엇호프트-폴랴코프 자기 홀극

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1. 개요

엇호프트-폴랴코프 자기 홀극은 게이지 이론에서 발생하는 위상수학적으로 보존되는 상태로, 게이지 군의 자발 대칭 깨짐과 관련이 있다. 시공간의 차원에 따라 호모토피 군을 통해 분류되며, 특히 양-밀스-힉스 이론에서 진공 다양체의 몫 공간과 관련된다. 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극은 디랙 자기 홀극과 유사하지만 특이점이 없고 유한한 에너지를 가지며, 대부분의 대통일 이론에서 예측된다. 자기 홀극은 우주론적 문제인 모노폴 문제를 야기할 수 있으며, 우주 인플레이션이 이 문제를 해결하는 방안으로 제시된다.

엇호프트-폴랴코프 자기 홀극

요약

설명: 양-밀스 이론과 힉스 메커니즘을 결합한 모델에서 나타나는 자기 홀극

명명

명칭	엇호프트-폴랴코프 자기 홀극
영어 명칭	't Hooft–Polyakov monopole

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 호모토피 군 계산
3. 대통일 이론에서의 자기 홀극
- 3.1. 표준 모형과 자기 홀극
4. 특성
5. 자기 홀극 문제

2. 정의

시공간이 $\mathbb R^{d+1}$ 이라고 하자. 가능한 진공 상태들의 집합을 $\mathcal M$ 이라고 하면, 위상수학적으로 자명하지 않은 상태들은 공간의 무한대 $S^{d-1}$ 에서 $\mathcal M$ 으로 가는 연속함수들의 호모토피류들의 집합, 즉 제 $d-1$ 차 호모토피 군 $\pi_{d-1}(\mathcal M)$ 에 의하여 분류된다.

게이지 군 $G$ 를 가진 게이지 이론이 자발 대칭 깨짐을 겪어 $H\subset G$ 로 깨진다고 하면, 진공 상태들의 집합은 잉여류 공간 $G/H$ 이다. 이에 따라, 만약 호모토피 군 $\pi_{d-1}(G/H)$ 가 자명하지 않다면 위상수학적으로 보존되는 상태들이 존재한다. 이들은 $H$ 에 대하여 자기 홀극임을 보일 수 있다. 이들을 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이라고 한다.

호모토피 군 $\pi_{d-1}(G/H)$ 는 다음과 같은 긴 완전열을 통해 계산할 수 있다.
: $\dotsb\to\pi_k(H)\to\pi_k(G)\to\pi_k(G/H)\to\pi_{k-1}(H)\to\pi_{k-1}(G)\to\pi_{k-1}(G/H)\to\dotsb\to\pi_1(H)\to\pi_1(G)\to\pi_1(G/H)\to\pi_0(H)\to\pi_0(G)\to0$
특히, 리 군의 2차 호모토피 군은 항상 자명하다. 따라서, $d=3$ 인 경우,
: $0\to\pi_2(G/H)\to\pi_1(H)\xrightarrow\iota\pi_1(G)\to\dotsb$
이므로
: $\pi_2(G/H)=\ker\iota\subset\pi_1(H)$
이다. 만약 $G$ 가 단일 연결 공간이라면,
: $\pi_2(G/H)\cong\pi_1(H)$
이다.

진공이 진공 다양체 $\Sigma$ 라고 가정하면, 유한 에너지를 위해 각 방향을 따라 공간적 무한대로 이동함에 따라, 경로를 따라 있는 상태는 진공 다양체 $\Sigma$ 의 한 점에 접근한다. 그렇지 않으면 유한한 에너지를 갖지 못할 것이다. 위상적으로 자명한 3 + 1 차원에서, 이는 공간적 무한대가 위상적 구 $S^2$ 와 호모토피 동치임을 의미한다. 따라서, 초선택 부문은 $\Sigma$ 의 두 번째 호모토피 군, $\pi_2(\Sigma)$ 에 의해 분류된다.

양-밀스-힉스 이론의 특수한 경우, 진공 다양체는 몫 공간 $G/H$ 와 동형이며, 관련 호모토피 군은 $\pi_2(G/H)$ 이다. 이것은 실제로 스칼라 힉스 장의 존재를 요구하지 않는다. 대부분의 대칭 깨짐 메커니즘(예: 테크니컬러) 또한 't 호프트-폴랴코프 자기 홀극을 발생시킨다.

$d+1$ 차원의 경우로 일반화하는 것은 쉽다. 우리는 $\pi_{d-1}(\Sigma)$ 를 갖는다.

2.1. 호모토피 군 계산

시공간이 $\mathbb R^{d+1}$ 이라고 하자. 가능한 진공 상태들의 집합을 $\mathcal M$ 이라고 하면, 위상수학적으로 자명하지 않은 상태들은 공간의 무한대 $S^{d-1}$ 에서 $\mathcal M$ 으로 가는 연속함수들의 호모토피류들의 집합, 즉 제 $d-1$ 차 호모토피 군 $\pi_{d-1}(\mathcal M)$ 에 의하여 분류된다.

게이지 군 $G$ 를 가진 게이지 이론이 자발 대칭 깨짐을 겪어 $H\subset G$ 로 깨진다고 하면, 진공 상태들의 집합은 잉여류 공간 $G/H$ 이다. 이에 따라, 만약 호모토피 군 $\pi_{d-1}(G/H)$ 가 자명하지 않다면 위상수학적으로 보존되는 상태들이 존재한다. 이들은 $H$ 에 대하여 자기 홀극임을 보일 수 있다. 이들을 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이라고 한다.

호모토피 군 $\pi_{d-1}(G/H)$ 는 다음과 같은 긴 완전열을 통해 계산할 수 있다.
: $\dotsb\to\pi_k(H)\to\pi_k(G)\to\pi_k(G/H)\to\pi_{k-1}(H)\to\pi_{k-1}(G)\to\pi_{k-1}(G/H)\to\dotsb\to\pi_1(H)\to\pi_1(G)\to\pi_1(G/H)\to\pi_0(H)\to\pi_0(G)\to0$
특히, 리 군의 2차 호모토피 군은 항상 자명하다. 따라서, $d=3$ 인 경우,
: $0\to\pi_2(G/H)\to\pi_1(H)\xrightarrow\iota\pi_1(G)\to\dotsb$
이므로
: $\pi_2(G/H)=\ker\iota\subset\pi_1(H)$
이다. 만약 $G$ 가 단일 연결 공간이라면,
: $\pi_2(G/H)\cong\pi_1(H)$
이다.

진공이 진공 다양체 $\Sigma$ 라고 가정하면, 유한 에너지를 위해 각 방향을 따라 공간적 무한대로 이동함에 따라, 경로를 따라 있는 상태는 진공 다양체 $\Sigma$ 의 한 점에 접근한다. 그렇지 않으면 유한한 에너지를 갖지 못할 것이다. 위상적으로 자명한 3 + 1 차원에서, 이는 공간적 무한대가 위상적 구 $S^2$ 와 호모토피 동치임을 의미한다. 따라서, 초선택 부문은 $\Sigma$ 의 두 번째 호모토피 군, $\pi_2(\Sigma)$ 에 의해 분류된다.

양-밀스-힉스 이론의 특수한 경우, 진공 다양체는 몫 공간 $G/H$ 와 동형이며, 관련 호모토피 군은 $\pi_2(G/H)$ 이다. 이것은 실제로 스칼라 힉스 장의 존재를 요구하지 않는다. 대부분의 대칭 깨짐 메커니즘(예: 테크니컬러) 또한 't 호프트-폴랴코프 자기 홀극을 발생시킨다.

$d+1$ 차원의 경우로 일반화하는 것은 쉽다. 우리는 $\pi_{d-1}(\Sigma)$ 를 갖는다.

3. 대통일 이론에서의 자기 홀극

대통일 이론에서는
* G는 대통일군 (예를 들어 SU(5) 또는 SO(10))
* H=SU(3)×SU(2)×U(1)는 표준 모형의 게이지군
* d=3 (공간의 차원)
이다. 대통일군은 보통 반단순(semisimple) 리 군인데, 이 경우 그 기본군은 유한 아벨 군이다. 예를 들어,
* π₁(SU(N))=π₁(Spin(N))=1 (자명군)
* π₁(SO(N))=ℤ/2
이다. 반면 표준 모형의 게이지 군의 기본군은
* π₁(H)=π₁(U(1))=ℤ
이다. 따라서, π₁(G)=Γ가 유한 아벨 군이라면 군 준동형
:ℤ→Γ
의 핵은 항상 ℤ이다. 따라서, 대통일군이 반단순 리 군인 경우 (또는 일반적으로 대통일군의 기본군이 유한군일 때) 항상 자기 홀극이 존재한다.
진공이 진공 다양체 Σ라고 가정하자. 그러면 유한 에너지를 위해 각 방향을 따라 공간적 무한대로 이동함에 따라, 경로를 따라 있는 상태는 진공 다양체 Σ의 한 점에 접근한다. 그렇지 않으면 유한한 에너지를 갖지 못할 것이다. 위상적으로 자명한 3 + 1 차원에서, 이는 공간적 무한대가 위상적 구 S²와 호모토피 동치임을 의미한다. 따라서, 초선택 부문은 Σ의 두 번째 호모토피 군, π₂(Σ)에 의해 분류된다.

양-밀스-힉스 이론의 특수한 경우, 진공 다양체는 몫 공간 G/H와 동형이며, 관련 호모토피 군은 π₂(G/H)이다. 이것은 실제로 스칼라 힉스 장의 존재를 요구하지 않는다. 대부분의 대칭 깨짐 메커니즘(예: 테크니컬러) 또한 't 호프트-폴랴코프 자기 홀극을 발생시킨다.

d+1 차원의 경우로 일반화하는 것은 쉽다. 우리는 π_d-1(Σ)를 갖는다.

3.1. 표준 모형과 자기 홀극

대통일 이론에서, 표준 모형의 게이지군은 $H=SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ 이며, 공간의 차원은 $d=3$ 이다. 대통일군은 보통 반단순(semisimple) 리 군이며, 이 경우 그 기본군은 유한 아벨 군이다. 예를 들어,
* $\pi_1(SU(N))=\pi_1(Spin(N))=1$ (자명군)
* $\pi_1(SO(N))=\mathbb Z/2$
이다. 반면 표준 모형의 게이지 군의 기본군은
* $\pi_1(H)=\pi_1(U(1))=\mathbb Z$
이다. 따라서, $\pi_1(G)=\Gamma$ 가 유한 아벨 군이라면 군 준동형
: $\mathbb Z\to\Gamma$
의 핵은 항상 $\mathbb Z$ 이다. 그러므로 대통일군이 반단순 리 군인 경우 (또는 일반적으로 대통일군의 기본군이 유한군일 때) 항상 자기 홀극이 존재한다.

4. 특성

양-밀스 이론에서 게이지 군이 힉스 메커니즘으로 인하여 자발 대칭 깨짐을 겪는 경우 발생한다. 디랙 자기 홀극과 유사하지만 특이점이 없고, 유한한 총 에너지를 가진다.

엇호프트-폴랴코프 홀극은 원점을 근처로 국소화돼 있으며, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 디랙 자기홀극으로 수렴한다. 그러나 원점에서는 게이지 군은 깨지지 않는다. 힉스 장 $H_i$ ( $i=1,2,3$ )은 $x_i f(|x|)$ 에 비례한다.

대부분의 게이지 이론은 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가지지만, 특수한 경우에는 그렇지 않을 수도 있다. 정확히 말하면, (콤팩트 리 군이라고 가정한) 게이지 대칭 리 대수가 가환 부분을 가지고, 또 전하 연산자가 리 대수의 반단순 부분대수에 포함되지 않은 경우, 자기 홀극이 존재하지 않을 수 있다. 표준 모형의 경우 SU(2)×U(1)에서 U(1)이라는 가환부분군이 있고, 또 전하 연산자가 순수히 SU(2)안에 들어있지 않고 SU(2)×U(1)에 대각으로 걸쳐 있으므로, 자기 홀극이 존재하지 않는다.

대부분의 대통일 이론은 반단순 리 군(SU(5), SO(10) 등)으로 나타내어지므로, 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 가진다. 그러나 자기 홀극은 아직 실험적으로 관측되지 않았다.

5. 자기 홀극 문제

"모노폴 문제"는 대통일 이론(GUT)의 우주론적 함의를 지칭한다. 자기 홀극은 일반적으로 우주의 냉각 과정에서 GUT에 의해 생성되며, 질량이 매우 클 것으로 예상되므로, 존재할 경우 우주가 과도하게 닫히는 것을 위협한다. 이는 표준 빅뱅 이론 내에서 "문제"로 여겨진다. 우주 인플레이션은 자기 홀극의 초기 존재량을 희석시켜 이 상황을 해결한다.