슈어 분해

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
- 3.1. 구성적 증명
- 3.2. 몫 공간을 이용한 증명
4. 계산
5. 응용
- 5.1. 리 군론
- 5.2. 기타 응용
6. 역사
참조

1. 개요

슈어 분해는 복소수 정방 행렬을 유니타리 행렬과 상삼각 행렬의 곱으로 나타내는 방법이다. 복소수 슈어 분해는 임의의 복소수 행렬을 유니타리 행렬과 상삼각 행렬로 분해하며, 실수 슈어 분해는 실수 행렬을 직교 행렬과 블록 상삼각 행렬로 분해한다. 일반화 슈어 분해는 두 복소수 행렬을 동시에 유니타리 행렬과 상삼각 행렬로 분해하며, 실수 일반화 슈어 분해는 두 실수 행렬을 직교 행렬과 블록 상삼각 행렬로 분해한다. 이 분해는 고유값 계산, QR 알고리즘, 리 군론 등 다양한 분야에 응용된다.

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슈어 분해
개요
종류	행렬 분해
분야	선형대수학
설명
정의	n × n 복소수 행렬 A에 대해, A = QUQ를 만족하는 유니타리 행렬 Q와 상삼각 행렬 U가 존재한다. 여기서 U는 U의 켤레 전치(Hermitian transpose)이다.
참고	실수 행렬의 경우, A = QVQᵀ를 만족하는 실수 직교 행렬 Q와 준상삼각 행렬 V가 존재한다. 여기서 V는 대각선에 1×1 또는 2×2 블록을 갖는 블록 상삼각 행렬이다. 또한, Qᵀ는 Q의 전치 행렬이다.
활용	행렬 A의 고윳값을 계산 특정 유형의 행렬(정규 행렬)은 대각화 가능함을 증명
관련 개념	정규 행렬

2. 정의

복소수 슈어 분해는 다음과 같다. 만약 $A$ 가 복소수를 성분으로 갖는 $n \times n$ 정방 행렬이라면, $A$ 는 다음과 같이 표현될 수 있다.^[1]^[2]^[3]

: $A = Q U Q^{-1}$

여기서 $Q$ 는 유니타리 행렬(따라서 역행렬 $Q^{-1}$ 은 $Q$ 의 켤레 전치 행렬 $Q^*$ 와 같다)이고, $U$ 는 상삼각 행렬이다. 이것을 $A$ 의 '''슈어 형식'''이라고 부른다. $U$ 는 $A$ 와 닮음이므로, 동일한 스펙트럼을 가지며, 삼각 행렬이므로, 그 고유값은 $U$ 의 대각선 성분이다.

실수 슈어 분해도 있다. 만약 $A$ 가 실수를 성분으로 갖는 $n \times n$ 정방 행렬이라면, $A$ 는 다음과 같이 표현될 수 있다.^[4]

: $A = Q H Q^{-1}$

여기서 $Q$ 는 직교 행렬이고 $H$ 는 상삼각 또는 하삼각 헤센베르크 행렬이다.

슈어 분해는 $A$ -불변 부분 공간의 중첩된 시퀀스 $\{0\} = V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_n = \mathbb{C}^n$ 가 존재하며, ( $\mathbb{C}^n$ 의 표준 에르미트 형식에 대한) 정렬된 정규 직교 기저가 존재하여, 처음 $i$ 개의 기저 벡터가 중첩된 시퀀스에서 각 $i$ 에 대해 $V_i$ 를 생성한다는 것을 의미한다.

2. 1. 슈어 분해

임의의 복소수

n\times n

행렬

M

은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를

M

의 '''(복소수) 슈어 분해'''((complex) Schur decomposition^영어)라고 한다.^[15]^[16]

:

M=QTQ^\dagger

(

(-)^\dagger

는 켤레 전치)

여기서

$Q$ 는 $n\times n$ 유니터리 행렬이다.
$T$ 는 복소수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

이 경우,

T

의 대각 성분들은

M

의 고윳값의 중복 집합을 이룬다. 만약

M

이 정규 행렬일 경우,

T

는 대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬이 대각 행렬과 동치이기 때문이다).

좀 더 구체적으로 설명하자면, 복소수를 성분으로 갖는

n \times n

정방 행렬

A

는 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]^[2]^[3]

:

A = Q U Q^{-1}

여기서

Q

는 유니터리 행렬(따라서 역행렬

Q^{-1}

은

Q

의 켤레 전치 행렬

Q^*

와 같다)이고,

U

는 상삼각 행렬이며, 이를

A

의 '''슈어 형식'''이라고 부른다.

U

는

A

와 닮음이므로, 동일한 스펙트럼을 가지며, 삼각 행렬이므로, 그 고유값은

U

의 대각선 성분이다.

슈어 분해는

A

-불변 부분 공간의 중첩된 시퀀스

\{0\} = V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_n = \mathbb{C}^n

가 존재하며, (

\mathbb{C}^n

의 표준 에르미트 형식에 대한) 정렬된 정규 직교 기저가 존재하여, 처음

i

개의 기저 벡터가 중첩된 시퀀스에서 각

i

에 대해

V_i

를 생성한다는 것을 의미한다.

2. 2. 실수 슈어 분해

임의의 실수

n\times n

행렬

M

은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를

M

의 '''실수 슈어 분해'''(real Schur decomposition^영어)라고 한다(

(-)^\top

은 전치 행렬).^[15]

:

M=QTQ^\top

여기서

$Q$ 는 실수 $n\times n$ 직교 행렬이다.
$T$ 는 실수 $n\times n$ 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 $1\times 1$ 행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 켤레 복소수를 고윳값으로 갖는 $2\times 2$ 행렬이다.

이 경우,

M

의 고윳값은

T

의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값은

T

의

1\times 1

대각 성분이다. 만약

M

의 모든 고윳값이 실수일 경우,

T

는 상삼각 행렬이 된다.^[14] 만약

M

이 대칭 행렬일 경우,

T

는 대각 행렬이 된다.

2. 3. 일반화 슈어 분해

임의의 두 복소수

n\times n

행렬

M

,

N

은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를

(M,N)

의 '''(복소수) 일반화 슈어 분해'''(generalized Schur decomposition^영어)라고 한다.^[15]

:

M=QSZ^\dagger

:

N=QTZ^\dagger

여기서

$Q$ 와 $Z$ 는 $n\times n$ 유니터리 행렬이다.
$S$ 와 $T$ 는 복소수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

이 경우,

(M,N)

의 일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다.

:

\sigma(M,N)=\sigma(S,T)=\begin{cases}\{S_{ii}/T_{ii}\colon T_{ii}\ne 0\} & \not\exist i\in\{1,\dots,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0 \\\mathbb C & \exist i\in\{1,\dots,n\}\colon S_{ii}=T_{ii}=0\end{cases}

일반화된 슈어 분해는 '''QZ 분해'''라고도 불린다.^[2]

일반화 고윳값

\lambda

는 일반화된 고유값 문제

A\mathbf{x}=\lambda B\mathbf{x}

(여기서 '''x'''는 미지의 영이 아닌 벡터)를 푼 것으로, ''S''의 대각선 요소와 ''T''의 대각선 요소의 비율로 계산할 수 있다. 즉, 행렬 요소를 나타내기 위해 아래첨자를 사용하면, ''i''번째 일반화된 고유값

\lambda_i

는

\lambda_i = S_{ii} / T_{ii}

를 만족한다.

2. 4. 실수 일반화 슈어 분해

임의의 두 복소수

n\times n

행렬

M

,

N

은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를

(M,N)

의 '''실수 일반화 슈어 분해'''(real generalized Schur decomposition^영어)라고 한다.^[15]

:

M=QSZ^\top

:

N=QTZ^\top

여기서

$Q$ 와 $Z$ 는 실수 $n\times n$ 직교 행렬이다.
$S$ 는 실수 $n\times n$ 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 $1\times 1$ 또는 $2\times 2$ 행렬이다.
$T$ 는 실수 $n\times n$ 상삼각 행렬이다.

3. 증명

슈어 분해는 임의의 정사각 행렬을 유니터리 행렬과 상삼각행렬의 곱으로 나타내는 방법이다. 이 분해는 주어진 행렬의 고유값과 고유공간을 이용하여 구성적으로 증명할 수 있으며, 몫 공간의 개념을 이용하여 보다 간결하게 표현할 수도 있다.^[5]

3. 1. 구성적 증명

슈어 분해에 대한 구성적 증명은 다음과 같다. 복소 유한 차원 벡터 공간의 모든 연산자 ''A''는 어떤 고유 공간 ''V_λ''에 해당하는 고유값 ''λ''를 갖는다. ''V_λ''^⊥을 이의 직교 여집합이라고 한다. 이 직교 분해에 대해 ''A''는 다음과 같은 행렬 표현을 갖는다(여기에서 ''V_λ''와 ''V_λ''^⊥을 각각 span하는 임의의 정규 직교 기저 ''Z''₁과 ''Z''₂를 선택할 수 있다).

:

\begin{bmatrix} Z_1 & Z_2 \end{bmatrix}^{*} A \begin{bmatrix}Z_1 & Z_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda \, I_{\lambda} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}:\begin{matrix}V_{\lambda} \\\oplus \\V_{\lambda}^{\perp}\end{matrix}\rightarrow\begin{matrix}V_{\lambda} \\\oplus \\V_{\lambda}^{\perp}\end{matrix}

여기서 ''I_λ''는 ''V_λ'' 상의 항등 연산자이다. 위의 행렬은 ''A''₂₂ 블록을 제외하고는 상삼각 행렬이다. 그러나 정확히 동일한 절차를 ''V_λ''^⊥상의 연산자로 간주되는 하위 행렬 ''A''₂₂와 그 하위 행렬에 적용할 수 있다. 결과 행렬이 상삼각 행렬이 될 때까지 이와 같은 방식으로 진행한다. 각 켤레는 상삼각 블록의 차원을 최소한 1씩 증가시키므로 이 과정은 최대 ''n'' 단계를 거친다. 따라서 공간 '''C'''^''n''은 소진될 것이고 이 절차는 원하는 결과를 산출했다.^[5]

위의 논증은 다음과 같이 약간 다시 진술할 수 있다. ''λ''를 어떤 고유 공간 ''V_λ''에 해당하는 ''A''의 고유값이라고 한다. ''A''는 몫 공간 '''C'''^''n''/''V_λ'' 상에 연산자 ''T''를 유도한다. 이 연산자는 위에서 ''A''₂₂ 하위 행렬이다. 이전과 마찬가지로, ''T''는 '''C'''^''n'' 모듈로 ''V_λ''에서, 즉 ''W_μ'' ⊂ '''C'''^''n''의 고유 공간을 가질 것이다. 몫 사상 아래에서 ''W_μ''의 사전 이미지가 ''V_λ''을 포함하는 ''A''의 불변 부분 공간임을 주목하라. 결과 몫 공간의 차원이 0이 될 때까지 이와 같은 방식으로 진행한다. 그런 다음 각 단계에서 발견된 고유 공간의 연속적인 사전 이미지는 ''A''가 안정화되는 플래그를 형성한다.

3. 2. 몫 공간을 이용한 증명

''λ''를 연산자 ''A''의 고유값, ''V_λ''를 해당 고유값에 대응하는 고유 공간이라고 하자. ''A''는 몫 공간 '''C'''^''n''/''V_λ'' 상에 연산자 ''T''를 유도한다. 이 연산자 ''T''는 ''A''₂₂ 하위 행렬에 해당한다. ''T''는 '''C'''^''n'' 모듈로 ''V_λ''에서 고유 공간 ''W_μ'' ⊂ '''C'''^''n''를 갖는다. 몫 사상 아래에서 ''W_μ''의 사전 이미지는 ''V_λ''를 포함하는 ''A''의 불변 부분 공간이다. 결과 몫 공간의 차원이 0이 될 때까지 이 과정을 반복한다. 각 단계에서 발견된 고유 공간의 연속적인 사전 이미지는 ''A''가 안정화되는 플래그를 형성한다.^[5]

4. 계산

주어진 행렬의 슈어 분해는 QR 알고리즘이나 그 변형을 통해 수치적으로 계산된다. 즉, 행렬에 해당하는 특성 다항식의 근을 슈어 분해를 구하기 위해 미리 계산할 필요는 없다.^[7]

다음은 행렬을 삼각화하는 예시이다. 삼각화 방법은 유일하지 않으므로, 아래에 제시된 방법은 하나의 예시일 뿐이다.

: $A=\begin{bmatrix}4 & -8 & 1 \\1 & -5 & 1 \\$

9 & 8 & -6 \end{bmatrix}

''A''의 고유 방정식을 통해 고윳값

\lambda

를 구하면,

\det(A - \lambda I_3)=0 , (\lambda +5)^2(\lambda -3)=0

이다. 이로부터 고윳값 -5를 선택하고, 이에 대응하는 고유 벡터

\begin{bmatrix}1, &1, &

1\end{bmatrix}^{\intercal}

를 선택한다.

이 고유 벡터를 포함하는 정규 직교 기저를 선택한다. 여기서는 다음과 같이 선택한다.

:

\boldsymbol{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}1 \\1 \\

1\end{bmatrix},

\boldsymbol{u} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\

1 \\

0 \end{bmatrix},\boldsymbol{w} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}

1 \\
1 \\
2 \end{bmatrix}

이 벡터들을 가로로 나열하여 3차 정방 행렬

Q_1 = \begin{bmatrix}\vec{{\mathbf v}_1} & \vec{\mathbf u} & \vec{\mathbf w}\end{bmatrix}

를 만들면, 이 행렬은 유니타리 행렬이 된다.

{Q_1}^{-1} A Q_1

의 1열은 (1,1) 성분을 제외하고 모두 0이다. 그 이유는 다음과 같이 확인할 수 있다.

:

{Q_1}^{-1} A Q_1 \vec{{\mathbf e}_1} = {Q_1}^{-1} A \vec{{\mathbf v}_1} =  \lambda_1 {Q_1}^{-1} \vec{{\mathbf v}_1} = \lambda_1 {Q_1}^{-1} Q_1 \vec{{\mathbf e}_1} = \begin{bmatrix}\lambda_1 \\0 \\0  \end{bmatrix}

여기서

\vec{{\mathbf e}_1} = \begin{bmatrix}1 \\0 \\0  \end{bmatrix}

는 단위 벡터이다. 실제로 계산해보면 다음과 같다.

:

{Q_1}^{-1} A Q_1 = \begin{bmatrix}

5 & 35/\sqrt{6} & -3/\sqrt{2} \\

0 & 3 & 0 \\0 & 8/\sqrt{3} & -5 \end{bmatrix}

다음으로, 오른쪽 아래의 2×2 소행렬

\tilde{A} =\begin{bmatrix}3 & 0 \\8/\sqrt{3} & -5 \end{bmatrix}

에 대해, 1열이 (1,1) 성분을 제외하고 0이 되도록 2차 유니타리 행렬

\tilde{Q_2} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}

를 취한다. 이를 3차 행렬로 확장하여,

:

Q_2 = \begin{bmatrix}1 & \begin{matrix}0 & 0 \end{matrix} \\\begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} & \tilde{Q_2} \end{bmatrix} ,{Q_2}^{-1} = \begin{bmatrix}1 & \begin{matrix}0 & 0 \end{matrix} \\\begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} & {\tilde{Q_2}}^{-1} \end{bmatrix}

를 구성한다. 그러면,

:

{Q_2}^{-1} {Q_1}^{-1} A Q_1 Q_2 = \begin{bmatrix}

5 & -3/\sqrt{2} & 35/\sqrt{6} \\

0 & -5 & 8/\sqrt{3} \\0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

와 같이 상삼각 행렬을 얻을 수 있다.

마지막으로 얻은 상삼각 행렬을 ''U''라고 하면, 유니타리 행렬

Q:=Q_1 Q_2

에 의해

Q^{-1} A Q = U, A = Q U Q^{-1}

와 같이 표현할 수 있다.

4. 1. QR 알고리즘

주어진 행렬의 슈어 분해는 QR 알고리즘 또는 그 변형을 통해 수치적으로 계산된다. 즉, 행렬에 해당하는 특성 다항식의 근을 슈어 분해를 구하기 위해 미리 계산할 필요는 없다. 반대로, QR 알고리즘은 동반 행렬의 슈어 분해를 구하여 주어진 특성 다항식의 근을 계산하는 데 사용될 수 있다.^[7] 마찬가지로, QR 알고리즘은 주어진 행렬의 고윳값을 계산하는 데 사용되며, 이 고윳값은 슈어 분해의 상삼각 행렬의 대각선 항목이다. QR 알고리즘은 형식적으로 무한한 일련의 연산이지만, 머신 정밀도로의 수렴은 실제적으로

\mathcal{O}(n^3)

연산으로 달성된다.^[7] LAPACK 사용자 가이드의 비대칭 고윳값 문제 섹션을 참조하십시오.^[8]

4. 2. 특성 다항식

주어진 행렬의 슈어 분해는 QR 알고리즘 또는 그 변형을 통해 수치적으로 계산된다. 즉, 행렬에 해당하는 특성 다항식의 근을 슈어 분해를 구하기 위해 미리 계산할 필요는 없다. 반대로, QR 알고리즘은 동반 행렬의 슈어 분해를 구하여 주어진 특성 다항식의 근을 계산하는 데 사용될 수 있다.^[7] 마찬가지로, QR 알고리즘은 주어진 행렬의 고유값을 계산하는 데 사용되며, 이 고유값은 슈어 분해의 상삼각 행렬의 대각선 항목이다. QR 알고리즘은 형식적으로 무한한 일련의 연산이지만, 머신 정밀도로의 수렴은 실제적으로

\mathcal{O}(n^3)

연산으로 달성된다.^[7]

4. 3. 계산 복잡도

주어진 행렬의 슈어 분해는 QR 알고리즘 또는 그 변형을 통해 수치적으로 계산된다. 즉, 행렬에 해당하는 특성 다항식의 근을 슈어 분해를 구하기 위해 미리 계산할 필요는 없다. 반대로, QR 알고리즘은 동반 행렬의 슈어 분해를 구하여 주어진 특성 다항식의 근을 계산하는 데 사용될 수 있다.^[7] 마찬가지로, QR 알고리즘은 주어진 행렬의 고유값을 계산하는 데 사용되며, 이 고유값은 슈어 분해의 상삼각 행렬의 대각선 항목이다. QR 알고리즘은 형식적으로 무한한 일련의 연산이지만, 머신 정밀도로의 수렴은 실제적으로

\mathcal{O}(n^3)

연산으로 달성된다.^[7] LAPACK 사용자 가이드의 비대칭 고유값 문제 섹션을 참조하십시오.^[8]

5. 응용

슈어 분해는 리 군론 등 다양한 분야에 응용된다.

Lie theory^영어에서의 응용은 다음을 포함한다.

모든 가역 연산자는 어떤 Borel subgroup|label=보렐 군^영어에 포함된다.
모든 연산자는 Generalized flag variety|label=깃발 다양체^영어의 어떤 점을 고정한다.

5. 1. 리 군론

모든 가역 연산자는 보렐 부분군에 포함된다.
모든 연산자는 깃발 다양체의 한 점을 고정한다.

5. 2. 기타 응용

모든 가역 연산자는 보렐 군에 포함된다.
모든 연산자는 플래그 다양체의 한 점을 고정한다.

6. 역사

유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다.

참조

_[1] 서적 Matrix Analysis https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 Matrix Computations https://books.google[...] Johns Hopkins University Press
_[3] 서적 Matrix Analysis for Statistics https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[4] 서적 Matrix Analysis https://books.google[...] Cambridge University Press
_[5] 웹사이트 Proof of Schur's Theorem https://math.mit.edu[...]
_[6] 웹사이트 What Is a Schur Decomposition? https://nhigham.com/[...] 2022-05-11
_[7] 서적 Numerical linear algebra https://www.worldcat[...] Society for Industrial and Applied Mathematics 1997
_[8] 서적 LAPACK Users guide http://www.netlib.or[...] Society for Industrial and Applied Mathematics 1995
_[9] 간행물 "Numerical Methods for General and Structured Eigenvalue Problems" Springer
_[10] 서적 https://books.google[...]
_[11] 서적 https://books.google[...]
_[12] 서적 https://books.google[...]
_[13] 간행물 "Numerical Methods for General and Structured Eigenvalue Problems" Springer
_[14] 서적 최신선형대수 학술정보
_[15] 서적 https://archive.org/[...]
_[16] 서적 https://archive.org/[...]

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