산술 기하 평균

3. 정의

두 양수 x, y에 대해, 산술 평균 수열 {''a''_''n''}과 기하 평균 수열 {''g''_''n''}은 다음과 같이 정의된다.^[2]

:$a\_1=\backslash frac\{x+y\}\{2\}$

:$g\_1=\backslash sqrt\{xy\}$

이후 n번째 항은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$

a_{n+1} & =\frac{a_n + g_n}{2}\\

g_{n+1} & =\sqrt{a_n\times g_n}\\

\end{align}

이 과정을 반복하면, 두 수열 {''a''_''n''}, {''g''_''n''}은 동일한 값으로 수렴하며, 이 극한값을 x와 y의 산술 기하 평균 M(x, y)라 한다.^[21]

예를 들어 24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산하면 다음과 같다.

:$a\_1=\backslash frac\{24+6\}\{2\}=15$

:$g\_1=\backslash sqrt\{24\backslash times\; 6\}=12$

다섯 번 반복하면 다음 표와 같은 값을 얻는다.

반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 늘어난다. 두 수열의 공통 극한이 산술 기하 평균이며, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.^[2]

4. 성질

M|엠^영어(x, y)는 x와 y의 산술 평균과 기하 평균 사이에 존재한다.^[3] 임의의 양수 r에 대해, M|엠^영어(rx, ry) = rM|엠^영어(x, y)가 성립한다.^[4] 산술 기하 평균은 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.^[4]

:\\

&=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}

\end{align}}}

여기서 K|케이^영어(k)는 제1종 완전 타원 적분이다.

:}}

산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 타원 필터 설계 등에 사용되기도 한다.^[23][5]

5. 예

24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다.

:$a\_1=\backslash frac\{24+6\}\{2\}=15$

:$g\_1=\backslash sqrt\{24\backslash times\; 6\}=12$

이 과정을 다음과 같이 반복한다.

:$\backslash begin\{align\}$

a_2 & =\frac{15 + 12}{2}=13.5\\

g_2 & =\sqrt{15\times 12}=13.41640786499\dots\\

\dots

\end{align}

다섯 번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다.

반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 되는 것을 알 수 있다. 두 수열의 공통 극한이 곧 산술 기하 평균이며, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.^[21]

6. 관련 개념

가우스 상수는 1과 루트 2의 산술 기하 평균의 역수이다.^[24]

기하 조화 평균은 기하 평균과 조화 평균을 이용하여 정의하는 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균은 기하 평균과 같다.^[14]

7. 응용

산술 기하 평균은 빠른 수렴 속도를 가지므로, 타원 적분 계산에 효율적이다. 가우스-르장드르 알고리즘을 통해 원주율(π)을 계산할 수 있다.^[17]

:$$\backslash pi\; =\; \backslash frac\{4\backslash ,M(1,1/\backslash sqrt\{2\})^2\}\; \{1\; -\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{j=1\}^\backslash infty\; 2^\{j+1\}\; c\_j^2\}\; ,$$

여기서

:$$c\_j\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(a\_\{j-1\}-g\_\{j-1\}\backslash right)\; ,$$

:$a\_0=1$과 $g\_0=1/\backslash sqrt\{2\}$이고, 다음 식을 사용하여 정밀도 손실 없이 계산할 수 있다.

:$$c\_j\; =\; \backslash frac\{c\_\{j-1\}^2\}\{4a\_j\}\; .$$

$a\_0\; =\; 1$와 $g\_0\; =\; \backslash cos\backslash alpha$를 사용하면 AGM은 다음과 같다.

:$$M(1,\backslash cos\backslash alpha)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2K(\backslash sin\; \backslash alpha)\}\; ,$$

여기서 $K(k)$는 제 1종 완전 타원 적분이다.

:$$K(k)\; =\; \backslash int\_0^\{\backslash pi/2\}(1\; -\; k^2\; \backslash sin^2\backslash theta)^\{-1/2\}\; \backslash ,\; d\backslash theta.$$

즉, 이 4분의 주기는 AGM을 통해 효율적으로 계산될 수 있다.

:$$K(k)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2M(1,\backslash sqrt\{1-k^2\})\}\; .$$

존 랜던의 상승 변환과 함께 AGM의 이러한 속성을 사용하여, 리처드 P. 브렌트는 지수 함수($e^x$), 삼각 함수($\backslash cos\; x$, $\backslash sin\; x$)를 빠르게 계산하기 위한 최초의 AGM 알고리즘을 제안했다.^[18][19] 이후, 많은 저자들이 AGM 알고리즘의 사용에 대한 연구를 진행했다.^[20]

또한, 산술 기하 평균의 수렴이 빠르기 때문에 수치 해석에 의한 원주율 계산에 사용될 수 있다.

8. M의 존재성 증명

산술-기하 평균 부등식에 의해 모든 `n`에 대해 $g\_n\; \backslash leq\; a\_n$이 성립한다.^[3] 즉, 수열 $\backslash \{g\_n\backslash \}$은 단조 증가하고 $x$와 $y$ 중 더 큰 값으로 위로 유계된다.

두 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}$, $\backslash \{g\_n\backslash \}$ 모두 단조수열임을 보일 수 있다.

:$g\_\{n+1\}=\backslash sqrt\{g\_n\; a\_n\}\backslash ge\backslash sqrt\{g\_n\; g\_n\}=g\_n$

:$a\_\{n+1\}=\backslash frac\{g\_n+a\_n\}\{2\}\backslash le\backslash frac\{a\_n+a\_n\}\{2\}=a\_n$

따라서 $\backslash \{a\_n\backslash \}$, $\backslash \{g\_n\backslash \}$ 모두 단조, 유계이며 수렴한다. 단조 수렴 정리에 따라, 수열은 수렴하므로 다음을 만족하는 $g$가 존재한다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}g\_n\; =\; g$

또한

:$a\_n=\backslash frac\{g\_\{n+1\}^2\}\{g\_n\}$

의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}a\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}\backslash frac\{g\_\{n\; +\; 1\}^2\}\{g\_\{n\}\}\; =\; \backslash frac\{g^2\}\{g\}\; =\; g$

증명 완료

참조

_[1] 간행물 The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss https://www.research[...] 1984-01
_[2] Wolfram Alpha agm(24, 6) http://www.wolframal[...]
_[3] 서적 Handbook of Means and Their Inequalities http://link.springer[...] Springer Netherlands 2023-12-11
_[4] 문서 Elliptic Integrals
_[5] 서적 Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis https://books.google[...] Springer
_[6] 서적 Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley-Interscience
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 간행물 Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale https://www.deepdyve[...]
_[10] 간행물 The Lemniscate Constants
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 서적 Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley-Interscience
_[14] 간행물 A simplified version of the fast algorithms of Brent and Salamin
_[15] 문서
_[16] 서적 On the Direct Numerical Calculation of Elliptic Functions and Integrals https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[17] 간행물 Computation of π using arithmetic–geometric mean https://link.springe[...]
_[18] 간행물 An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs, with some other new and useful theorems deduced therefrom
_[19] 간행물 Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions https://link.springe[...]
_[20] 서적 Pi and the AGM Wiley
_[21] Wolfram Alpha agm(24, 6) - WolframAlpha http://www.wolframal[...]
_[22] 서적 Pi: A Source Book http://books.google.[...] Springer
_[23] 서적 Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis http://books.google.[...] Springer
_[24] 인용 An eloquent formula for the perimeter of an ellipse http://www.ams.org/n[...] 2013-12-14