선적분의 기본정리

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1. 개요
2. 선적분 기본정리
- 2.1. 증명
3. 선적분 기본정리의 역
- 3.1. 증명
4. 예제
5. 일반화
- 5.1. 스토크스 정리와의 관계
- 5.2. 푸앵카레 보조정리
참조

1. 개요

선적분의 기본정리는 미분가능 함수와 미분가능한 곡선에 대해 성립하는 정리로, 선적분을 계산하는 데 사용된다. 이 정리는 다변수 연쇄 법칙과 미적분학의 기본 정리를 활용하여 증명되며, 기울기 정리로도 알려져 있다. 선적분 기본정리의 역은 벡터장의 선적분 값이 곡선의 시작점과 끝점에만 의존할 경우, 해당 벡터장이 어떤 스칼라 값 함수의 기울기임을 나타낸다. 이 정리는 전자기학 등 다양한 분야에서 활용되며, 미분 형식과 외미분을 사용하여 일반화될 수 있다. 일반화된 형태는 스토크스 정리 및 푸앵카레 보조정리와 연관된다.

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선적분의 기본정리
개요
이름	Gradient theorem (영어) 기울기 정리 (한국어)
분야	벡터 미적분학
주제	선적분과 경도
설명	경도장을 따라가는 선적분은 원래 스칼라장을 사용하여 평가될 수 있다.
공식
내용	만약 φ : U ⊆ Rⁿ → R가 U를 포함하는 열린 집합인 경우 미분 가능한 함수이고, γ : [a, b] → Rⁿ이 완전히 U에 속하는 미분 가능한 곡선이고, p = γ(a)와 q = γ(b)를 γ의 끝점이라고 하면, 다음이 성립한다. ∫_γ ∇φ ⋅ dr = φ(q) − φ(p) 여기서 ∇φ는 φ의 경도이다.
설명
좌변	경도 장 ∇φ를 따라가는 선적분
우변	끝점 p, q에서 평가된 원래 스칼라장 φ''의 차이
특성	경로에 의존하지 않는다. 보존력
같이 보기
관련 항목	선적분의 기본정리 스토크스 정리 발산 정리 경도
개요
이름	선적분의 기본정리
분야	벡터 미적분학
관련 정리	기울기 정리
내용	선적분은 어떤 경로를 따라 계산되든, 경로의 시작점과 끝점에만 의존한다.
설명
조건	F는 어떤 스칼라 함수 φ의 경도이다. 즉, F = ∇φ이다. C는 영역을 완전히 포함하는 C¹ 경로이다.
공식	∫_C F ⋅ dr = φ(r(b)) - φ(r(a)) 여기서 a와 b는 각각 C의 시작점과 끝점이다.
같이 보기
관련 항목	기울기 정리 스토크스 정리 발산 정리 경도

2. 선적분 기본정리

벡터장 '''F'''가 어떤 스칼라 함수 φ의 그레이디언트(∇φ)로 표현될 때 ('''F''' = ∇φ), 곡선 γ를 따라 '''F'''를 선적분한 결과는 곡선의 시작점과 끝점에서의 φ 값의 차이로 주어진다. 즉, φ가 ''U'' ⊆ '''R'''^''n''인 어떤 미분가능 함수에서 '''R'''로의 열린 집합이고, '''r'''이 닫힌 구간 [''a'', ''b'']에서 ''U''로의 미분가능 함수라면, 다변수 연쇄 법칙에 의해 다음이 성립한다.

: $\int_{\gamma} \nabla\varphi(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)$

여기서 γ는 끝점이 '''p'''와 '''q'''인 미분가능한 곡선이며, '''r'''은 [''a'', ''b'']에서 ''t''에 대해 γ를 매개변수화한 것이다. 이는 미적분학의 기본 정리와 유사한 형태를 가진다.^[1]

이 정리는 조각별 매끄러운 곡선에 대해서도 성립하는데, 이는 여러 미분가능한 곡선을 연결하여 만들어지기 때문이다.^[2]

2. 1. 증명

만약 φ^영어가 미분가능 함수에서 실수로의 열린 집합이고, '''r'''이 닫힌 구간 '''a''', '''b'''에서 ''U''로의 미분가능 함수라면 ('''r'''은 구간의 끝점 ''a''와 ''b''에서 미분가능하며, 이를 위해 '''r'''은 ['''a''', '''b''']를 포함하는 더 큰 구간에서 정의된다.), 다변수 연쇄 법칙에 의해, 함수 합성 φ^영어 ∘ '''r'''은 ['''a''', '''b''']에서 미분가능하다.

:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\varphi \circ \mathbf{r})(t)=\nabla \varphi(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)

이는 ['''a''', '''b''']의 모든 ''t''에 대해 성립하며, 여기서 는 일반적인 내적을 나타낸다.

이제 φ^영어의 정의역 ''U''가 끝점이 '''p'''와 '''q'''인 미분가능한 곡선 γ^영어를 포함한다고 가정한다. (이는 '''p'''에서 '''q''' 방향으로 방향을 갖는다.) 만약 '''r'''이 ['''a''', '''b''']에서 ''t''에 대해 γ^영어를 매개변수화한다면 (즉, '''r'''은 ''t''의 함수로 γ^영어를 나타낸다.),

:

\begin{align}\int_{\gamma} \nabla\varphi(\mathbf{r})  \cdot  \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_a^b \nabla\varphi(\mathbf{r}(t))  \cdot  \mathbf{r}'(t)\mathrm{d}t \\&=\int_a^b \frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))\mathrm{d}t =\varphi(\mathbf{r}(b))-\varphi(\mathbf{r}(a))=\varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) ,\end{align}

여기서 첫 번째 등식에는 선적분의 정의가 사용되었고, 두 번째 등식에는 위의 식이 사용되었으며, 세 번째 등식에는 미적분학의 기본 정리 두 번째 부분이 사용되었다.^[1]

지금까지 미분가능한 (즉, 매끄러운 것으로 간주되는) 곡선에 대해 기울기 정리가 증명되었지만, 이 정리는 여러 미분가능한 곡선을 연결하여 만들어지므로 조각별 매끄러운 곡선에 대해서도 증명된다. 따라서 이 곡선에 대한 증명은 미분가능한 곡선 성분별로 이루어진다.^[2]

3. 선적분 기본정리의 역

어떤 벡터장의 선적분 값이 곡선의 시작점과 끝점에만 의존한다면, 그 벡터장은 어떤 스칼라 함수의 기울기로 표현될 수 있다. 즉, 경로 독립적인 벡터장은 보존장이다.^[3]

벡터장이 경로 독립적인 것은 그 영역 내의 모든 닫힌 루프에 대한 벡터장의 적분이 0일 때와 동치이므로, 다음과 같이 바꿔 말할 수 있다. 만약 어떤 벡터장 '''F'''의 영역 내의 모든 닫힌 루프에 대한 '''F'''의 적분이 0이라면, '''F'''는 어떤 스칼라 값 함수의 기울기이다.

3. 1. 증명

벡터장

\mathbf{F} : U \longrightarrow \mathbb{R}^n

의 선적분값이 곡선

C

의 출발점과 도착점에만 의존하면

\operatorname{grad}\varphi=\mathbf{F}

인 함수

\varphi: \mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}

가 존재한다.

(증명) 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 출발점을

P

, 도착점을

Q

라고 하면 선적분값을

P

,

Q

의 함수

f(P, Q)

로 나타낼 수 있다. 한 점을

A

라고 할 때,

\varphi(X):=f(A, X)

로 놓으면

:

D_i\varphi(X)=\lim_{h\to0}\frac{\varphi(X+hE_i)-\varphi(X)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(X, X+hE_i)}{h}

인데, 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로

f(X, X+hE_i)

는 점

X

와

X+hE_i

를 잇는 직선

\ell

을 따라 선적분한 값이다. 직선

\ell

을

X+tE_i

로 매개화하면 직선의 속도벡터는

E_i

이므로

:

\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_\ell \mathbf{F}\cdot ds = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_0^h\mathbf{F}(X+tE_i)\cdot E_i\,dt = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_0^hf_i(X+tE_i)dt = f_i(X)

이다. 따라서

\operatorname{grad}\varphi=\mathbf{F}

이다.

만약

U

가

\mathbb{R}^n

의 열린 집합, 경로 연결 부분 집합이고,

\mathbf{F} : U \rightarrow \mathbb{R}^n

가 연속 함수이자 경로 독립적인 벡터장이라고 가정하자.

U

의 어떤 원소

\mathbf{a}

를 고정하고, 다음과 같이

f : U \rightarrow \mathbb{R}

을 정의한다.

:

f(\mathbf{x}) := \int_{\gamma[\mathbf{a}, \mathbf{x}]} \mathbf{F}(\mathbf{u}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{u}

여기서

\gamma[\mathbf{a}, \mathbf{x}]

는

\mathbf{a}

에서 시작하여

\mathbf{x}

에서 끝나는

U

내의 임의의 (미분 가능한) 곡선이다.

\mathbf{F}

가 경로 독립적이므로

f

가 잘 정의되어 있음을 알고 있다.

\mathbf{v}

를

\mathbb{R}^n

의 0이 아닌 임의의 벡터라고 하자. 방향 미분의 정의에 의해,

:

\begin{align}\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{v}} &= \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{x} + t\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{t} \\&= \lim_{t \to 0} \frac{\int_{\gamma[\mathbf{a}, \mathbf{x} + t\mathbf{v}]} \mathbf{F}(\mathbf{u}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{u} - \int_{\gamma[\mathbf{a}, \mathbf{x}]} \mathbf{F}(\mathbf{u}) \cdot d\mathbf{u}}{t} \\&= \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \int_{\gamma[\mathbf{x}, \mathbf{x} + t\mathbf{v}]} \mathbf{F}(\mathbf{u}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{u}\end{align}

마지막 극한 내의 적분을 계산하기 위해,

\gamma[\mathbf{x}, \mathbf{x} + t\mathbf{v}]

를 매개변수화해야 한다.

\mathbf{F}

가 경로 독립적이고,

U

가 열려 있으며,

t

가 0으로 접근하므로, 이 경로는 직선이라고 가정하고

\mathbf{u}(s) = \mathbf{x} + s\mathbf{v}

로 (

0 < s < t

) 매개변수화할 수 있다. 이제

\mathbf{u}'(s) = \mathbf{v}

이므로, 극한은 다음과 같이 된다.

:

\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \int_0^t \mathbf{F}(\mathbf{u}(s)) \cdot \mathbf{u}'(s)\, \mathrm{d}s =  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_0^t \mathbf{F}(\mathbf{x} + s\mathbf{v}) \cdot \mathbf{v}\, \mathrm{d}s \bigg|_{t=0} = \mathbf{F}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v}

여기서 첫 번째 등식은 적분이

t = 0

에서 0과 같다는 사실을 사용하여 미분의 정의에서 유도되었고, 두 번째 등식은 미적분학의 기본 정리의 첫 번째 부분에서 유도되었다. 따라서

\partial_{\mathbf{v}}f

에 대한 공식이 있다(방향 미분을 나타내는 방법 중 하나). 여기서

\mathbf{v}

는 임의의 벡터이다.

f(\mathbf{x}) := \int_{\gamma[\mathbf{a}, \mathbf{x}]} \mathbf{F}(\mathbf{u}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{u}

(위의 전체 정의 참조)에 대한

\mathbf{v}

에 대한 방향 미분은 다음과 같다.

:

\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{v}} = \partial _ \mathbf{v} f(\mathbf{x}) = D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}) = \mathbf{F}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v}

여기서 처음 두 개의 등식은 방향 미분의 다른 표현을 보여준다. 스칼라 함수

f

의 기울기의 정의에 따르면,

\nabla f(\mathbf{x}) = \mathbf{F}(\mathbf{x})

이므로, 기울기가 경로 독립적인 벡터장

\mathbf{F}

인 스칼라 값 함수

f

를 찾았다(즉,

\mathbf{F}

는 보존 벡터장이다). 이는 우리가 원하는 바이다.^[3]

4. 예제

선적분의 기본정리를 활용하여 선적분을 간단하게 계산하는 몇 가지 예시를 살펴보자.

'''예제 1'''

$\gamma$ 가 (5, 0)에서 (-4, 3)까지 반시계 방향으로 그려지는 원호라고 가정할 때, 선적분 정의를 직접 사용하여 계산하는 것은 복잡하다. 하지만 $f(x,y) = xy$ 의 기울기가 $\nabla f(x,y) = (y, x)$ 임을 이용하면 훨씬 간단하게 계산할 수 있다.

'''예제 2'''

$\alpha \ge 1$ 인 실수이고, $\mathbf{R}^n$ 의 벡터 $\mathbf{u}$ 에 대해 $|\mathbf{u}|$ 가 $\mathbf{u}$ 의 유클리드 노름을 나타낸다고 하자. $\mathbf{p}$ 에서 $\mathbf{q}$ 로 향하는 종점 $\mathbf{p}$ , $\mathbf{q}$ 를 갖는 곡선 $\gamma$ 에 대한 선적분을 고려해 볼 수 있다.

'''예제 3'''

3차원 공간에 $n$ 개의 점전하가 배치되어 있고, $i$ 번째 점전하는 전하량 $Q_i$ 를 가지며, $\mathbf{R}^3$ 공간에서 $\mathbf{p}_i$ 위치에 존재한다고 가정하자. 전하 $q$ 를 가진 입자가 $\mathbf{R}^3$ 공간의 $\mathbf{a}$ 지점에서 $\mathbf{b}$ 지점으로 이동할 때 수행되는 일을 계산하는 문제를 생각해 보자. 쿨롱의 법칙에 따르면, 위치 $\mathbf{r}$ 에서 입자에 작용하는 힘은 다음과 같이 주어진다.

이 계산은 전기적 위치 또는 전기적 위치 에너지 개념을 사용하면 더 쉽게 해결할 수 있다. (익숙한 공식 $W = -\Delta U = -q\Delta V$ 를 사용하여). 그러나, 이러한 함수들이 잘 정의되고 미분 가능하다는 것과 앞선 공식이 성립함을 증명하기 위해서는 기울기 정리의 역이 필요하다. 따라서 이 예제에서는 쿨롱의 법칙, 일의 정의, 그리고 기울기 정리를 사용하여 문제를 해결하였다.

4. 1. 예제 1

γ

는

(5, 0)

에서

(-4, 3)

까지 반시계 방향으로 정렬된 원호이다. 선적분 정의를 사용하여 복잡하게 계산할 수도 있지만, 함수

f(x,y)=xy

가 기울기

\nabla f(x,y)=(y,x)

를 갖는다는 것을 이용하면 훨씬 간단하게 계산할 수 있다. 기울기 정리에 의해 다음과 같이 계산된다.

\int_{\gamma} y \,\mathrm{d}x+x \,\mathrm{d}y=\int_{\gamma}\nabla(xy) \cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4 \cdot 3-5 \cdot 0=-12 .

4. 2. 예제 2

α^영어 ≥ 1인 실수이고, '''R'''^''n''의 u^영어에 대해 가 u^영어의 유클리드 노름을 나타낸다고 할 때, 종점 '''p''', '''q'''를 가지고 '''p'''에서 '''q'''로의 방향을 가지는 γ에 대한 다음 선적분을 고려해 보자.

\begin{align}\int_{\gamma} |\mathbf{x}|^{\alpha - 1} \mathbf{x} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}&= \frac{1}{\alpha + 1} \int_{\gamma} (\alpha + 1) |\mathbf{x}|^{(\alpha + 1) - 2} \mathbf{x} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} \\&= \frac{1}{\alpha + 1} \int_{\gamma} \nabla |\mathbf{x}|^{\alpha + 1} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}= \frac

4. 3. 예제 3

세 차원 공간에 점전하가 배치되어 있고, 번째 점전하는 전하량 를 가지고 있으며 에서 위치 에 위치해 있다고 가정하자. 전하 를 가진 입자가 의 점 에서 점 로 이동하면서 수행하는 일을 계산하고자 한다. 쿨롱의 법칙을 사용하여 위치 에서 입자에 작용하는 힘은 다음과 같다.

\mathbf{F}(\mathbf{r}) = kq\sum_{i=1}^n \frac{Q_i(\mathbf{r} - \mathbf{p}_i)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{p}_i\right|^3}

여기서 는 에서 벡터 의 유클리드 노름을 나타내며, , 여기서 는 진공 유전율이다.

를 에서 까지의 임의의 미분 가능한 곡선이라고 하자. 그러면 입자에 수행된 일은 다음과 같다.

W = \int_{\gamma} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}= \int_{\gamma} \left( kq\sum_{i=1}^n \frac{Q_i(\mathbf{r} - \mathbf{p}_i)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{p}_i\right|^3} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}= kq \sum_{i=1}^n \left( Q_i \int_\gamma \frac{\mathbf{r} - \mathbf{p}_i}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{p}_i\right|^3} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \right)

이제 각 에 대해 직접 계산하면 다음을 얻는다.

\frac{\mathbf{r} - \mathbf{p}_i}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{p}_i\right|^3} = -\nabla \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{p}_i\right|}.

따라서 위에서 계속 진행하여 기울기 정리를 사용하면

W = -kq \sum_{i=1}^n \left( Q_i \int_{\gamma} \nabla \frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{p}_i\right|} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \right)=  kq \sum_{i=1}^n Q_i \left( \frac{1}{\left|\mathbf{a} - \mathbf{p}_i\right|} - \frac{1}{\left|\mathbf{b} - \mathbf{p}_i\right|} \right)

이 계산은 전기적 위치 또는 전기적 위치 에너지를 사용하여 쉽게 완료할 수 있었다 (친숙한 공식 를 사용하여). 그러나, 기울기 정리의 ''역''이 이러한 함수가 잘 정의되고 미분 가능한 함수이며 이러한 공식이 성립함을 증명하는 데 필요하기 때문에, 아직 위치나 위치 에너지를 ''정의''하지 않았다. 따라서 쿨롱의 법칙, 일의 정의, 그리고 기울기 정리를 사용하여 이 문제를 해결했다.

5. 일반화

선적분의 기본정리는 미분 다양체와 미분 형식의 개념을 사용하여 더 일반적인 형태로 확장될 수 있다. 미분 형식과 외미분을 사용하여 선적분의 기본정리를 나타내면 다음과 같다.^[1]

: $\int_{\partial \gamma} \phi = \int_{\gamma} \mathrm{d}\phi$

여기서 는 어떤 미분 가능한 곡선 ''γ'' ⊂ '''R'''^''n''^영어 위에 정의된 임의의 0-형식 를 나타내며, 의 경계에 대한 의 적분은 ''γ''의 끝점에서 를 평가하는 것으로 이해된다.

이는 일반화된 스토크스 정리와 유사하다. 일반화된 스토크스 정리는 임의의 콤팩트 지지 미분 형식 를 어떤 경계에 걸쳐 적분한 값이 전체에 대한 그 외미분 의 적분과 같다는 것이다. 즉,

: $\int_{\partial \Omega}\omega=\int_{\Omega}\mathrm{d}\omega$

이 정리는 1차원 다양체에 정의된 1-형식에서 임의의 차원의 다양체에 정의된 미분 형식으로 기울기 정리를 일반화한 것이다.^[2]

5. 1. 스토크스 정리와의 관계

만약 φ^영어가 U^영어 ⊆ '''R'''^''n''인 어떤 미분가능 함수에서 '''R'''^영어로의 열린 집합이고, '''r'''^영어이 닫힌 구간 [''a'', ''b'']^영어에서 U^영어로의 미분가능 함수라면, 다변수 연쇄 법칙에 의해, 함수 합성 ''φ'' ∘ '''r'''^영어은 [''a'', ''b'']^영어에서 미분가능하다.

:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\varphi \circ \mathbf{r})(t)=\nabla \varphi(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)

이는 [''a'', ''b'']^영어의 모든 t^영어에 대해 성립한다. 여기서 는 일반적인 내적을 나타낸다.

이제 φ^영어의 정의역 U^영어가 끝점이 '''p'''^영어와 '''q'''^영어인 미분가능한 곡선 γ^영어를 포함한다고 가정한다. (이는 '''p'''^영어에서 '''q'''^영어 방향으로 방향을 갖는다.) 만약 '''r'''^영어이 [''a'', ''b'']^영어에서 t^영어에 대해 γ^영어를 매개변수화한다면 (즉, '''r'''^영어은 t^영어의 함수로 γ^영어를 나타냅니다),

:

\begin{align}\int_{\gamma} \nabla\varphi(\mathbf{r})  \cdot  \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_a^b \nabla\varphi(\mathbf{r}(t))  \cdot  \mathbf{r}'(t)\mathrm{d}t \\&=\int_a^b \frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))\mathrm{d}t =\varphi(\mathbf{r}(b))-\varphi(\mathbf{r}(a))=\varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) ,\end{align}

여기서 첫 번째 등식에는 선적분의 정의가 사용되었고, 두 번째 등식에는 위의 식이 사용되었으며, 세 번째 등식에는 미적분학의 기본 정리 두 번째 부분이 사용되었다.^[1]

지금까지 미분가능한 (즉, 매끄러운 것으로 간주되는) 곡선에 대해 기울기 정리가 증명되었지만, 이 정리는 여러 미분가능한 곡선을 연결하여 만들어지므로 조각별 매끄러운 곡선에 대해서도 증명된다. 따라서 이 곡선에 대한 증명은 미분가능한 곡선 성분별로 이루어진다.^[2]

5. 2. 푸앵카레 보조정리

벡터 미적분학의 여러 중요한 정리들은 미분 형식의 적분에 대한 명제로 미분 다양체에 대해 일반화될 수 있다. 특히, 기울기 정리의 역 명제는 다양체에 대한 미분 형식 측면에서 강력하게 일반화된다. 수축 가능 영역에서 정의된 형식 ''ω''에 대해, 임의의 닫힌 다양체에 대한 ''ω''의 적분이 0이면,

\int_{\partial \Omega}\omega=\int_{\Omega}\mathrm{d}\omega

를 만족하는 형식 ''ψ''가 존재한다. 즉, 수축 가능 영역에서 모든 닫힌 형식은 완전하다. 이 결과는 푸앵카레 보조정리로 요약된다.

참조

_[1] 서적 Multivariable mathematics Pearson Prentice Hall
_[2] 서적 Calculus Cengage Group|Cengage
_[3] 서적

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