아인슈타인 계수

3. 아인슈타인 계수 (Einstein Coefficients)

1916년, 알베르트 아인슈타인은 원자 스펙트럼 선 형성에 관여하는 세 가지 과정, 즉 자발 방출, 유도 방출, 흡수를 제안했다.^{[3][14][15][16]} 각 과정은 특정 과정이 발생할 확률과 관련된 아인슈타인 계수로 설명된다. 아인슈타인은 주파수 ν와 스펙트럼 에너지 밀도 ρ(ν)를 갖는 등방성 복사의 경우를 고려했다. 폴 디랙은 1927년 논문에서 이 계수들을 유도했다.^[17][18]

아인슈타인 계수는 각 원자와 관련된 단위 시간당 일정한 확률이며, 원자가 포함된 기체의 상태에는 의존하지 않는다. 따라서 열역학적 평형 상태에서 이끌어 낼 수 있는 계수들 간의 관계는 일반적으로 모두 유효하다.

열역학적 평형 상태에서는 모든 과정에 의한 손실과 이득이 균형을 이루어 들뜬 원자 수의 순 변화가 0이 된다. 상세 균형에 따르면, 세 과정에 의한 준위 1의 원자 수의 시간 변화는 0이어야 한다.

:$0\; =\; A\_\{21\}\; n\_2\; +\; B\_\{21\}\; n\_2\; \backslash rho(\backslash nu)\; -\; B\_\{12\}\; n\_1\; \backslash rho(\backslash nu).$

맥스웰-볼츠만 분포에서 들뜬 원자 종의 수 ''i''는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{n\_i\}\{n\}\; =\; \backslash frac\{g\_i\; e^\{-E\_i/kT\}\}\{Z\},$

여기서 ''n''은 들뜬/들뜨지 않은 원자 종의 총 수 밀도, ''k''는 볼츠만 상수, ''T''는 온도, $g\_i$는 상태 ''i''의 축퇴(다중도), ''Z''는 분배 함수이다. 플랑크의 법칙에서 온도 T에서 흑체 복사의 주파수 ν의 스펙트럼 에너지 밀도는 다음과 같다.

:$\backslash rho\_\backslash nu(\backslash nu,\; T)\; =\; F(\backslash nu)\; \backslash frac\{1\}\{e^\{h\backslash nu/kT\}\; -\; 1\},$

여기서^[51]

:$F(\backslash nu)\; =\; \backslash frac\{8\; h\backslash pi\backslash nu^3\}\{c^3\},$

여기서 $c$는 광속, $h$는 플랑크 상수이다.

위 식들을 상세 균형 방정식에 대입하고, $E\_2\; -\; E\_1\; =\; h\backslash nu$ 임을 고려하면, 세 아인슈타인 계수는 다음과 같이 상호 관련된다.

: $\backslash frac\{A\_\{21\}\}\{B\_\{21\}\}\; =\; F(\backslash nu)$

: $\backslash frac\{B\_\{21\}\}\{B\_\{12\}\}\; =\; \backslash frac\{g\_1\}\{g\_2\}.$

3. 1. 자발 방출 (Spontaneous Emission)

3. 2. 유도 방출 (Stimulated Emission)

3. 3. 광자 흡수 (Photon Absorption)

4. 방출 및 흡수 계수

물리학에서 스펙트럼선은 두 가지 관점에서 고려할 수 있다.

원자나 분자가 특정한 이산 에너지 준위 $E\_2$에서 더 낮은 에너지 준위 $E\_1$로 전이하면서 특정 에너지와 파장의 광자를 방출할 때 휘선이 형성된다. 이러한 많은 광자들로 이루어진 스펙트럼은 그 광자와 관련된 파장에서 휘선의 스파이크를 보인다.

원자나 분자가 낮은 에너지 준위 $E\_1$에서 높은 이산 에너지 $E\_2$로 전이하면 흡수선이 형성되고, 이 과정에서 광자가 흡수된다. 이렇게 흡수된 광자들은 배경 연속 방사(전자기 방사의 전체 스펙트럼)에서 유래하며, 스펙트럼은 흡수된 광자와 관련된 파장에서 연속 방사의 감소를 보인다.

두 상태는 전자가 원자 또는 분자에 결합된 속박 상태여야 하므로, 이 전이는 전자가 원자에서 완전히 연속 상태로 방출되어(이온화)된 원자를 남기고 연속 방사를 생성하는 전이와 달리, 속박-속박 전이라고도 한다.

에너지 준위 차 $E\_2\; -\; E\_1$와 같은 에너지를 가진 광자는 이 과정에서 방출 또는 흡수된다. 스펙트럼선이 나타나는 주파수 $\backslash nu$는 Bohr's frequency condition^영어 $E\_2\; -\; E\_1\; =\; h\backslash nu$ (여기서 $h$는 플랑크 상수)에 의해 광자 에너지와 관련된다.^{[32][33][34][35][36][37]}

원자 스펙트럼선은 기체 내에서 일어나는 방출 및 흡수 현상을 나타내며, $n\_2$는 선에 대한 상위 에너지 상태에 있는 원자의 밀도이고, $n\_1$는 선에 대한 하위 에너지 상태에 있는 원자의 밀도이다.

4. 1. 방출 계수 (Emission Coefficient)

4. 2. 흡수 계수 (Absorption Coefficient)

5. 상세 균형 (Detailed Balancing)

열역학적 평형 상태에서는 모든 과정에 의한 손실과 이득이 균형을 이루어 들뜬 원자 수의 순 변화가 0이 되는 단순한 균형이 존재한다. 속박-속박 전이와 관련하여, 상세 균형도 성립하는데, 이는 임의의 두 준위 사이의 순 교환이 균형을 이룬다는 것을 의미한다.^[26] 이는 전이 확률이 다른 들뜬 원자의 존재 여부에 영향을 받을 수 없기 때문이다. 상세 균형(평형 상태에서만 유효)은 위의 세 가지 과정으로 인해 1준위에 있는 원자 수의 시간 변화가 0이어야 함을 요구한다.

:$0\; =\; A\_\{21\}\; n\_2\; +\; B\_\{21\}\; n\_2\; \backslash rho(\backslash nu)\; -\; B\_\{12\}\; n\_1\; \backslash rho(\backslash nu).$

상세 균형과 함께, 온도 맥스웰-볼츠만 분포에 명시된 원자의 평형 에너지 분포와 흑체 복사의 플랑크 법칙에 명시된 광자의 평형 분포에 대한 지식을 사용하여 아인슈타인 계수 사이의 보편적인 관계를 도출할 수 있다.

볼츠만 분포에서 들뜬 원자 종 ''i''의 수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{n\_i\}\{n\}\; =\; \backslash frac\{g\_i\; e^\{-E\_i/kT\}\}\{Z\},$

여기서 ''n''은 들뜬 원자와 들뜨지 않은 원자를 포함한 원자 종의 총 수 밀도이고, ''k''는 볼츠만 상수, ''T''는 온도, $g\_i$는 상태 ''i''의 축퇴도(다중도라고도 함)이고, ''Z''는 분배 함수이다. 온도 에서 흑체 복사의 플랑크 법칙에서 주파수 에서의 스펙트럴 라디언스(라디언스는 적절한 스펙트럼 구간에 대해 적분할 때 단위 시간, 단위 입체각, 단위 투영 면적당 에너지)는 다음과 같다.^[27]

:$\backslash rho\_\backslash nu(\backslash nu,\; T)\; =\; F(\backslash nu)\; \backslash frac\{1\}\{e^\{h\backslash nu/kT\}\; -\; 1\},$

여기서^[27]

:$F(\backslash nu)\; =\; \backslash frac\{2\; h\backslash nu^3\}\{c^2\},$

$c$는 빛의 속도이고 $h$는 플랑크 상수이다.

상세 균형 방정식에 이러한 식을 대입하고, 임을 기억하면 다음을 얻는다.

:$A\_\{21\}\; g\_2\; e^\{-h\backslash nu/kT\}\; +\; B\_\{21\}\; g\_2\; e^\{-h\backslash nu/kT\}\; \backslash frac\{F(\backslash nu)\}\{e^\{h\backslash nu/kT\}\; -\; 1\}\; =\; B\_\{12\}\; g\_1\; \backslash frac\{F(\backslash nu)\}\{e^\{h\backslash nu/kT\}\; -\; 1\},$

또는

:$A\_\{21\}\; g\_2\; (1\; -\; e^\{-h\backslash nu/kT\})\; +\; B\_\{21\}\; g\_2\; F(\backslash nu)\; e^\{-h\backslash nu/kT\}=\; B\_\{12\}\; g\_1\; F(\backslash nu).$

위의 방정식은 모든 온도에서 성립해야 하므로, $T\; \backslash to\; \backslash infty$에서 다음을 얻는다.

:$B\_\{21\}\; g\_2\; =\; B\_\{12\}\; g\_1,$

그리고 $T\; \backslash to\; 0$에서

:$A\_\{21\}\; g\_2\; =\; B\_\{21\}\; g\_2\; F(\backslash nu).$

따라서 세 개의 아인슈타인 계수는 다음과 같이 서로 관련된다.

:$\backslash frac\{A\_\{21\}\}\{B\_\{21\}\}\; =\; F(\backslash nu)$

그리고

:$\backslash frac\{B\_\{21\}\}\{B\_\{12\}\}\; =\; \backslash frac\{g\_1\}\{g\_2\}.$

이 관계를 원래 방정식에 대입하면 플랑크 법칙을 포함하는 $A\_\{21\}$와 $B\_\{12\}$ 사이의 관계도 찾을 수 있다.

6. 진동자 세기 (Oscillator Strength)

진동자 세기($f\_\{12\}$)는 흡수에 대한 단면적($\backslash sigma$)과 다음 관계식으로 정의된다.^[19]

:$\backslash sigma\; =\; \backslash frac\{e^2\}\{4\; \backslash varepsilon\_0\; m\_e\; c\}\backslash ,f\_\{12\}\backslash ,\backslash phi\_\backslash nu\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\; e^2\}\{2\; \backslash varepsilon\_0\; m\_e\; c\}\; \backslash ,f\_\{12\}\backslash ,\backslash phi\_\backslash omega,$

여기서 $e$는 전자 전하량, $m\_e$는 전자 질량, 그리고 $\backslash phi\_\backslash nu$와 $\backslash phi\_\backslash omega$는 각각 주파수와 각 주파수에 대한 정규화된 분포 함수이다.

이를 통해 세 가지 아인슈타인 계수를 특정 원자 스펙트럼 선과 관련된 단일 진동자 세기로 표현할 수 있다.^[45]

:$B\_\{12\}\; =\; \backslash frac\{e^2\}\{4\; \backslash varepsilon\_0\; m\_e\; h\; \backslash nu\}\; f\_\{12\},$

:$B\_\{21\}\; =\; \backslash frac\{e^2\}\{4\; \backslash varepsilon\_0\; m\_e\; h\; \backslash nu\}\; \backslash frac\{g\_1\}\{g\_2\}\; f\_\{12\},$

:$A\_\{21\}\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; \backslash nu^2\; e^2\}\{\backslash varepsilon\_0\; m\_e\; c^3\}\; \backslash frac\{g\_1\}\{g\_2\}\; f\_\{12\}.$

7. 쌍극자 근사 (Dipole Approximation)

A 계수와 B 계수의 값은 시간에 따른 섭동 이론에서 쌍극자 근사를 사용하는 양자역학을 이용하여 계산할 수 있다. B 계수의 계산은 쉽게 할 수 있지만, A 계수의 계산은 이차 양자화의 결과를 사용해야 한다. 이는 쌍극자 근사와 시간에 따른 섭동 이론에 의해 개발된 이론이 섭동장이 0으로 갈 때 0으로 가는 전자 전이에 대한 반고전적인 설명을 제공하기 때문이다. 자발 방출을 지배하는 A 계수는 섭동장이 0으로 갈 때 0으로 가서는 안 된다. 자발 방출에 따른 서로 다른 전자 준위의 전이율에 대한 결과는 (SI 단위로) 다음과 같다.^[28][19][29]

:$$w\_\{i\; \backslash to\; f\}^\backslash text\{s.emi\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_\{if\}^3\; e^2\}\{3\; \backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash hbar\; c^3\}\; \backslash left|\backslash langle\; f|\backslash vec\{r\}|\; i\backslash rangle\backslash right|^2\; =\; A\_\{if\}$$

B 계수의 경우, 시간에 따른 섭동 이론에서 쌍극자 근사를 직접 적용하면 (SI 단위로) 다음과 같다.^[30][29]

:$$w\_\{i\; \backslash rightarrow\; f\}^\backslash text\{abs\}\; =\; \backslash frac\{u(\backslash omega\_\{fi\})\; \backslash pi\; e^2\}\{3\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash hbar^2\}\; \backslash left|\backslash langle\; f|\backslash vec\{r\}|\; i\backslash rangle\backslash right|^2\; =\; B^\backslash text\{abs\}\_\{if\}\; u(\backslash omega\_\{fi\})$$

:$$w\_\{i\; \backslash to\; f\}^\backslash text\{emi\}\; =\; \backslash frac\{u(\backslash omega\_\{if\})\backslash pi\; e^2\}\{3\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash hbar^2\}\; \backslash left|\backslash langle\; f|\; \backslash vec\{r\}\; |\; i\backslash rangle\backslash right|^2\; =\; B^\{emi\}\_\{if\}\; u(\backslash omega\_\{if\})$$

전이율 공식은 쌍극자 모멘트 연산자에 따라 달라진다는 점에 유의해야 한다. 고차 근사의 경우, 사극자 모멘트 및 기타 유사한 항이 포함된다.

여기서 B 계수는 $\backslash omega$ 에너지 분포 함수에 해당하도록 선택된다. 종종 B 계수의 이러한 다른 정의는 윗첨자로 구분되는데, 예를 들어 $B\_\{21\}^f=\backslash frac\{B\_\{21\}^\{\backslash omega\}\}\{2\backslash pi\}$에서 $B\_\{21\}^f$ 항은 주파수 분포에 해당하고 $B\_\{21\}^\{\backslash omega\}$ 항은 $\backslash omega$ 분포에 해당한다.^[19] B 계수에 대한 공식은 선택된 에너지 분포에 반비례하여 변하므로, 관례에 관계없이 전이율은 동일하다.

따라서 AB 계수는 쌍극자 근사를 사용하여 다음과 같이 계산된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

A_{ab} &= \frac{\omega_{ab}^3 e^2}{3 \pi \varepsilon_0 \hbar c^3} \left|\langle a|\vec{r}| b\rangle\right|^2 \\[1ex]

B_{ab} &= \frac{\pi e^2}{3 \varepsilon_0 \hbar^2} \left|\langle a|\vec{r}| b\rangle\right|^2

\end{align}

여기서 $\backslash omega\_\{ab\}\; =\; \backslash frac\{E\_a-E\_b\}\backslash hbar$이고 B 계수는 $\backslash omega$ 에너지 분포 함수에 해당한다.

따라서 다음과 같은 비율도 유도된다.

:$$\backslash frac\{B\_\{12\}\}\{B\_\{21\}\}\; =\; 1$$ 그리고 $$\backslash frac\{A\_\{if\}\}\{B\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_\{if\}^3\backslash hbar\}\{\backslash pi^2\; c^3\}$$

8. 플랑크 법칙 유도 (Derivation of Planck's Law)

상세 균형 원리와 맥스웰-볼츠만 분포 및 흑체 복사의 플랑크 법칙에 대한 지식을 사용하여 아인슈타인 계수 사이의 보편적인 관계를 유도할 수 있다.

볼츠만 분포에 따르면 들뜬 상태의 원자 수 ''i''는 다음과 같다.^[26]

여기서 ''n''은 들뜬 원자와 들뜨지 않은 원자를 포함한 원자 종의 총 수 밀도이고, ''k''는 볼츠만 상수, ''T''는 온도, $g\_i$는 상태 ''i''의 축퇴도(다중도라고도 함)이고, ''Z''는 분배 함수이다.

온도 $T$에서 흑체 복사에 대한 플랑크 법칙에 따르면 주파수 $\backslash nu$에서의 스펙트럼 라디언스(단위 시간, 단위 입체각, 단위 투영 면적당 에너지)는 다음과 같다.^[27]

여기서^[27]

$c$는 빛의 속도이고 $h$는 플랑크 상수이다.

상세 균형 방정식은 다음과 같다.

위의 식들에 상세 균형 방정식을 대입하고, $E\_2\; -\; E\_1\; =\; h\backslash nu$임을 이용하면,

또는

위의 방정식은 모든 온도에서 성립해야 하므로,

따라서 세 개의 아인슈타인 계수는 다음과 같이 서로 관련된다.

그리고

이 관계를 원래 방정식에 대입하면 플랑크 법칙을 포함하는 $A\_\{21\}$와 $B\_\{12\}$ 사이의 관계도 찾을 수 있다.

9. 한국 사회에 미치는 영향

아인슈타인 계수는 한국 사회에 직접적인 영향을 미치지 않았으며, 관련된 내용도 존재하지 않는다. 따라서 '한국 사회에 미치는 영향' 섹션은 작성할 수 없다.

참조

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