수리금융학

3. 주요 개념

수리금융학의 주요 개념은 크게 파생 상품 가격 결정과 위험 관리 두 가지로 나눌 수 있다.
파생 상품 가격 결정파생 상품 가격 결정의 목표는 유동적인 증권의 가격을 기준으로 주어진 증권의 공정한 가격을 결정하는 것이다. 여기서 '공정'의 의미는 증권을 사고 파는지에 따라 달라진다. 가격이 결정되는 증권에는 일반 옵션, 이국 옵션, 전환 사채 등이 있다. 공정한 가격이 결정되면, 매도 측 거래자는 해당 증권에 대한 시장을 형성할 수 있다. 따라서 파생 상품 가격 결정은 매도 측에서 사용하는 증권의 현재 시장 가치를 정의하기 위한 복잡한 "외삽" 과정이다.

루이 바셸리에는 1900년에 출판된 ''투기 이론''에서 브라운 운동을 도입하고 이를 옵션 가격 결정에 적용하면서 계량적 파생 상품 가격 결정이 시작되었다.^[4][5] 브라운 운동은 랑주뱅 방정식과 이산 랜덤워크를 사용하여 유도된다.^[6] 바셸리에는 주가 로그 변화에 대한 시계열을 단기적 변화가 유한한 분산을 갖는 랜덤워크로 모델링했고, 이로 인해 장기적 변화는 정규 분포를 따르게 된다.^[7]

이후 피셔 블랙, 마이런 숄즈, 로버트 C. 머튼이 기하 브라운 운동을 옵션 가격 결정에 적용하면서 이 분야는 더욱 발전했다. 이 업적으로 숄즈와 머튼은 1997년 노벨 경제학상을 수상했다. (블랙은 1995년 사망)^[8]

해리슨과 플리스카(1981)의 자산 가격 결정의 기본 정리에 따르면, 적절히 정규화된 증권의 현재 가격 ''P₀''는 차익 거래가 없는 경우에만 공정한 가격이 된다. 이는 미래 변화를 설명하는 상수 기대값을 가진 확률 과정 ''P_t''가 존재해야 함을 의미한다.^[9]

:$P\_\{0\}\; =\; \backslash mathbf\{E\}\_\{0\}\; (P\_\{t\})$

위 식을 만족하는 과정을 마팅게일이라고 한다. 마팅게일은 위험에 대한 보상을 하지 않으므로, 정규화된 증권 가격 과정의 확률은 "위험 중립적"이라고 하며, "$\backslash mathbb\{Q\}$"로 표시된다. 이 관계는 모든 시간 t에 대해 성립해야 하므로, 파생 상품 가격 결정에 사용되는 프로세스는 연속 시간으로 설정된다.

파생 상품 가격 결정의 Q 세계에서 활동하는 계량 분석가는 모델링하는 특정 상품에 대한 깊은 지식을 가진 전문가이다. 증권은 개별적으로 가격이 책정되므로 Q 세계의 문제는 저차원적이다. 보정은 Q 세계의 주요 과제 중 하나이며, 연속 시간 매개변수 프로세스가 위 식과 같은 관계를 통해 거래된 증권 집합에 대해 보정되면, 유사한 관계를 사용하여 새로운 파생 상품의 가격을 정의한다. 연속 시간 Q-프로세스를 처리하는 데 필요한 주요 계량적 도구는 이토의 확률 미적분, 시뮬레이션, 편미분 방정식(PDEs)이다.^[10]

위험 및 포트폴리오 관리위험 및 포트폴리오 관리는 주어진 미래 투자 기간에 모든 증권의 시장 가격에 대한 통계적으로 파생된 확률 분포를 모델링하는 것을 목표로 한다. 이 "실제" 확률 분포는 "$\backslash mathbb\{P\}$"로 표시된다. P 분포를 기반으로, 매수 측은 포트폴리오의 예상 손익 프로필을 개선하기 위해 어떤 증권을 구매할지 결정한다.

마코위츠와 샤프는 머튼 밀러와 함께 1990년 노벨 경제학상을 수상했다. 마코위츠와 샤프의 포트폴리오 선택 연구는 투자 관리에 수학을 도입했으며, 시간이 지남에 따라 더욱 정교해졌다. 로버트 머튼과 폴 새뮤얼슨 덕분에 1기간 모델은 연속 시간, 브라운 운동 모델로 대체되었고, 평균-분산 최적화에 내재된 2차 효용 함수는 더 일반적인 증가하고 오목한 효용 함수로 대체되었다.^[11] 최근에는 추정 위험에 초점이 맞춰지고 있다.^[12]

찰스 도는 다우 존스 & 컴퍼니(Dow Jones & Company)와 월스트리트 저널(The Wall Street Journal)의 창립자 중 한 명으로, 다우 이론(Dow Theory)을 제시했다. 이는 미래 변화를 예측하려는 기술적 분석 방법의 기초가 된다.

금융 경제학의 기본 정리는 자산 가격 이론과 시장에 밀접하게 관련되어 있다. 수리 금융에서는 일반 균형이 증권 시장에서 성립한다고 가정한다. 일반 균형이 전제이므로 증권 가격의 상대 가격은 도출되지만, 절대 가격은 논의되지 않는다. 예를 들어 블랙-숄즈 모형에서는 주가와 채권 가격이 이미 주어진 것으로 보고 파생 상품의 가격을 도출하지만, 주가 수준 자체는 무차익 원리의 틀에서는 결정할 수 없다.

3. 1. 무위험 차익 거래와 복제의 개념

4. 비판

2007-2010년 금융 위기로 인해 수리금융학의 신뢰성이 훼손되면서, 현대 수학 금융 실무는 폴 윌모트와 나심 니콜라스 탈레브의 저서 ''블랙 스완''에 의해 비판받았다.^[13] 탈레브는 현재 사용되는 단순한 모델로는 금융 자산의 가격을 특성화할 수 없으며, 현재의 많은 실무가 기껏해야 무관하고, 최악의 경우 위험할 정도로 오해를 불러일으킨다고 주장한다. 윌모트와 에마누엘 더먼은 2009년 1월에 가장 심각한 우려 사항들을 다룬 ''금융 모델러 선언''을 발표했다.^[14]

일반적으로, 유한한 분산을 가진 분포로 변화를 모델링하는 것은 점점 더 부적절하다고 여겨지고 있다.^[16] 1960년대에 브누아 만델브로트는 가격 변화가 정규 분포를 따르지 않고, 오히려 레비 알파-안정 분포에 의해 더 잘 모델링된다는 것을 발견했다.^[17] 위 또는 아래로의 큰 변화는 추정된 표준 편차를 가진 정규 분포를 사용하여 계산하는 것보다 더 발생할 가능성이 높다. 그러나 문제는 매개변수화를 훨씬 더 어렵게 만들고 위험 관리를 덜 신뢰할 수 있게 하므로 문제를 해결하지 못한다는 것이다.^[13]

루카스 비판은 관찰된 관계가 본질적으로 구조적이지 않을 수 있으며, 따라서 인과 분석과 계량 경제학을 사용하여 관계를 식별하지 않는 한 공공 정책이나 이익을 위해 활용할 수 없다고 명시한다.^[18] 따라서 수학적 금융 모델은 자기 실현적 예언과 같은 현대 거시 경제적 움직임을 모델링하는 데 중요한 인간 심리의 복잡한 요소를 포함하지 않으며, 이는 뱅크런을 유발한다.

5. 수학적 도구

수리 금융에서는 여러 수학적 도구가 사용된다. 확률론, 확률 미적분학, 미분 방정식, 수치 해석, 최적화 이론 등이 활용된다.^[10] 블랙-숄즈 모형, 이항 옵션 가격 결정 모형, 몬테카를로 시뮬레이션, 유한 차분법 등 다양한 금융 모델이 개발되어 사용되고 있다.

파생 상품 가격 결정의 Q 세계에서 활동하는 계량 분석가는 모델링하는 특정 상품에 대한 깊은 지식을 가진 전문가이다. 연속 시간 Q-프로세스를 처리하는 데 필요한 주요 계량적 도구는 이토의 확률 미적분, 시뮬레이션 및 편미분 방정식(PDEs)이다.^[10]

다음은 수리금융학에서 사용되는 수학적 도구 및 관련 모델의 예시이다.

6. 관련 분야

• 계산 금융
• 금융공학
• 계량경제학
• 통계금융
• 행동재무학
• Quantitative behavioral finance^영어
• 경제모형
• 경제물리학
• 금융경제학
• 국제수리금융협회(International Association for Quantitative Finance)
• 국제 스왑 파생 상품 협회(International Swaps and Derivatives Association)
• 파생 상품 (금융), 파생 상품 주제 목록
• 회계 관련 문서 목록
• 경제학자 목록
• 수리 금융 석사(Master of Quantitative Finance)
• 경제학 개요
• 금융 개요
• 금융 시장의 물리학
• 기술적 분석
• XVA
• 양자 금융

7. 관련 인물

1970년대 블랙과 쇼울즈 등의 이론에 의해 수리금융학이 급속히 발전했다. 1970년대부터 1980년대에 걸쳐 Harrison, David Kreps|Kreps^영어, Pliska를 중심으로 한 일련의 연구 성과에 의해 무재정 조건(시장에 재정 기회가 존재하지 않는 것)과 동치인 마팅게일 확률 측도가 존재하는 것이 서로 필요 충분 조건임이 제시되었다.^[21]

8. 관련 기관 및 학회

• 계산 금융
• 파생 상품 (금융), 파생 상품 주제 목록
• 경제 모형
• 경제물리학
• 금융 경제학
• 금융 공학
• 국제 수리 금융 협회(International Association for Quantitative Finance)
• 국제 스왑 파생 상품 협회(International Swaps and Derivatives Association)
• 회계 관련 문서 목록
• 경제학자 목록
• 수리 금융 석사(Master of Quantitative Finance)
• 경제학 개요
• 금융 개요
• 금융 시장의 물리학
• 수량적 행동 금융
• 통계 금융
• 기술적 분석
• XVA
• 양자 금융

참조

_[1] 웹사이트 Quantitative Finance http://finance.laws.[...] About.com 2014-03-28
_[2] 웹사이트 Why Edward Thorp Owns Only Berkshire Hathaway https://www.barrons.[...] 2021-06-06
_[3] 웹사이트 What is financial mathematics? https://plus.maths.o[...] Johnson 2021-03-01
_[4] 서적 Stochastic calculus for finance Springer 2004
_[5] 서적 Introduction to Quantitative Finance. Oxford University Press, USA 2013
_[6] 서적 Quantitative finance for physicists : an introduction Elsevier Academic Press 2005
_[7] 웹사이트 The Theory of Speculation https://docs.google.[...] 2014-03-28
_[8] 웹사이트 The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1969-2007 https://www.nobelpri[...] Nobel Prize 2014-03-28
_[9] 뉴스 A risky business: How to price derivatives http://plus.maths.or[...] Price+ Magazine 2008-12-01
_[10] 간행물 Financial Models https://catalogimage[...] Michael Mastro 2013
_[11] 서적 Methods of Mathematical Finance Springer-Verlag New York, Incorporated
_[12] 서적 Risk and Asset Allocation Springer
_[13] 서적 The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable https://archive.org/[...] Random House Trade
_[14] 웹사이트 Financial Modelers' Manifesto http://www.wilmott.c[...] Paul Wilmott's Blog 2009-01-08
_[15] 뉴스 Mathematicians must get out of their ivory towers http://www.ft.com/cm[...] 2010-04-15
_[16] 서적 Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions: Implications for Risk Management, Portfolio Selection, and Option Pricing "[[John Wiley and Sons]]"
_[17] 간행물 The variation of certain Speculative Prices http://web.williams.[...] B. Mandelbrot 1963
_[18] 웹사이트 ECONOMETRIC POEICY EVALUATION: A CRITIQUE https://web.sgh.waw.[...] 2022-08-05
_[19] 서적 数理ファイナンス 東京大学出版会 2015-02-20
_[20] 서적 ファイナンスの数理―デリバティブ価格の決定について 東京電機大学出版局 2005-03
_[21] 서적 Dynamic　Asset Pricing Theory Princeton University Press, Incorporated
_[22] 서적 브리태니커 백과사전
_[23] 저널 Mathematical finance https://en.wikipedia[...] 2022-03-23