계차수열

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1. 개요

계차수열은 수열의 각 항의 차이를 새로운 수열로 나타낸 것이다. 수열 a_n의 계차수열은 Δa_n = a_n+1 - a_n으로 정의되며, 이를 통해 2계, k계 차수열을 정의할 수 있다. 계차수열은 수열의 단조성을 파악하는 데 사용되며, 계차표와 고계 등차수열을 통해 수열의 특징을 분석할 수 있다. 또한, 계승멱의 계차를 통해 거듭제곱 합 공식을 유도하는 데 활용된다.

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계차수열

2. 정의

수열 $(a_n)$ 이 주어졌을 때, 이웃한 두 항의 차이

: $\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$

를 ''n''항의 '''차분''' 또는 '''계차'''(difference^eng)라고 한다.^[2] 이 계차들로 이루어진 새로운 수열 $(\Delta a_n)$ 을 원래 수열 $(a_n)$ 의 '''(제1-)계차수열'''이라고 부른다.^[2] 계차수열을 구하는 과정을 반복하여 고계차수열을 정의할 수도 있다.

2. 1. 1계 차분

수열 `(''a''_''n'')` = (''a''₁, ''a''₂, ''a''₃, ...)이 주어졌을 때, 각 항과 바로 다음 항의 차

:

\Delta a_n = a_{n+1} - a_n

를 ''n''항의 '''계차'''(difference|차분^영어)라고 한다. 이 계차들로 이루어진 새로운 수열 `(\Delta ''a''_''n'')` = (Δ''a''₁, Δ''a''₂, Δ''a''₃, ...)을 원래 수열 `(''a''_''n'')`의 '''(제1-)계차수열'''이라고 부른다.^[2] 수열 `(''a''_''n'')`의 0계 차수열은 자기 자신 `(''a''_''n'')`이다.

예를 들어, 수열 `(''a''_''n'')`의 일반항이

:

a_{n}=\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n+1

일 때 (즉, 수열은 1, 2, 4, 7, 11, ...), 이 수열의 (제1-)계차수열 `(\Delta ''a''_''n'')`의 일반항은 다음과 같이 계산된다.

:

\Delta a_{n} = a_{n+1} - a_n = \left(\frac{1}{2}(n+1)^{2}-\frac{1}{2}(n+1)+1\right) - \left(\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n+1\right) = n

따라서 계차수열은 (1, 2, 3, 4, ...)이 된다.

2. 2. 고계 차분

수열

a_n

에 대해, 이웃한 두 항의 차이

a_{n+1} - a_n

을 ''n''항의 차분 또는 계차(difference^영어)라고 한다. 이 계차들로 이루어진 수열

:

\Delta a_n = a_{n+1} - a_n

을 수열

a_n

의 (제1-)계차수열이라고 한다.^[2]

이 계차수열

(\Delta a_n)

의 계차수열, 즉

:

\Delta^2 a_n = \Delta(\Delta a_n) = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n = (a_{n+2} - a_{n+1}) - (a_{n+1} - a_n) = a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n

을 제2계차수열이라고 한다.

일반적으로, 임의의 자연수 ''k'' ≥ 1에 대하여 제''k''계차수열(kth difference^영어)

(\Delta^k a_n)

은 제''(k-1)''계차수열의 계차수열로 정의된다. 즉, 계차 연산자

\Delta

를 ''k''번 적용한 것이다.

:

\Delta^k a_n = \underbrace{\Delta \Delta \cdots \Delta}_k a_n

이는 점화식을 이용하여 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수도 있다.^[2]

:

\Delta^0 a_n = a_n

:

\Delta^{k+1} a_n = \Delta(\Delta^k a_n) = \Delta^k a_{n+1} - \Delta^k a_n \quad (k \ge 0)

위 정의에 따라, 수열

a_n

의 0계 차수열은 자기 자신(

a_n

)이고, 1계 차수열은 (제1-)계차수열(

\Delta a_n

)이다. 이 과정을 반복하여 제''m''계차수열

(\Delta^m a_n)

을 정의할 수 있다.

3. 예시

수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 모든 항이 2인 상수열 2, 2, 2, 2, ...이다.
수열 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...의 계차수열은 각 항이 1/(''n''(''n''+1)) 형태인 수열 1/(1 × 2), 1/(2 × 3), 1/(3 × 4), ...이다.
수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이고, 이 계차수열의 계차수열(이계 차수열)은 810, 8100, ...이다.
피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 원래 수열 앞에 0을 추가한 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...과 같다.
등차수열 ''a_n'' = ''pn'' + ''q''의 계차수열은 공차 ''p''인 상수열 Δ''a_n'' = ''p''이다. 특히, 상수열 ''a_n'' = ''c''의 계차수열은 모든 항이 0인 영수열 Δ''a_n'' = 0이다.
조화수열 ''a_n'' = 1/(''pn'' + ''q'')의 계차수열은 Δ''a_n'' = ''p'' / ((''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q''))이다.
주어진 수열 {''a_n''}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 ''S_n'' = ''a₁'' + … + ''a_n''이라 할 때, 수열 {''S_n''}의 계차수열은 {''a₂'', ''a₃'', ''a₄'', ...}이다.
3차 다항식인 ''n''³을 수열로 보았을 때, 1계, 2계, 3계 차수열은 각각 3''n''² + 3''n'' + 1, 6''n'' + 6, 6이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

3. 1. 기본 수열

수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
수열 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...의 계차수열은 1/(1 × 2), 1/(2 × 3), 1/(3 × 4), ...이다.
수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 이계 차수열은 810, 8100, ...이다.
피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
등차수열 ''a''_''n'' = ''pn'' + ''q''의 계차수열은 상수열 Δ''a''_''n'' = ''p''이다. 특별히, 상수열 ''a''_''n'' = ''c''의 계차수열은 영수열 Δ''a''_''n'' = 0이다.
조화수열 ''a''_''n'' = 1/(''pn'' + ''q'')의 계차수열은 Δ''a''_''n'' = ''p''/((''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q''))이다.
주어진 수열 ''a''_''n''의 합 ''S''_''n'' = ''a''₁ + … + ''a''_''n''의 계차수열은 ''a''₂, ''a''₃, ''a''₄, ...이다.
3차 다항식인 ''n''³의 1, 2, 3계 차수열은 각각 3''n''² + 3''n'' + 1, 6''n'' + 6, 6이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

3. 2. 특수 수열

수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
수열 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...의 계차수열은 -1/(1 × 2), -1/(2 × 3), -1/(3 × 4), ...이다.
수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 이계 차수열은 810, 8100, ...이다.
피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... , 즉 수열의 맨 앞에 0 하나를 붙인 것과 같다.
등차수열 ''a_n'' = ''pn'' + ''q''의 계차수열은 상수열 Δ''a_n'' = ''p''이다. 특별히, 상수열 ''a_n'' = ''c''의 계차수열은 영수열 Δ''a_n'' = 0이다.
조화수열 ''a_n'' = 1/(''pn'' + ''q'')의 계차수열은 Δ''a_n'' = -''p'' / ((''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q''))이다.
주어진 수열 ''a_n''의 합 ''S_n'' = ''a₁'' + … + ''a_n''의 계차수열은 ''a₂'', ''a₃'', ''a₄'', ...이다.
3차 다항식인 ''n''³의 1계, 2계, 3계 차수열은 각각 3''n''² + 3''n'' + 1, 6''n'' + 6, 6이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

3. 3. 등차수열과 조화수열

등차수열 `''a_n'' = ''pn'' + ''q''`의 계차수열은 상수열 `Δ''a_n'' = ''p''`이다. 특별히, 상수열 `''a_n'' = ''c''`의 계차수열은 영수열 `Δ''a_n'' = 0`이다.
조화수열 `''a_n'' = 1/(''pn'' + ''q'')`의 계차수열은 `Δ''a_n'' = ''p'' / ((''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q''))`이다.

3. 4. 다항식

3차 다항식인 ''n''³의 1, 2, 3계 차수열은 각각 다음과 같다.

1계 계차수열: 3''n''² + 3''n'' + 1
2계 계차수열: 6''n'' + 6
3계 계차수열: 6

이들은 각각 원래 다항식보다 차수가 1씩 낮은 2차, 1차, 0차 다항식이다.

3. 5. 수열의 합

어떤 수열 {''a_n''}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 ''S_n''이라고 하면, 즉 ''S_n'' = ''a₁'' + ''a₂'' + … + ''a_n'' 이면, 수열 {''S_n''}의 계차수열 {Δ''S_n''}은 {''a₂'', ''a₃'', ''a₄'', ...} 이다.^[1] 이는 계차수열의 정의에 따라 Δ''S_n'' = ''S_n+1'' - ''S_n'' = (''a₁'' + … + ''a_n'' + ''a_n+1'') - (''a₁'' + … + ''a_n'') = ''a_n+1'' (단, n ≥ 1) 이기 때문이다.

4. 성질

계차수열은 원래 수열의 여러 가지 특징을 파악하고 분석하는 데 유용하게 사용된다. 주요 성질은 다음과 같다.

일반항 표현: 수열의 각 항은 초항과 계차수열 항들의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 수열의 일반항을 구하는 기본적인 방법 중 하나이다.^[1]
수열의 결정: 수열은 초항과 1계 계차수열 또는 모든 차수 계차수열의 초항들에 의해 유일하게 결정된다.^[2] 다만, 계차수열이 같더라도 초항이 다르면 원래 수열은 달라진다. 예를 들어 홀수 수열( $1, 3, 5, \dots$ )과 짝수 수열( $2, 4, 6, \dots$ )은 계차수열이 모두 $2, 2, 2, \dots$ 로 같지만 서로 다른 수열이다.
단조성 판별: 계차수열의 모든 항의 부호를 조사하여 원래 수열의 단조성(단조증가 또는 단조감소)을 판단할 수 있다. 계차수열의 모든 항이 0 이상이면 원래 수열은 단조증가하고, 0 이하이면 단조감소한다.
계차수열의 일반항: 특정 차수의 계차수열의 일반항은 원래 수열의 항들을 이용하여 조합수를 계수로 하는 선형 결합으로 표현할 수 있다.

계차수열과 관련된 주요 개념 및 정리로는 다음이 있다.

4. 1. 유일성

임의의 수열 ''a_n''은 초항과 일계 차수열 Δ''a_n''에 의해 유일하게 결정된다.

:

a_n = a_1 + \Delta a_1 + \Delta a_2 + \cdots + \Delta a_{n-1} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \Delta a_k

다만, 홀수열 1, 3, ...과 짝수열 2, 4, ...처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.

더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.^[2]

:

a_n = a_1 + (n - 1)\Delta a_1 + \frac{(n - 1)(n - 2)}{2}\Delta^2 a_1 + \cdots + \Delta^{n-1}a_1 = \sum_{k=0}^{n-1} {n - 1 \choose k}\Delta^k a_1

여기서

\textstyle {n - 1 \choose k}

는 (''n'' - 1)개의 대상 중에서 ''k'' 개를 고른 조합수이다.

''k''계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.

:

\Delta^k a_n = a_{n+k} - ka_{n+k-1} + \frac{k(k - 1)}{2}a_{n+k-2} + \cdots + (-1)^k a_n = \sum_{i=0}^k (-1)^i {k \choose i}a_{n+k-i}

수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 ''a_n''이 단조증가할 필요충분조건은 Δ''a_n'' ≥ 0이 모든 ''n''에게 성립하는 것이다. 수열 ''a_n''이 단조감소할 필요충분조건은, Δ''a_n'' ≤ 0이 모든 ''n''에게 성립하는 것이다.

4. 2. 일반항 전개

임의의 수열

\{a_n\}

은 초항

a_1

과 그 계차수열

\{\Delta a_n\}

(여기서

\Delta a_k = a_{k+1} - a_k

)을 이용하여 일반항을 나타낼 수 있다.

n \ge 2

인 자연수

n

에 대하여 다음이 성립한다.

:

a_n = a_1 + \Delta a_1 + \Delta a_2 + \cdots + \Delta a_{n-1} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \Delta a_k

계차수열을

b_n = \Delta a_n

으로 표기하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.^[1]

:

a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}\quad (n\geqq 2)

주의할 점은, 계차수열이 같더라도 초항

a_1

이 다르면 원래 수열은 달라진다는 것이다. 예를 들어, 홀수열

1, 3, 5, \dots

과 짝수열

2, 4, 6, \dots

은 모두 계차수열이

2, 2, 2, \dots

로 같지만, 초항이 각각 1과 2로 다르기 때문에 서로 다른 수열이다.

더 나아가, 수열

\{a_n\}

은 모든 차수의 계차수열의 초항(

\Delta^0 a_1 = a_1, \Delta^1 a_1, \Delta^2 a_1, \dots

)을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.^[2]

:

a_n = a_1 + (n - 1)\Delta a_1 + \frac{(n - 1)(n - 2)}{2!}\Delta^2 a_1 + \cdots + \Delta^{n-1}a_1 = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n - 1}{k} \Delta^k a_1

여기서

\binom{n - 1}{k}

는

(n - 1)

개에서

k

개를 선택하는 조합수를 의미하며,

\Delta^k a_1

은

k

계 계차수열의 첫 번째 항을 나타낸다. (

\Delta^0 a_n = a_n

)

반대로,

k

계 계차수열의 일반항

\Delta^k a_n

은 원래 수열의 항들을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\Delta^k a_n = \sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{k}{i} a_{n+k-i} = a_{n+k} - \binom{k}{1}a_{n+k-1} + \binom{k}{2}a_{n+k-2} - \cdots + (-1)^k a_n

=== 예시 ===

다음과 같이 점화식으로 정의된 수열

\{a_n\}

의 일반항을 구해보자.

:

a_{1}=1,\quad a_{n+1}=a_{n}+n\quad (n\geqq 1)

이 수열의 계차수열을

\{b_n\}

이라고 하면, 정의에 따라

b_n = a_{n+1} - a_n = n

이다. 따라서

n \ge 2

일 때, 계차수열을 이용한 일반항 공식을 사용하면 다음과 같다.

:

a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k}=1+\sum_{k=1}^{n-1}k

여기서

\sum_{k=1}^{n-1}k = \frac{(n-1)n}{2}

(1부터

n-1

까지의 자연수 합) 이므로,

:

a_{n} = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{2 + n^2 - n}{2} = \frac{n^2 - n + 2}{2}

(1)

이 식 (1)에

n=1

을 대입하면

a_1 = \frac{1^2 - 1 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1

이 되어 주어진 초항

a_1=1

과 일치한다. 따라서 위에서 구한 일반항 (1)은 모든 자연수

n

에 대해 성립한다.

수열의 단조성은 계차수열을 이용하여 판별할 수 있다.

수열 $\{a_n\}$ 이 단조증가할 필요충분조건은 모든 자연수 $n$ 에 대해 $\Delta a_n \ge 0$ 인 것이다.
수열 $\{a_n\}$ 이 단조감소할 필요충분조건은 모든 자연수 $n$ 에 대해 $\Delta a_n \le 0$ 인 것이다.

관련 개념으로 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리가 있다.

4. 3. 단조성

수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 ''a_n''이 단조증가할 필요충분조건은 모든 ''n''에 대해 계차수열의 항

\Delta a_n \ge 0

인 것이다. 수열 ''a_n''이 단조감소할 필요충분조건은 모든 ''n''에 대해

\Delta a_n \le 0

인 것이다.

4. 4. 기타

임의의 수열 ''a_n''은 초항과 일계 차수열 Δ''a_n''에 의해 유일하게 결정된다.
: $a_n = a_1 + \Delta a_1 + \Delta a_2 + \cdots + \Delta a_{n-1} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \Delta a_k$

: 다만, 홀수열 1, 3, ...과 짝수열 2, 4, ...처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.

더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.^[2]
: $a_n = a_1 + (n - 1)\Delta a_1 + \frac{(n - 1)(n - 2)}{2}\Delta^2 a_1 + \cdots + \Delta^{n-1}a_1 = \sum_{k=0}^{n-1} {n - 1 \choose k}\Delta^k a_1$

: 여기서

\textstyle {n - 1 \choose k}

는 (''n'' - 1)개의 대상 중에서 k 개를 고른 조합수이다.

k계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.
: $\Delta^k a_n = a_{n+k} - ka_{n+k-1} + \frac{k(k - 1)}{2}a_{n+k-2} + \cdots + (-1)^k a_n = \sum_{i=0}^k (-1)^i {k \choose i}a_{n+k-i}$
수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 ''a_n''이 단조증가할 필요충분조건은 Δ''a_n'' ≥ 0이 모든 n에게 성립하는 것이다. 수열 ''a_n''이 단조감소할 필요충분조건은, Δ''a_n'' ≤ 0이 모든 n에게 성립하는 것이다.
아벨 변환
슈톨츠-체사로 정리

5. 계차표와 고계 등차수열

원래 수열과 그 계차수열들을 차례로 나열하여 표 형태로 만든 것을 계차표라고 한다. 계차표는 수열의 규칙성을 시각적으로 파악하는 데 도움을 준다. 예를 들어, 이항 계수의 계차표는 파스칼의 삼각형과, 조화 급수의 계차표는 라이프니츠의 조화 삼각형과 관련이 있다(부호는 다를 수 있다).

계차수열을 반복적으로 구했을 때 특정 단계에서 0이 아닌 상수 수열이 나타나는 경우, 원래 수열을 고계 등차수열이라고 한다. m번 만에 상수 수열이 되면 m계 등차수열이라 부르며, 일반적인 등차수열은 1계, 상수 수열은 0계 등차수열이다. 수열의 일반항이 n에 대한 m차 다항식인 것은 해당 수열이 m계 등차수열이라는 것과 동치이다.^[2]

5. 1. 계차표

원래 수열과 각 계차 수열을 나란히 표로 만든 것을 계차표라고 한다. 예를 들어, 이항 계수의 계차표는 파스칼의 삼각형이고, 조화 급수의 계차표는 라이프니츠의 조화 삼각형이다(단, 부호는 다를 수 있다).

5. 2. 고계 등차수열

'''m계 등차수열'''(m ≥ 0)은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

0이 아닌 상수 수열은 0계 등차수열이다.
계차수열이 (k - 1)계 등차수열인 수열은 k계 등차수열이다.

다른 관점에서 보면, 어떤 자연수 m에 대해 제 m계차가 상수 수열이 될 때, 원래 수열을 m계 등차수열이라고 한다. 일반적인 등차수열은 1계 등차수열이며, 0계 등차수열은 상수 수열이다.

예를 들어, 수열 {6, 6, ...}은 0계 등차수열이며, 이 수열을 계차수열로 하는 수열 {6n - 6}은 1계 등차수열이다. 마찬가지로 {3n² + 3n + 1}은 2계 등차수열, {n³}은 3계 등차수열이다.

어떤 수열 {a_n}이 m계 등차수열일 필요충분조건은 일반항이 n에 대한 m차 다항식이라는 것이다.^[2] 따라서 일반항이 지수 n의 다항식인 수열은 반드시 상수 수열이 되는 고계 계차를 가지므로, 고계 등차수열에 속한다.

원래 수열과 각 계차 수열을 나란히 표로 만든 것을 계차표라고 한다. 예를 들어, 이항 계수의 계차표는 파스칼의 삼각형이고, 조화 급수의 계차표는 라이프니츠의 조화 삼각형이다(부호는 다를 수 있음).

6. 계승멱

계승멱은 주어진 정수 m에 대해 $k^{\lang m\rang}$ 형태로 정의되는 수열 또는 함수이다. 예를 들어, 양의 정수 m에 대해서는 $k^{\lang m\rang} = k(k-1)(k-2)\cdots(k-m+1)$ 과 같이 정의된다. 계승멱의 중요한 특징은 그 계차가 다시 계승멱 형태로 나타난다는 점이다. 이 성질을 이용하면 계승멱의 합 공식을 유도할 수 있으며, 이를 통해 거듭제곱의 합( $S_i(n) = \sum_{k=1}^n k^i$ )을 구하는 관계식으로 확장될 수 있다. 이는 파울하버 공식과도 연관된다.

6. 1. 계승멱의 계차

계승멱의 계차는 다시 계승멱이 된다. m을 주어진 정수로 하고, 일반항이

k^{\lang m\rang} = \begin{cases}k(k-1)(k-2)\cdots(k-m+1) & (m > 0)\\1 & (m=0)\\1/k(k+1)(k+2)\cdots(k+|m|-1) & (m < 0)\end{cases}

로 정의되는 수열

(k^{\lang m\rang})_k

을 생각하면

\frac{\;\Delta k^{\lang m\rang}\!\!\!\!\!}{\,\Delta k} = m k^{\lang m-1\rang}

가 성립하는 것은 간단한 계산으로 알 수 있다 (분모는

\Delta k \equiv 1

이므로 써도 안 써도 같지만). 반대로

m \ne -1

일 때

k = 1, 2, ..., n-1

에 대해 더하면

\sum_{k=1}^{n-1} k^{\lang m\rang} = \frac{1}{m+1}(n^{\lang m+1\rang} - 1^{\lang m+1\rang})

을 얻는다. 특히

m \ge 1

일 때

k^{\lang m\rang}

을 전개함으로써, 거듭제곱 합

S_i(n)

에 관한 관계식

\frac{(n+1)^{\lang m+1\rang}}{m+1} = S_m(n) - \frac{m(m-1)}{2}S_{m-1}(n) + \cdots + (-1)^{m-1}(m-1)!S_1(n)

을 얻는다.

6. 2. 거듭제곱 합 공식

계승멱의 계차는 다시 계승멱이 된다. ''m''을 주어진 정수라고 할 때, 일반항이 다음과 같은 수열

(k^{\lang m\rang})_k

을 생각할 수 있다.

k^{\lang m\rang} = \begin{cases}k(k-1)(k-2)\cdots(k-m+1) & (m > 0)\\1 & (m=0)\\1/k(k+1)(k+2)\cdots(k+|m|-1) & (m < 0)\end{cases}

이 수열의 계차는 다음과 같이 계산된다.

\frac{\;\Delta k^{\lang m\rang}\!\!\!\!\!}{\,\Delta k} = m k^{\lang m-1\rang}

(여기서 분모

\Delta k \equiv 1

이다.)

반대로, ''m'' ≠ −1일 때 위 계차 공식을 ''k'' = 1, 2, ..., ''n'' − 1에 대해 더하면 계승멱의 합 공식을 얻을 수 있다.

\sum_{k=1}^{n-1} k^{\lang m\rang} = \frac{1}{m+1}(n^{\lang m+1\rang} - 1^{\lang m+1\rang})

특히 ''m'' ≥ 1일 때,

k^{\lang m\rang}

을 전개하여 정리하면 거듭제곱의 합

S_i(n) = \sum_{k=1}^n k^i

에 관한 다음 관계식을 유도할 수 있다.

\frac{(n+1)^{\lang m+1\rang}}{m+1} = S_m(n) - \frac{m(m-1)}{2}S_{m-1}(n) + \cdots + (-1)^{m-1}(m-1)!S_1(n)

이러한 거듭제곱 합 공식은 파울하버 공식과 관련이 깊다.

참조

_[1] 문서 空和は {{math|0}} に等しいと約束すれば、この式は {{math|''n'' {{=}} 1}} のときも成り立つ。
_[2] 저널 阶差数列的几个性质及其应用

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