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애트우드 기계

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목차

1. 개요

애트우드 기계는 1770년 조지 아담스에 의해 제작되어 트리니티 칼리지에서 강의에 사용된 장치로, 뉴턴의 운동 법칙, 특히 가속도와 힘의 관계를 실험적으로 증명하기 위해 고안되었다. 진자 시계와 도르래, 추 등을 활용하여 물체의 가속도를 측정하며, 엘리베이터나 케이블카의 작동 원리에도 응용된다. 등가속도 운동 방정식과 장력 방정식을 통해 가속도, 장력 등을 계산할 수 있으며, 도르래의 회전 관성 및 마찰을 고려한 방정식도 존재한다.

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2. 역사

애트우드는 런던의 기구 제작자 조지 아담스(英語版)에게 의뢰하여 이 장치를 제작하게 하였고, 1770년에 처음으로 트리니티 칼리지 (케임브리지 대학교)에서 강의에 사용했다.[5]

원래 장치에는 진자 시계가 갖춰져 있어 운동 시간을 측정하기 위해 일정 간격으로 소리가 나도록 되어 있었다. 진자의 소리와 타이밍을 맞춰, 어느 한쪽 추 위에 제어봉(추가 추)을 올려놓음으로써 운동이 시작된다. 낙하하는 추가 작은 고리를 빠져나가면 제어봉이 고리에 걸려 제거되고, 이후에는 가속도 0의 운동이 이루어진다. 이 속도를 측정함으로써 추에 가해진 가속도를 알 수 있다. 베어링에서 발생하는 마찰을 최소화하기 위해 도르래의 차축은 4개의 바퀴로 지지되었다. 과거에 제작된 애트우드 기계의 대부분이 이 구조를 답습하고 있다.[3][5]

1780년대에 왕립 학회 회원으로 대륙 학회와 관계가 깊었던 J. 마젤란(英語版)은 애트우드 기계를 서유럽 각국에 소개했다. 이때 기계를 입수한 볼타는 그 정교함에 감탄했다고 한다. 19세기에는 런던과 파리, 그리고 나중에는 미국의 기구 제작자에 의해 널리 제조되어 전 세계에 공급되었다.[5]

2. 1. 개발 배경

애트우드는 뉴턴의 운동 법칙, 특히 가속도와 힘의 관계를 실험적으로 증명하기 위해 정밀한 측정이 가능한 실험 장치를 고안했다. 이 장치는 런던의 기구 제작자 조지 아담스(英語版)에 의해 제작되었으며, 1770년 트리니티 칼리지 (케임브리지 대학교)에서 처음 강의에 사용되었다.[5]

원래 장치에는 진자 시계가 있어 운동 시간을 측정했다. 진자 소리에 맞춰 추 위에 제어봉(추가 추)을 올려놓아 운동을 시작하고, 낙하하는 추가 작은 고리를 빠져나가면 제어봉이 고리에 걸려 제거되어 가속도 0의 운동이 이루어졌다. 이 속도를 측정하여 추에 가해진 가속도를 알 수 있었다. 도르래 차축은 베어링 마찰을 최소화하기 위해 4개의 바퀴로 지지되었으며, 이후 제작된 애트우드 기계 대부분이 이 구조를 따랐다.[3][5]

1780년대에 왕립 학회 회원이자 대륙 학회와 관계가 깊었던 J. 마젤란(英語版)은 애트우드 기계를 서유럽 각국에 소개했다. 볼타는 이 기계의 정교함에 감탄했다고 한다. 19세기에는 런던, 파리, 그리고 미국의 기구 제작자에 의해 널리 제조되어 전 세계에 공급되었다.[5]

2. 2. 초기 애트우드 기계

애트우드는 런던의 기구 제작자 조지 아담스(英語版)에게 의뢰하여 이 장치를 제작하게 하였고, 1770년에 처음으로 트리니티 칼리지 (케임브리지 대학교)에서 강의에 사용했다.[5]

원래 장치에는 진자 시계가 갖춰져 있어 운동 시간을 측정하기 위해 일정 간격으로 소리가 나도록 되어 있었다. 진자의 소리와 타이밍을 맞춰, 어느 한쪽 추 위에 제어봉(추가 추)을 올려놓음으로써 운동이 시작된다. 낙하하는 추가 작은 고리를 빠져나가면 제어봉이 고리에 걸려 제거되고, 이후에는 가속도 0의 운동이 이루어진다. 이 속도를 측정함으로써 추에 가해진 가속도를 알 수 있다. 베어링에서 발생하는 마찰을 최소화하기 위해 도르래의 차축은 4개의 바퀴로 지지되었다. 과거에 제작된 애트우드 기계의 대부분이 이 구조를 답습하고 있다.[3][5]

1780년대에 왕립 학회 회원으로 대륙 학회와 관계가 깊었던 J. 마젤란(英語版)은 애트우드 기계를 서유럽 각국에 소개했다. 이때 기계를 입수한 볼타는 그 정교함에 감탄했다고 한다. 19세기에는 런던과 파리, 그리고 나중에는 미국의 기구 제작자에 의해 널리 제조되어 전 세계에 공급되었다.[5]

2. 3. 보급 및 발전

애트우드는 런던의 기구 제작자 조지 아담스(英語版)에게 의뢰하여 이 장치를 제작하게 하였고, 1770년에 처음으로 트리니티 칼리지 (케임브리지 대학교)에서 강의에 사용했다.[5]

원래 장치에는 진자 시계가 갖춰져 있어 운동 시간을 측정하기 위해 일정 간격으로 소리가 나도록 되어 있었다. 진자의 소리와 타이밍을 맞춰, 어느 한쪽 추 위에 제어봉(추가 추)을 올려놓음으로써 운동이 시작된다. 낙하하는 추가 작은 고리를 빠져나가면 제어봉이 고리에 걸려 제거되고, 이후에는 가속도 0의 운동이 이루어진다. 이 속도를 측정함으로써 추에 가해진 가속도를 알 수 있다. 베어링에서 발생하는 마찰을 최소화하기 위해 도르래의 차축은 4개의 바퀴로 지지되었다. 과거에 제작된 애트우드 기계의 대부분이 이 구조를 답습하고 있다.[3][5]

1780년대에 왕립 학회 회원으로 대륙 학회와 관계가 깊었던 J. 마젤란(英語版)은 애트우드 기계를 서유럽 각국에 소개했다. 이때 기계를 입수한 알레산드로 볼타는 그 정교함에 감탄했다고 한다. 19세기에는 런던과 파리, 그리고 나중에는 미국의 기구 제작자에 의해 널리 제조되어 전 세계에 공급되었다.[5]

3. 원리 및 작동 방식

3. 1. 등가속도 운동 방정식

이상적인 애트우드 기계에서 줄의 질량, 늘어남, 도르래의 질량과 마찰을 무시하면, 고려해야 할 힘은 장력(T)과 두 물체의 무게(W_1과 W_2)뿐이다.[9][2][7] 뉴턴 제2법칙을 사용하여(m_1 > m_2라고 가정) 가속도(a)를 구하는 연립 방정식을 세울 수 있다.[9][2][7]

애트우드 기계를 간략하게 표현한 자유물체도. 가속도 벡터상에서 m_1이 아래로 운동하고 m_2가 위로 운동하므로, m_1＞m_2라는 사실을 알 수 있다.


m_1에서는 아래 방향을, m_2에서는 위 방향을 양의 방향으로 약속하면, m_1과 m_2의 무게는 각각 W_1 = m_1 g와 W_2 = m_2 g로 나타난다.

m_1에 작용하는 힘은 다음과 같다.

:\; m_1g-T=m_1a

m_2에 작용하는 힘은 다음과 같다.

:\; T-m_2g=m_2a

위의 두 방정식을 더하면 다음 식을 얻는다.

:\; m_1g-m_2g=m_1a+m_2a

그러므로 가속도 식은 다음과 같이 얻을 수 있다.

:a = {m_1-m_2 \over m_1+m_2} g

이 식을 이용하여, 물체들의 운동 시간과 변위를 측정하고 등가속도 운동식 d = {1 \over 2} at^2 에 대입하여 중력 가속도 g를 구할 수도 있다.[9][7] 애트우드 기계는 라그랑주 역학에서 운동방정식을 유도할 때 사용되기도 한다.[9][2][7]

3. 2. 장력 방정식

앞에서 구한 가속도를 두 물체의 힘 방정식 중 어느 한 쪽에 대입하면 장력을 알아낼 수 있다.[2]

가속도 방정식은 다음과 같다.

:a = {m_1-m_2 \over m_1 + m_2} g

예를 들어 이 식을 m_1 a = m_1 g-T에 대입하면,

:T={2 g m_1 m_2 \over m_1 + m_2}

를 얻는다. 이와 같은 방법으로 장력을 구할 수 있다.[2]

3. 3. 관성과 마찰을 고려한 방정식

실제 애트우드 기계에서는 도르래의 회전관성 I와 마찰력(\tau_{friction})을 고려해야 한다.[2] m_1과 m_2의 질량 차이가 매우 작다면, 반경 r인 도르래의 회전 관성 I를 무시할 수 없다.

줄이 미끄러지지 않는 상황에서 도르래의 각가속도 \alpha는 다음과 같이 주어진다.

: \alpha = {a\over r}

이때 알짜 회전력 \tau_{net}는 다음과 같다.

:\tau_{net}=\left(T_1 - T_2 \right)r - \tau_{friction} = I \alpha

매달린 물체들에 뉴턴의 제2법칙을 적용한 것과 조합하면 가속도 a, 줄의 m_1에 가장 가까운 부분의 장력 T_1, 줄의 m_2에 가장 가까운 부분의 장력 T_2를 얻는다.

: a = \over {m_1 + m_2 + }}g

: T_1 = + \over {r g}})} \over {m_1 + m_2 + }}

: T_2 = + \over {r g}})} \over {m_1 + m_2 + }}

만약 줄의 마찰을 무시한다면(하지만 도르래의 관성과 도르래에 걸친 줄의 변형력은 무시할 수 없다) 다음과 같이 방정식을 간략화할 수 있다.

: a = }}g

: T_1 = )} \over {m_1 + m_2 + }}

: T_2 = )} \over {m_1 + m_2 + }}

4. 응용

균형추를 갖춘 엘리베이터는 이상적인 애트우드 기계에 가까우므로, 권상기는 객차의 무게를 넘어서는 힘을 발생시킬 필요가 없다. 객차와 추의 무게 차이 및 관성에 해당하는 힘만으로 충분하다. 케이블로 연결된 두 대의 차량이 권상기에 의해 경사면을 오르내리는 케이블카에서도 같은 원리가 사용된다. 에펠탑의 엘리베이터는 여러 대가 각각 서로의 균형추 역할을 하고 있다.

4. 1. 엘리베이터

엘리베이터는 균형추를 갖추고 있어 이상적인 애트우드 기계에 가깝다. 권상기는 객차와 추의 무게 차이 및 관성에 해당하는 힘만 발생시키면 충분하기 때문에, 객차의 무게를 넘어서는 힘을 발생시킬 필요가 없다. 같은 원리가 케이블카에도 사용되는데, 케이블로 연결된 두 대의 차량이 권상기에 의해 경사면을 오르내린다. 에펠탑의 엘리베이터는 여러 대가 각각 서로의 균형추 역할을 한다.

4. 2. 케이블카

균형추를 갖춘 엘리베이터는 이상적인 애트우드 기계에 가깝다. 권상기는 객차의 무게를 넘어서는 힘을 발생시킬 필요가 없으며, 객차와 추의 무게 차이 및 관성에 해당하는 힘만으로 충분하다. 케이블로 연결된 두 대의 차량이 권상기에 의해 경사면을 오르내리는 케이블카에서도 같은 원리가 사용된다. 에펠탑의 엘리베이터는 여러 대가 각각 서로의 균형추 역할을 하고 있다.

4. 3. 에펠탑 엘리베이터

균형추를 갖춘 엘리베이터는 이상적인 애트우드 기계에 가까우므로, 권상기는 객차의 무게를 넘어서는 힘을 발생시킬 필요가 없다. 객차와 추의 무게 차이 및 관성에 해당하는 힘만으로 충분하다. 케이블로 연결된 두 대의 차량이 권상기에 의해 경사면을 오르내리는 케이블카에서도 같은 원리가 사용된다. 에펠탑의 엘리베이터는 여러 대가 각각 서로의 균형추 역할을 하고 있다.

참조

[1] 서적 Physics For Scientists and Engineers https://archive.org/[...] Worth Publishers
[2] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition
[3] 서적 Treatise on the Rectilinear Motion and Rotation of Bodies http://www.e-rara.ch[...] Cambridge 2016-05-07
[4] 간행물 アトウッド実験の教育的意義 https://cir.nii.ac.j[...] 2016-05-06
[5] 서적 科学大博物館―装置・器具の歴史辞典 朝倉書店
[6] 서적 Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version Worth Publishers
[7] 서적 Classical Mechanics, second Edition Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition
[8] 서적 Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version Worth Publishers
[9] 서적 Classical Mechanics, second Edition Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition


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