알렉산더의 뿔 달린 구
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1. 개요
알렉산더의 뿔 달린 구는 3차원 유클리드 공간에서 특수한 방식으로 매장된 구이다. 표준적인 원환면에서 시작하여 원환면의 일부를 제거하고 구멍난 원환면을 연결하는 과정을 무한히 반복하여 구성된다. 이 과정의 결과로 칸토어 집합이 제거되며, 내부를 포함한 뿔 달린 구는 위상적으로 3차원 공이 된다. 알렉산더의 뿔 달린 구는 3차원 공과 위상동형이며, 외부는 단일 연결이 아니다. 1924년 제임스 워델 알렉산더에 의해 발견되었으며, 뿔의 수를 늘리거나 고차원에서 유사한 구성을 고려하는 등 일반화가 가능하다. 뿔 달린 구는 요르단-쇤플리스 정리가 3차원에서 성립하지 않음을 보여주는 예시이며, 위상 다양체, 미분 가능 다양체, 조각적 선형 다양체 간의 구분이 필요함을 보여주는 사례이다.
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| 알렉산더의 뿔 달린 구 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 유형 | 위상수학적 객체 |
| 발견자 | 제임스 웨델 알렉산더 2세 |
| 발견 연도 | 1924년 |
| 설명 | 3차원 공간에 특이하게 묻힌 2차원 구 |
| 상세 정보 | |
| 특징 | 3차원 유클리드 공간에 매끄럽게 매장된 2차원 구 S²의 예 S²와 위상 동형이지만, S²가 R³에 표준적으로 매장되었을 때와 달리 S²의 여집합이 단일 연결되지 않음 |
| 중요성 | 조르당-쇤플리스 정리가 임의의 차원으로 일반화될 수 없음을 보여줌 R³의 구면이 항상 "뒤집어질" 수 있는 것은 아님을 보여줌 |
| 구성 | 구에서 시작하여 재귀적으로 "뿔"을 추가하는 방식으로 구성됨 각 단계에서 추가되는 뿔은 이전 단계의 뿔에 연결되어 더 복잡한 구조를 형성 |
| 알렉산더 정리 | 3차원 구 S³ 내의 모든 매끄러운 단순 폐곡선은 꼬임으로 나타낼 수 있음 알렉산더의 뿔 달린 구는 이 정리와 관련하여 중요한 의미를 가짐 |
| 여집합의 연결성 | 알렉산더의 뿔 달린 구의 외부(무한 성분)는 단일 연결되지 않음 이는 구의 "내부"에 도달하지 않고는 축소할 수 없는 루프가 존재함을 의미 |
2. 정의
알렉산더의 뿔 달린 공은 3차원 공과 위상동형이며, 따라서 단일 연결이다. 즉, 모든 폐곡선을 공간 내부에서 한 점으로 축소할 수 있다. 그러나 외부는 보통 공의 외부와는 달리 단일 연결이 아니다. 즉, 위의 구성에서 원환체에 걸린 폐곡선은 뿔 달린 구를 건드리지 않고 한 점으로 축소될 수 없다.[2]
제임스 워델 알렉산더가 1924년에 발견하였다.
'''알렉산더의 뿔 달린 구'''는 3차원 유클리드 공간에서 구를 특별한 방법으로 매장한 것이다.[1] 3차원 유클리드 공간에서의 구의 특수한 매립이다.[3]
표준 원환면에서 시작하여 다음과 같은 과정을 거친다.
# 원환면의 휘어진 한쪽 부분(또는 원환면의 방사형 조각)을 제거한다.
# 잘려진 각 면에 표준적인 구멍난 원환면을 각각 연결하고, 다른 쪽에 있는 원환면과 서로 얽히게 한다.
# 두 원환면을 붙이는 위 과정을 무한히 반복한다.
어느 단계에서도 제거되지 않는 점들을 고려하면, 이 과정의 결과로 매장한 구에서 칸토어 집합이 제거된다. 칸토어 집합의 서로 다른 두 점에 접근하는 구의 점들이 어떤 단계에서는 서로 다른 '뿔'에 놓이게 되고 따라서 서로 다른 상을 갖기 때문이다. 이 임베딩은 전체 구에서 연속적인 사상으로 확장되며, 이는 단사 함수이다(따라서 구가 콤팩트하므로 위상적 임베딩이다).
내부를 포함한 뿔 달린 구는 위상적으로 3차원 공이 되는데, 이를 '''알렉산더의 뿔 달린 공'''(Alexander horned ball)이라 부른다.
3. 성질
뿔 달린 구는 그 내부와 함께 위상적 3차원 공인 '''알렉산더 뿔 달린 구'''이며, 단순 연결되어 있다. 모든 루프는 내부에 머무르면서 점으로 축소될 수 있다. 외부 공간은 일반적인 둥근 구의 외부 공간과는 달리 단순 연결되어 있지 않다. 위에서 언급한 구성에서 토러스를 연결하는 루프는 뿔 달린 구에 닿지 않고서는 점으로 축소될 수 없다.[3] 이는 알렉산더가 원래 생각했던 것처럼 요르단-쇤플리스 정리가 3차원에서는 성립하지 않는다는 것을 보여준다. 알렉산더는 또한 이 정리가 조각적 선형/매끄러운 임베딩의 경우 3차원에서 성립한다는 것을 증명했다. 이는 범주인 위상 다양체, 미분 가능 다양체, 조각적 선형 다양체 간의 구분이 필요하다는 것이 처음으로 명확해진 예시 중 하나이다.
이제 알렉산더의 뿔 달린 구를 3차원 유클리드 공간 '''R'''3의 일점 컴팩트화로 간주되는 3차원 구에 대한 임베딩으로 간주해 보자. 비단순 연결 영역의 폐포를 '''고체 알렉산더 뿔 달린 구'''라고 한다. 고체 뿔 달린 구는 다양체는 아니지만, R. H. 빙은 그 이중 (경계의 해당 점들을 따라 뿔 달린 구의 두 사본을 접착하여 얻은 3차원 다양체)이 실제로 3차원 구임을 보였다.[2] 고체 뿔 달린 구를 그 자체의 사본에 다른 호메오모르피즘을 통해 접착하는 것을 생각할 수 있는데, 이는 경계 구 자체에 대한 호메오모르피즘에서 발생한다. 이것 또한 3차원 구로 밝혀졌다. 고체 알렉산더 뿔 달린 구는 쭈그러진 큐브의 예시이다. 즉, 2차원 구의 3차원 구로의 임베딩의 닫힌 여집합 영역이다.
4. 역사
5. 일반화
알렉산더 뿔 달린 구는 3차원 유클리드 공간에 구를 위상적으로 임베딩한 특수한 경우이다. 알렉산더의 구성을 일반화하여 각 단계에서 뿔의 수를 늘리거나 고차원에서 유사한 구성을 고려하면 다른 뿔 달린 구를 만들 수 있다.[1]
이러한 "거친" 구를 구성하기 위한 다른 구성도 존재한다. 또 다른 예로는 앙투안 뿔 달린 구가 있다.
5. 1. 앙투안 뿔 달린 구
앙투안의 목걸이를 기반으로 하는 앙투안 뿔 달린 구는 칸토어 집합을 3차원 구에 병적으로 매립한 것이다. 알렉산더의 구성을 일반화하여 각 단계에서 뿔의 수를 늘리거나, 고차원에서 유사한 구성을 생각할 수 있다.
6. 영향 및 의의
알렉산더의 뿔 달린 구는 요르단-쇤플리스 정리가 3차원에서는 성립하지 않는다는 것을 보여주는 예시이다. 알렉산더는 이 정리가 조각적 선형 또는 매끄러운 임베딩(매장)의 경우에는 3차원에서 성립한다는 것을 증명했다. 이는 위상 다양체, 미분 가능 다양체, 조각적 선형 다양체와 같은 범주 간의 구분이 필요하다는 것을 처음으로 명확하게 보여준 사례 중 하나이다.[2]
6. 1. 쭈그러진 큐브
고체 알렉산더 뿔 달린 구는 쭈그러진 큐브의 예시이다. 즉, 2차원 구를 3차원 구로 임베딩(매장)했을 때 닫힌 여집합 영역이다.[2]6. 2. 이중 뿔 달린 구
뿔 달린 구는 그 내부와 함께 위상적으로 3차원 공이며, 단순 연결되어 있다. 즉, 모든 루프는 내부에 머무르면서 점으로 축소될 수 있다. 외부 공간은 일반적인 둥근 구의 외부 공간과는 달리 단순 연결되어 있지 않다. 위에서 언급한 구성에서 토러스를 연결하는 루프는 뿔 달린 구에 닿지 않고서는 점으로 축소될 수 없다. 이는 알렉산더가 원래 생각했던 것처럼 요르단-쇤플리스 정리가 3차원에서는 성립하지 않는다는 것을 보여준다. 알렉산더는 또한 이 정리가 조각적 선형/매끄러운 임베딩의 경우 3차원에서 성립한다는 것을 증명했다. 이는 범주인 위상 다양체, 미분 가능 다양체, 조각적 선형 다양체 간의 구분이 필요하다는 것이 처음으로 명확해진 예시 중 하나이다.이제 알렉산더의 뿔 달린 구를 3차원 유클리드 공간 '''R'''3의 일점 컴팩트화로 간주되는 3차원 구에 대한 임베딩으로 간주해 보자. 비단순 연결 영역의 폐포를 '''고체 알렉산더 뿔 달린 구'''라고 한다. 고체 뿔 달린 구는 다양체는 아니지만, R. H. 빙은 그 이중 (경계의 해당 점들을 따라 뿔 달린 구의 두 사본을 접착하여 얻은 3차원 다양체)이 실제로 3차원 구임을 보였다.[2] 고체 뿔 달린 구를 그 자체의 사본에 다른 호메오모르피즘(동형사상)을 통해 접착하는 것을 생각할 수 있는데, 이는 경계 구 자체에 대한 호메오모르피즘에서 발생한다. 이것 또한 3차원 구로 밝혀졌다. 고체 알렉산더 뿔 달린 구는 쭈그러진 큐브의 예시이다. 즉, 2차원 구의 3차원 구로의 임베딩의 닫힌 여집합 영역이다.
참조
[1]
서적
[1]
서적
[2]
논문
A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solid horned spheres
[3]
문서
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