영근기

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1. 개요

영근기는 환의 멱영원 아이디얼과 관련된 개념으로, 환의 구조를 연구하는 데 사용된다. 영근기에는 상영근기, 하영근기, 레비츠키 근기가 있으며, 이들은 환의 멱영원 아이디얼들을 정의하고 포함 관계를 갖는다. 가환환의 경우, 영근기는 모든 멱영원의 집합과 같으며, 영 아이디얼의 소근기이다. 비가환환에서는 하영근기, 상영근기, 레비츠키 근기가 존재하며, 뇌터 환에서는 이들이 일치하여 멱영근을 정의한다. 쾨테 추측은 멱영원 아이디얼에 대한 미해결 문제이다.

영근기

정의

정의	가환환 R의 멱영원들의 집합은 R의 아이디얼을 이룬다. 이 아이디얼을 R의 영근기라고 한다.

성질

성질	R의 영근기는 R의 모든 소 아이디얼의 교집합과 같다.

예시

예시	정수환 Z의 영근기는 (0)이다. 환 Z/nZ의 영근기는 pZ/nZ이다. 여기서 p는 n을 나누는 모든 소수의 곱이다. 필드의 영근기는 (0)이다. 불 환의 영근기는 (0)이다. 0이 아닌 멱영원을 포함하는 환의 예로는 다음이 있다. 행렬환 M_n(F)은 필드 F에 대한 n×n 행렬이다. 여기서 n은 2보다 크거나 같다. 몫환 k[x,y]/(x^2, xy)은 필드 k에 대한 다항식 환이다.

관련 개념	자코브슨 근기 반소환 멱영 아이디얼 소 아이디얼

참고 문헌	(영어) Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0. MR 1838439.

2. 정의

환 $R$ 의 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼이 멱영원들로만 구성되어 있다면, 이를 멱영원 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼(nil ideal^영어)이라고 한다.

가환환의 닐래디컬(nilradical)은 환 내의 모든 멱영원들의 집합이며, 영 아이디얼의 근기이다. 이는 이항 정리에 의해 임의의 두 멱영원의 합이 멱영원이고, 가환성에 의해 임의의 원소와 멱영원의 곱이 멱영원이므로 아이디얼이다. 또한 환의 모든 소 아이디얼들의 교집합으로 특징지어진다.

비가환환의 경우, 멱영근과 유사한 여러 개념이 존재한다. 뇌터 환의 멱영근은 환의 유일한 최대 (왼쪽, 오른쪽 또는 양쪽) 멱영 아이디얼로 정의될 수 있다.

2.1. 상영근기 (쾨테 근기)

환 $R$ 의 상영근기(上零根基, upper nilradical^영어) 또는 쾨테 근기(Köthe radical^영어)는 모든 멱영원 양쪽 아이디얼들의 합이다. 수학적으로 다음과 같이 표현된다.

: $\operatorname{Nil}^*R=\bigoplus_{\forall a\in\mathfrak a\exists n>0\colon a^n=0}\mathfrak a$

2.2. 하영근기 (베어-맥코이 근기)

환 $R$ 의 하영근기(下零根基, lower nilradical^영어) 또는 베어-맥코이 근기(Baer–McCoy radical^영어)는 영 아이디얼의 소근기이다. 즉, $R$ 의 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.

: $\operatorname{Nil}_*R=\sqrt{(0)}=\bigcap_{\mathfrak p\text{ prime}}\mathfrak p$

2.3. 레비츠키 근기

환 $R$ 의 레비츠키 근기(Levitzky ideal^영어)는 모든 국소 멱영 아이디얼들의 합이다. 여기서 국소 멱영 아이디얼(locally nilpotent ideal^영어) $\mathfrak a$ 는 임의의 유한 부분 집합 $S\subseteq\mathfrak a$ 가 주어졌을 때, 충분히 큰 자연수 $N$ 에 대하여 $S^N=\{0\}$ 이 되는 아이디얼이다.

3. 성질

하영근기, 레비츠키 근기, 상영근기는 환의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 일반적으로 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:하영근기 ⊆ 레비츠키 근기 ⊆ 상영근기 ⊆ 제이컵슨 근기
상영근기의 모든 원소는 멱영원이지만, 일반적인 환에서는 상영근기에 속하지 않는 멱영원이 존재할 수 있다.

3.1. 쾨테 추측

다음 명제들은 모두 동치이며, 이들이 참인지 여부를 쾨테 추측(Köthe conjecture^영어)이라고 한다.
* 임의의 환에서, 두 멱영원 왼쪽 아이디얼의 합은 멱영원 왼쪽 아이디얼이다.
* 임의의 환에서, 모든 멱영원 왼쪽 아이디얼은 상영근기에 속한다.
* 임의의 환 $R$ 및 임의의 멱영원 양쪽 아이디얼 $\mathfrak j$ 에 대하여, 행렬 아이디얼 $\operatorname{Mat}(2;\mathfrak j)\subseteq\operatorname{Mat}(2;R)$ 은 멱영원 아이디얼이다.
* 임의의 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 및 임의의 환 $R$ 및 임의의 멱영원 양쪽 아이디얼 $\mathfrak j$ 에 대하여, 행렬 아이디얼 $\operatorname{Mat}(n;\mathfrak j)\subseteq\operatorname{Mat}(n;R)$ 은 멱영원 아이디얼이다.
쾨테 추측은 오른쪽 뇌터 환이나 다항 항등식 환에 대하여 증명되었지만, 일반적인 환에 대하여 아직 미해결 문제이다.

4. 가환환의 경우

가환환의 경우, 영근기는 모든 멱영원의 집합과 같으며, 영 아이디얼의 소근기이다. 이는 비가환환에서는 성립하지 않을 수 있다.

가환환에서 닐래디컬(nilradical)은 환 내의 모든 멱영원들의 집합이거나, 근기 영 아이디얼의 근기와 같다. 이는 임의의 두 멱영원의 합이 멱영원이고 (이항 정리), 임의의 원소와 멱영원의 곱이 멱영원(가환성에 의해)이므로 아이디얼이다. 또한 환의 모든 소 아이디얼들의 교집합으로 특징지을 수 있다 (실제로 모든 극소 소 아이디얼들의 교집합이다).

환은 0이 아닌 멱영원을 갖지 않으면 축소환이라고 한다. 따라서 환의 닐래디컬이 0인 것은 환이 축소환이기 위한 필요충분조건이다.

모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로, 극대 아이디얼들의 교집합인 제이콥슨 근기는 닐래디컬을 포함해야 한다.

5. 비가환환의 경우

비가환환의 경우, 멱영근과 유사한 여러 개념이 존재한다. 하위 멱영근(베어–맥코이 근기, 또는 소 근기)은 영 아이디얼의 근기와 유사하며, 환의 소 아이디얼의 교집합으로 정의된다. 모든 멱영 원소의 집합과 유사한 것은 상위 멱영근이며, 이는 환의 모든 멱영 아이디얼에 의해 생성된 아이디얼로 정의되며, 그 자체도 멱영 아이디얼이다. 모든 멱영 원소의 집합 자체는 아이디얼(또는 심지어 부분군)일 필요가 없으므로, 상위 멱영근은 이 집합보다 훨씬 작을 수 있다. 레비츠키 근기는 그 사이에 있으며, 가장 큰 국소 멱영 아이디얼로 정의된다. 가환환의 경우와 마찬가지로, 환이 아르틴 환일 때, 레비츠키 근기는 멱영이며, 따라서 유일하게 가장 큰 멱영 아이디얼이다. 실제로, 환이 단지 뇌터 환일 경우, 하위, 상위, 레비츠키 근기는 멱영이며 일치하므로, 모든 뇌터 환의 멱영근은 환의 유일하게 가장 큰 (왼쪽, 오른쪽 또는 양쪽) 멱영 아이디얼로 정의될 수 있다.