유니터리 행렬

4. 구성

2 × 2 유니터리 행렬의 일반적인 표현식은 다음과 같다.

:$U\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
a & b \\
-e^{i\varphi} b^* & e^{i\varphi} a^* \\
\end{bmatrix},
\qquad
\left| a \right|^2 + \left| b \right|^2 = 1\ ,

이 표현식은 4개의 실수 매개변수(a^영어의 위상, b^영어의 위상, a^영어와 b^영어 간의 상대적인 크기, 각도 φ^영어)에 의존한다. 이 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

:$\backslash det(U)\; =\; e^\{i\; \backslash varphi\}\; ~.$

$\backslash \; \backslash det(U)\; =\; 1\backslash$인 요소 $\backslash \; U\backslash$의 부분군은 특수 유니타리 군 SU(2)라고 한다.

행렬 U^영어는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:$U\; =\; e^\{i\backslash varphi\; /\; 2\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
e^{i\alpha} \cos \theta & e^{i\beta} \sin \theta \\
-e^{-i\beta} \sin \theta & e^{-i\alpha} \cos \theta \\
\end{bmatrix}\ ,

여기서 $\backslash \; e^\{i\backslash alpha\}\; \backslash cos\; \backslash theta\; =\; a\backslash$이고 $\backslash \; e^\{i\backslash beta\}\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; b\backslash$이며, 각도 $\backslash \; \backslash varphi,\; \backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash theta\backslash$는 어떤 값이라도 가질 수 있다.

$\backslash \; \backslash alpha\; =\; \backslash psi\; +\; \backslash delta\backslash$ 및 $\backslash \; \backslash beta\; =\; \backslash psi\; -\; \backslash delta\backslash$를 도입하면 다음과 같이 인수분해할 수 있다.

:$U\; =\; e^\{i\backslash varphi\; /2\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
e^{i\psi} & 0 \\
0 & e^{-i\psi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{i\delta} & 0 \\
0 & e^{-i\delta}
\end{bmatrix} ~.


이 표현식은 유니터리 행렬과 각도 θ^영어의 직교 행렬 간의 관계를 보여준다.

다른 인수분해는 다음과 같다.

:$U\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
\cos \rho & -\sin \rho \\
\sin \rho & \;\cos \rho \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{i\xi} & 0 \\
0 & e^{i\zeta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\;\cos \sigma & \sin \sigma \\
-\sin \sigma & \cos \sigma \\
\end{bmatrix} ~.


유니터리 행렬을 기본 행렬로 인수분해하는 방법은 이 외에도 여러가지가 있다.

4.1. 2 × 2 유니터리 행렬

유니터리 행렬의 일반적인 표현식 중 하나는 다음과 같다.

:$U\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
a & b \\
-e^{i\varphi} b^* & e^{i\varphi} a^* \\
\end{bmatrix},
\qquad
\left| a \right|^2 + \left| b \right|^2 = 1\ ,

이 표현식은 4개의 실수 매개변수(a^영어의 위상, b^영어의 위상, a^영어와 b^영어 간의 상대적인 크기, 그리고 각도 φ^영어)에 의존한다. 이러한 행렬의 행렬식은 다음과 같다.
:$\backslash det(U)\; =\; e^\{i\; \backslash varphi\}\; ~.$

$\backslash \; \backslash det(U)\; =\; 1\backslash$인 요소 $\backslash \; U\backslash$의 부분군은 특수 유니타리 군 SU(2)라고 한다.

행렬 U^영어는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$U\; =\; e^\{i\backslash varphi\; /\; 2\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
e^{i\alpha} \cos \theta & e^{i\beta} \sin \theta \\
-e^{-i\beta} \sin \theta & e^{-i\alpha} \cos \theta \\
\end{bmatrix}\ ,

여기서 $\backslash \; e^\{i\backslash alpha\}\; \backslash cos\; \backslash theta\; =\; a\backslash$이고 $\backslash \; e^\{i\backslash beta\}\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; b\backslash$이며, 각도 $\backslash \; \backslash varphi,\; \backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash theta\backslash$는 어떤 값이라도 가질 수 있다.

$\backslash \; \backslash alpha\; =\; \backslash psi\; +\; \backslash delta\backslash$ 및 $\backslash \; \backslash beta\; =\; \backslash psi\; -\; \backslash delta\backslash$를 도입하면 다음과 같은 인수분해가 가능하다.

:$U\; =\; e^\{i\backslash varphi\; /2\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
e^{i\psi} & 0 \\
0 & e^{-i\psi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{i\delta} & 0 \\
0 & e^{-i\delta}
\end{bmatrix} ~.


이 표현식은 유니터리 행렬과 각도 θ^영어의 직교 행렬 간의 관계를 강조한다.

또 다른 인수분해는 다음과 같다.
:$U\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
\cos \rho & -\sin \rho \\
\sin \rho & \;\cos \rho \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{i\xi} & 0 \\
0 & e^{i\zeta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\;\cos \sigma & \sin \sigma \\
-\sin \sigma & \cos \sigma \\
\end{bmatrix} ~.


유니터리 행렬을 기본 행렬로 인수분해하는 방법은 이 외에도 많다.

5. 예

복소수 $1\backslash times1$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{pmatrix\}e^\{i\backslash theta\}\backslash end\{pmatrix\}\backslash qquad\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$

복소수 $2\backslash times2$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

: