드무아브르의 공식

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1. 개요
2. 증명
3. 개별 코사인 및 사인 공식
4. 예시
5. 정수가 아닌 지수
- 5.1. 복소수의 n 제곱근
- 5.2. 복소수의 임의의 거듭제곱
6. 다른 설정에서의 유사성
7. 활용
8. 역사
참조

1. 개요

드무아브르의 공식은 복소수의 거듭제곱과 삼각함수 사이의 관계를 나타내는 공식으로, 프랑스 수학자 아브라암 드무아브르가 발견했다. 이 공식은 임의의 정수 n에 대해 (cos x + i sin x)^n = cos nx + i sin nx 형태로 표현되며, 오일러의 공식을 이용하여 쉽게 증명할 수 있다. 수학적 귀납법을 통해 모든 정수 n에 대해 성립함을 증명하며, 복소수의 곱셈 및 쌍곡선 삼각법, 사원수 등 다른 수학적 개념으로 확장될 수 있다. 드무아브르의 공식은 복소수의 n 제곱근을 구하거나 허수 단위 i의 거듭제곱을 계산하는 데 활용되며, 특히 1의 거듭제곱근이나 이항방정식의 해를 구하는 데 유용하다.

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드무아브르의 공식
정의
내용	모든 복소수 x와 모든 정수 n에 대해 (cos x + i sin x)^n = cos nx + i sin nx이다. 여기서 i² = −1이다.
개요
공식 명칭	드무아브르의 공식 (de Moivre's formula) 또는 드무아브르의 정리 (de Moivre's theorem)
역사적 맥락
최초 발견	아브라함 드무아브르 (Ab. de Moivre)가 1707년에 발견
공식화	드무아브르의 공식은 복소수와 삼각함수를 연결하며, 복소수의 거듭제곱을 계산하는 데 유용하다.
공식
공식	(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)
설명	여기서 θ는 각도이고, n은 정수이다. 이 공식은 n이 정수가 아닐 때도 유효하다.
활용
활용	드무아브르의 공식은 복소수의 거듭제곱근을 구하는 데 사용할 수 있다.

2. 증명

오일러 공식과 수학적 귀납법을 이용하여 드무아브르의 공식을 증명할 수 있다.

; 수학적 귀납법을 이용한 증명

: n > 0인 경우, n = 1일 때 등식이 성립한다. n = k일 때 성립한다고 가정하고, n = k + 1일 때도 성립함을 보이면 된다. n = 0일 때는 1로 정의되어 성립한다. n < 0인 경우, n = -m (m은 양의 정수)로 놓고, 위에서 증명한 양의 정수 경우를 이용하여 증명할 수 있다.

; 오일러 공식을 이용한 증명

: 지수 법칙을 활용하여 유도할 수 있다.

; 복소수의 곱셈을 이용한 증명

: 복소수의 곱셈 성질과 귀납법을 통해 공식을 유도할 수 있다.^[10]^[11]

2. 1. 오일러 공식을 이용한 증명

오일러의 공식을 이용하면 드무아브르의 공식을 쉽게 유도할 수 있다. 오일러 공식은 다음과 같다.

:

e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x

지수 함수의 성질에 의해 다음 식이 성립한다.

:

\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx}

위 식에 오일러 공식을 적용하면 다음을 얻는다.

:

e^{i(nx)} \,=\, \cos{nx} + i\sin{nx}

^[12]

2. 2. 수학적 귀납법을 이용한 증명

n > 0인 경우, 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. n = 1일 때, 등식은 참이다. k일 때 다음 식이 성립한다고 가정한다.

:

\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos{kx} + i \sin{kx}

이제 n = k + 1일 때 식이 성립하는지 확인하면,

:

\begin{alignat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\& = \left(\cos{kx} + i\sin{kx}\right) \left(\cos x+i\sin x\right)\\& = \cos {kx} \cos x - \sin {kx} \sin x + i \left(\cos {kx} \sin x + \sin {kx} \cos x\right)\\& = \cos { \left(k+1\right) x } + i\sin { \left(k+1\right) x }\end{alignat}

이 식이 n = k + 1일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 n ≥ 1인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.

n = 0일 때는,

\cos {0x} + i\sin {0x} = 1 + i\cdot 0 = 1

또는

z^0 = 1

라는 약속에 의하여 성립한다.

n < 0일 때, n = -m을 만족하는 양의 정수 m에 대하여 생각하면,

:

\begin{align}\left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\& = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\& = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\& = \cos{mx} - i\sin{mx}\\& = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\& = \cos{nx} + i\sin{nx}\end{align}

따라서 모든 정수 n에 대하여 드무아브르의 공식이 성립한다.

2. 3. 복소수의 곱셈을 이용한 증명

θ^영어, φ^영어 ∈ '''C'''에 대해

:(\cos θ+''i''\sin θ)(\cos φ+''i''\sin φ)

:=(\cos θ\cos φ-\sin θ\sin φ)+''i''(\sin θ\cos φ+\cos θ\sin φ)

:=\cos (θ+φ)+''i''\sin (θ+φ)

가 성립한다^[10]。따라서 귀납적으로

:(\cos θ+''i''\sin θ)ⁿ=\cos nθ + ''i''\sin nθ

임을 알 수 있다^[11]。

3. 개별 코사인 및 사인 공식

복소수의 성질에 따라, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다. 만약 $x$ 가 실수이면 $\cos x$ 와 $\sin x$ 도 실수이므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이 공식은 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트가 발견했다.

: $\begin{align}\sin nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\sin\frac{(n-k)\pi}{2} \\\cos nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\cos\frac{(n-k)\pi}{2}.\end{align}$

이 두 방정식에서 마지막 삼각 함수는 1, -1, 0 중 하나의 값을 가지므로, 각 합에서 항의 절반이 제거된다. 이 방정식들은 $x$ 가 복소수 값을 가질 때도 유효하다. 왜냐하면 양변이 $x$ 의 전체 함수(즉, 전체 복소 평면에서 정칙 함수)이고, 실수 축에서 일치하는 두 함수는 모든 곳에서 일치하기 때문이다. 다음은 $n=2$ 와 $n=3$ 일 때의 구체적인 예시이다.

: $\begin{alignat}{2}\cos 2x &= \left(\cos x\right)^2 +\left(\left(\cos x\right)^2-1\right) &{}={}& 2\left(\cos x\right)^2-1 \\\sin 2x &= 2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right) & & \\\cos 3x &= \left(\cos x\right)^3 +3\cos x\left(\left(\cos x\right)^2-1\right) &{}={}& 4\left(\cos x\right)^3-3\cos x \\\sin 3x &= 3\left(\cos x\right)^2\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^3 &{}={}& 3\sin x-4\left(\sin x\right)^3.\end{alignat}$

$\cos nx$ 에 대한 공식의 우변은 체비쇼프 다항식 $T_n(\cos x)$ 의 값이다.

4. 예시

$x = 30^\circ$ 와 $n = 2$ 일 때, 드무아브르의 공식은 다음과 같다.

: $\left(\cos(30^\circ) + i \sin(30^\circ)\right)^2 = \cos(2 \cdot 30^\circ) + i \sin (2 \cdot 30^\circ),$

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}.$

이 예시에서 좌변을 전개하면 방정식이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.

5. 정수가 아닌 지수

드무아브르의 공식은 지수가 정수가 아닐 때는 일반적으로 성립하지 않는다. 이는 복소수의 거듭제곱이 여러 개의 값을 가지기 때문이다. 예를 들어 $(\cos z + i\sin z)^w$ ( $z$ 와 $w$ 는 복소수)는 여러 값을 가질 수 있으며, $\cos (wz) + i \sin (wz) \,$ 는 그중 하나의 값일 뿐이다.

$\theta$ 를 실수, $w$ 를 복소수라고 하면, $\{\exp(i\theta)\}^w=\exp\{w\log \exp(i\theta)\}=\exp\{wi(\theta+2n\pi)\}=\exp(iw\theta)\exp(2n\pi iw)$ ( $n$ 은 정수)이다. 따라서 $w$ 가 정수라면 $\{\exp(i\theta)\}^w=\exp(iw\theta)\cdot1=\cos(w\theta)+i\sin(w\theta)$ 라는 하나의 값을 가지지만, $w$ 가 정수가 아닐 때는 $\cos(w\theta)+i\sin(w\theta)$ 를 포함한 여러 값을 가지게 된다.

$w$ 가 유리수이고 $w=a/b$ ( $a$ , $b$ 는 서로소)라고 하면, $n=0, 1, …, b-1$ 에서 순환하며 $b$ 개의 값을 가진다. $w$ 가 무리수 또는 허수라면 순환하지 않고 가산 무한개의 값을 가진다.

5. 1. 복소수의 n 제곱근

드무아브르의 공식은 복소수의 n 제곱근을 구하는 데 사용될 수 있다. 복소수

w

는 극형식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

w=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,

이때

k

가 정수라면,

:

w^}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ }= r^} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]

n

개의 서로 다른 근은

k = 0

부터

n-1

까지의 값을 대입하여 구할 수 있다.

이 공식은

x^n = a

꼴의 이항방정식의 복소근을 구하는 데 활용할 수 있다.

복소수

z

가 극형식으로 표현되면,

:

z=r\left(\cos x+i\sin x\right),

z

의

n

제곱근은 다음과 같다.

:

r^\frac1n \left( \cos \frac{x+2\pi k}{n} + i\sin \frac{x+2\pi k}{n} \right)

여기서

k

는 0부터

n-1

까지의 정수이다.

이 공식은 드무아브르의 공식이라고도 알려져 있다.^[3]

5. 2. 복소수의 임의의 거듭제곱

드무아브르의 공식은 정수 지수가 아닐 때는 성립하지 않는다. 복소수의 n제곱에서 n이 정수가 아니라면 복소지수가 여러 개의 값을 가지기(다가 함수) 때문에 좌변이 잘 정의되지 않는다.

일반적으로 복소수

z=r\left(\cos x+i\sin x\right)

(극형식)이고

w

가 임의의 복소수라면, 가능한 값들의 집합은 다음과 같다.

:

z^w = r^w \left(\cos x + i\sin x\right)^w = \lbrace r^w \cos(xw + 2\pi kw) + i r^w \sin(xw + 2\pi kw) | k \in \mathbb{Z}\rbrace\,.

w

가 기약 분수

p/q

와 같은 유리수라면 이 집합은 무한대가 아닌 정확히

q

개의 서로 다른 값을 갖는다. 특히,

w

가 정수라면 앞서 논의했듯이 이 집합은 정확히 하나의 값을 갖는다. 반면, 드무아브르의 공식은

:

r^w (\cos xw + i\sin xw)\,,

를 제공하며, 이는 이 집합에서

k=0

에 해당하는 단일 값이다.

\theta

를 실수,

w

를 복소수라고 하면

:

\{\exp(i\theta)\}^w=\exp\{w\log \exp(i\theta)\}=\exp\{wi(\theta+2n\pi)\}=\exp(iw\theta)\exp(2n\pi iw)

(

n

은 정수)

이다. 따라서,

w

가 정수라면

:

\{\exp(i\theta)\}^w=\exp(iw\theta)\cdot1=\cos(w\theta)+i\sin(w\theta)

라는 하나의 값을 가지지만,

w

가 정수가 아닐 때는

\cos(w\theta)+i\sin(w\theta)

를 포함한 여러 값을 가지게 된다.

{exp(''iθ'')}

의 값은,

w

가 유리수이면,

w=a/b

(

a

,

b

는 서로소)라고 나타내면,

2n\pi w= 2\pi \times na/b

이므로,

n=0, 1, …, b-1

에서 순환하며,

b

개의 값을 가진다.

w

가 무리수 또는 허수라면 순환하지 않고, 가산 무한개의 값을 가진다.

6. 다른 설정에서의 유사성

cosh|코사인 하이퍼볼릭^영어 ''x'' + sinh|사인 하이퍼볼릭^영어 ''x'' = ''e^x''이므로, 쌍곡선 삼각법에도 드무아브르의 공식과 유사한 공식이 적용된다. 모든 정수 ''n''에 대해 다음이 성립한다.

''' $(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx.$ '''

''n''이 유리수일 경우 (하지만 반드시 정수일 필요는 없다), $\cosh nx + \sinh nx$ 는 $(\cosh x + \sinh x)^n$ 의 값 중 하나가 된다.^[4]

사원수의 근을 찾는 데에는 드무아브르의 공식과 유사한 형태가 존재한다. 사원수 $q = d + a\mathbf{\hat i} + b\mathbf{\hat j} + c\mathbf{\hat k}$ 는 $q = k(\cos \theta + \varepsilon \sin \theta) \qquad \mbox{for } 0 \leq \theta < 2 \pi.$ 형태로 표현될 수 있다.

이 표현에서, $k = \sqrt{d^2 + a^2 + b^2 + c^2},$ 이고 삼각 함수는 $\cos \theta = \frac{d}{k} \quad \mbox{and} \quad \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{k}$ 와 같이 정의된다.

$a^2 + b^2 + c^2 \neq 0$ 인 경우, $\varepsilon = \pm \frac{a\mathbf{\hat i} + b\mathbf{\hat j} + c\mathbf{\hat k}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}},$ (단위 벡터)이다. 이것은 드 무아브르 공식의 변형으로 이어진다.

: $q^n = k^n(\cos n \theta + \varepsilon \sin n \theta).$ ^[5]

행렬을 사용하면, 정수 n에 대해 $\begin{pmatrix}\cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\cos n\phi & -\sin n\phi \\ \sin n\phi & \cos n\phi \end{pmatrix}$ 가 성립한다. 이는 $\begin{pmatrix}a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ 형태의 행렬과 복소 평면 간의 동형 사상에 따른 직접적인 결과이다.

6. 1. 쌍곡선 삼각법

cosh|코사인 하이퍼볼릭^영어 ''x'' + sinh|사인 하이퍼볼릭^영어 ''x'' = ''e^x''이므로, 쌍곡선 삼각법에도 드무아브르의 공식과 유사한 공식이 적용된다. 모든 정수 ''n''에 대해,

'''

(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx.

'''

''n''이 유리수일 경우 (하지만 반드시 정수일 필요는 없다),

\cosh nx + \sinh nx

는

(\cosh x + \sinh x)^n

의 값 중 하나가 된다.^[4]

6. 2. 복소수로의 확장

모든 정수 n에 대해, 드무아브르의 공식은 모든 복소수

z=x+iy

에 대해 성립한다.

:

( \cos z + i \sin z)^n = \cos {nz} + i \sin {nz}.

여기서

:

\begin{align} \cos z = \cos(x + iy) &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\, , \\\sin z = \sin(x + iy) &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\, . \end{align}

는 제거되었다.

6. 3. 사원수

사원수의 근을 찾는 데에는 드무아브르의 공식과 유사한 형태가 존재한다. 다음과 같은 형태의 사원수

:

q = d + a\mathbf{\hat i} + b\mathbf{\hat j} + c\mathbf{\hat k}

는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

:

q = k(\cos \theta + \varepsilon \sin \theta) \qquad \mbox{for } 0 \leq \theta < 2 \pi.

이 표현에서,

:

k = \sqrt{d^2 + a^2 + b^2 + c^2},

이고 삼각 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\cos \theta = \frac{d}{k} \quad \mbox{and} \quad \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{k}.

a^2 + b^2 + c^2 \neq 0

인 경우,

:

\varepsilon = \pm \frac{a\mathbf{\hat i} + b\mathbf{\hat j} + c\mathbf{\hat k}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}},

즉, 단위 벡터이다. 이것은 드 무아브르 공식의 변형으로 이어진다.

:

q^n = k^n(\cos n \theta + \varepsilon \sin n \theta).

^[5]

다음과 같은 세제곱근을 구하기 위해

:

Q = 1 + \mathbf{\hat i} + \mathbf{\hat j}+ \mathbf{\hat k},

사원수를 다음과 같은 형식으로 쓴다.

:

Q = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \varepsilon \sin \frac{\pi}{3}\right) \qquad \mbox{where } \varepsilon = \frac{\mathbf{\hat i} + \mathbf{\hat j}+ \mathbf{\hat k}}{\sqrt 3}.

그렇다면 세제곱근은 다음과 같이 주어진다.

:

\sqrt[3]{Q} = \sqrt[3]{2}(\cos \theta + \varepsilon \sin \theta) \qquad \mbox{for } \theta = \frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}.

6. 4. 2 × 2 행렬

행렬을 사용하면, 정수 n에 대해

\begin{pmatrix}\cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\cos n\phi & -\sin n\phi \\ \sin n\phi & \cos n\phi \end{pmatrix}

가 성립한다. 이는

\begin{pmatrix}a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

형태의 행렬과 복소 평면 간의 동형 사상에 따른 직접적인 결과이다.

7. 활용

드무아브르의 공식은 $x^n - 1 = 0$ 의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 복소수 $w$ 는 극형식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $w=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,$

이때 $k$ 가 정수라면,

: $w^}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ }= r^} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]$

$n$ 개의 서로 다른 근을 구할 때, $k = 0$ 부터 $n-1$ 까지의 값을 대입하면 된다.

또한, 이 공식은 $x^n = a$ 꼴의 이항방정식의 해를 구하는 데 사용된다.

;허수 단위의 거듭제곱

: $n$ 이 정수일 때,

: $i^n =(0+i)^n =\left(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin \frac{\pi}{2} \right)^n = \cos \frac{n\pi}{2} +i\sin \frac{n\pi}{2}$

: $\therefore \ i^{\,n} = \begin{cases}1 &\text{if }n\equiv0\pmod4\\i &\text{if }n\equiv1\pmod4\\$

1 &\text{if }n\equiv2\pmod4\\
i & \text{if }n\equiv3\pmod4

\end{cases}

:

n

이 비정수일 때는, 여러 값 중 하나만 구해진다.

;1의 거듭제곱근

:

n

을 2 이상의 자연수라고 할 때,

z^n = 1

을 만족하는

z

를 구한다.

:

z

의 극형식을

z = r(\cos θ + i \sin θ)

(

r ≥ 0

,

θ

는 실수)라고 하면,

:

\begin{align}z^n&= \{ r(\cos \theta +i \sin \theta )\}^n \\&= r^n (\cos \theta +i \sin \theta )^n \\&= r^n (\cos n\theta +i \sin n\theta ) \\&= 1\end{align}

:

\therefore r^n =1, \ n\theta = 2\pi k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1)

:

\therefore r =1, \ \theta = \frac{2\pi}{n} k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1)

:

\therefore \ z = \cos \frac{2\pi}{n} k +i \sin \frac{2\pi}{n} k \quad (k = 0, 1, \cdots, n-1) \quad \blacksquare

8. 역사

오일러 공식보다 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 쉽게 유도할 수 있다. 아브라암 드무아브르가 발견하였으며, 허수에 대한 직접적인 언급은 없다.^[13]^[14] 드무아브르의 공식은 오일러 공식의 전신이다. 오일러 공식과 정수 거듭제곱에 대한 지수 법칙을 사용하여 드무아브르 공식을 유도할 수 있다.

참조

_[1] 논문 Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica 1707
_[2] 서적 College Algebra and Trigonometry Pearson/Addison Wesley
_[3] 웹사이트 De Moivre formula
_[4] 논문 Some interesting features of hyperbolic functions 2006-08
_[5] 논문 The roots of a quaternion 1942-10
_[6] 서적 College Algebra and Trigonometry Pearson/Addison Wesley
_[7] 문서 等式の整理に[[三角関数#加法定理|加法定理]]を利用した。
_[8] 문서 等式の整理に[[三角関数#負角・余角・補角公式|三角関数の負角公式]]を利用した。
_[9] 웹사이트 ド・モアブルの定理 http://toitemita.sak[...]
_[10] 문서 これは変数を実数と考えると、複素平面の単位円上、偏角 {{mvar|θ}} の複素数に偏角 {{mvar|φ}} の複素数を掛けると偏角が {{math|''θ'' + ''φ''}} になることを意味する。
_[11] 웹사이트 2013年度「代数学基礎」, pp.57–60 http://kansu.jp/text[...]
_[12] 웹사이트 ド・モアブルの公式とオイラーの公式 - 九州工業大学工学部教授鎌田裕之 http://www.mns.kyute[...]
_[13] 웹사이트 인터넷 아카이브 -수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730 https://archive.org/[...]
_[14] 웹사이트 구글 도서-수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730 https://books.google[...]

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