유니터리 행렬

3. 성질

실수 행렬의 경우 유니터리 행렬은 직교 행렬과 동치이다.^[10]

유니터리 행렬 $U$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 정규 행렬이다.
• 스펙트럼 정리의 결과에 따라 $U$는 대각행렬과 유니터리하게 닮음이므로, 대각화 가능하다. 즉, $U$는 $U=VDV^*$와 같이 분해할 수 있다. 여기서 $V$는 유니터리 행렬, $D$는 대각 유니터리 행렬이다.
• $|\{\backslash det\; U\}|=1$
• $U$의 고유 공간은 정규 직교다.
• $U=e^\{iH\}$인 에르미트 행렬 $H$가 존재한다. ($e^\{(-)\}$는 행렬 지수 함수)

• 두 복소수 벡터 $\backslash mathbf\{x\}$와 $\backslash mathbf\{y\}$가 주어졌을 때, $U$와의 곱셈은 그들의 내적을 보존한다. 즉, $⟨U\backslash mathbf\{x\},\; U\backslash mathbf\{y\}⟩\; =\; ⟨\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\}⟩$이다.
• $U$는 정규 행렬이다($U^*\; U\; =\; UU^*$).
• $U$는 대각화 가능 행렬이다. 즉, $U$는 유사 행렬로 대각 행렬과 유니터리 유사하며, 이는 스펙트럼 정리의 결과이다. 따라서 $U$는 $U\; =\; VDV^*,$ 형태의 분해를 가지며, 여기서 $V$는 유니터리이고, $D$는 대각 유니터리이다.
• $\backslash left|\backslash det(U)\backslash right|\; =\; 1$이다. 즉, $\backslash det(U)$는 복소 평면의 단위 원 위에 있게 된다.
• 그것의 고유 공간들은 직교한다.
• $U$는 $U\; =\; e^\{iH\}$로 쓸 수 있으며, 여기서 $e$는 행렬 지수 함수를, $i$는 허수 단위를, $H$는 에르미트 행렬을 나타낸다.
• 정사각 행렬이다.
• 임의의 벡터 $\backslash mathbf\{x\}$에 대한 유니터리 행렬에 의한 변환은 등장 변환(isometry)이다. $\{\backslash |U\backslash mathbf\{x\}\backslash |\}\; =\; \{\backslash |\backslash mathbf\{x\}\backslash |\}$
• 가역이며, 역행렬은 $U^\{-1\}\; =\; U^\{*\}$이다.
• 고유값의 절대값은 $1$이다. $$
  = 1(즉, 모든 고유값은 복소 평면의 단위 원 위에 존재한다)
  : (증명) $U\backslash mathbf\{x\}\; =\; \lambda \backslash mathbf\{x\}$가 고유값이라고 할 때. $\{\backslash |U\backslash mathbf\{x\}\backslash |^2\}\; =\; \{|\lambda |^2\}\{\backslash |\backslash mathbf\{x\}\backslash |^2\}$이고 $\{\backslash |U\backslash mathbf\{x\}\backslash |^2\}\; =\; (U\backslash mathbf\{x\})^*U\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash mathbf\{x\}^*U^*U\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash mathbf\{x\}^*I\backslash mathbf\{x\}\; =\; \{\backslash |\backslash mathbf\{x\}\backslash |^2\}$

  
  
  • 특잇값은 $1$이다. $\sigma \_i(U)\; =\; 1$
  • 행렬식의 절대값은 $1$이다. $$

  = 1
  : (증명) $1\; =\; \backslash det(I)\; =\; \backslash det(UU^*)\; =\; \backslash det(U)\backslash det(\backslash overline\{U\}^T)\; =\; \backslash det(U)\backslash det(\backslash overline\{U\})\; =\; \backslash det(U)\backslash overline\{\backslash det(U)\}\; =$

  ^2
  
  음이 아닌 정수$n$에 대해, 행렬 곱셈을 사용하는 모든 $n\backslash times\; n$ 유니터리 행렬의 집합은 군을 형성하며, 이를 유니터리 군$\backslash operatorname\{U\}(n)$이라고 한다.
  
  유클리드 노름이 1인 모든 정사각 행렬은 두 유니터리 행렬의 평균이다.^[1]
  

  4. 구성

  2 × 2 유니터리 행렬의 일반적인 표현식은 다음과 같다.^[1]
  
  :$U\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
  
  a & b \\

  
  
  • e^{i\varphi} b^* & e^{i\varphi} a^* \\

  
  \end{bmatrix},
  
  \qquad
  
  \left| a \right|^2 + \left| b \right|^2 = 1\ ,
  
  이 표현식은 4개의 실수 매개변수(a^영어의 위상, b^영어의 위상, a^영어와 b^영어 간의 상대적인 크기, 각도 φ^영어)에 의존한다. 이 행렬의 행렬식은 다음과 같다.^[1]
  
  :$\backslash det(U)\; =\; e^\{i\; \backslash varphi\}\; ~.$
  
  $\backslash \; \backslash det(U)\; =\; 1\backslash$인 요소 $\backslash \; U\backslash$의 부분군은 특수 유니타리 군 SU(2)라고 한다.^[1]
  
  행렬 U^영어는 다음과 같이 쓸 수도 있다.^[1]
  
  :$U\; =\; e^\{i\backslash varphi\; /\; 2\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
  
  e^{i\alpha} \cos \theta & e^{i\beta} \sin \theta \\

  
  
  • e^{-i\beta} \sin \theta & e^{-i\alpha} \cos \theta \\

  
  \end{bmatrix}\ ,
  
  여기서 $\backslash \; e^\{i\backslash alpha\}\; \backslash cos\; \backslash theta\; =\; a\backslash$이고 $\backslash \; e^\{i\backslash beta\}\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; b\backslash$이며, 각도 $\backslash \; \backslash varphi,\; \backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash theta\backslash$는 어떤 값이라도 가질 수 있다.^[1]
  
  $\backslash \; \backslash alpha\; =\; \backslash psi\; +\; \backslash delta\backslash$ 및 $\backslash \; \backslash beta\; =\; \backslash psi\; -\; \backslash delta\backslash$를 도입하면 다음과 같이 인수분해할 수 있다.^[1]
  
  :$U\; =\; e^\{i\backslash varphi\; /2\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
  
  e^{i\psi} & 0 \\
  
  0 & e^{-i\psi}
  
  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix}
  
  \cos \theta & \sin \theta \\

  
  
  • \sin \theta & \cos \theta \\

  
  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix}
  
  e^{i\delta} & 0 \\
  
  0 & e^{-i\delta}
  
  \end{bmatrix} ~.
  
  
  
  이 표현식은 유니터리 행렬과 각도 θ^영어의 직교 행렬 간의 관계를 보여준다.^[1]
  
  다른 인수분해는 다음과 같다.^[1]
  
  :$U\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
  
  \cos \rho & -\sin \rho \\
  
  \sin \rho & \;\cos \rho \\
  
  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix}
  
  e^{i\xi} & 0 \\
  
  0 & e^{i\zeta}
  
  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix}
  
  \;\cos \sigma & \sin \sigma \\

  
  
  • \sin \sigma & \cos \sigma \\

  
  \end{bmatrix} ~.
  
  
  
  유니터리 행렬을 기본 행렬로 인수분해하는 방법은 이 외에도 여러가지가 있다.^[1]
  

  4. 1. 2 × 2 유니터리 행렬

  유니터리 행렬의 일반적인 표현식 중 하나는 다음과 같다.^[1]
  
  :$U\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
  
  a & b \\

  
  
  • e^{i\varphi} b^* & e^{i\varphi} a^* \\

  
  \end{bmatrix},
  
  \qquad
  
  \left| a \right|^2 + \left| b \right|^2 = 1\ ,
  
  이 표현식은 4개의 실수 매개변수(a^영어의 위상, b^영어의 위상, a^영어와 b^영어 간의 상대적인 크기, 그리고 각도 φ^영어)에 의존한다. 이러한 행렬의 행렬식은 다음과 같다.^[1]
  
  :$\backslash det(U)\; =\; e^\{i\; \backslash varphi\}\; ~.$
  
  $\backslash \; \backslash det(U)\; =\; 1\backslash$인 요소 $\backslash \; U\backslash$의 부분군은 특수 유니타리 군 SU(2)라고 한다.^[1]
  
  행렬 U^영어는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]
  
  :$U\; =\; e^\{i\backslash varphi\; /\; 2\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
  
  e^{i\alpha} \cos \theta & e^{i\beta} \sin \theta \\

  
  
  • e^{-i\beta} \sin \theta & e^{-i\alpha} \cos \theta \\

  
  \end{bmatrix}\ ,
  
  여기서 $\backslash \; e^\{i\backslash alpha\}\; \backslash cos\; \backslash theta\; =\; a\backslash$이고 $\backslash \; e^\{i\backslash beta\}\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; b\backslash$이며, 각도 $\backslash \; \backslash varphi,\; \backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash theta\backslash$는 어떤 값이라도 가질 수 있다.^[1]
  
  $\backslash \; \backslash alpha\; =\; \backslash psi\; +\; \backslash delta\backslash$ 및 $\backslash \; \backslash beta\; =\; \backslash psi\; -\; \backslash delta\backslash$를 도입하면 다음과 같은 인수분해가 가능하다.^[1]
  
  :$U\; =\; e^\{i\backslash varphi\; /2\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
  
  e^{i\psi} & 0 \\
  
  0 & e^{-i\psi}
  
  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix}
  
  \cos \theta & \sin \theta \\

  
  
  • \sin \theta & \cos \theta \\

  
  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix}
  
  e^{i\delta} & 0 \\
  
  0 & e^{-i\delta}
  
  \end{bmatrix} ~.
  
  
  
  이 표현식은 유니터리 행렬과 각도 θ^영어의 직교 행렬 간의 관계를 강조한다.^[1]
  
  또 다른 인수분해는 다음과 같다.^[1]
  
  :$U\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
  
  \cos \rho & -\sin \rho \\
  
  \sin \rho & \;\cos \rho \\
  
  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix}
  
  e^{i\xi} & 0 \\
  
  0 & e^{i\zeta}
  
  \end{bmatrix}
  
  \begin{bmatrix}
  
  \;\cos \sigma & \sin \sigma \\

  
  
  • \sin \sigma & \cos \sigma \\

  
  \end{bmatrix} ~.
  
  
  
  유니터리 행렬을 기본 행렬로 인수분해하는 방법은 이 외에도 많다.^[1]
  

  5. 예

  복소수 $1\backslash times1$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.
  
  :$\backslash begin\{pmatrix\}e^\{i\backslash theta\}\backslash end\{pmatrix\}\backslash qquad\backslash theta\backslash in\backslash mathbb\; R$
  
  복소수 $2\backslash times2$ 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.
  
  :
  

  참조

  _[1] 논문 Additive decomposition of real matrices
  _[2] 서적 Matrix Analysis Cambridge University Press
  _[3] 논문 A note on factoring unitary matrices
  _[4] 서적 Explorations in Quantum Computing Springer
  _[5] 서적 Quantum Computation and Quantum Information https://www.cambridg[...] Cambridge University Press
  _[6] 논문 Elementary gates for quantum computation American Physical Society (APS) 1995-11-01
  _[7] 논문 Restrictions on realizable unitary operations imposed by symmetry and locality https://www.nature.c[...] 2022-01-10
  _[8] 논문 Recursive parameterisation and invariant phases of unitary matrices 2006
  _[9] 논문 Forbidden by symmetry https://www.nature.c[...] 2022-01-10
  _[10] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] 1971
  

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