영근기

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 쾨테 추측
4. 가환환의 경우
5. 비가환환의 경우
참조

1. 개요

영근기는 환의 멱영원 아이디얼과 관련된 개념으로, 환의 구조를 연구하는 데 사용된다. 영근기에는 상영근기, 하영근기, 레비츠키 근기가 있으며, 이들은 환의 멱영원 아이디얼들을 정의하고 포함 관계를 갖는다. 가환환의 경우, 영근기는 모든 멱영원의 집합과 같으며, 영 아이디얼의 소근기이다. 비가환환에서는 하영근기, 상영근기, 레비츠키 근기가 존재하며, 뇌터 환에서는 이들이 일치하여 멱영근을 정의한다. 쾨테 추측은 멱영원 아이디얼에 대한 미해결 문제이다.

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영근기
정의
정의	가환환 R의 멱영원들의 집합은 R의 아이디얼을 이룬다. 이 아이디얼을 R의 영근기라고 한다.
성질
성질	R의 영근기는 R의 모든 소 아이디얼의 교집합과 같다.
예시
예시	정수환 Z의 영근기는 (0)이다. 환 Z/nZ의 영근기는 pZ/nZ이다. 여기서 p는 n을 나누는 모든 소수의 곱이다. 필드의 영근기는 (0)이다. 불 환의 영근기는 (0)이다. 0이 아닌 멱영원을 포함하는 환의 예로는 다음이 있다. 행렬환 M_n(F)은 필드 F에 대한 n×n 행렬이다. 여기서 n은 2보다 크거나 같다. 몫환 k[x,y]/(x^2, xy)은 필드 k에 대한 다항식 환이다.
관련 개념
관련 개념	자코브슨 근기 반소환 멱영 아이디얼 소 아이디얼
참고 문헌
참고 문헌	(영어) Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0. MR 1838439.

2. 정의

환 $R$ 의 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼이 멱영원들로만 구성되어 있다면, 이를 '''멱영원 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼'''(nil ideal^영어)이라고 한다.

가환환의 닐래디컬(nilradical)은 환 내의 모든 멱영원들의 집합이며, 영 아이디얼의 근기이다. 이는 이항 정리에 의해 임의의 두 멱영원의 합이 멱영원이고, 가환성에 의해 임의의 원소와 멱영원의 곱이 멱영원이므로 아이디얼이다. 또한 환의 모든 소 아이디얼들의 교집합으로 특징지어진다.

비가환환의 경우, 멱영근과 유사한 여러 개념이 존재한다. 뇌터 환의 멱영근은 환의 유일한 최대 (왼쪽, 오른쪽 또는 양쪽) 멱영 아이디얼로 정의될 수 있다.

2. 1. 상영근기 (쾨테 근기)

환

R

의 '''상영근기'''(上零根基, upper nilradical^영어) 또는 '''쾨테 근기'''(Köthe radical^영어)는 모든 멱영원 양쪽 아이디얼들의 합이다.^[2] 수학적으로 다음과 같이 표현된다.

:

\operatorname{Nil}^*R=\bigoplus_{\forall a\in\mathfrak a\exists n>0\colon a^n=0}\mathfrak a

2. 2. 하영근기 (베어-맥코이 근기)

환

R

의 하영근기(下零根基, lower nilradical^영어) 또는 베어-맥코이 근기(Baer–McCoy radical^영어)는 영 아이디얼의 소근기이다. 즉,

R

의 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.^[2]

:

\operatorname{Nil}_*R=\sqrt{(0)}=\bigcap_{\mathfrak p\text{ prime}}\mathfrak p

2. 3. 레비츠키 근기

환

R

의 레비츠키 근기(Levitzky ideal^영어)는 모든 국소 멱영 아이디얼들의 합이다.^[2] 여기서 국소 멱영 아이디얼(locally nilpotent ideal^영어)

\mathfrak a

는 임의의 유한 부분 집합

S\subseteq\mathfrak a

가 주어졌을 때, 충분히 큰 자연수

N

에 대하여

S^N=\{0\}

이 되는 아이디얼이다.

3. 성질

하영근기, 레비츠키 근기, 상영근기는 환의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 일반적으로 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[1]

:하영근기 ⊆ 레비츠키 근기 ⊆ 상영근기 ⊆ 제이컵슨 근기

상영근기의 모든 원소는 멱영원이지만, 일반적인 환에서는 상영근기에 속하지 않는 멱영원이 존재할 수 있다.^[1]

3. 1. 쾨테 추측

다음 명제들은 모두 동치이며, 이들이 참인지 여부를 '''쾨테 추측'''(Köthe conjecture^영어)이라고 한다.

임의의 환에서, 두 멱영원 왼쪽 아이디얼의 합은 멱영원 왼쪽 아이디얼이다.
임의의 환에서, 모든 멱영원 왼쪽 아이디얼은 상영근기에 속한다.
임의의 환 $R$ 및 임의의 멱영원 양쪽 아이디얼 $\mathfrak j$ 에 대하여, 행렬 아이디얼 $\operatorname{Mat}(2;\mathfrak j)\subseteq\operatorname{Mat}(2;R)$ 은 멱영원 아이디얼이다.
임의의 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 및 임의의 환 $R$ 및 임의의 멱영원 양쪽 아이디얼 $\mathfrak j$ 에 대하여, 행렬 아이디얼 $\operatorname{Mat}(n;\mathfrak j)\subseteq\operatorname{Mat}(n;R)$ 은 멱영원 아이디얼이다.

쾨테 추측은 오른쪽 뇌터 환이나 다항 항등식 환에 대하여 증명되었지만, 일반적인 환에 대하여 아직 미해결 문제이다.^[3]

4. 가환환의 경우

가환환의 경우, 영근기는 모든 멱영원의 집합과 같으며, 영 아이디얼의 소근기이다.^[1] 이는 비가환환에서는 성립하지 않을 수 있다.

가환환에서 닐래디컬(nilradical)은 환 내의 모든 멱영원들의 집합이거나, 근기 영 아이디얼의 근기와 같다. 이는 임의의 두 멱영원의 합이 멱영원이고 (이항 정리), 임의의 원소와 멱영원의 곱이 멱영원(가환성에 의해)이므로 아이디얼이다. 또한 환의 모든 소 아이디얼들의 교집합으로 특징지을 수 있다 (실제로 모든 극소 소 아이디얼들의 교집합이다).

환은 0이 아닌 멱영원을 갖지 않으면 축소환이라고 한다. 따라서 환의 닐래디컬이 0인 것은 환이 축소환이기 위한 필요충분조건이다.

모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로, 극대 아이디얼들의 교집합인 제이콥슨 근기는 닐래디컬을 포함해야 한다.

5. 비가환환의 경우

비가환환의 경우, 멱영근과 유사한 여러 개념이 존재한다. 하위 멱영근(베어–맥코이 근기, 또는 소 근기)은 영 아이디얼의 근기와 유사하며, 환의 소 아이디얼의 교집합으로 정의된다. 모든 멱영 원소의 집합과 유사한 것은 상위 멱영근이며, 이는 환의 모든 멱영 아이디얼에 의해 생성된 아이디얼로 정의되며, 그 자체도 멱영 아이디얼이다. 모든 멱영 원소의 집합 자체는 아이디얼(또는 심지어 부분군)일 필요가 없으므로, 상위 멱영근은 이 집합보다 훨씬 작을 수 있다. 레비츠키 근기는 그 사이에 있으며, 가장 큰 국소 멱영 아이디얼로 정의된다. 가환환의 경우와 마찬가지로, 환이 아르틴 환일 때, 레비츠키 근기는 멱영이며, 따라서 유일하게 가장 큰 멱영 아이디얼이다. 실제로, 환이 단지 뇌터 환일 경우, 하위, 상위, 레비츠키 근기는 멱영이며 일치하므로, 모든 뇌터 환의 멱영근은 환의 유일하게 가장 큰 (왼쪽, 오른쪽 또는 양쪽) 멱영 아이디얼로 정의될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Introduction to Commutative Algebra Addison-Wesley
_[2] 서적 A first course in noncommutative rings 2001
_[3] 저널 On some results related to Köthe’s conjecture http://www.math.bas.[...] 2001

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