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삼십각형

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목차

1. 개요

삼십각형은 30개의 변과 각을 가진 다각형을 의미한다. 정삼십각형은 모든 변의 길이와 각의 크기가 같으며, 깎은 십오각형으로 작도 가능하다. 정삼십각형의 한 내각은 168°이고, 면적은 한 변의 길이를 사용하여 계산할 수 있다. 삼십각형은 작도가 가능하며, 대칭성을 가지며, 다양한 별 모양 다각형인 삼십각성도 존재한다. 또한, 삼십각형은 특정 다포체의 페트리 다각형으로 나타낼 수 있다.

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삼십각형
개요
정삼십각형
정삼십각형
정의
종류다각형
변의 수30
꼭짓점의 수30
슈플리 기호'{30}'
성질볼록, 정다각형 (균등)
정삼십각형
내각168°
한 변의 길이 (t)''
넓이 (A)A = (15/2)t² cot(π/30) = (15/2)t² (7 + √3 + √(38 + 14√3))
넓이 (A) 근사값A ≈ 71.3577 t²

2. 정삼십각형

정삼십각형은 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 삼십각형이다. 정규 삼십각형은 정규 다각형이며, 정규 십오각형의 변 이등분에 의해 작도 가능하며, 또한 깎은 다각형 깎은 십오각형, t{15}로 작도할 수 있다.[1] 깎은 다각형 삼십각형, t{30}은 육십각형, {60}이다.

정규 삼십각형의 한 내각은 168°이며, 이는 한 외각이 12°임을 의미한다. 168°는 정삼각형 (60°)과 정오각형 (108°)의 내각의 합이다.

정삼십각형의 경우, 중심각과 외각은 12°이며, 내각은 168°가 된다. 한 변의 길이가 a인 정삼십각형의 면적 S는 다음과 같다.

:\begin{align}S = \frac{30}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{30} =& \frac{15}{2} \left(\sqrt{23 + 10 \sqrt{5} + 2 \sqrt{3(85 + 38 \sqrt{5})}}\right) a^2\\

=& \frac{15}{4}\left(\sqrt{15} + 3\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right) a^2\\

\simeq& 71.35773 a^2\end{align}

\cos (2\pi/30)는 유리수와 제곱근의 조합만으로 나타낼 수 있다.

:\cos\frac{2\pi}{30}=\cos\frac{\pi}{15}=\cos 12^\circ=\frac{1}{8} \left(\sqrt{6\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt5-1\right)\,

2. 1. 성질

정삼십각형은 정규 다각형이며, 깎은 십오각형, t{15}로 작도할 수 있다.[1] 정삼십각형의 한 내각은 168°이며, 외각은 12°이다.[1] 168°는 정삼각형 (60°)과 정오각형 (108°)의 내각의 합이다.

한 변의 길이가 a인 정삼십각형의 면적 S는 다음과 같다.[1]

:\begin{align}S = \frac{30}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{30} =& \frac{15}{2} \left(\sqrt{23 + 10 \sqrt{5} + 2 \sqrt{3(85 + 38 \sqrt{5})}}\right) a^2\\

=& \frac{15}{4}\left(\sqrt{15} + 3\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right) a^2\\

\simeq& 71.35773 a^2\end{align}

\cos (2\pi/30)는 유리수와 제곱근의 조합으로 나타낼 수 있다.[1]

:\cos\frac{2\pi}{30}=\cos\frac{\pi}{15}=\cos 12^\circ=\frac{1}{8} \left(\sqrt{6\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt5-1\right)\,

2. 2. 작도

정삼십각형은 작도 가능하며 컴퍼스와 자를 사용하여 작도할 수 있다.[2] 30 = 2 × 3 × 5이므로, 정오각형과 정육각형의 변이 만드는 호의 차이는 정삼십각형의 호와 같다.

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3. 대칭

정삼십각형은 60차의 Dih30 이면 대칭을 가지며, 30개의 반사선으로 표시된다.[3] Dih30은 Dih15, (Dih10, Dih5), (Dih6, Dih3), 및 (Dih2, Dih1)의 7개의 이면 하위 그룹을 갖는다. 또한 (Z30, Z15), (Z10, Z5), (Z6, Z3), 및 (Z2, Z1)과 같은 8개의 더 많은 순환군 대칭을 하위 그룹으로 가지며, Zn은 π/''n'' 라디안 회전 대칭을 나타낸다.

존 콘웨이는 이러한 낮은 대칭에 문자를 부여하고 문자 뒤에 대칭의 차수를 표기했다.[3] 그는 꼭짓점을 통과하는 거울 선을 '''d''' (대각선), 모서리를 통과하는 거울 선을 '''p''' (수직), 꼭짓점과 모서리를 모두 통과하는 거울 선을 '''i''', 그리고 회전 대칭을 '''g'''로 표기한다. '''a1'''은 대칭이 없음을 나타낸다.

이러한 낮은 대칭은 불규칙 삼십각형을 정의하는 데 자유도를 허용한다. '''g30''' 하위 그룹만 자유도가 없지만 방향 모서리로 볼 수 있다.

정삼십각형의 대칭, 모서리와 꼭짓점에 색상으로 표시됨. 반사선은 꼭짓점을 통과하는 파란색 선과 모서리를 통과하는 보라색 선으로 표시됩니다. 회전은 중앙에 숫자로 표시됩니다. 꼭짓점은 대칭 위치에 따라 색상이 지정됩니다. 하위 그룹 대칭은 색상 선(지수 2, 3, 5)으로 연결됩니다.

4. 분할

코세터는 모든 존오곤(2''m''-각형, 즉 마주보는 변이 평행하고 길이가 같은 다각형)은 ''m''(''m''-1)/2 개의 평행사변형으로 분할될 수 있다고 말했다.[4] 정삼십각형의 경우, ''m''=15이므로, 105개(15개의 마름모 7세트)로 나눌 수 있다. 이 분할은 15-초입방체의 페트리 다각형 투영을 기반으로 한다.

420개의 마름모로 분할된 30각형


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5. 삼십각성

삼십각형은 30개의 변을 가진 별 다각형이다.[5] 슐레플리 기호 {30/7}, {30/11}, {30/13}으로 표시되는 세 가지 정규 형태와 동일한 꼭짓점 배치를 가진 11개의 복합 별 모양이 있다.[5]

복합체 및 별
형태복합체별 다각형복합체
그림
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{30/2}=2{15}
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{30/3}=3{10}
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{30/4}=2{15/2}
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{30/5}=5{6}
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{30/6}=6{5}
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{30/7}
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{30/8}=2{15/4}
내각156°144°132°120°108°96°84°
형태복합체별 다각형복합체별 다각형복합체
그림
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{30/9}=3{10/3}
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{30/10}=10{3}
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{30/11}
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{30/12}=6{5/2}
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{30/13}
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{30/14}=2{15/7}
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{30/15}=15{2}
내각72°60°48°36°24°12°0°



정규 십오각형 {15} 및 십오각성 {15/7}을 더 깊게 절단하여 구성된 이등변 도형 삼십각형도 존재한다. 다른 절단은 이중 덮개를 형성한다: t{15/14}={30/14}=2{15/7}, t{15/8}={30/8}=2{15/4}, t{15/4}={30/4}=2{15/4}, t{15/2}={30/2}=2{15}.[5]

복합체 및 별
준정규이등변준정규
이중 덮개
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t{15} = {30}
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t{15/14}=2{15/7}
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t{15/7}={30/7}
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t{15/8}=2{15/4}
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t{15/11}={30/11}
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t{15/4}=2{15/2}
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t{15/13}={30/13}
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t{15/2}=2{15}


6. 페트리 다각형

정삼십각형은 E8 대칭을 가진 세 개의 8차원 다포체에 대한 페트리 다각형이며, E8 콕서터 평면에서 직교 투영으로 표시된다. 또한 H4 콕서터 평면에 표시된 두 개의 4차원 다포체의 페트리 다각형이기도 하다.

E8H4
421
241
142
120-cell
600-cell



정삼십각형별 {30/7}은 큰 큰 별모양 120-세포체와 큰 600-세포체의 페트리 다각형이다.

참조

[1] MathWorld Triacontagon http://mathworld.wol[...]
[2] 웹사이트 Constructible Polygon http://mathworld.wol[...]
[3] 서적 The Symmetries of Things
[4] 서적 Mathematical recreations and Essays
[5] 간행물 Metamorphoses of polygons 1994


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