실해석학

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1. 개요

실해석학은 실수 체계를 기반으로 수열, 극한, 연속성, 미분, 적분 등을 연구하는 수학의 한 분야이다. 실해석학의 핵심은 실수의 완비성, 즉 메꿔질 구멍이 없다는 성질이며, 이는 단조 수렴 정리, 중간값 정리, 평균값 정리 등 기본 정리들의 증명에 중요한 역할을 한다. 실해석학은 함수의 극한, 연속성, 미분, 급수, 적분 등의 개념을 다루며, 리만 적분과 르베그 적분을 포함한 적분 이론과 분포 개념을 포함한다. 주요 정리로는 볼차노-바이어슈트라스 정리, 하이네-보렐 정리, 미적분학의 기본 정리 등이 있으며, 복소해석학과 밀접한 관련을 맺고 있다.

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실해석학
개요
분야	수학, 해석학
연구 대상	실수의 성질, 실수 함수
관련 분야	미적분학, 복소해석학, 함수해석학
역사
주요 인물	오귀스탱루이 코시 카를 바이어슈트라스 베른하르트 리만 게오르크 칸토어 앙리 르베그
기본 개념
실수계	실수 실수선 완비성 상한과 하한 데데킨트 절단
수열과 극한	수열 수열의 극한 코시 수열 상극한과 하극한
함수와 연속성	함수 함수의 극한 연속 함수 균등 연속 볼록 함수
미분	미분 도함수 평균값 정리 테일러 정리
적분	적분 리만 적분 르베그 적분 미적분학의 기본정리
측도론	측도 가측 함수 절대 연속
주요 정리
극한과 연속 관련	중간값 정리 최대·최소 정리 하이네-보렐 정리
미분 관련	평균값 정리 테일러 정리
적분 관련	미적분학의 기본정리 단조 수렴 정리 지배 수렴 정리
응용
활용 분야	미분방정식 확률론 통계학 경제학 물리학 공학
심화 주제
함수 공간	바나흐 공간 힐베르트 공간 공간
푸리에 해석	푸리에 급수 푸리에 변환
분포 이론	테스트 함수 일반 함수 (분포)
변분법	범함수 오일러-라그랑주 방정식

2. 실수의 구성 및 성질

실해석학의 여러 정리들은 실수 체계가 가지는 고유한 성질들에 깊이 의존한다. 실수 체계는 보통 비가산 집합인 $\mathbb{R}$ 과 덧셈(+), 곱셈(⋅) 연산, 그리고 순서 관계(≤)로 구성된 순서체이다.

실수의 가장 중요한 특징은 바로 '완비성'이다. 이는 직관적으로 실수 집합에는 유리수 집합( $\mathbb{Q}$ )과 달리 '틈'이나 '구멍'이 없이 연속적이라는 의미이다. 이 완비성 때문에 실수는 완비 순서체라고 불리며, 이러한 성질은 다른 순서체와 실수를 근본적으로 구별짓는다. 실수의 완비성은 실해석학에서 다루는 여러 함수의 중요한 성질들을 증명하는 데 핵심적인 역할을 하며, 종종 '최소 상한 성질'이라는 형태로 표현된다.

2. 1. 실수의 구성

실해석학의 여러 정리들은 실수 체계의 성질에 기반하므로, 실수를 어떻게 정의하고 구성하는지가 중요하다. 실수 체계는 보통 비가산 집합인 ℝ과 덧셈(+), 곱셈(⋅)이라는 두 이항 연산, 그리고 순서 관계 ≤로 이루어진다. 이러한 연산과 순서 관계를 통해 실수는 체이자 순서체가 된다.

특히 실수는 '완비성'이라는 중요한 성질을 가지는데, 이는 실수 집합에 '구멍'이나 '간격'이 없음을 의미한다. 이 완비성 덕분에 실수 체계는 완비 순서체라고 불리며, 임의의 다른 완비 순서체는 실수 체계와 동형 관계에 있어 사실상 유일한 완비 순서체로 간주된다. 완비성은 실수를 유리수(ℚ)와 같은 다른 순서체와 구별하는 핵심적인 특징이며, 실해석학에서 다루는 여러 함수의 성질을 증명하는 데 필수적인 역할을 한다. 실수의 완비성은 주로 '최소 상한 성질'(또는 상한 공리)을 이용하여 수학적으로 표현된다.

2. 2. 실수의 순서 성질

실수 체계는 순서 관계인 ≤를 가지며, 덧셈 (+) 및 곱셈 (•) 연산과 함께 순서체를 이룬다. 실수는 복소수와는 달리 격자의 성질을 가지며, 양수들의 합이나 곱이 양수가 되는 특징이 있다.

실수의 순서는 전순서이며, 다음과 같은 중요한 최소 상계 성질을 만족한다.

상계를 가지는 임의의 공집합이 아닌 $\mathbb{R}$ 의 부분집합은 실수인 상한을 가진다.

이러한 순서론적 성질은 실수의 완비성과 밀접하게 연관되며, 단조 수렴 정리, 중간값 정리, 평균값 정리와 같은 실해석학의 여러 기본 정리들을 증명하는 데 핵심적인 기초를 제공한다.

2. 3. 실수의 위상적 성질

실해석학의 많은 정리는 실직선의 위상적 성질로부터 나온다. 실수의 순서 성질 또한 위상적 성질과 밀접하게 연결되어 있다. 위상 공간으로서 실수는, 순서 관계

<

으로 유도되는 순서 위상인 표준 위상을 가진다.

한편, 거리 함수

d:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geq 0}

를 절댓값 함수

d(x, y) = |x - y|

를 이용하여 정의하면, 실수는 전형적인 거리 공간이 된다. 이 거리 함수

d

에 의해 유도된 위상은 순서 관계

<

에 의해 유도된 표준 위상과 동일하다. 이러한 위상적 성질 덕분에 중간값 정리와 같은 정리들은 실수 집합

\mathbb{R}

뿐만 아니라 더 일반적인 위상 공간이나 거리 공간에서도 증명될 수 있으며, 때로는 이러한 일반화된 증명이 더 간결하기도 하다.

열린 집합
닫힌 집합
콤팩트성

2. 4. 실수의 농도

실수 집합의 농도는 중요한 특징 중 하나이다. 실수 전체의 집합은 비가산 집합으로, 이는 자연수 집합과 일대일 대응을 만들 수 없음을 의미한다. 즉, 실수는 자연수처럼 번호를 매겨 셀 수 없는 무한 집합이다.

반면, 유리수 전체의 집합은 가산 집합이다. 이는 유리수가 무한히 많지만, 자연수와 같이 순서대로 나열하여 셀 수 있다는 뜻이다. 실수가 비가산 집합이라는 사실은 유리수 집합과의 중요한 차이점이며, 실해석학의 여러 증명과 정리에서 기본적인 가정으로 사용된다.

3. 수열과 극한

'''수열'''은 가산이고 전순서인 집합을 정의역으로 가지는 함수이다.^[2] 정의역은 보통 자연수 집합 $\N$ 으로 주어지지만,^[3]^[9] 때로는 음수를 포함한 정수 전체를 정의역으로 사용하는 양방향 수열을 다루기도 한다.

실해석학에서는 주로 '''실수열'''(영어: real-valued sequence)을 다루는데, 이는 자연수를 정의역으로 하고 실수를 공역으로 가지는 함수 $a : \N \to \R : n \mapsto a_n$ 이다. 각 $a(n) = a_n$ 을 수열의 '''항'''(또는 원소)이라고 부른다. 수열은 함수 형태보다는 보통 각 항이나 일반항을 괄호로 묶어 순서대로 나열한 ∞-튜플처럼 표기한다.^[4]

$(a_n) = (a_n)_{n \in \N}=(a_1, a_2, a_3, \dots)$

수열의 항 $a_n$ 이 $n$ 이 커짐에 따라 특정 값에 한없이 가까워지는 경우, 즉 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 이 존재하는 경우, 그 수열은 '''수렴'''한다고 말한다. 그렇지 않은 경우에는 '''발산'''한다고 한다.

실수열 $(a_n)$ 이 '''유계'''라는 것은 모든 자연수 $n$ 에 대해 $|a_n| 을 만족하는 실수 M 이 존재하는 경우를 의미한다. 또한, 수열 (a_n) 이 다음 조건을 만족하면 각각 '''단조 증가''' 또는 '''단조 감소'''한다고 한다.$

$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots$

또는

$a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$

이 두 경우 중 하나를 만족하는 수열을 '''단조 수열'''이라고 부른다. 만약 부등호 $\leq$ 나 $\geq$ 대신 $<$ 또는 $>$ 가 성립하면, 각각 '''강한 단조 증가''' 또는 '''강한 단조 감소'''한다고 한다.

어떤 수열 $(a_n)$ 이 주어졌을 때, 자연수의 증가수열 $(n_k)$ (즉, $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ )를 이용하여 원래 수열의 항들을 순서대로 뽑아 만든 새로운 수열 $(b_k)$ 를 $(a_n)$ 의 '''부분수열'''이라고 한다. 즉, 모든 자연수 $k$ 에 대해 $b_k=a_{n_k}$ 를 만족한다.

3. 1. 수열의 극한

수열

(a_n)

의 극한은 자연수

n

이 한없이 커질 때 수열의 항

a_n

이 어떤 값에 가까워지는지를 다루는 개념이다. 이 개념은 라이프니츠에 의해 도입되었고, 이후 19세기 말 볼차노와 바이어슈트라스에 의해 엡실론-델타 논법을 이용하여 엄밀하게 정의되었다.^[10]

'''정의.'''

(a_n)

이 실수열이라 하자. 임의의

\varepsilon>0

에 대해, 모든

n\geq N

에 대하여

|a - a_n| < \varepsilon

를 만족하도록 하는 자연수

N

이 항상 존재하면, '''

(a_n)

이

a

로 수렴한다'''고 하고 다음처럼 표기한다.^[5]

n\to \infty  \text{일 때}  a_n\to a

또는

\lim_{n \to \infty} a_n = a

이때

a

를 수열

(a_n)

의 '''극한값'''이라고 한다. 만약 수열

(a_n)

이 어떤 실수값으로 수렴하지 않으면

(a_n)

은 '''발산한다'''고 한다.

수열의 극한값을 직접 알지 못하더라도 수열의 수렴 여부를 판정하는 것이 유용할 때가 있는데, 이때 코시 수열의 개념을 사용할 수 있다.

'''정의.'''

(a_n)

이 실수열이라 하자. 임의의

\varepsilon > 0

에 대해,

m,n\geq N

이면

|a_m-a_n| < \varepsilon

을 만족하도록 하는 자연수

N

이 항상 존재하면

(a_n)

을 '''코시 수열'''이라 한다.

실수열의 경우, 수열이 수렴하는 것과 코시 수열인 것은 서로 필요충분조건이다. 이는 실수가 표준 거리

|\cdot|

에 대해 완비 거리 공간임을 의미한다. 그러나 일반적인 거리 공간에서는 코시 수열이라고 해서 반드시 수렴하는 것은 아니다.

또한, 단조적인 실수열의 경우, 수열이 유계인 것과 수렴하는 것은 서로 필요충분조건이다. 즉, 증가하면서 위로 유계이거나 감소하면서 아래로 유계인 수열은 반드시 수렴한다.

3. 2. 코시 수열

수열의 항들이 진행됨에 따라 서로에게 무한히 가까워지는 수열을 코시 수열이라고 한다. 실수 집합의 중요한 성질 중 하나는 모든 코시 수열이 반드시 어떤 실수 값으로 수렴한다는 것인데, 이를 실수의 완비성이라고 한다. 이는 실수가 수직선 상에 빈틈없이 채워져 있음을 의미하는 핵심적인 특징이다.

3. 3. 단조 수열

실수 수열

(a_n)

은 다음 조건을 만족할 때 '''단조 증가'''한다고 한다.

a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots

반대로 다음 조건을 만족할 때는 '''단조 감소'''한다고 한다.

a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots

수열이 단조 증가하거나 단조 감소할 경우, 그 수열을 '''단조 수열'''이라고 부른다. 만약 위의 부등식에서 등호가 성립하지 않고(

<

또는

>

), 즉

a_n < a_{n+1}

또는

a_n > a_{n+1}

이 모든

n

에 대해 성립하면, 그 단조성은 '''엄격하다'''고 표현한다.

3. 4. 부분 수열

수열

(a_n)

이 주어졌을 때, 또 다른 수열

(b_k)

가 있다고 하자. 이때, 모든 양의 정수

k

에 대해

b_k = a_{n_k}

를 만족하고,

(n_k)

가 자연수의 엄격하게 증가하는 수열이라면,

(b_k)

를

(a_n)

의 부분 수열이라고 한다.

4. 함수와 연속성

실수의 수열처럼 $E\subset \mathbb{R}$ 을 정의역으로 갖는 함수 $f_n:E\to\mathbb{R}$ 들의 수열과 이 수열의 수렴성에 대해 생각해 볼 수 있다. 이 함수열은 $(f_n)_{n=1}^\infty$ 와 같이 표기한다. 실수열과 달리 함수열의 경우 두 종류의 수렴, 즉 '''점별 수렴'''과 '''균등 수렴'''이 존재한다.

간단히 말해, $f_n$ 이 $f:E\to\mathbb{R}$ 로 '''점별 수렴'''한다는 것은 임의의 $x\in E$ 에 대해 $n\to\infty$ 일 때 $f_n(x)\to f(x)$ 라는 의미이며, $f_n \rightarrow f$ 로 표기한다. 반면 '''균등 수렴'''은 점별 수렴보다 강한 개념으로, 균등 수렴하면 점별 수렴하지만 그 역은 성립하지 않는다. 균등 수렴은 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해, $n\geq N$ 일 때 모든 $x\in E$ 에 대하여 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ 을 만족하는 자연수 $N$ 이 항상 존재한다는 의미이며, $f_n\rightrightarrows f$ 로 표기한다. 균등 수렴을 직관적으로 시각화하면, 충분히 큰 $N$ 에 대해 함수 $f_N, f_{N+1}, f_{N+2},\ldots$ 가 모두 정의역 $E$ 에서 $f$ 를 기준으로 $2\varepsilon$ 만큼의 폭을 가진 띠 (즉, $f - \varepsilon$ 와 $f+\varepsilon$ 사이) 안에 존재한다고 생각할 수 있다.

극한을 취하거나, 미분 또는 적분하는 등 두 극한 연산의 순서를 바꿀 수 있는지 판단할 때 점별 수렴과 균등 수렴을 구별하는 것이 중요하다. 실해석학의 많은 정리에서는 연산 순서를 바꿔도 성립하기 위한 조건으로 균등 수렴을 요구하는 경우가 많다. 예를 들어, 연속 함수들로 이루어진 수열이 균등 수렴하면 그 극한 함수도 연속이지만, 점별 수렴만 하는 경우에는 극한 함수가 연속이 아닐 수도 있다.

4. 1. 함수의 극한

간단하게 말하면, 변수나 지표가 특정 값에 다가갈 때(함수가 한도 없이 증가 또는 감소할 때는

\pm\infty

에 다가간다고 할 수도 있다.) 함수가 점점 "가까워지는" 값을 '''극한'''이라고 한다.^[10]^[5] 극한은 미적분학(넓게는 해석학)에서 중요한 개념이며 연속, 미분, 적분과 같은 개념들을 정의하기 위해서 극한의 엄밀한 정의가 사용된다. 사실, 극한의 성질은 미적분학과 해석학을 수학의 다른 분야들과 구별하는 특징이 된다.

함수에서 극한이라는 개념은 17세기 말 뉴턴과 라이프니츠가 무한소 미적분학을 정립하면서 비공식적으로 도입하였다. 이후 19세기 말 볼차노와 바이어슈트라스가 다음의 엡실론-델타 논법을 이용하여 보다 엄밀하게 정의하였다.

'''정의.'''

f

가

E\subset\mathbb{R}

에서 정의된 실수 값 함수라 하자. 임의의

\varepsilon>0

에 대해, 모든

x\in E

에 대하여

0 < |x - x_0| < \delta

이면

|f(x) - L| < \varepsilon

를 만족하도록 하는

\delta>0

가 항상 존재하면, '''

x

가

x_0

로 갈 때

f(x)

가

L

로 수렴한다''' 또는 '''

x

가

x_0

로 갈 때

f(x)

의 극한은

L

이다'''라 하고 다음처럼 표기한다.

x\to x_0  \text{일 때}  f(x)\to L

또는

\lim_{x\to x_0} f(x) = L

위의 정의는 다음과 같이 직관적으로 이해할 수 있다.

x\to x_0

일 때

f(x)\to L

라는 것은, 아무리 작은 양수

\varepsilon

가 주어지더라도,

x_0

와의 거리가

\delta

보다 작으면서

x_0

는 아닌 모든 실수

x

에 대하여

f(x)

와

L

의 거리가

\varepsilon

보다 작도록 하는 양수

\delta

를 항상 찾을 수 있다는 의미이다. 정의에서

0 < |x - x_0|

조건 때문에

\lim_{x\to x_0} f(x) = L

이라는 사실은

f(x_0)

의 값 자체에 대해서는 아무것도 알려주지 않는다. 실제로 극한값이 존재하기 위해

x_0

가 함수

f

의 정의역에 포함될 필요는 없다.

4. 2. 연속 함수

실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수는 데카르트 좌표계에서 그래프로 나타낼 수 있다. 함수가 연속이라는 것은, 간단하게 말해서 함수의 그래프가 '구멍'이나 '도약' 없이 하나로 이어진 곡선이라는 것을 의미한다.

이러한 직관적인 개념을 수학적으로 엄밀하게 정의하는 방법에는 여러 가지가 있다. 각 정의마다 일반적으로 정의 가능한 대상이 달라질 수 있는데, 두 가지 이상의 정의가 적용 가능한 경우 보통 두 정의가 서로 동치임을 보일 수 있다.

먼저, 비퇴화(non-degenerate) 구간

I\subset \mathbb{R}

을 정의역으로 가지는 함수

f:I \to \R

를 생각해 보자. 여기서

I

는 실수 전체의 집합

\R

, 열린 구간

(a, b) = \{x \in \R \mid a < x < b \}

, 또는 닫힌 구간

I = [a, b] = \{x \in \R \mid a \leq x \leq b\}

등이 될 수 있다.

'''정의 (극한 이용).''' 함수

f:I \to \R

가 구간 내의 한 점

p\in I

에 대해

\lim_{x \to p} f(x) = f(p)

를 만족하면 '''

f

는

p

에서 연속'''이라고 한다. 구간 내의 모든

p\in I

에서

f

가 연속일 때

f

를 '''연속 함수'''라고 한다.

이 정의에 따르면, 함수

f

가 점

p

에서 연속이려면 다음 조건들을 만족해야 한다.

#

p

에서 극한값

\lim_{x\to p} f(x)

이 존재해야 한다.

# 함수

f

가

p

에서 정의되어 있어야 한다 (즉,

f(p)

값이 존재해야 한다).

# 극한값과 함숫값이 같아야 한다 (

\lim_{x \to p} f(x) = f(p)

).

위 정의는 모든 점이 극한점인 정의역에 적용될 수 있다. 더 일반적인 정의역

X\subset \mathbb{R}

를 가지는 함수

f:X\to\mathbb{R}

에 대한 연속성은 다음과 같이 엡실론-델타 논법으로 정의할 수 있다.

'''정의 (ε-δ 논법).'''

X

가

\mathbb{R}

의 부분집합이라 하자. 함수

f:X\to\mathbb{R}

가

p\in X

에서 연속이라는 것은, 임의의 실수

\varepsilon>0

에 대해, 모든

x\in X

에 대하여

|x-p|<\delta

이면

|f(x)-f(p)| < \varepsilon

을 만족하도록 하는 실수

\delta>0

가 항상 존재하는 것을 의미한다. 모든

p\in X

에 대해

f

가 연속일 때

f

를 '''연속 함수'''라고 한다.

이 정의에 따르면, 정의역

X

안의 고립점

p

에서는 함수

f

가 항상 자명하게 연속이 된다.

연속성은 위상 공간의 개념을 이용하여 더 일반적으로 정의될 수도 있다.

'''정의 (위상 공간).'''

X

와

Y

를 위상 공간이라 하자. 함수

f:X\to Y

가

p\in X

에서 연속이라는 것은,

Y

에서

f(p)

의 임의의 근방

V

에 대해 그것의 역상

f^{-1} (V)

가

X

에서

p

의 근방이 되는 것을 의미한다. 함수

f

가 연속 함수라는 것은,

Y

의 모든 열린 집합

U

에 대해 그것의 역상

f^{-1}(U)

가

X

에서 열린 집합이 되는 것을 의미한다.

4. 2. 1. 균등 연속

'''정의.'''

X

가 실수의 부분 집합이라고 하자. 함수

f:X\to\mathbb{R}

가

X

상에서 '''균등 연속'''(uniform continuity^영어)이라고 하는 것은, 임의의 실수

\varepsilon > 0

에 대해, 모든

x,y\in X

에 대하여

|x-y|<\delta

이면

|f(x)-f(y)| < \varepsilon

를 만족하도록 하는

\delta>0

가 항상 존재하는 경우이다.

함수가

X

상에서 균등 연속이라는 것은, 주어진

\varepsilon

에 대해 정의를 만족시키는

\delta

의 선택이

X

의 전체 원소에 대해 유효하다는 의미이다. 반면, 함수가 모든 점

p\in X

에서 일반적인 연속일 때는

\delta

의 선택이

\varepsilon

뿐만 아니라 점

p

에도 의존할 수 있다. 따라서 일반적인 연속성과 달리, 균등 연속성은 특정 정의역이 주어졌을 때만 의미를 가지는 함수의 속성이며, 어떤 한 점

p

에서의 균등 연속성과 같은 개념은 없다.

콤팩트 집합을 정의역으로 갖는 연속 함수는 항상 균등 연속이라는 중요한 성질이 있다. 반대로,

E

가 유계이지만 콤팩트가 아닌

\mathbb{R}

의 부분집합일 경우,

E

위에서 연속이지만 균등 연속은 아닌 함수

f:E\to\mathbb{R}

가 존재할 수 있다. 예를 들어, 함수

f:(0,1)\to\mathbb{R}

를

f(x)=1/x

로 정의하면, 이 함수는

(0, 1)

에서 연속이다. 하지만 0에 가까운 점들을 선택하면, 아무리 작은

\delta>0

를 선택하더라도 주어진

\varepsilon > 0

에 대해

|f(x)-f(y)| > \varepsilon

가 되도록 만들 수 있으므로 균등 연속은 아니다.

4. 2. 2. 절대 연속

'''정의.'''

I\subset\mathbb{R}

을 실수선 위의 구간이라고 하자. 함수

f:I \to \mathbb{R}

가 임의의 양수

\varepsilon

에 대해 다음과 같은 성질을 만족하는 양수

\delta

가 존재하면, 함수

f

는

I

'''상에서''' '''절대 연속'''이라고 한다.^[6] 즉,

I

의 쌍별로 소인 유한 개의 부분 구간

(x_1, y_1), (x_2,y_2),\ldots, (x_n,y_n)

에 대해

:

\sum_{k=1}^{n} (y_k - x_k) < \delta

이면,

:

\sum_{k=1}^{n} | f(y_k) - f(x_k) | < \varepsilon

를 만족한다.

절대 연속 함수는 연속 함수이다. 이 정의에서

n=1

인 경우를 생각하면 연속의 정의와 유사함을 알 수 있다.

I

상에서 모든 절대 연속 함수의 집합은 AC(

I

)로 표기한다.

절대 연속성은 르베그 적분 이론에서 중요한 개념으로, 미적분학의 기본정리를 르베그 적분에 적용할 수 있도록 일반화하는 데 사용된다.

5. 미분

미분은 함수를 주어진 점 근처에서 가장 잘 나타내는 선형 근사(접선)를 찾는 개념에서 출발한다. 만약 이러한 선형 근사가 존재한다면, 이는 유일하게 결정되며 그 기울기는 해당 점에서의 미분 계수가 된다. 미분은 함수의 순간적인 변화율을 이해하는 데 중요한 도구이다.

함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 어떤 점 $a$ 에서 극한

: $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

값을 가질 때, 함수 $f$ 는 $a$ 에서 '''미분 가능하다'''고 한다. 이 극한값 $f'(a)$ 를 $f$ 의 $a$ 에서의 '''미분 계수'''라고 부르며, 각 점에서 미분 계수를 함숫값으로 가지는 함수 $f'$ 를 $f$ 의 '''도함수'''라고 한다. 함수의 정의역 모든 점에서 도함수가 존재하면 그 함수는 '''미분 가능하다'''고 말한다.

함수가 한 점에서 미분 가능하면 반드시 그 점에서 연속이다. 즉, 미분 가능성은 연속성보다 더 강한 조건이며, 함수의 그래프가 얼마나 '매끄러운지'를 나타내는 척도로 볼 수 있다. 하지만 연속이라고 해서 항상 미분 가능한 것은 아니다. 예를 들어, 모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 미분 불가능한 바이어슈트라스 함수와 같은 함수도 존재한다.

도함수를 반복해서 구하는 과정을 통해 고계 도함수를 정의할 수 있다. 함수의 미분 가능 횟수와 그 도함수의 연속성에 따라 함수를 여러 종류(class)로 분류하기도 한다.

''' $C^0$ ''': 연속 함수의 모임.
''' $C^1$ ''': 도함수가 존재하고 그 도함수가 연속인 함수(연속 미분가능 함수)의 모임.
''' $C^k$ ''': $k$ 번 미분 가능하고, $k$ 계 도함수가 연속인 함수의 모임.
''' $C^\infty$ ''': 무한 번 미분 가능한 함수(매끄러운 함수)의 모임.
''' $C^\omega$ ''': 해석 함수의 모임.

이 클래스들은

C^\omega \subset C^\infty \subset \dots \subset C^k \subset C^{k-1} \subset \dots \subset C^1 \subset C^0

와 같은 포함 관계를 가진다. 즉, 뒤로 갈수록 더 강한 매끄러움을 요구하는 조건이다.

5. 1. 미분 계수와 도함수

함수의 미분 또는 미분 가능성이라는 개념은 주어진 점 근처에서 함수를 "최선의" 선형 근사를 이용해 근사하는 것에서 비롯된다. 이러한 선형 근사는 만약 존재한다면 유일하며, 주어진 점

a

에서 함수 그래프에 접하고 기울기가

a

에서의 미분 계수인 직선으로 주어진다.

함수

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

에 대해 다음의 극한

:

f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

이 존재할 때, 함수 '''

f

는

a

에서 미분 가능하다'''고 한다. 이때 극한값

f'(a)

를

a

에서

f

의 '''미분 계수'''라고 하며, 각 점에서 미분 계수를 함숫값으로 가지는 함수

f'

는

f

의 '''도함수'''라고 한다. 함수의 정의역 내 모든 점에서 도함수가 존재할 때 그 함수를 '''미분 가능하다'''고 한다.

만약 함수

f

가 한 점

a

에서 미분 가능하다면,

f

는 그 점에서 연속이다. 따라서 미분 가능성은 연속성보다 더 강한 조건이며, 함수의 "매끄러움" 정도를 나타내는 지표로 볼 수 있다. 모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 미분 가능하지 않은 함수도 존재한다. 대표적인 예로 바이어슈트라스 함수가 있다. 도함수의 도함수를 구하는 과정을 반복하여 고계 도함수를 정의할 수도 있다.

함수는 미분 가능성에 따라 여러 미분 가능성 종류(class)로 분류할 수 있다.

''' $C^0$ ''': 모든 연속 함수의 집합이다. 특정 구간 $[a,b]$ 에서의 연속 함수 집합을 $C^0([a,b])$ 로 표기하기도 한다.
''' $C^1$ ''': 모든 '''연속 미분 가능 함수'''의 집합이다. 즉, 도함수 $f'$ 가 존재하고 그 도함수가 연속 함수( $C^0$ )인 함수들의 집합이다.
''' $C^k$ ''': 재귀적으로 정의된다. $k$ 가 양의 정수일 때, $C^k$ 는 도함수가 $C^{k-1}$ 에 속하는 모든 미분 가능 함수의 집합이다. 즉, 함수가 $k$ 번 미분 가능하고 그 $k$ 계 도함수가 연속인 함수들의 집합이다. 모든 $k$ 에 대해 $C^k$ 는 $C^{k-1}$ 의 부분집합이다 ( $C^k \subset C^{k-1}$ ).
''' $C^\infty$ ''': 모든 음이 아닌 정수 $k$ 에 대한 $C^k$ 클래스들의 교집합이다 ( $C^\infty = \bigcap_{k=0}^\infty C^k$ ). 이 클래스에 속하는 함수를 '''매끄러운 함수'''라고 하며, 무한번 미분 가능하다.
''' $C^\omega$ ''': 모든 해석 함수의 집합이다. 해석 함수는 국소적으로 테일러 급수로 표현될 수 있는 함수를 말한다. $C^\omega$ 는 $C^\infty$ 의 진부분집합이다 ( $C^\omega \subset C^\infty$ ). 즉, 모든 해석 함수는 매끄럽지만, 매끄럽다고 해서 항상 해석 함수인 것은 아니다. 범프 함수는 매끄럽지만 해석적이지 않은 함수의 예이다.

5. 2. 미분 가능성

함수의 '''미분 가능성''' 개념은 주어진 점 근처에서 함수를 '가장 최선의' 선형 근사를 이용하여 근사하는 아이디어에서 출발한다. 만약 이러한 선형 근사가 존재한다면, 이는 주어진 점 a에서 함수 그래프에 접하고 그 기울기가 a에서의 미분 계수인 직선으로 유일하게 결정된다.

함수 f가 실수 집합에서 실수 집합으로의 함수일 때, 다음의 극한

: f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h

이 존재할 때, 함수 '''f는 a에서 미분 가능하다'''고 한다. 이 극한값을 a에서 f의 '''미분 계수'''라 부르며, 정의역의 각 점 x에 대해 미분 계수 f'(x)를 대응시키는 함수 f'을 f의 '''도함수'''라고 한다. 정의역의 모든 점에서 도함수가 존재할 때 그 함수를 '''미분 가능하다'''고 말한다.

만약 함수 f가 한 점 a에서 미분 가능하다면, f는 그 점에서 연속이다. 따라서 미분 가능성은 연속성보다 더 강한 조건이며, 함수의 '매끄러움' 정도를 나타낸다고 볼 수 있다. 실제로 모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 미분 가능하지 않은 함수도 존재한다. 대표적인 예로 바이어슈트라스 함수가 있다. 또한, 도함수의 도함수를 구하는 과정을 반복하여 고계 도함수를 정의할 수도 있다.

함수는 미분 가능성에 따라 여러 클래스로 분류할 수 있다.

클래스 C⁰는 모든 연속 함수들의 집합이다. (구간 [a, b]에서 연속인 함수 집합은 C⁰([a,b])로 표기하기도 한다.)
클래스 C¹는 도함수가 존재하고 그 도함수가 연속 함수인 모든 미분 가능 함수들의 집합이다. 이런 함수를 '''연속 미분 가능 함수'''라고 부른다. 따라서 C¹ 함수는 정확히 그 도함수가 C⁰에 속하는 함수이다.
일반적으로, 클래스 C^k는 재귀적으로 정의된다. C⁰을 모든 연속 함수의 집합으로 정의하고, 양의 정수 k에 대해 C^k를 그 도함수가 C^k-1에 속하는 모든 미분 가능 함수의 집합으로 정의한다. 모든 k ≥ 1에 대해 C^k는 C^k-1의 부분집합이며, 일반적으로 진부분집합이다.
클래스 C^∞는 모든 음이 아닌 정수 k에 대한 C^k 클래스들의 교집합이다. C^∞에 속하는 함수는 '''매끄러운 함수'''라고 하며, 무한 번 미분 가능하다.
클래스 C^ω는 모든 해석 함수들의 집합이다. 이 클래스는 C^∞의 진부분집합이다. 즉, 무한 번 미분 가능하더라도 해석 함수가 아닐 수 있다. (매끄럽지만 해석적이지 않은 함수의 예로 범프 함수가 있다.)

5. 3. 고계 도함수

함수의 도함수를 구하는 과정을 반복하여 얻는 함수를 고계 도함수(Higher-order derivative)라고 한다. 즉, 어떤 함수의 도함수를 구하고, 그 결과로 나온 도함수에 대해 다시 도함수를 구하는 과정을 계속 진행하여 얻어지는 함수들을 통칭하는 개념이다.

예를 들어, 함수

f(x)

의 도함수를

f'(x)

라고 할 때, 이 도함수

f'(x)

를 다시 미분하여 얻은 함수

f''(x)

는

f(x)

의 2계 도함수라고 부른다. 같은 방식으로, 2계 도함수

f''(x)

를 미분하여 얻은

f'''(x)

는 3계 도함수가 된다. 이러한 과정을

n

번 반복하여 얻은 함수

f^{(n)}(x)

를

f(x)

의 $n$ 계 도함수라고 정의한다.

함수가 얼마나 '매끄러운지'를 나타내는 척도인 미분 가능성은 이러한 고계 도함수의 존재 여부와 깊은 관련이 있다. 이를 바탕으로 함수를 다음과 같은 미분 가능성 클래스로 분류할 수 있다.

$C^0$ : 연속 함수들의 집합이다. 함수가 끊어지지 않고 이어져 있다는 의미이다.
$C^1$ : 도함수가 존재하고 그 도함수가 연속 함수인 함수, 즉 연속 미분가능 함수들의 집합이다. 이는 함수가 부드럽게 미분 가능함을 의미하며, $f'$ 이 $C^0$ 에 속하는 함수 $f$ 들의 모임이다.
$C^k$ : 함수가 $k$ 번 미분 가능하고, 그 결과로 얻어진 $k$ 계 도함수 $f^{(k)}(x)$ 가 연속 함수인 함수들의 집합이다. 이는 $f'$ 이 $C^{k-1}$ 에 속하는 함수 $f$ 들의 모임으로 재귀적으로 정의할 수도 있다. 모든 자연수 $k$ 에 대해 $C^k$ 는 $C^{k-1}$ 에 포함되는 더 강력한 조건의 집합이다( $C^k \subset C^{k-1}$ ).
$C^\infty$ : 함수가 무한히 많이 미분 가능한 함수, 즉 매끄러운 함수들의 집합이다. 이는 모든 자연수 $k$ 에 대해 $C^k$ 클래스에 속하는 함수들의 교집합으로 정의된다.
$C^\omega$ : 해석 함수들의 집합이다. 해석 함수는 각 점에서 테일러 급수로 표현될 수 있는 함수를 의미하며, 모든 해석 함수는 매끄럽기 때문에 $C^\omega$ 는 $C^\infty$ 에 포함된다. 하지만 그 역은 성립하지 않는데, 예를 들어 범프 함수는 무한 번 미분 가능하지만(매끄럽지만) 해석 함수는 아니다. 따라서 $C^\omega$ 는 $C^\infty$ 의 진부분집합이다.

5. 4. 매끄러운 함수

함수를 미분 가능성에 따라 여러 클래스로 분류할 수 있다. 클래스

C^0

는 모든 연속 함수들의 집합을 의미한다. 클래스

C^1

는 도함수가 존재하고 그 도함수가 연속 함수인 모든 미분가능 함수들의 집합으로, 이러한 함수를 '''연속 미분가능 함수'''라고 부른다. 따라서

C^1

에 속하는 함수는 정확히 그 도함수가 클래스

C^0

에 속하는 함수이다.

일반적으로, 클래스

C^k

는 재귀적으로 정의할 수 있다. 먼저

C^0

을 모든 연속 함수의 집합으로 정의한다. 그 다음, 임의의 양의 정수

k

에 대해

C^k

를 도함수가

C^{k-1}

에 속하는 모든 미분가능 함수의 집합으로 정의한다. 이 정의에 따르면, 모든

k

에 대해

C^k

는

C^{k-1}

에 포함되는 부분집합이 된다.

클래스

C^\infty

는 모든 음이 아닌 정수

k

에 대한 클래스

C^k

들의 교집합으로 정의된다. 이 클래스

C^\infty

에 속하는 함수를 '''매끄러운 함수'''라고 부른다. 즉, 매끄러운 함수는 무한 번 미분이 가능한 함수를 의미한다.

한편, 클래스

C^\omega

는 모든 해석 함수들의 집합을 나타낸다. 이 클래스는

C^\infty

에 엄격하게 포함되는 진부분집합이다. 이는 모든 해석 함수는 매끄러운 함수이지만, 매끄러운 함수라고 해서 반드시 해석 함수인 것은 아님을 의미한다. 예를 들어, 범프 함수는 매끄럽지만 해석적이지 않은 함수의 대표적인 예시이다.

6. 급수

급수는 무한히 나열된 수들의 합을 구한다는 개념을 수학적으로 엄밀하게 정의한 것이다. 고대 그리스에서는 무한히 많은 수를 더해 유한한 값을 얻는다는 것이 제논의 역설 등에서 볼 수 있듯 직관적으로 받아들이기 어려운 문제였다.

현대 수학에서는 급수를 다룰 때, 첫 $n$ 개 항까지의 합인 부분합( $s_n = \sum_{j=1}^n a_j$ )을 먼저 생각한다. 그리고 $n$ 이 무한히 커질 때 이 부분합들의 수열 $(s_n)$ 이 특정 값으로 수렴하는지 살펴본다. 만약 이 극한값 $s = \lim_{n \to \infty} s_n$ 이 존재하면, 이 값을 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 의 합이라고 정의하고, 급수가 수렴한다고 말한다. 극한값이 존재하지 않으면 급수는 발산한다고 한다.

급수의 합은 일반적인 유한 합과는 다른 성질을 가지며, 수렴하는지 발산하는지 판정하는 것이 중요하다. 또한 급수의 수렴에는 절대 수렴과 같은 중요한 개념들이 관련되어 있다.^[12]^[7] 급수의 수렴과 발산, 절대 수렴 등 더 자세한 내용과 구체적인 예시는 아래 하위 섹션들에서 다룬다.

6. 1. 급수의 수렴과 발산

급수는 무한히 나열된 수들의 합을 구한다는 개념을 엄밀하게 정의한 것이다. 무한히 많은 수를 더해 유한한 값을 얻는다는 생각은 고대 그리스인들에게 직관적으로 이해하기 어려웠으며, 제논과 같은 철학자들은 이와 관련하여 여러 역설을 제시했다. 현대 수학에서는 무한히 많은 수를 더한다는 모호한 개념 대신, 급수에 특정 값을 부여하는 방식으로 접근한다. 구체적으로, 첫

n

개 항의 합으로 정의되는 부분합(

s_n

)을 생각하고,

n

이 무한히 커질 때 이 부분합들의 수열

(s_n)

이 특정 값으로 수렴하는 경우, 그 극한값을 급수의 합으로 정의한다.

(무한) 수열

(a_n)

이 주어졌을 때, 이와 연관된 급수는

a_1 + a_2 + a_3 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n

로 표기하며, 간단히

\sum a_n

로 쓰기도 한다. 급수

\sum a_n

의

n

번째 부분합

s_n

은 첫째 항부터

n

번째 항까지의 합, 즉

s_n=\sum_{j=1}^n a_j

로 정의된다. 급수

\sum a_n

은 부분합으로 이루어진 수열

(s_n)

이 수렴할 때 수렴한다고 하며, 그렇지 않을 경우 발산한다고 한다. 급수가 수렴할 때, 그 합은 부분합 수열의 극한값

s = \lim_{n \to \infty} s_n

으로 정의된다.

여기서 '합'은 부분합 수열의 극한을 의미하는 비유적인 표현이며, 단순히 무한히 많은 수를 '더하는' 행위와는 다르다는 점에 유의해야 한다. 예를 들어, 유한한 수의 합과는 달리, 무한 급수는 더하는 항의 순서를 바꾸면 합의 결과가 달라질 수 있다(리만 재배열 정리 참고).

수렴하는 급수의 대표적인 예는 기하급수이다. 제논의 역설 중 일부는 이 기하급수의 원리를 이용한다.

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 .

반면, 조화급수는 발산하는 급수의 유명한 예시로, 중세 시대부터 그 발산성이 알려져 있었다.

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty .

(여기서 '

=\infty

'는 급수의 부분합이 한없이 커진다는 것을 의미하는 표기이다.)

급수

\sum a_n

의 각 항에 절댓값을 취한 급수

\sum |a_n|

이 수렴할 때, 원래 급수

\sum a_n

은 절대 수렴한다고 한다.^[12]^[7] 절대 수렴하는 급수는 반드시 수렴한다. 하지만 급수가 수렴하더라도 절대 수렴하지 않는 경우도 있는데, 이를 조건 수렴이라고 한다. 다음의 교대급수는 조건 수렴하는 대표적인 예이다.

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2 .

이 급수는 수렴하지만, 각 항의 절댓값을 취한 급수(조화급수)는 발산하므로 절대 수렴하지 않는다.

6. 2. 절대 수렴

급수

\sum a_n

에 대해, 각 항의 절댓값을 취한 급수

\sum |a_n|

이 수렴할 때, 원래 급수

\sum a_n

은 '''절대 수렴'''한다고 한다.^[12] 절대 수렴하는 급수는 항상 수렴하며, 이는 비교적 쉽게 증명될 수 있다.

반대로, 원래 급수

\sum a_n

은 수렴하지만 절댓값 급수

\sum |a_n|

은 발산하는 경우도 존재한다. 이러한 급수는 절대 수렴하지 않는다고 말한다.^[7] 예를 들어, 다음과 같은 교대급수는 ln 2로 수렴하지만, 각 항의 절댓값을 취하면 발산하는 조화급수가 되므로 절대 수렴하지 않는다.

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2 .

6. 3. 테일러 급수

실수 또는 복소수 ''a''에서 무한히 미분가능한 함수인 실수값 함수 또는 복소수값 함수 ''ƒ''(''x'')의 테일러 급수는 함수 ''f''(''x'')를 특정 점 ''a''에서의 미분 계수들을 이용하여 다음과 같은 멱급수 형태로 나타낸 것이다.

:

f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} (x-a)^3 + \cdots

이것은 시그마 표기법을 사용하여 더 간결하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}

여기서 ''n''!은 ''n''의 계승을 나타내고, ''ƒ''^(''n'')(''a'')는 점 ''a''에서 계산된 ''ƒ''의 ''n''번째 도함수를 의미한다. ''ƒ''의 0차 도함수는 ''ƒ'' 자신으로 정의하며, (''x'' − ''a'')⁰과 0!은 모두 1로 정의된다. 특별히 ''a'' = 0인 경우의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 부른다.

점 ''a''에 대한 함수 ''f''의 테일러 급수는 항상 수렴하는 것은 아니다. 다음과 같은 경우가 가능하다.

급수가 발산할 수 있다.
오직 점 ''a''에서만 수렴할 수 있다.
$|x-a| 을 만족하는 모든 ''x''에 대해 수렴할 수 있다. 이때, 수렴이 보장되는 가장 큰 ''R''을$ 수렴 반경이라고 한다.
실수 전체 또는 복소 평면 전체에서 수렴할 수 있다.

테일러 급수가 특정 구간에서 수렴한다고 해도, 그 합이 원래 함수 ''f''(''x'')의 값과 항상 같은 것은 아니다. 어떤 점 ''a'' 근방에서 테일러 급수가 0이 아닌 수렴 반경을 가지고 그 합이 원래 함수 ''f''(''x'')와 같을 때, 함수 ''f''를 그 점에서 해석적이라고 한다.

해석 함수는 여러 중요한 성질을 가지는데, 특히 실수 변수를 갖는 해석 함수는 자연스럽게 복소 변수를 갖는 함수로 확장될 수 있다. 이러한 방식으로 지수 함수, 로그 함수, 삼각함수 및 그들의 역삼각 함수 등이 복소 변수의 함수로 정의되고 연구된다.

6. 4. 푸리에 급수

푸리에 급수는 주기함수나 주기적인 신호를 사인함수나 코사인함수(또는 복소지수)와 같은 단순 진동함수들로 분해하는 데에 사용한다. 푸리에 급수는 해석학의 하위 분야인 푸리에 해석에서 핵심적으로 다루는 개념이다.

7. 적분

'''적분'''은 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이나 곡선의 길이, 표면으로 둘러싸인 공간의 부피 등을 구하는 데에 쓰이는 개념이다. 고대 그리스와 중국에서는 이런 값들을 구하기 위해 소진법method of exhaustion^영어을 이용하였다. 이 방법은 주어진 영역에 내접하는 다각형과 외접하는 다각형의 넓이를 계산하여 구하고자 하는 넓이를 근사하는 것으로, 점점 더 작은 조각들을 영역 내부와 외부에 계속해서 덧붙여 나가면 두 값이 주어진 영역의 넓이로 수렴하는 원리에 기초한다.

리만 적분을 정의할 때도 소진법의 원리를 이용하는데, 점점 더 작은 직사각형 조각(이를 '세분'이라 한다)으로 영역을 쪼갤수록 리만(또는 다르부) 상합과 하합이 동시에 특정 값으로 수렴할 때 적분이 존재한다고 한다. 리만 적분보다 좀 더 복잡하기는 하지만 르베그 적분도 비슷한 개념을 사용하여 적분을 정의한다. 리만 적분과 달리 더 정교한 르베그 적분을 이용하면, 넓이를 정의할 수 있는 가측 집합이 아닌 경우를 제외하면 복잡하고 비정규적인 유클리드 공간 집합의 넓이(또는 길이, 부피 등. 이를 '측도'라는 개념으로 일반화한다)도 계산할 수 있다.

7. 1. 리만 적분

리만 적분은 어떤 닫힌 구간의 분할이 주어졌을 때 함수의 리만 합을 이용하여 정의할 수 있다. 이는 고대 그리스와 중국에서 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이나 부피 등을 구하기 위해 사용했던 소진법(method of exhaustion^영어)의 원리를 이용한 것이다. 소진법은 구하고자 하는 영역에 내접하거나 외접하는 도형(주로 다각형)의 넓이를 계산하여 근사하는 방식으로, 도형을 점점 더 잘게 쪼개어 그 넓이의 합이 실제 영역의 넓이에 수렴하도록 하는 방법이다.

리만 적분에서는 구간

[a,b]

를 여러 개의 작은 부분 구간으로 나누는 '''분할'''(partition^영어)을 생각한다.

[a,b]

의 분할

\cal{P}

는 다음과 같은 유한 수열이다.

:

a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b \,\!

이 분할은

[a,b]

를

n

개의 닫힌 부분 구간

[x_{i-1},x_i]

(단,

i=1,\ldots, n

)으로 나눈다. 각 부분 구간

[x_{i-1},x_i]

에서 임의의 점

t_i

를 선택하는 것을 '''태그된 분할'''(tagged partition^영어)이라고 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!

이제 구간

[a,b]

에서 정의된 함수

f

에 대해, 태그된 분할

\cal{P}

에 대한

f

의 '''리만 합'''(Riemann sum^영어)은 다음과 같이 정의된다.

:

\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i

여기서

\Delta_i = x_i - x_{i-1}

는

i

번째 부분 구간의 길이(너비)이다. 이 합의 각 항

f(t_i) \Delta_i

는 너비가

\Delta_i

이고 높이가

f(t_i)

인 직사각형의 넓이를 의미한다. 즉, 리만 합은 이러한 직사각형들의 넓이를 모두 더한 값이다.

주어진 분할에서 가장 큰 부분 구간의 길이

\|\Delta_i\| = \max_{i=1,\ldots, n}\Delta_i

를 분할의 '''노름'''(norm^영어) 또는 '''메시'''(mesh^영어)라고 한다. 만약 분할의 메시를 0에 가깝게 만들 때(즉, 부분 구간을 무한히 잘게 쪼갤 때) 리만 합이 어떤 일정한 값

S

로 수렴하면, 이 값

S

를

[a,b]

에서

f

의 '''리만 적분'''이라고 정의한다. 수학적으로는 임의의

\varepsilon > 0

에 대해, 메시가

\| \Delta_i \| < \delta

인 모든 태그된 분할

\cal{P}

와 그 안의 모든

t_i

선택에 대하여 아래 식을 만족하는

\delta > 0

가 존재하면

S

를

f

의 리만 적분 값이라고 한다.

::

\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon

리만 적분은

\mathcal{R}\int_{a}^b f = S

또는 간단히

\int_{a}^b f(x) dx = S

로 표기한다.

한편, 각 부분 구간에서 함수

f

의 최댓값(또는 최솟값)을

f(t_i)

로 선택하여 만든 리만 합을 특별히 '''다르부 상합'''(또는 '''다르부 하합''')이라고 부른다. 분할의 메시를 0으로 보낼 때 다르부 상합과 하합이 같은 값으로 수렴하면 함수

f

를 '''다르부 적분 가능'''하다고 한다. 함수가 리만 적분 가능하다는 것과 다르부 적분 가능하다는 것은 서로 동치이며, 두 적분 값은 같다. 많은 교재에서는 정의의 편의성 때문에 다르부 적분의 정의를 사용하여 리만 적분을 설명하기도 한다.

미적분학의 기본정리는 특정 조건 하에서 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있음을 보여준다.

7. 2. 르베그 적분

'''르베그 적분'''은 적분 개념을 더 넓은 범위의 함수와 정의역에 적용할 수 있도록 확장한 수학적 방법이다. 이는 길이, 넓이, 부피 등을 일반화한 개념인 '''측도'''를 핵심적으로 사용한다.

적분의 기본적인 아이디어는 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이나 부피 등을 구하는 문제에서 비롯되었다. 고대 그리스와 중국에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 소진법(method of exhaustion^eng)이라는 방법을 사용했는데, 이는 영역을 점점 더 세밀한 도형으로 근사하여 넓이를 구하는 방식이다. 리만 적분 역시 이 원리를 이용하여, 영역을 잘게 나눈 직사각형들의 넓이 합(리만 합 또는 다르부 합)이 일정한 값으로 수렴할 때 적분이 가능하다고 정의한다.

르베그 적분은 리만 적분과 유사한 아이디어에서 출발하지만, 더 정교하고 복잡한 방식으로 정의된다. 이를 통해 리만 적분으로는 다루기 어려웠던 더 복잡하고 불규칙한 유클리드 공간의 부분 집합에 대해서도 측도(넓이, 길이, 부피 등)를 정의하고 계산하는 것이 가능해진다. 즉, 르베그 적분은 리만 적분보다 더 일반적인 적분 방법이라고 할 수 있다. 하지만 르베그 적분을 사용하더라도 여전히 측도를 정의할 수 없는 '비가측 집합'(non-measurable set)은 존재한다.

7. 3. 측도

측도는 길이, 넓이, 부피 등 집합의 크기를 재는 개념을 일반화한 것이다. 특히 르베그 적분 이론의 기초가 되며, 르베그 적분을 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다. 리만 적분과 비교했을 때, 르베그 적분은 측도 개념을 사용하여 더 복잡하고 불규칙한 유클리드 공간의 부분 집합에 대해서도 크기(측도)를 정의하고 계산할 수 있게 해준다. 이를 통해 더 많은 종류의 함수와 더 다양한 종류의 정의역에 대해 적분을 정의할 수 있다. 하지만 모든 집합에 측도를 부여할 수 있는 것은 아니며, 측도를 정의할 수 없는 비가측 집합non-measurable set^영어도 존재한다.

8. 분포

'''분포'''(또는 '''일반화된 함수''')는 함수를 일반화한 개념이다. 분포를 사용하면 고전적인 의미에서 미분이 불가능했던 함수도 미분할 수 있게 된다. 특히, 모든 국소 적분 가능 함수는 분포적 도함수를 갖는다.

9. 주요 정리

실해석학의 주요 정리들로는 볼차노-바이어슈트라스 정리, 하이네-보렐 정리, 중간값 정리, 평균값 정리, 테일러 정리, 미적분학의 기본 정리, 아르첼라-아스콜리 정리, 스톤-바이어슈트라스 정리, 파투의 보조정리, 단조 수렴 정리, 지배 수렴 정리 등이 있다.

10. 복소해석학과의 관계

실해석학은 실수를 다루는 해석학의 한 분야이며, 복소해석학은 복소수를 다루는 분야이다. 이 두 분야는 서로 밀접하게 관련되어 있다.

복소해석학에서는 미분을 정칙 함수를 통해 정의하는 것이 일반적이다. 정칙 함수는 여러 번 미분이 가능하고, 멱급수로 표현할 수 있으며, 코시 적분 공식을 만족하는 등 유용한 성질을 많이 가지고 있다. 반면 실해석학에서는 미분가능 함수, 매끄러운 함수, 조화 함수 등을 주로 다룬다. 이 함수들은 정칙 함수보다 더 넓은 범위에 적용될 수 있지만, 정칙 함수가 가진 강력한 성질 중 일부는 가지고 있지 않을 수 있다.

하지만 대수학의 기본 정리와 같은 몇몇 결과는 복소수를 사용하여 표현할 때 더 간결하게 나타나는 장점이 있다. 또한, 복소 변수의 해석 함수 이론에서 사용되는 기법들이 실해석학 문제 해결에 유용하게 쓰이기도 한다. 예를 들어, 잔류 미적분을 이용하여 실수 함수의 적분 값을 계산하는 경우가 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Lecture notes for MATH 131AH https://www.math.ucl[...] 2003
_[2] 웹사이트 Sequences intro https://www.khanacad[...]
_[3] 서적 Introduction to Analysis AMS (2009)
_[4] 문서 Some authors (e.g., Rudin 1976) use braces instead and write $\{a_n\}$ . However, this notation conflicts with the usual notation for a [[Set theory|set]], which, in contrast to a sequence, disregards the order and the multiplicity of its elements.
_[5] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://archive.org/[...] Brooks/Cole
_[6] 기타 "harvnb|Royden|1988|loc=Sect. 5.4, page 108; |harvnb|Nielsen|1997|loc=Definition 15.6 on page 251; |harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval ''I'' is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book."
_[7] 문서 The term '''''unconditional convergence''''' refers to series whose sum does not depend on the order of the terms (i.e., any rearrangement gives the same sum). Convergence is termed '''''conditional''''' otherwise. For series in $\R^n$ , it can be shown that absolute convergence and unconditional convergence are equivalent. Hence, the term "conditional convergence" is often used to mean non-absolute convergence. However, in the general setting of Banach spaces, the terms do not coincide, and there are unconditionally convergent series that do not converge absolutely.
_[8] 웹인용 Lecture notes for MATH 131AH https://www.math.ucl[...] 2003
_[9] 서적 Introduction to Analysis AMS (2009)
_[10] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://archive.org/[...] Brooks/Cole
_[11] 기타 "harvnb|Royden|1988|loc=Sect. 5.4, page 108; |harvnb|Nielsen|1997|loc=Definition 15.6 on page 251; |harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129"
_[12] 문서 항을 더하는 순서를 바꿔도 수렴값이 변하지 않는 급수를 '''[[무조건 수렴]]'''한다고 하고, 그렇지 않은 급수를 '''[[조건 수렴]]'''한다고 한다. 실수항 또는 복소수항 급수의 경우 무조건 수렴은 절대 수렴과 동치이며, 따라서 조건 수렴은 절대 수렴하지 않는 수렴 급수와 같다. 그러나 일반적인 [[바나흐 공간]]에서는 두 수렴이 동치가 아니며, 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.

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