보렐 부분군

1. 개요

보렐 부분군은 대수적으로 닫힌 체 위의 연결 대수군의 부분군으로, 두 가지 정의가 동치이다. 첫 번째 정의는 자리스키 위상에 대해 닫힌 집합이고 연결 공간이며 가해군인 부분군 중 극대 원소로 정의된다. 두 번째 정의는 잉여류 공간이 완비 대수다양체를 이루는 부분군 중 최소 원소로 정의된다. 보렐 부분군과 전체 군 사이의 부분군은 포물선 부분군이라고 불리며, 보렐 부분군은 최소 포물선 부분군이다. 단순 대수군의 경우, 포물선 부분군의 켤레류는 딘킨 도형의 노드 집합과 일대일 대응을 이룬다. 보렐 부분군은 켤레 아래 유일하며, 보렐 부분 리 대수와 표준 보렐 부분 리 대수 등의 개념이 존재한다. 보렐 부분군은 아르망 보렐에 의해 도입되었다.

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 연결 대수군 $G\backslash to\; \backslash operatorname\{Spec\}\; K$가 주어졌을 때, 보렐 부분군은 다음 두 가지 동치 조건 중 하나로 정의된다.

* $G$의 부분군 가운데, 닫힌 연결 가해군이며 극대 원소인 것.
* $G$의 부분군 가운데, 잉여류 공간 $G/H$가 $K$-완비 대수다양체를 이루는 포물형 부분군 중 최소 원소인 것.

2.1. 정의 1

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 (자리스키 위상에서) 연결 대수군 $G\backslash to\backslash operatorname\{Spec\}K$가 주어졌다고 하자. $G$의 부분군 가운데, 다음 세 조건들을 만족시키는 것들을 생각하자.

* 자리스키 위상에 대하여 닫힌집합이다.
* 자리스키 위상에 대하여 연결 공간이다.
* 군으로서 가해군이다.

이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 보렐 부분군이라고 한다.

2.2. 정의 2

$G$의 부분군 $H\backslash le\; G$ 가운데, 잉여류 공간 $G/H$가 $K$-완비 대수다양체를 이루는 것을 $G$의 포물형 부분군이라고 한다.

포물형 부분군들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 최소 원소를 보렐 부분군이라고 한다. 보렐 부분군 B와 주변군 G 사이의 부분군은 포물선 부분군이라고 불린다. 포물선 부분군 P는 대수적 부분군 중에서 G/P가 완비 다양체라는 조건으로도 특징지어진다. 대수적으로 닫힌 체 위에서 작업할 때, 보렐 부분군은 이러한 의미에서 최소 포물선 부분군임이 밝혀진다. 따라서 균질 공간 G/B가 "가능한 한 큰" 완비 다양체일 때 B는 보렐 부분군이다.

단순 대수군 G에 대해, 포물선 부분군의 켤레류 집합은 해당 딘킨 도형의 노드 집합의 모든 부분 집합과 일대일 대응을 이룬다. 보렐 부분군은 공집합에 해당하고, G 자체는 모든 노드 집합에 해당한다. (일반적으로 딘킨 도형의 각 노드는 단순 음근을 결정하고, 따라서 G의 1차원 '근군'을 결정한다. 따라서 노드의 부분 집합은 B와 해당 음근군에 의해 생성된 포물선 부분군을 생성한다. 또한, 모든 포물선 부분군은 이러한 포물선 부분군과 켤레 관계에 있다.) 반사군의 포물선 부분군을 참조하면, G의 바일 군의 해당 부분군도 포물선 부분군이라고 불린다.

3. 성질

켤레 아래 유일하다. 즉, 대수적으로 닫힌 체 위의 대수군 $G$의 임의의 두 보렐 부분군 $H,H\text{'}$에 대해, $H\text{'}=gHg^\{-1\}$인 $g\backslash in\; G$가 존재한다.

3.1. 보렐 부분 리 대수

체 $K$ 위의 반단순 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$의 부분 리 대수 가운데, 가해 리 대수인 것들을 생각할 수 있다. 이들은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를 $\backslash mathfrak\{g\}$의 보렐 부분 리 대수(Borel subalgebra^영어)라고 한다.

$\backslash mathbb\{K\}\; \backslash in\; \backslash \{\backslash mathbb\{R\},\; \backslash mathbb\{C\}\backslash \}$일 때, 유한 차원 $\backslash mathbb\{K\}$-반단순 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$ 및 그 보렐 부분 리 대수 $\backslash mathfrak\{b\}$를 생각하자. 그렇다면, $\backslash mathfrak\{g\}$를 리 군으로 갖는 임의의 대수적 리 군 $G$에 대하여, $G$의 보렐 부분군은 리 군이며, 그 리 대수는 $\backslash mathfrak\{b\}$와 동형이다.

4. 예

$G\; =\; \backslash operatorname\{GL\}\_4(\backslash mathbb\{C\})$일 때, $G$의 보렐 부분군 $B$는 상삼각 행렬들의 집합이며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\backslash left\backslash \{$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\
0 & 0 & 0 & a_{44}
\end{bmatrix} : \det(A) \neq 0 \right\}

$\backslash left\backslash \{$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
0 & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{bmatrix}\right\}, \text{ } \left\{
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\
0 & 0 & a_{43} & a_{44}
\end{bmatrix}\right\}, \text{ } \left\{
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
0 & 0 & 0 & a_{44}
\end{bmatrix}\right\}

$\backslash left\backslash \{$
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{33} & 0 \\
0 & 0 & 0 & a_{44}
\end{bmatrix}: a_{11}\cdot a_{22} \cdot a_{33}\cdot a_{44} \neq 0\right\}

4.1. 자명한 경우

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 가해 연결 대수군 $G$의 유일한 보렐 부분군 및 유일한 포물형 부분군은 $G$ 자신이다. 이 경우 $G/G\backslash cong\backslash operatorname\{Spec\}K$는 자명하게 $K$-완비 대수다양체를 이룬다.

4.2. 일반 선형군

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 일반 선형군 $\backslash operatorname\{GL\}(n;K)$에서, 가역 상삼각 행렬들의 부분군은 보렐 부분군이다. 이 경우 $\backslash operatorname\{GL\}(n;K)/B$는 기 대수다양체이다.

예를 들어, $G\; =\; GL\_4(\backslash mathbb\{C\})$라고 할 때, $G$의 보렐 부분군 $B$는 다음과 같은 상삼각 행렬들의 집합이다.

:$\backslash left\backslash \{$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\
0 & 0 & 0 & a_{44}
\end{bmatrix} : \det(A) \neq 0 \right\}

4.3. 표준 보렐 부분 리 대수

복소수체 위에 있는 반단순 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$를 생각하자. 이 경우, 다음 데이터를 고를 수 있다.

* 카르탕 부분 대수 $\backslash mathfrak\{h\}\; \backslash subseteq\; \backslash mathfrak\{g\}$
* 양근 집합 $\backslash Delta^+(\backslash mathfrak\{g\},\backslash mathfrak\{h\})\; \backslash subseteq\; \backslash Delta(\backslash mathfrak\{g\},\backslash mathfrak\{h\})$

그렇다면, 멱영 리 대수

:$\backslash mathfrak\{n\}\; =\; \backslash bigoplus\_\{\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash Delta^+(\backslash mathfrak\{g\},\; \backslash mathfrak\{h\})\}\; \backslash mathfrak\{g\}\_\backslash alpha$

를 정의할 수 있다. 이 경우 $\backslash mathfrak\{h\}\; \backslash oplus\; \backslash mathfrak\{n\}$을 $\backslash mathfrak\{g\}$의 표준 보렐 부분 리 대수(standard Borel subalgebra^영어)라고 하며, 이는 $\backslash mathfrak\{g\}$의 보렐 부분 리 대수를 이룬다.

리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$가 카르탕 부분 대수 $\backslash mathfrak\{h\}$를 가질 경우, $\backslash mathfrak\{h\}$의 순서가 주어지면, 보렐 부분 대수는 $\backslash mathfrak\{h\}$와 양의 무게를 갖는 $\backslash mathfrak\{g\}$의 무게 공간의 직합이다.

5. 포물선 부분군

보렐 부분군 $B$와 전체 군 $G$ 사이의 부분군은 포물선 부분군이라고 불린다. 포물선 부분군 $P$는 $G/P$가 완비 다양체라는 조건으로도 특징지을 수 있다.

단순 대수군 $G$의 포물선 부분군의 켤레류 집합은 해당 딘킨 도형의 노드 집합의 모든 부분 집합과 일대일 대응된다. 보렐 부분군은 공집합에 해당하고, $G$ 자체는 모든 노드 집합에 해당한다.

6. 역사

아르망 보렐이 도입하였다.