삼십각형

1. 개요

삼십각형은 30개의 변과 각을 가진 다각형을 의미한다. 정삼십각형은 모든 변의 길이와 각의 크기가 같으며, 깎은 십오각형으로 작도 가능하다. 정삼십각형의 한 내각은 168°이고, 면적은 한 변의 길이를 사용하여 계산할 수 있다. 삼십각형은 작도가 가능하며, 대칭성을 가지며, 다양한 별 모양 다각형인 삼십각성도 존재한다. 또한, 삼십각형은 특정 다포체의 페트리 다각형으로 나타낼 수 있다.

2. 정삼십각형

정삼십각형은 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 삼십각형이다. 정규 삼십각형은 정규 다각형이며, 정규 십오각형의 변 이등분에 의해 작도 가능하며, 또한 깎은 다각형 깎은 십오각형, t{15}로 작도할 수 있다. 깎은 다각형 삼십각형, t{30}은 육십각형, {60}이다.

정규 삼십각형의 한 내각은 168°이며, 이는 한 외각이 12°임을 의미한다. 168°는 정삼각형 (60°)과 정오각형 (108°)의 내각의 합이다.

정삼십각형의 경우, 중심각과 외각은 12°이며, 내각은 168°가 된다. 한 변의 길이가 a인 정삼십각형의 면적 S는 다음과 같다.

:
=& \frac{15}{4}\left(\sqrt{15} + 3\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right) a^2\\
\simeq& 71.35773 a^2\end{align}

$\backslash cos\; (2\backslash pi/30)$는 유리수와 제곱근의 조합만으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash cos\backslash frac\{2\backslash pi\}\{30\}=\backslash cos\backslash frac\{\backslash pi\}\{15\}=\backslash cos\; 12^\backslash circ=\backslash frac\{1\}\{8\}\; \backslash left(\backslash sqrt\{6\backslash left(5+\backslash sqrt5\backslash right)\}+\backslash sqrt5-1\backslash right)\backslash ,$

2.1. 성질

정삼십각형은 정규 다각형이며, 깎은 십오각형, t{15}로 작도할 수 있다. 정삼십각형의 한 내각은 168°이며, 외각은 12°이다. 168°는 정삼각형 (60°)과 정오각형 (108°)의 내각의 합이다.

한 변의 길이가 $a$인 정삼십각형의 면적 $S$는 다음과 같다.

:
=& \frac{15}{4}\left(\sqrt{15} + 3\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right) a^2\\
\simeq& 71.35773 a^2\end{align}

$\backslash cos\; (2\backslash pi/30)$는 유리수와 제곱근의 조합으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash cos\backslash frac\{2\backslash pi\}\{30\}=\backslash cos\backslash frac\{\backslash pi\}\{15\}=\backslash cos\; 12^\backslash circ=\backslash frac\{1\}\{8\}\; \backslash left(\backslash sqrt\{6\backslash left(5+\backslash sqrt5\backslash right)\}+\backslash sqrt5-1\backslash right)\backslash ,$

2.2. 작도

정삼십각형은 작도 가능하며 컴퍼스와 자를 사용하여 작도할 수 있다. 30 = 2 × 3 × 5이므로, 정오각형과 정육각형의 변이 만드는 호의 차이는 정삼십각형의 호와 같다.

3. 대칭

정삼십각형은 60차의 Dih₃₀ 이면 대칭을 가지며, 30개의 반사선으로 표시된다. Dih₃₀은 Dih₁₅, (Dih₁₀, Dih₅), (Dih₆, Dih₃), 및 (Dih₂, Dih₁)의 7개의 이면 하위 그룹을 갖는다. 또한 (Z₃₀, Z₁₅), (Z₁₀, Z₅), (Z₆, Z₃), 및 (Z₂, Z₁)과 같은 8개의 더 많은 순환군 대칭을 하위 그룹으로 가지며, Z_n은 π/n 라디안 회전 대칭을 나타낸다.

존 콘웨이는 이러한 낮은 대칭에 문자를 부여하고 문자 뒤에 대칭의 차수를 표기했다. 그는 꼭짓점을 통과하는 거울 선을 d (대각선), 모서리를 통과하는 거울 선을 p (수직), 꼭짓점과 모서리를 모두 통과하는 거울 선을 i, 그리고 회전 대칭을 g로 표기한다. a1은 대칭이 없음을 나타낸다.

이러한 낮은 대칭은 불규칙 삼십각형을 정의하는 데 자유도를 허용한다. g30 하위 그룹만 자유도가 없지만 방향 모서리로 볼 수 있다.

4. 분할

코세터는 모든 존오곤(2m-각형, 즉 마주보는 변이 평행하고 길이가 같은 다각형)은 m(m-1)/2 개의 평행사변형으로 분할될 수 있다고 말했다. 정삼십각형의 경우, m=15이므로, 105개(15개의 마름모 7세트)로 나눌 수 있다. 이 분할은 15-초입방체의 페트리 다각형 투영을 기반으로 한다.

5. 삼십각성

삼십각형은 30개의 변을 가진 별 다각형이다. 슐레플리 기호 {30/7}, {30/11}, {30/13}으로 표시되는 세 가지 정규 형태와 동일한 꼭짓점 배치를 가진 11개의 복합 별 모양이 있다.

정규 십오각형 {15} 및 십오각성 {15/7}을 더 깊게 절단하여 구성된 이등변 도형 삼십각형도 존재한다. 다른 절단은 이중 덮개를 형성한다: t{15/14}={30/14}=2{15/7}, t{15/8}={30/8}=2{15/4}, t{15/4}={30/4}=2{15/4}, t{15/2}={30/2}=2{15}.

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📌 열 고정 해제

복합체 및 별
준정규	이등변							준정규 이중 덮개
t{15} = {30}								t{15/14}=2{15/7}
t{15/7}={30/7}								t{15/8}=2{15/4}
t{15/11}={30/11}								t{15/4}=2{15/2}
t{15/13}={30/13}								t{15/2}=2{15}

6. 페트리 다각형

정삼십각형은 E8 대칭을 가진 세 개의 8차원 다포체에 대한 페트리 다각형이며, E₈ 콕서터 평면에서 직교 투영으로 표시된다. 또한 H₄ 콕서터 평면에 표시된 두 개의 4차원 다포체의 페트리 다각형이기도 하다.

정삼십각형별 {30/7}은 큰 큰 별모양 120-세포체와 큰 600-세포체의 페트리 다각형이다.