = rM(x, y)가 성립한다. 이 값은 타원 적분과 관련이 있으며, 타원 적분 계산 및 타원 필터 설계에 활용된다. 가우스 상수는 1과 √2의 산술 기하 평균의 역수이며, 이 값은 초월수이다. 산술 기하 평균은 타원 적분 계산, 원주율(π) 계산, 그리고 초월 함수 계산 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 역사

두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 라그랑주의 저작에 기술되었다. 가우스는 라그랑주의 연구에서 나타난 이 알고리즘의 성질을 더욱 분석하였다.

3. 정의

두 양수 x, y에 대해, 산술 평균 수열 {a_n}과 기하 평균 수열 {g_n}은 다음과 같이 정의된다.

:$a\_1=\backslash frac\{x+y\}\{2\}$
:$g\_1=\backslash sqrt\{xy\}$

이후 n번째 항은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$
a_{n+1} & =\frac{a_n + g_n}{2}\\
g_{n+1} & =\sqrt{a_n\times g_n}\\
\end{align}

이 과정을 반복하면, 두 수열 {a_n}, {g_n}은 동일한 값으로 수렴하며, 이 극한값을 x와 y의 산술 기하 평균 M(x, y)라 한다.

예를 들어 24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산하면 다음과 같다.

:$a\_1=\backslash frac\{24+6\}\{2\}=15$
:$g\_1=\backslash sqrt\{24\backslash times\; 6\}=12$

다섯 번 반복하면 다음 표와 같은 값을 얻는다.

반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 늘어난다. 두 수열의 공통 극한이 산술 기하 평균이며, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.

4. 성질

M^영어(x, y)는 x와 y의 산술 평균과 기하 평균 사이에 존재한다. 임의의 양수 r에 대해, M^영어(rx, ry) = rM^영어(x, y)가 성립한다. 산술 기하 평균은 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.

:\\
&=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}
\end{align}}}

여기서 K^영어(k)는 제1종 완전 타원 적분이다.

:}}

산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 타원 필터 설계 등에 사용되기도 한다.

5. 예

24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다.

:$a\_1=\backslash frac\{24+6\}\{2\}=15$
:$g\_1=\backslash sqrt\{24\backslash times\; 6\}=12$

이 과정을 다음과 같이 반복한다.

:$\backslash begin\{align\}$
a_2 & =\frac{15 + 12}{2}=13.5\\
g_2 & =\sqrt{15\times 12}=13.41640786499\dots\\
\dots
\end{align}

다섯 번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다.

반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 되는 것을 알 수 있다. 두 수열의 공통 극한이 곧 산술 기하 평균이며, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.

6. 관련 개념

가우스 상수는 1과 루트 2의 산술 기하 평균의 역수이다.

기하 조화 평균은 기하 평균과 조화 평균을 이용하여 정의하는 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균은 기하 평균과 같다.

7. 응용

산술 기하 평균은 빠른 수렴 속도를 가지므로, 타원 적분 계산에 효율적이다. 가우스-르장드르 알고리즘을 통해 원주율(π)을 계산할 수 있다.

:$$\backslash pi\; =\; \backslash frac\{4\backslash ,M(1,1/\backslash sqrt\{2\})^2\}\; \{1\; -\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{j=1\}^\backslash infty\; 2^\{j+1\}\; c\_j^2\}\; ,$$

여기서

:$$c\_j\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(a\_\{j-1\}-g\_\{j-1\}\backslash right)\; ,$$

:$a\_0=1$과 $g\_0=1/\backslash sqrt\{2\}$이고, 다음 식을 사용하여 정밀도 손실 없이 계산할 수 있다.

:$$c\_j\; =\; \backslash frac\{c\_\{j-1\}^2\}\{4a\_j\}\; .$$

$a\_0\; =\; 1$와 $g\_0\; =\; \backslash cos\backslash alpha$를 사용하면 AGM은 다음과 같다.

:$$M(1,\backslash cos\backslash alpha)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2K(\backslash sin\; \backslash alpha)\}\; ,$$

여기서 $K(k)$는 제 1종 완전 타원 적분이다.

:$$K(k)\; =\; \backslash int\_0^\{\backslash pi/2\}(1\; -\; k^2\; \backslash sin^2\backslash theta)^\{-1/2\}\; \backslash ,\; d\backslash theta.$$

즉, 이 4분의 주기는 AGM을 통해 효율적으로 계산될 수 있다.

:$$K(k)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2M(1,\backslash sqrt\{1-k^2\})\}\; .$$

존 랜던의 상승 변환과 함께 AGM의 이러한 속성을 사용하여, 리처드 P. 브렌트는 지수 함수($e^x$), 삼각 함수($\backslash cos\; x$, $\backslash sin\; x$)를 빠르게 계산하기 위한 최초의 AGM 알고리즘을 제안했다. 이후, 많은 저자들이 AGM 알고리즘의 사용에 대한 연구를 진행했다.

또한, 산술 기하 평균의 수렴이 빠르기 때문에 수치 해석에 의한 원주율 계산에 사용될 수 있다.

8. M의 존재성 증명

산술-기하 평균 부등식에 의해 모든 `n`에 대해 $g\_n\; \backslash leq\; a\_n$이 성립한다. 즉, 수열 $\backslash \{g\_n\backslash \}$은 단조 증가하고 $x$와 $y$ 중 더 큰 값으로 위로 유계된다.

두 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}$, $\backslash \{g\_n\backslash \}$ 모두 단조수열임을 보일 수 있다.

:$g\_\{n+1\}=\backslash sqrt\{g\_n\; a\_n\}\backslash ge\backslash sqrt\{g\_n\; g\_n\}=g\_n$
:$a\_\{n+1\}=\backslash frac\{g\_n+a\_n\}\{2\}\backslash le\backslash frac\{a\_n+a\_n\}\{2\}=a\_n$

따라서 $\backslash \{a\_n\backslash \}$, $\backslash \{g\_n\backslash \}$ 모두 단조, 유계이며 수렴한다. 단조 수렴 정리에 따라, 수열은 수렴하므로 다음을 만족하는 $g$가 존재한다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}g\_n\; =\; g$

또한

:$a\_n=\backslash frac\{g\_\{n+1\}^2\}\{g\_n\}$

의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}a\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}\backslash frac\{g\_\{n\; +\; 1\}^2\}\{g\_\{n\}\}\; =\; \backslash frac\{g^2\}\{g\}\; =\; g$

증명 완료