세그레 매장

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 세그레 사상
- 2.2. 세그레 다양체
3. 성질
- 3.1. 닫힌 몰입
4. 논의
- 4.1. 다중동차 좌표
5. 예시
6. 응용
7. 역사
참조

1. 개요

세그레 매장은 체 K에 대한 벡터 공간의 텐서곱을 사용하여 여러 사영 공간의 곱을 더 높은 차원의 사영 공간으로 보내는 사상이다. 이 사상은 각 공간의 동차 좌표를 곱하여 새로운 공간의 동차 좌표를 생성하며, 세그레 사상이라고도 불린다. 세그레 매핑은 두 사영 공간 Pⁿ과 P^m의 곱을 P^(n+1)(m+1)-1로 보내는 사상으로, 그 이미지는 세그레 다양체라고 불린다. 세그레 다양체는 행렬식 다양체의 한 예시이며, 이차 곡면, 세그레 삼중체, 베로네세 다양체 등 다양한 형태로 나타난다. 세그레 매핑은 양자역학, 양자 정보 이론에서 비얽힘 상태를 설명하고, 대수적 통계학에서 독립성 모델에 해당하며, 4차원 스코르자 다양체의 예시로도 활용된다. 이 개념은 이탈리아 수학자 베니아미노 세그레에 의해 도입되었다.

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세그레 매장

2. 정의

주어진 체 ''K''에 대한 벡터 공간들의 텐서곱을 이용하여, 여러 사영 공간의 곱을 더 큰 차원의 사영 공간으로 보내는 사상이다. 이 사상은 각 공간의 동차 좌표들을 곱하여 새로운 공간의 동차 좌표를 생성한다.

선형대수학에서 동일한 체 ''K''에 대해 주어진 벡터 공간 ''U''와 ''V''에 대해, 데카르트 곱을 텐서 곱으로 사상하는 자연스러운 방법은 다음과 같다.

: $\varphi: U\times V \to U\otimes V.\$

이는 일반적으로 단사 함수가 아니다. 왜냐하면, 모든 $c\in K$ ( $c\neq 0$ ), $u\in U$ , $v\in V$ 에 대해,

: $\varphi(u,v) = u\otimes v = cu\otimes c^{-1}v = \varphi(cu, c^{-1}v).\$

이기 때문이다.

기본 사영 공간 $P(U)$ , $P(V)$ 를 고려하면 이 사상은 다양체의 사상이 된다.

: $\sigma: P(U)\times P(V) \to P(U\otimes V).\$

이것은 집합론적 의미에서 단사일 뿐만 아니라 대수기하학의 의미에서 닫힌 몰입이다.

2. 1. 세그레 사상

체 ''K''에 대한 두 벡터 공간 ''V''와 ''W''가 주어졌을 때, 텐서곱

V \otimes W

를 정의할 수 있다. 이때 표준적인 함수

(v,w) \mapsto v \otimes w

는 일반적으로

K

-선형 변환이 아니며, 2차 동차 함수이다. 또한, 이 함수는 일반적으로 단사 함수가 아니다.

양변의 사영 공간을 취하면, 사상

\mathbb P(V\oplus W) \to \mathbb P(V \otimes W)

을 얻는다. 이 사상은 다음과 같이 분해된다.

:

\mathbb P(V\oplus W) \twoheadrightarrow \mathbb P(V) \times \mathbb P(W) \hookrightarrow \mathbb P(V \otimes W)

여기서 첫 번째 함수는 전사 함수이고, 두 번째 함수는 단사 함수이다. 이 두 번째 함수를 '''세그레 매장'''이라고 한다.

세그레 매장은 두 사영 공간 Pⁿ과 P^m의 곱을 P^(n+1)(m+1)-1로 보내는 사상으로, 다음과 같이 정의된다.

:

\sigma:([X_0:X_1:\cdots:X_n], [Y_0:Y_1:\cdots:Y_m]) \mapsto[X_0Y_0: X_0Y_1: \cdots :X_iY_j: \cdots :X_nY_m]

여기서

P^n

과

P^m

은 임의의 체에 대한 벡터 공간이며,

[X_0:X_1:\cdots:X_n]

은 동차 좌표 표기법이다. ''X_iY_j''는 사전식 순서로 사용된다.

2. 2. 세그레 다양체

세그레 다양체는 행렬식 다양체의 한 예시이며, 행렬

(Z_{i,j})

의 2x2 소행렬식의 영점 궤적이다.^[1] 즉, 세그레 다양체는 다음 이차 다항식들의 공통 영점 궤적이다.

:

Z_{i,j} Z_{k,l} - Z_{i,l} Z_{k,j}.\

여기서

Z_{i,j}

는 세그레 사상의 이미지에 대한 자연스러운 좌표로 이해된다.

세그레 다양체

\Sigma_{n,m}

은

P^n\

과

P^m

의 범주적 곱(사영 다양체와 균질 다항식 사상의 범주에서)이다.^[3]

사영

:

\pi_X :\Sigma_{n,m} \to  P^n\

는 세그레 다양체를 덮는 열린 부분 집합에 대한 m+1개의 사상으로 지정할 수 있으며, 이 사상들은 부분 집합들의 교집합에서 일치한다. 고정된

j_0

에 대해, 사상은

[Z_{i,j}]

를

[Z_{i,j_0}]

로 보내는 것으로 주어진다. 방정식

Z_{i,j} Z_{k,l} = Z_{i,l} Z_{k,j}\

는 이러한 사상들이 서로 일치하도록 보장한다. 왜냐하면

Z_{i_0,j_0}\neq 0

일 경우

[Z_{i,j_1}]=[Z_{i_0,j_0}Z_{i,j_1}]=[Z_{i_0,j_1}Z_{i,j_0}]=[Z_{i,j_0}]

이기 때문이다.

곱의 올은 선형 부분 공간이다. 즉,

:

\pi_X :\Sigma_{n,m} \to  P^n\

을 첫 번째 인자에 대한 사영으로 하고, 마찬가지로

\pi_Y

를 두 번째 인자에 대한 사영으로 하자. 그러면 고정된 점 ''p''에 대한 사상

:

\sigma (\pi_X (\cdot), \pi_Y (p)):\Sigma_{n,m}  \to   P^{(n+1)(m+1)-1}\

의 이미지는 공역의 선형 부분 공간이다.

3. 성질

세그레 다형체 $\Sigma_{n,m}$ 는 $P^n$ 과 $P^m$ 의 범주적 곱이다.^[3] 곱의 올은 선형 부분 공간이다.

선형대수학의 언어로, 동일한 체 ''K''에 대한 주어진 벡터 공간 ''U''와 ''V''에 대해, 그들의 데카르트 곱을 텐서 곱에 선형적으로 매핑하는 자연스러운 방법이 있다.

: $\varphi: U\times V \to U\otimes V.\$

일반적으로, 이는 단사 함수일 필요는 없다. 왜냐하면 $u\in U$ , $v\in V$ 및 임의의 0이 아닌 $c\in K$ 에 대해,

: $\varphi(u,v) = u\otimes v = cu\otimes c^{-1}v = \varphi(cu, c^{-1}v).\$

기저 사영 공간 ''P''(''U'')과 ''P''(''V'')를 고려할 때, 이 매핑은 다양체의 사상으로 변환된다.

: $\sigma: P(U)\times P(V) \to P(U\otimes V).\$

3. 1. 닫힌 몰입

이 사상

\sigma

는 단사 함수일 뿐만 아니라 대수기하학의 의미에서 닫힌 몰입이다. 즉, 상에 대한 일련의 방정식을 제공할 수 있으며, 텐서 곱에서 좌표의 곱을 인수분해하는 두 가지 방법을 표현한다.^[3]

4. 논의

선형대수학에서, 같은 체 ''K''에 대한 벡터 공간 ''U''와 ''V''의 데카르트 곱을 텐서 곱으로 사상하는 자연스러운 방법이 존재한다. 이 사상은 일반적으로 단사가 아니지만, 사영 공간을 고려하면 단사 사상이 된다. 이 사상 ''σ''는 '''세그레 매장'''이다.

차원을 계산하면, 차원 ''m''과 ''n''의 사영 공간의 곱이 다음 차원에 임베딩되는 방식을 보여준다.

: $(m + 1)(n + 1) - 1 = mn + m + n.\$

4. 1. 다중동차 좌표

선형대수학에서 동일한 체 ''

\mathbb K

''에 대해 주어진 벡터 공간 ''

U

''와 ''

V

''에 대해 텐서 곱으로 사상하는 방법이 있다.

:

\varphi: U\times V \to U\otimes V.\

일반적으로, ''

\forall c\in\mathbb K, c\neq0, \forall u\in U, \forall v \in V

''에 대해,

:

\varphi(u,v) = u\otimes v = cu\otimes c^{-1}v = \varphi(cu, c^{-1}v).\

이기 때문에, 이것은 단사가 아니다.

기본 사영 공간

P(U), P(V)

를 고려하면 이 사상은 다형체의 사상이 된다.

:

\sigma: P(U)\times P(V) \to P(U\otimes V).\

이것은 집합론적 의미에서 단사일 뿐만 아니라 대수 기하학의 의미에서 닫힌 몰입이다. 즉, 상에 대한 일련의 방정식을 제공할 수 있다. 그 방정식들은 텐서 곱에서 좌표의 곱을 인수분해하는 두 가지 방법을 표현한다.

이 사상 ''σ''는 '''세그레 매장'''이다.

고전적인 용어로는, 곱의 좌표를 다중동차라고 하고, ''k'' 인자의 곱을 ''k''-way 사영 공간으로 일반화한다.

5. 예시

Segre embedding^영어의 예시는 다음과 같다.

''m'' = ''n'' = 1일 때, 사영 직선의 자기 곱을 ''P''³에 포함시키는 임베딩을 얻는다. 이 이미지는 이차 곡면이며, 두 개의 1-매개변수 선군을 포함한다. 복소수 위에서 이는 매우 일반적인 비특이 이차 곡면이다.

$\sigma: P^2 \times P^1 \to P^5$ 는 '''세그레 삼중체'''로 알려져 있다. 이는 유리 정규 스크롤의 한 예시이다. 세그레 삼중체와 3-평면 $P^3$ 의 교차점은 꼬인 삼차 곡선이다.

세그레 사상에 대한 대각선 $\Delta \subset P^n \times P^n$ 의 상은 2차 베로네세 다형체이다.

5. 1. 이차 곡면

\mathbb P^1 \times \mathbb P^1 \to \mathbb P^3

([x:y],[z:w]) \to [xz:xw:yz:yw] = [X,Y,Z,W]

를 생각해보자. 이 경우, 그 상은

\det\begin{pmatrix}X&Y\\Z&W\end{pmatrix} = XW-YZ = 0

을 만족시킨다. 즉, 이는 대수다양체의 동형 사상

\mathbb P^1 \times \mathbb P^1 \cong \operatorname{Proj}\frac{K[X,Y,Z,W]}{XW-YZ}

을 정의한다.

예를 들어, ''m'' = ''n'' = 1일 때, 사영 직선의 자기 곱을 ''P''³에 포함시키는 임베딩을 얻는다. 이 이미지는 이차 곡면이며, 두 개의 1-매개변수 선군을 포함하는 것을 쉽게 알 수 있다. 복소수 위에서 이는 매우 일반적인 비특이 이차 곡면이다.

[Z_0:Z_1:Z_2:Z_3]\

를 ''P''³의 동차 좌표로 두면, 이 이차 곡면은 행렬식으로 주어진 이차 다항식의 영점 집합으로 주어진다.

\det \left(\begin{matrix}Z_0&Z_1\\Z_2&Z_3\end{matrix}\right)= Z_0Z_3 - Z_1Z_2.\

5. 2. 세그레 삼중체

\sigma: P^2 \times P^1 \to P^5

는 '''세그레 삼중체'''로 알려져 있다. 이는 유리 정규 스크롤의 한 예시이다. 세그레 삼중체와 3-평면

P^3

의 교차점은 꼬인 삼차 곡선이다.

5. 3. 베로네세 다형체

세그레 사상에 대한 대각선

\Delta \subset P^n \times P^n

의 상은 2차 베로네세 다형체이다.

6. 응용

세그레 매핑은 양자역학과 양자 정보 이론, 대수적 통계학에서 응용되며, 세베리 다양체의 예시로 사용된다.^[2]

6. 1. 양자역학

세그레 매핑은 사영 공간의 범주적 곱셈에 해당하므로, 양자역학과 양자 정보 이론에서 비얽힘 상태를 설명하는 데 자연스러운 매핑이다. 좀 더 정확히 말하면, 세그레 매핑은 사영 힐베르트 공간의 곱을 취하는 방법을 설명한다.^[2]

6. 2. 대수적 통계학

대수적 통계학에서 세그레 다양체는 독립성 모델에 해당한다.^[2]

6. 3. 스코르자 다양체

'''P'''²×'''P'''²를 '''P'''⁸에 임베딩하는 세그레 임베딩은 4차원 세베리 다양체의 유일한 예이다.

7. 역사

코라도 세그레의 조카인 이탈리아 수학자 베니아미노 세그레(Beniamino Segre^영어, 1903-1977)가 도입하였다.

참조

_[1] 웹사이트 Algebraic Geometry Course, Lecture 6: Products and fibre products http://math.mit.edu/[...] 2014-04-11
_[2] 간행물 Fine-structure classification of multiqubit entanglement by algebraic geometry https://link.aps.org[...] 2020-10-01
_[3] 웹인용 Algebraic Geometry Course, Lecture 6: Products and fibre products http://math.mit.edu/[...] 2014-04-11

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