아이디얼 층

1. 개요

아이디얼 층은 환 달린 공간의 구조층의 부분층으로, 특정 조건을 만족하는 아벨 군 층이다. 대수기하학에서 아이디얼 층은 닫힌 부분 스킴과 밀접하게 관련되어 있으며, 준연접 아이디얼 층과 닫힌 부분 스킴 사이의 일대일 대응을 통해 연구된다. 특히, 스킴 X의 닫힌 부분 스킴들은 X의 준연접 아이디얼 층과 대응하며, 이 대응은 닫힌 몰입, 닐라디칼, 프리이미지 등을 통해 구체화된다. 복소해석 공간 이론에서는 오카-카르탕 정리를 통해 코히어런트 층인 아이디얼 층이 닫힌 복소 부분 공간의 구조를 부여하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 정의

환 달린 공간 \((X, \mathcal O_X)\)의 아이디얼 층 \(\mathcal I\)는 \(\mathcal O_X\)의 아벨 군층으로서의 부분층이면서 특정한 조건을 만족하는 아벨 군 층이다. 아이디얼 층의 구체적인 조건은 "조건" 하위 섹션을 참고하면 된다.

2.1. 조건

환 달린 공간 \((X,\mathcal O_X)\)의 아이디얼 층 \(\mathcal I\)는 \(\mathcal O_X\)의 아벨 군층으로서의 부분층이며, 다음 조건을 만족시킨다.

* 임의의 열린집합 \(U\subseteq X\)에 대하여, \(\Gamma(U;\mathcal O_X)\cdot\Gamma(U;\mathcal I)\subseteq\Gamma(U;\mathcal I)\)이다.

\(X\)를 위상 공간으로, \(A\)를 \(X\) 위의 환의 층이라고 할 때, (\((X, A)\)는 환 달린 공간)) \(A\) 내의 아이디얼 층 \(J\)는 \(A\)의 부분 대상이며, 아벨 군의 층으로 간주되는 \(A\)의 부분층이다. 이는 \(A\)-가군 층의 범주에서 다음을 만족한다.

: \(\Gamma(U, A) \cdot \Gamma(U, J) \subseteq \Gamma(U, J)\)

이는 \(X\)의 모든 열린 부분 집합 \(U\)에 대해 성립한다. 즉, \(J\)는 \(A\)의 \(A\)-부분가군 층이다.

3. 일반적인 성질

환의 층 사이의 준동형사상 $f\backslash colon\; A\; \backslash to\; B$의 핵은 $A$의 아이디얼 층이다. 환의 층 $A$의 아이디얼 층 $J$에 대하여, 몫 층 $A/J$는 자연스러운 환의 층 구조를 가진다. 열린집합 $U$에 대한 표준 사상 Γ(U, A)/Γ(U, J) → Γ(U, A/J)은 단사 함수이지만, 일반적으로 전사 함수는 아니다. (자세한 내용은 층 코호몰로지 참조)

4. 대수기하학

스킴 이론에서 아이디얼 층은 닫힌 부분 스킴과 밀접하게 연관된다. 특히, 닫힌 부분 스킴과 준연접 아이디얼 층 사이의 대응 관계는 스킴의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

추가적으로, 스킴 $(X,\backslash mathcal\; O\_X)$에서 어떤 아핀 열린 덮개에서 구조층의 영근기로 구성된 아이디얼 층 $\backslash mathcal\; J$를 생각할 수 있다. 또는 사상 f: X → Y와 아이디얼 층 J에 의해 정의된 닫힌 부분 스킴 Y′ ⊆ Y에 대해, 프리이미지 Y′ ×_Y X를 정의할 수 있다.

4.1. 준연접 아이디얼 층

스킴 사이의 닫힌 몰입 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$에 대하여, 그 핵 $\backslash ker\; f$는 $\backslash mathcal\; O\_X$의 준연접 아이디얼 층을 이룬다. 만약 $X$가 뇌터 스킴이라면 이는 연접 아이디얼 층을 이룬다.

스킴 $X$에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재한다.
* $X$의 닫힌 부분 스킴들의 집합
* $X$의 준연접 아이디얼 층의 집합

구체적으로, 닫힌 부분 스킴 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$에 대응하는 아이디얼 층은 $\backslash ker\; f^\{\backslash \#\}$이다. 반대로, 준연접 아이디얼 층 $\backslash mathcal\; I$에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 $\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I$의 지지집합
:$\backslash operatorname\{supp\}\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I=\backslash \{x\backslash in\; X\backslash colon(\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I)\_x\backslash ne0\backslash \}$
이다. 즉, 줄기가 0인 점들의 부분 집합이다. 그렇다면 $(\backslash operatorname\{supp\}\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I,\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I)$는 $X$의 닫힌 부분 스킴을 이룬다.

스킴의 맥락에서, 아이디얼 층의 중요성은 주로 닫힌 부분 스킴과 준연접 아이디얼 층 사이의 대응에 있다. 스킴 X와 O_X 내의 준연접 아이디얼 층 J를 생각해보자. 그러면 O_X/J의 지지 집합 Z는 X의 닫힌 부분 공간이고, (Z, O_X/J)는 스킴이다 (두 명제 모두 국소적으로 확인할 수 있다). 이것은 J에 의해 정의된 X의 닫힌 부분 스킴이라고 불린다. 반대로, i: Z → X를 닫힌 매립, 즉, 연관된 사상, 즉 닫힌 부분 공간으로의 동형사상인 사상이라고 하자.
: i^#: O_X → i_⋆O_Z
는 줄기에서 전사적이다. 그러면, i^#의 커널 J는 준연접 아이디얼 층이고, i는 Z에서 J에 의해 정의된 닫힌 부분 스킴으로의 동형사상을 유도한다.

4.2. 닫힌 부분 스킴과의 대응

스킴 사이의 닫힌 몰입 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$에 대하여, 그 핵 $\backslash ker\; f$는 $\backslash mathcal\; O\_X$의 준연접 아이디얼 층을 이룬다. 만약 $X$가 뇌터 스킴이라면 이는 연접 아이디얼 층을 이룬다.

스킴 $X$에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재한다.
* $X$의 닫힌 부분 스킴들의 집합
* $X$의 준연접 아이디얼 층의 집합

구체적으로, 닫힌 부분 스킴 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$에 대응하는 아이디얼 층은 $\backslash ker\; f^\{\backslash \#\}$이다. 반대로, 준연접 아이디얼 층 $\backslash mathcal\; I$에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 $\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I$의 지지집합
:$\backslash operatorname\{supp\}\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I=\backslash \{x\backslash in\; X\backslash colon(\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I)\_x\backslash ne0\backslash \}$
이다. 즉, 줄기가 0인 점들의 부분 집합이다. 그렇다면 $(\backslash operatorname\{supp\}\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I,\backslash mathcal\; O\_X/\backslash mathcal\; I)$는 $X$의 닫힌 부분 스킴을 이룬다.

스킴의 맥락에서, 아이디얼 층의 중요성은 주로 닫힌 부분 스킴과 준연접 아이디얼 층 사이의 대응에 있다. 스킴 X와 O_X 내의 준연접 아이디얼 층 J를 생각할 때, O_X/J의 지지 집합 Z는 X의 닫힌 부분 공간이고, (Z, O_X/J)는 스킴이다. 이것은 J에 의해 정의된 X의 닫힌 부분 스킴이라고 불린다.

반대로, i: Z → X를 닫힌 매립이라고 할 때, 연관된 사상
: i^#: O_X → i_⋆O_Z
는 줄기에서 전사적이다. 그러면, i^#의 커널 J는 준연접 아이디얼 층이고, i는 Z에서 J에 의해 정의된 닫힌 부분 스킴으로의 동형사상을 유도한다.

4.3. 환원된 부분 스킴

어떤 아핀 열린 덮개에서 구조층의 영근기로 구성된 아이디얼 층 $\backslash mathcal\; J$를 생각할 수 있다. 이는 항상 준연접층이며, 이에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 $X\_\{\backslash operatorname\{red\}\}$이다. 이는 항상 축소 스킴이며, $X$와 위상 공간으로서 동형이지만, 그 층 구조는 다를 수 있다.

이는 같은 밑 공간을 갖는 X의 고유한 환원된 부분 스킴 X_red인데, O_X의 닐라디칼에 의해 정의된다 (줄기별로 또는 열린 아핀 차트에서 정의됨).

4.4. 당김(Pullback)

스킴 사상 f: X → Y와 아이디얼 층 J에 의해 정의된 닫힌 부분 스킴 Y'' ⊆ Y에 대해, 프리이미지 Y'' ×_Y X는 다음 아이디얼 층으로 정의된다.
: f^⋆(J)O_X = im(f^⋆J → O_X).

아이디얼 층 J를 J에 의해 정의된 부분 스킴 Z로 당기는 것은 중요한 정보를 담고 있으며, 이것을 Z의 여접속 다발이라고 부른다. 예를 들어, 괼러 미분의 층은 대각선 X → X × X를 정의하는 아이디얼 층을 X로 당기는 것으로 정의될 수 있다. (간단하게 하기 위해 X가 분리되어 있어 대각선이 닫힌 매립이라고 가정한다.)

5. 해석기하학

복소해석 공간에서, 오카-카르탕 정리는 아이디얼 층의 해석적 성질을 규명한다.

5.1. 코히어런트 층

복소해석 공간 이론에서, 오카-카르탕 정리는 복소 공간의 닫힌 부분 집합 A가 A에서 사라지는 함수들의 아이디얼 층이 코히어런트 층이면 해석적이라는 것을 명시한다. 이 아이디얼 층은 또한 A에 환원된 닫힌 복소 부분 공간의 구조를 부여한다.

5.2. 닫힌 복소 부분 공간

오카-카르탕 정리는 복소 공간의 닫힌 부분 집합 A가 A에서 사라지는 함수들의 아이디얼 층이 코히어런트 층이면 해석적이라는 것을 명시한다. 이 아이디얼 층은 또한 A에 환원된 닫힌 복소 부분 공간의 구조를 부여한다.