맨위로가기

초점 (기하학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

초점은 기하학에서 원뿔 곡선, 난형선, n-타원 등을 정의하는 데 사용되는 중요한 개념이다. 원뿔 곡선은 두 초점으로부터의 거리 합, 초점과 준선, 초점과 준원을 이용하여 정의할 수 있으며, 타원, 원, 포물선, 쌍곡선 등이 있다. 데카르트 난형선과 카시니 난형선은 두 초점까지의 거리의 가중 합 또는 곱이 일정한 점들의 집합으로 정의된다. n-타원은 n개의 초점까지의 거리의 합이 같은 점들의 집합이며, 초점의 개념은 대수 곡선으로 일반화될 수 있다. 천문학에서는 중력의 이체 문제에서 두 물체의 궤도를 설명하는 데 사용되며, 명왕성-카론 시스템, 지구-달 시스템, 쌍성 등에서 나타난다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 원뿔 곡선 - 이심률
    이심률은 원뿔곡선의 형태를 결정하는 값으로, 초점과 준선으로부터의 거리 비율로 정의되며, 값에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 구분되고, 타원과 쌍곡선의 경우 중심과 초점 사이의 거리와 반장축의 비율로 나타낼 수 있으며, 이심률이 같은 원뿔곡선은 서로 닮음이다.
  • 원뿔 곡선 - 포물선
    포물선은 원뿔 곡선의 일종으로, 메나이크모스에 의해 처음 연구되었으며, 아르키메데스와 아폴로니오스에 의해 성질이 연구되었고, 고전역학, 광학 등 다양한 분야에 응용되며, 초점과 준선, 이차 함수의 그래프 등의 기하학적 성질을 가진다.
초점 (기하학)
기하학적 초점
정의
초점특정 종류의 곡선을 구성하는 데 사용되는 기하학적 점
데카르트 타원두 고정점(초점)과의 가중 거리의 선형 조합이 일정한 점들의 궤적
상세 정보
초점 (수학)기하학에서 원뿔 곡선 (타원, 포물선, 쌍곡선)은 초점이라고 불리는 하나 또는 두 개의 점을 기준으로 정의될 수 있음.
예를 들어, 타원은 두 개의 초점을 가지며, 타원 위의 모든 점에 대해 두 초점까지의 거리의 합은 상수임. 원은 두 초점이 일치하는 특수한 경우의 타원임.
포물선하나의 초점을 가지며, 포물선 위의 모든 점은 초점과 준선이라는 선으로부터 같은 거리에 있음.
쌍곡선두 개의 초점을 가지며, 쌍곡선 위의 모든 점에 대해 두 초점까지의 거리의 차이의 절대값은 상수임.

2. 원뿔 곡선

원뿔 곡선은 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 나타나는 곡선으로, 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다. 원뿔 곡선은 다음과 같이 정의할 수 있다.


  • 두 초점을 이용한 정의:
  • 타원은 두 주어진 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 자취이다. 원은 두 초점이 서로 일치하는 타원의 특수한 경우이다.
  • 쌍곡선은 두 주어진 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 자취이다.
  • 포물선은 초점 중 하나가 무한대점인 타원의 극한 경우이다.
  • 초점과 준선을 이용한 정의:
  • 원뿔 곡선은 한 초점과, 초점을 포함하지 않는 주어진 선인 준선을 이용하여 정의할 수 있다.
  • 초점과 준원을 이용한 정의:
  • 모든 원뿔 곡선은 단일 초점과 단일 원형 준원에서 같은 거리에 있는 점들의 자취로 설명할 수 있다.

2. 1. 정의

원뿔 곡선은 다양한 방식으로 정의될 수 있다.
두 초점을 이용한 정의:

  • 타원은 두 주어진 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 자취이다. 원은 두 초점이 서로 일치하는 타원의 특수한 경우이다.
  • 쌍곡선은 두 주어진 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 자취이다.
  • 포물선은 초점 중 하나가 무한대점인 타원의 극한 경우이다.

초점과 준선을 이용한 정의:원뿔 곡선은 한 초점과, 초점을 포함하지 않는 주어진 선인 준선을 이용하여 정의할 수 있다. 원뿔 곡선은 각 점에 대해 초점까지의 거리를 준선까지의 거리로 나눈 값이 고정된 상수인 이심률 (e)로 정의된다.

  • 0 < ''e'' < 1이면 원뿔 곡선은 타원이다.
  • ''e'' = 1이면 원뿔 곡선은 포물선이다.
  • ''e'' > 1이면 원뿔 곡선은 쌍곡선이다.
  • 초점까지의 거리가 고정되고 준선이 무한대 선이어서 이심률이 0이면 원뿔 곡선은 원이다.

초점과 준원을 이용한 정의:모든 원뿔 곡선은 단일 초점과 단일 원형 준원에서 같은 거리에 있는 점들의 자취로 설명할 수 있다.

  • 타원의 경우, 초점과 준선 원의 중심 모두 유한한 좌표를 가지며, 준선 원의 반지름은 이 원의 중심과 초점 사이의 거리보다 크다. 따라서 초점은 준선 원 안에 있다. 이렇게 생성된 타원은 두 번째 초점을 준선 원의 중심에 가지며, 타원은 원 안에 완전히 위치한다.
  • 포물선의 경우, 준선의 중심은 무한대점으로 이동한다. 준선 "원"은 곡률이 0인 곡선이 되어, 직선과 구별할 수 없게 된다. 포물선의 두 팔은 뻗어감에 따라 점점 더 평행해지며, "무한대에서" 평행해진다. 사영 기하학의 원리를 사용하면, 두 평행선은 무한대 점에서 교차하고, 포물선은 닫힌 곡선이 된다.
  • 쌍곡선을 생성하려면, 준선 원의 반지름을 이 원의 중심과 초점 사이의 거리보다 작게 선택한다. 따라서 초점은 준선 원 밖에 있다. 쌍곡선의 팔은 점근선에 접근하며, 쌍곡선의 한 가지의 "오른쪽" 팔은 다른 가지의 "왼쪽" 팔과 무한대 점에서 만난다. 이는 사영 기하학에서 단일 선이 무한대 점에서 자기 자신과 만난다는 원리에 기반한다. 따라서 쌍곡선의 두 가지는 무한대에 걸쳐 닫힌 곡선의 두 (꼬인) 절반이다.

3. 난형선

난형선(卵形線, oval)은 두 초점으로부터의 거리의 가중 합 또는 곱이 일정한 점들의 집합으로 정의되는 곡선이다.


  • 데카르트 난형선: 두 초점으로부터의 거리의 가중 합이 일정하다.
  • 카시니 난형선: 두 초점으로부터의 거리의 곱이 일정하다.

3. 1. 데카르트 난형선

데카르트 난형선은 주어진 두 초점까지의 거리의 가중 합이 각각 일정하게 유지되는 점들의 집합이다. 만약 가중치가 동일하다면, 타원의 특수한 경우가 된다.

3. 2. 카시니 난형선

카시니 난형선은 주어진 두 초점까지의 거리의 곱이 각각 일정하게 유지되는 점들의 집합이다.

4. 일반화

초점의 개념은 임의의 대수 곡선으로 일반화될 수 있다. 차수가 ''m''인 곡선 ''C''에 대해, 무한대 원점 ''I''와 ''J''를 지나는 ''m''개의 접선을 그릴 수 있다. 특이점 등으로 인해 예외가 되는 경우를 제외하면, 이 접선들은 ''m''2개의 교점을 가지는데, 이 교점들을 ''C''의 초점으로 정의한다. 즉, 점 ''P''가 초점인 것은 ''PI''와 ''PJ''가 모두 ''C''에 접할 때이다.

''C''가 실수 곡선일 경우, 켤레 쌍의 교점만이 실수가 되므로 ''m''개의 실수 초점과 ''m''2 - ''m''개의 허수 초점이 존재한다. ''C''가 원뿔 곡선일 때, 이 방식으로 정의된 실수 초점은 기하학적 구성에 사용되는 초점과 정확히 일치한다.

4. 1. n-타원

''n''-타원은 n개의 초점까지의 거리의 합이 모두 같은 점들의 집합이다(n=2인 경우는 일반적인 타원이다).

4. 2. 대수 곡선의 초점

Algebraic curve영어의 초점은 주어진 대수 곡선의 접선 방정식을 이용하여 정의할 수 있다. $C$를 차수 $m$의 곡선이라고 하고 $I$와 $J$를 무한대 원점이라고 하자. 각 $I$와 $J$를 통해 $C$에 $m$개의 접선을 그린다. 예외가 있는 경우 특이점 등으로 인해 두 세트의 $m$개의 선이 $m^2$개의 교차점을 갖게 된다. 이 교차점들을 $C$의 초점으로 정의한다. 즉, 점 $P$가 초점인 것은 $PI$와 $PJ$가 모두 $C$에 접할 때이다. $C$가 실수 곡선일 때, 켤레 쌍의 교차점만 실수가 되므로, $m$개의 실수 초점과 $m^2 - m$개의 허수 초점이 있다. $C$가 원뿔 곡선일 때, 이 방식으로 정의된 실수 초점은 $C$의 기하학적 구성을 위해 사용할 수 있는 초점과 정확히 일치한다.

4. 3. 공초점 곡선족

동일한 초점을 갖는 곡선족에 대한 방정식을 유도할 수 있다. 예를 들어, , 이라고 하자. 접선 방정식은 다음과 같다.[1][2]

:\begin{align}

X + 1 &= 0 \\

X - 1 &= 0

\end{align}

따라서 이다. 무한 원점에서의 원점들에 대한 접선 방정식은 다음과 같다.

:\begin{align}

X + iY &= 0 \\

X - iY &= 0

\end{align}

따라서 이다. 따라서, 주어진 초점을 갖는 원뿔 곡선에 대한 접선 방정식은

:X^2 - 1 + c(X^2 +Y^2) = 0

또는

:(1+c)X^2 + cY^2 = 1,

이며, 여기서 는 임의의 상수이다. 점 좌표에서는 다음과 같이 된다.

:\frac{x^2}{1+c} + \frac{y^2}{c} = 1.

5. 천문학적 의미

중력의 이체 문제에서 두 물체가 서로에 대해 도는 궤도는 겹치는 두 개의 원뿔 곡선으로 설명되며, 그 중 하나의 초점은 두 물체의 질량 중심(중심)에서 다른 초점과 일치한다.

명왕성- 카론 시스템과 지구-달 시스템은 태양과 함께 중심을 중심으로 타원 궤도를 따라 움직인다. 태양계의 모든 다른 행성-달 시스템 또는 달이 없는 행성도 마찬가지이다. 두 경우 모두 중심은 태양의 몸체 내부에 있다.

5. 1. 명왕성과 카론

중력의 이체 문제에서 두 물체가 서로에 대해 도는 궤도는 겹치는 두 개의 원뿔 곡선으로 설명되며, 그 중 하나의 초점은 두 물체의 질량 중심(중심)에서 다른 초점과 일치한다.

왜행성 명왕성의 가장 큰 위성인 카론은 명왕성-카론 시스템의 중심, 즉 두 물체 사이의 공간에 있는 점을 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 가지고 있으며, 명왕성 또한 두 물체 사이의 동일한 중심에서 하나의 초점을 갖는 타원 궤도를 따라 움직인다. 명왕성의 타원은 이 애니메이션에서 볼 수 있듯이 카론의 타원 안에 완전히 있다.

5. 2. 지구와 달

중력의 이체 문제에서 두 물체가 서로에 대해 도는 궤도는 겹치는 두 개의 원뿔 곡선으로 설명되며, 그 중 하나의 초점은 두 물체의 질량 중심(중심)에서 다른 초점과 일치한다.[1]

지구의 달은 달과 지구의 중심을 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 움직이며, 이 중심은 지구 내부에 있다. 지구(정확히는 중심)는 지구 내의 동일한 중심에서 하나의 초점을 갖는 타원 궤도를 따라 움직인다. 이 중심은 지구 중심에서 표면까지의 거리의 약 4분의 3 지점에 있다.

5. 3. 쌍성

중력의 이체 문제에서 두 물체가 서로에 대해 도는 궤도는 겹치는 두 개의 원뿔 곡선으로 설명되며, 그 중 하나의 초점은 두 물체의 질량 중심(중심)에서 다른 초점과 일치한다. 쌍성의 경우에도 마찬가지로, 중심에서 초점을 공유하는 타원 궤도를 따라 움직인다.

참조

[1] 문서 Follows Hilton p. 69 with an appeal to AF+BG for simplification.
[2] 서적


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com