드무아브르의 공식

1. 개요

드무아브르의 공식은 복소수의 거듭제곱과 삼각함수 사이의 관계를 나타내는 공식으로, 프랑스 수학자 아브라암 드무아브르가 발견했다. 이 공식은 임의의 정수 n에 대해 (cos x + i sin x)^n = cos nx + i sin nx 형태로 표현되며, 오일러의 공식을 이용하여 쉽게 증명할 수 있다. 수학적 귀납법을 통해 모든 정수 n에 대해 성립함을 증명하며, 복소수의 곱셈 및 쌍곡선 삼각법, 사원수 등 다른 수학적 개념으로 확장될 수 있다. 드무아브르의 공식은 복소수의 n 제곱근을 구하거나 허수 단위 i의 거듭제곱을 계산하는 데 활용되며, 특히 1의 거듭제곱근이나 이항방정식의 해를 구하는 데 유용하다.

2. 증명

오일러 공식과 수학적 귀납법을 이용하여 드무아브르의 공식을 증명할 수 있다.

; 수학적 귀납법을 이용한 증명
: n > 0인 경우, n = 1일 때 등식이 성립한다. n = k일 때 성립한다고 가정하고, n = k + 1일 때도 성립함을 보이면 된다. n = 0일 때는 1로 정의되어 성립한다. n < 0인 경우, n = -m (m은 양의 정수)로 놓고, 위에서 증명한 양의 정수 경우를 이용하여 증명할 수 있다.

; 오일러 공식을 이용한 증명
: 지수 법칙을 활용하여 유도할 수 있다.

; 복소수의 곱셈을 이용한 증명
: 복소수의 곱셈 성질과 귀납법을 통해 공식을 유도할 수 있다.

2.1. 오일러 공식을 이용한 증명

오일러의 공식을 이용하면 드무아브르의 공식을 쉽게 유도할 수 있다. 오일러 공식은 다음과 같다.

:$e^\{ix\}\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x$

지수 함수의 성질에 의해 다음 식이 성립한다.

:$\backslash left(\; e^\{ix\}\; \backslash right)^n\; =\; e^\{inx\}$

위 식에 오일러 공식을 적용하면 다음을 얻는다.

:$e^\{i(nx)\}\; \backslash ,=\backslash ,\; \backslash cos\{nx\}\; +\; i\backslash sin\{nx\}$

2.2. 수학적 귀납법을 이용한 증명

n > 0인 경우, 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. n = 1일 때, 등식은 참이다. k일 때 다음 식이 성립한다고 가정한다.

:$\backslash left(\backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x\backslash right)^k\; =\; \backslash cos\{kx\}\; +\; i\; \backslash sin\{kx\}$

이제 n = k + 1일 때 식이 성립하는지 확인하면,

:$$
\begin{alignat}{2}
\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
& = \left(\cos{kx} + i\sin{kx}\right) \left(\cos x+i\sin x\right)\\
& = \cos {kx} \cos x - \sin {kx} \sin x + i \left(\cos {kx} \sin x + \sin {kx} \cos x\right)\\
& = \cos { \left(k+1\right) x } + i\sin { \left(k+1\right) x }
\end{alignat}


이 식이 n = k + 1일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 n ≥ 1인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.

n = 0일 때는, $\backslash cos\; \{0x\}\; +\; i\backslash sin\; \{0x\}\; =\; 1\; +\; i\backslash cdot\; 0\; =\; 1$ 또는 $z^0\; =\; 1$라는 약속에 의하여 성립한다.

n < 0일 때, n = -m을 만족하는 양의 정수 m에 대하여 생각하면,

:$$
\begin{align}
\left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\
& = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\
& = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\
& = \cos{mx} - i\sin{mx}\\
& = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\
& = \cos{nx} + i\sin{nx}
\end{align}


따라서 모든 정수 n에 대하여 드무아브르의 공식이 성립한다.

2.3. 복소수의 곱셈을 이용한 증명

θ^영어, φ^영어 ∈ C에 대해
:(\cos θ+i\sin θ)(\cos φ+i\sin φ)
:=(\cos θ\cos φ-\sin θ\sin φ)+i(\sin θ\cos φ+\cos θ\sin φ)
:=\cos (θ+φ)+i\sin (θ+φ)
가 성립한다。따라서 귀납적으로
:(\cos θ+i\sin θ)ⁿ=\cos nθ + i\sin nθ
임을 알 수 있다。

3. 개별 코사인 및 사인 공식

복소수의 성질에 따라, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다. 만약 $x$가 실수이면 $\backslash cos\; x$와 $\backslash sin\; x$도 실수이므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이 공식은 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트가 발견했다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sin nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\sin\frac{(n-k)\pi}{2} \\
\cos nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\cos\frac{(n-k)\pi}{2}.
\end{align}

이 두 방정식에서 마지막 삼각 함수는 1, -1, 0 중 하나의 값을 가지므로, 각 합에서 항의 절반이 제거된다. 이 방정식들은 $x$가 복소수 값을 가질 때도 유효하다. 왜냐하면 양변이 $x$의 전체 함수(즉, 전체 복소 평면에서 정칙 함수)이고, 실수 축에서 일치하는 두 함수는 모든 곳에서 일치하기 때문이다. 다음은 $n=2$와 $n=3$일 때의 구체적인 예시이다.

:$\backslash begin\{alignat\}\{2\}$
\cos 2x &= \left(\cos x\right)^2 +\left(\left(\cos x\right)^2-1\right) &{}={}& 2\left(\cos x\right)^2-1 \\
\sin 2x &= 2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right) & & \\
\cos 3x &= \left(\cos x\right)^3 +3\cos x\left(\left(\cos x\right)^2-1\right) &{}={}& 4\left(\cos x\right)^3-3\cos x \\
\sin 3x &= 3\left(\cos x\right)^2\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^3 &{}={}& 3\sin x-4\left(\sin x\right)^3.
\end{alignat}

$\backslash cos\; nx$에 대한 공식의 우변은 체비쇼프 다항식 $T\_n(\backslash cos\; x)$의 값이다.

4. 예시

$x\; =\; 30^\backslash circ$와 $n\; =\; 2$일 때, 드무아브르의 공식은 다음과 같다.

:$$\backslash left(\backslash cos(30^\backslash circ)\; +\; i\; \backslash sin(30^\backslash circ)\backslash right)^2\; =\; \backslash cos(2\; \backslash cdot\; 30^\backslash circ)\; +\; i\; \backslash sin\; (2\; \backslash cdot\; 30^\backslash circ),$$

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{i\}\{2\}\backslash right)^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{i\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}.$$

이 예시에서 좌변을 전개하면 방정식이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.

5. 정수가 아닌 지수

드무아브르의 공식은 지수가 정수가 아닐 때는 일반적으로 성립하지 않는다. 이는 복소수의 거듭제곱이 여러 개의 값을 가지기 때문이다. 예를 들어 $(\backslash cos\; z\; +\; i\backslash sin\; z)^w$ ($z$와 $w$는 복소수)는 여러 값을 가질 수 있으며, $\backslash cos\; (wz)\; +\; i\; \backslash sin\; (wz)\; \backslash ,$는 그중 하나의 값일 뿐이다.

$\backslash theta$를 실수, $w$를 복소수라고 하면, $\backslash \{\backslash exp(i\backslash theta)\backslash \}^w=\backslash exp\backslash \{w\backslash log\; \backslash exp(i\backslash theta)\backslash \}=\backslash exp\backslash \{wi(\backslash theta+2n\backslash pi)\backslash \}=\backslash exp(iw\backslash theta)\backslash exp(2n\backslash pi\; iw)$ ($n$은 정수)이다. 따라서 $w$가 정수라면 $\backslash \{\backslash exp(i\backslash theta)\backslash \}^w=\backslash exp(iw\backslash theta)\backslash cdot1=\backslash cos(w\backslash theta)+i\backslash sin(w\backslash theta)$라는 하나의 값을 가지지만, $w$가 정수가 아닐 때는 $\backslash cos(w\backslash theta)+i\backslash sin(w\backslash theta)$를 포함한 여러 값을 가지게 된다.

$w$가 유리수이고 $w=a/b$ ($a$, $b$는 서로소)라고 하면, $n=0,\; 1,\; \dots ,\; b-1$에서 순환하며 $b$개의 값을 가진다. $w$가 무리수 또는 허수라면 순환하지 않고 가산 무한개의 값을 가진다.

5.1. 복소수의 n 제곱근

드무아브르의 공식은 복소수의 n 제곱근을 구하는 데 사용될 수 있다. 복소수 $w$는 극형식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$w=r\backslash left(\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x\backslash right),\backslash ,$

이때 $k$가 정수라면,

:$$
w^}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ }= r^} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]



$n$개의 서로 다른 근은 $k\; =\; 0$부터 $n-1$까지의 값을 대입하여 구할 수 있다.

이 공식은 $x^n\; =\; a$ 꼴의 이항방정식의 복소근을 구하는 데 활용할 수 있다.

복소수 $z$가 극형식으로 표현되면,

:$z=r\backslash left(\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x\backslash right),$

$z$의 $n$제곱근은 다음과 같다.

:$r^\backslash frac1n\; \backslash left(\; \backslash cos\; \backslash frac\{x+2\backslash pi\; k\}\{n\}\; +\; i\backslash sin\; \backslash frac\{x+2\backslash pi\; k\}\{n\}\; \backslash right)$

여기서 $k$는 0부터 $n-1$까지의 정수이다.

이 공식은 드무아브르의 공식이라고도 알려져 있다.

5.2. 복소수의 임의의 거듭제곱

드무아브르의 공식은 정수 지수가 아닐 때는 성립하지 않는다. 복소수의 n제곱에서 n이 정수가 아니라면 복소지수가 여러 개의 값을 가지기(다가 함수) 때문에 좌변이 잘 정의되지 않는다.

일반적으로 복소수 $z=r\backslash left(\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x\backslash right)$ (극형식)이고 $w$가 임의의 복소수라면, 가능한 값들의 집합은 다음과 같다.

:$$z^w\; =\; r^w\; \backslash left(\backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x\backslash right)^w\; =\; \backslash lbrace\; r^w\; \backslash cos(xw\; +\; 2\backslash pi\; kw)\; +\; i\; r^w\; \backslash sin(xw\; +\; 2\backslash pi\; kw)\; |\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash rbrace\backslash ,.$$

$w$가 기약 분수 $p/q$와 같은 유리수라면 이 집합은 무한대가 아닌 정확히 $q$개의 서로 다른 값을 갖는다. 특히, $w$가 정수라면 앞서 논의했듯이 이 집합은 정확히 하나의 값을 갖는다. 반면, 드무아브르의 공식은

:$$r^w\; (\backslash cos\; xw\; +\; i\backslash sin\; xw)\backslash ,,$$

를 제공하며, 이는 이 집합에서 $k=0$에 해당하는 단일 값이다.

$\backslash theta$를 실수, $w$를 복소수라고 하면

:$\backslash \{\backslash exp(i\backslash theta)\backslash \}^w=\backslash exp\backslash \{w\backslash log\; \backslash exp(i\backslash theta)\backslash \}=\backslash exp\backslash \{wi(\backslash theta+2n\backslash pi)\backslash \}=\backslash exp(iw\backslash theta)\backslash exp(2n\backslash pi\; iw)$ ($n$은 정수)

이다. 따라서, $w$가 정수라면

:$\backslash \{\backslash exp(i\backslash theta)\backslash \}^w=\backslash exp(iw\backslash theta)\backslash cdot1=\backslash cos(w\backslash theta)+i\backslash sin(w\backslash theta)$

라는 하나의 값을 가지지만, $w$가 정수가 아닐 때는 $\backslash cos(w\backslash theta)+i\backslash sin(w\backslash theta)$를 포함한 여러 값을 가지게 된다.

$\{exp($iθ)}의 값은, $w$가 유리수이면, $w=a/b$ ($a$, $b$는 서로소)라고 나타내면, $2n\backslash pi\; w=\; 2\backslash pi\; \backslash times\; na/b$이므로, $n=0,\; 1,\; \dots ,\; b-1$에서 순환하며, $b$개의 값을 가진다. $w$가 무리수 또는 허수라면 순환하지 않고, 가산 무한개의 값을 가진다.

6. 다른 설정에서의 유사성

cosh^영어 x + sinh^영어 x = e^x이므로, 쌍곡선 삼각법에도 드무아브르의 공식과 유사한 공식이 적용된다. 모든 정수 n에 대해 다음이 성립한다.
$(\backslash cosh\; x\; +\; \backslash sinh\; x)^n\; =\; \backslash cosh\; nx\; +\; \backslash sinh\; nx.$
n이 유리수일 경우 (하지만 반드시 정수일 필요는 없다), $\backslash cosh\; nx\; +\; \backslash sinh\; nx$는 $(\backslash cosh\; x\; +\; \backslash sinh\; x)^n$의 값 중 하나가 된다.

사원수의 근을 찾는 데에는 드무아브르의 공식과 유사한 형태가 존재한다. 사원수 $q\; =\; d\; +\; a\backslash mathbf\{\backslash hat\; i\}\; +\; b\backslash mathbf\{\backslash hat\; j\}\; +\; c\backslash mathbf\{\backslash hat\; k\}$는 형태로 표현될 수 있다.
이 표현에서, $k\; =\; \backslash sqrt\{d^2\; +\; a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\},$이고 삼각 함수는 $\backslash cos\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{d\}\{k\}\; \backslash quad\; \backslash mbox\{and\}\; \backslash quad\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}\}\{k\}$와 같이 정의된다.
$a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; \backslash neq\; 0$인 경우, $\backslash varepsilon\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{a\backslash mathbf\{\backslash hat\; i\}\; +\; b\backslash mathbf\{\backslash hat\; j\}\; +\; c\backslash mathbf\{\backslash hat\; k\}\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}\},$ (단위 벡터)이다. 이것은 드 무아브르 공식의 변형으로 이어진다.

: $q^n\; =\; k^n(\backslash cos\; n\; \backslash theta\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash sin\; n\; \backslash theta).$

행렬을 사용하면, 정수 n에 대해 가 성립한다. 이는 형태의 행렬과 복소 평면 간의 동형 사상에 따른 직접적인 결과이다.

6.1. 쌍곡선 삼각법

cosh^영어 x + sinh^영어 x = e^x이므로, 쌍곡선 삼각법에도 드무아브르의 공식과 유사한 공식이 적용된다. 모든 정수 n에 대해,
$(\backslash cosh\; x\; +\; \backslash sinh\; x)^n\; =\; \backslash cosh\; nx\; +\; \backslash sinh\; nx.$
n이 유리수일 경우 (하지만 반드시 정수일 필요는 없다), $\backslash cosh\; nx\; +\; \backslash sinh\; nx$는 $(\backslash cosh\; x\; +\; \backslash sinh\; x)^n$의 값 중 하나가 된다.

6.2. 복소수로의 확장

모든 정수 n에 대해, 드무아브르의 공식은 모든 복소수 $z=x+iy$에 대해 성립한다.

:$(\; \backslash cos\; z\; +\; i\; \backslash sin\; z)^n\; =\; \backslash cos\; \{nz\}\; +\; i\; \backslash sin\; \{nz\}.$

여기서

:
\sin z = \sin(x + iy) &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\, . \end{align}

는 제거되었다.

6.3. 사원수

사원수의 근을 찾는 데에는 드무아브르의 공식과 유사한 형태가 존재한다. 다음과 같은 형태의 사원수
: $q\; =\; d\; +\; a\backslash mathbf\{\backslash hat\; i\}\; +\; b\backslash mathbf\{\backslash hat\; j\}\; +\; c\backslash mathbf\{\backslash hat\; k\}$
는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.
:
이 표현에서,
: $k\; =\; \backslash sqrt\{d^2\; +\; a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\},$
이고 삼각 함수는 다음과 같이 정의된다.
: $\backslash cos\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{d\}\{k\}\; \backslash quad\; \backslash mbox\{and\}\; \backslash quad\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}\}\{k\}.$
$a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; \backslash neq\; 0$인 경우,
: $\backslash varepsilon\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{a\backslash mathbf\{\backslash hat\; i\}\; +\; b\backslash mathbf\{\backslash hat\; j\}\; +\; c\backslash mathbf\{\backslash hat\; k\}\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\}\},$
즉, 단위 벡터이다. 이것은 드 무아브르 공식의 변형으로 이어진다.

: $q^n\; =\; k^n(\backslash cos\; n\; \backslash theta\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash sin\; n\; \backslash theta).$
다음과 같은 세제곱근을 구하기 위해
: $Q\; =\; 1\; +\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; i\}\; +\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; j\}+\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; k\},$
사원수를 다음과 같은 형식으로 쓴다.
: $Q\; =\; 2\backslash left(\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash right)\; \backslash qquad\; \backslash mbox\{where\; \}\; \backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{\backslash hat\; i\}\; +\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; j\}+\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; k\}\}\{\backslash sqrt\; 3\}.$
그렇다면 세제곱근은 다음과 같이 주어진다.
: $\backslash sqrt[3]\{Q\}\; =\; \backslash sqrt[3]\{2\}(\backslash cos\; \backslash theta\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash sin\; \backslash theta)\; \backslash qquad\; \backslash mbox\{for\; \}\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{9\},\; \backslash frac\{7\backslash pi\}\{9\},\; \backslash frac\{13\backslash pi\}\{9\}.$

6.4. 2 × 2 행렬

행렬을 사용하면, 정수 n에 대해 가 성립한다. 이는 형태의 행렬과 복소 평면 간의 동형 사상에 따른 직접적인 결과이다.

7. 활용

드무아브르의 공식은 $x^n\; -\; 1\; =\; 0$의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 복소수 $w$는 극형식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$w=r\backslash left(\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x\backslash right),\backslash ,$

이때 $k$가 정수라면,

:$$
w^}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ }= r^} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]



$n$개의 서로 다른 근을 구할 때, $k\; =\; 0$부터 $n-1$까지의 값을 대입하면 된다.

또한, 이 공식은 $x^n\; =\; a$ 꼴의 이항방정식의 해를 구하는 데 사용된다.

;허수 단위의 거듭제곱

:$n$이 정수일 때,
:$i^n\; =(0+i)^n\; =\backslash left(\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +i\backslash sin\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash right)^n\; =\; \backslash cos\; \backslash frac\{n\backslash pi\}\{2\}\; +i\backslash sin\; \backslash frac\{n\backslash pi\}\{2\}$
:$\backslash therefore\; \backslash \; i^\{\backslash ,n\}\; =\; \backslash begin\{cases\}$
1 &\text{if }n\equiv0\pmod4\\
i &\text{if }n\equiv1\pmod4\\
-1 &\text{if }n\equiv2\pmod4\\
-i & \text{if }n\equiv3\pmod4
\end{cases}
:$n$이 비정수일 때는, 여러 값 중 하나만 구해진다.

;1의 거듭제곱근

:$n$을 2 이상의 자연수라고 할 때, $z^n\; =\; 1$을 만족하는 $z$를 구한다.
:$z$의 극형식을 $z\; =\; r(\backslash cos\; \theta \; +\; i\; \backslash sin\; \theta )$ ($r\; \ge \; 0$, $\theta$는 실수)라고 하면,
:$\backslash begin\{align\}$
z^n
&= \{ r(\cos \theta +i \sin \theta )\}^n \\
&= r^n (\cos \theta +i \sin \theta )^n \\
&= r^n (\cos n\theta +i \sin n\theta ) \\
&= 1
\end{align}
:$\backslash therefore\; r^n\; =1,\; \backslash \; n\backslash theta\; =\; 2\backslash pi\; k\; \backslash quad\; (k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash cdots,\; n-1)$
:$\backslash therefore\; r\; =1,\; \backslash \; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\}\; k\; \backslash quad\; (k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash cdots,\; n-1)$
:$\backslash therefore\; \backslash \; z\; =\; \backslash cos\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\}\; k\; +i\; \backslash sin\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\}\; k\; \backslash quad\; (k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash cdots,\; n-1)\; \backslash quad\; \backslash blacksquare$

8. 역사

오일러 공식보다 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 쉽게 유도할 수 있다. 아브라암 드무아브르가 발견하였으며, 허수에 대한 직접적인 언급은 없다. 드무아브르의 공식은 오일러 공식의 전신이다. 오일러 공식과 정수 거듭제곱에 대한 지수 법칙을 사용하여 드무아브르 공식을 유도할 수 있다.