에탈 위치

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 에탈 덮개
- 2.2. 에탈 위치
3. 성질
4. 다른 위상과의 비교
5. 역사
참조

1. 개요

에탈 위치는 스킴의 범주에 그로텐디크 위상을 부여하여 정의되는 그로텐디크 위상으로, 에탈 덮개는 같은 공역을 갖는 에탈 사상의 집합이 특정 조건을 만족시키는 경우를 말한다. 스킴 X 위의 큰 에탈 위치는 스킴 범주의 조각 범주이고, 작은 에탈 위치는 에탈 사상으로만 구성된 충만한 부분 범주이다. 에탈 위상은 자리스키 위상보다 더 미세하며, 알렉산더 그로텐디크가 베유 추측을 증명하기 위해 도입했다.

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에탈 위치

2. 정의

같은 공역을 갖는 에탈 사상들의 집합이 특정 조건을 만족하면 에탈 덮개라고 부르며, 이를 통해 에탈 위상을 정의한다.

''X''상의 '''에탈 프리층'''은 Ét(''X'')에서 집합 범주로의 공변 반대자이다. 프리층 ''F''는 위상 공간에서 층에 대한 일반적인 붙이기 조건을 만족하는 경우 '''에탈 층'''이라고 한다. 즉, ''F''는 다음 조건을 만족하는 경우에만 에탈 층이다.^[1] 가 Ét(''X'')의 객체이고, 가 ''X''에 대한 공동 전사 에탈 사상의 모임이라고 가정하자. 각 ''i''에 대해, ''U''_''i'' 위에 ''F''의 단면 ''x''_''i''를 선택한다. 느슨하게 말하면, ''U''_''i''와 ''U''_''j''의 교집합의 ''U''_''i''로의 포함인 투영 사상 는 의 제한 사상을 유도한다. 모든 ''i''와 ''j''에 대해 ''x''_''i''와 ''x''_''j''의 로의 제한이 같다면, 모든 ''i''에 대해 ''x''_''i''로 제한되는 ''U'' 위의 ''F''의 고유한 단면 ''x''가 존재해야 한다.^[1]

''X''가 뇌터 스킴이라고 가정하자. ''X''상의 아벨 에탈 층 ''F''는 에탈 덮개로 표현될 수 있는 표현 가능한 함자이면 '''유한 국소 상수'''라고 한다. ''X''가 각 제한에서 ''F''가 유한 국소 상수인 유한한 스킴의 모임으로 덮일 수 있다면 '''구성 가능'''이라고 한다. ''F''(''U'')가 ''X''의 모든 에탈 덮개 ''U''에 대해 꼬임 군이면 '''꼬임'''이라고 한다. 유한 국소 상수 층은 구성 가능하고, 구성 가능한 층은 꼬임이다. 모든 꼬임 층은 구성 가능한 층의 여과된 귀납적 극한이다.^[1]

형태가 제거되었다.

2. 1. 에탈 덮개

같은 공역을 갖는 에탈 사상들의 집합

\{\iota_i\colon U_i\to X\}_{i\in I}

이 다음 조건을 만족시킨다면, '''에탈 덮개'''(étale cover^영어)라고 한다.^[1]

연속 함수로서, $\iota_i$ 들의 치역들의 합집합은 $X$ 전체이다. 즉, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $\iota_i(y)=x$ 인 $i\in I$ 및 $y\in U_i$ 가 존재한다.^[1]

에탈 덮개는 스킴의 범주

\operatorname{Sch}

위의 그로텐디크 준위상을 이룬다.^[1] 이로 정의되는 그로텐디크 위상을 '''에탈 위상'''(étale topology^영어)이라고 한다.^[1]

2. 2. 에탈 위치

같은 공역을 갖는 에탈 사상들의 집합

\{\iota_i\colon U_i\to X\}_{i\in I}

이 다음 조건을 만족시킨다면, '''에탈 덮개'''(étale cover^영어)라고 한다.^[1]

연속 함수로서, $\iota_i$ 들의 치역들의 합집합은 $X$ 전체이다. 즉, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $\iota_i(y)=x$ 인 $i\in I$ 및 $y\in U_i$ 가 존재한다.^[1]

에탈 덮개는 스킴의 범주

\operatorname{Sch}

위의 그로텐디크 준위상을 이룬다. 이로 정의되는 그로텐디크 위상을 '''에탈 위상'''(étale topology^영어)이라고 한다.

\operatorname{Sch}

에 에탈 위상을 부여하여 얻은 위치를 '''에탈 위치'''라고 하며,

\operatorname{\acute Et}

라고 한다.^[1]

스킴

X

위의 '''큰 에탈 위치'''(big étale site^영어)

\operatorname{\acute Et}/X

는 범주로서 스킴 범주의 조각 범주

\operatorname{Sch}/X

이며, 그 위의 그로텐디크 위상은 역시 에탈 덮개에 의하여 주어진다.^[1]

스킴

X

위의 '''작은 에탈 위치'''(small étale site^영어)

X_{\operatorname{\acute et}}

는 범주로서

\operatorname{Sch}/X

가운데 에탈 사상으로만 구성된 충만한 부분 범주이다. 이 위의 그로텐디크 위상은 역시 에탈 덮개로 주어진다.^[1]

임의의 스킴 ''X''에 대해, Ét(''X'')를 스킴에서 ''X''로의 모든 에탈 사상의 범주라고 하자. 이는 ''X''의 열린 부분 집합의 범주(즉, 객체가 다양체이고 사상이 열린 매입인 범주)와 유사하다. 그 객체들은 비공식적으로 ''X''의 에탈 열린 부분 집합으로 생각할 수 있다. 두 객체의 교집합은 ''X''에 대한 스킴의 섬유 곱에 해당한다. Ét(''X'')는 객체가 집합을 형성하지 않는다는 의미에서 큰 범주이다.^[1]

Grothendieck은 에탈 위상을 정의하기 위해 원래 Grothendieck 위상과 토포스의 기계를 도입했다. 이 언어로, 에탈 위상의 정의는 간결하지만 추상적이다. 그것은 덮개족이 공동 전사 에탈 사상인 전위상에 의해 생성된 위상이다. '''"X"의 작은 에탈 사이트'''는 객체가 고정된 에탈 사상 ''U'' → ''X''인 스킴 ''U''인 범주 ''O''(''X''_ét)이다. 사상은 ''X''로의 고정된 사상과 호환되는 스킴의 사상이다. '''"X"의 큰 에탈 사이트'''는 Ét/''X'' 범주, 즉 에탈 위상과 함께 고려된 ''X''로의 고정된 사상이 있는 스킴의 범주이다.^[1]

에탈 위상은 약간 적은 데이터를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저, 에탈 위상이 자리스키 위상보다 더 미세하다는 것을 알 수 있다. 결과적으로, 스킴 ''X''의 에탈 덮개를 정의하려면, 먼저 ''X''를 열린 아핀 부분 스킴으로 덮고, 즉 자리스키 덮개를 취한 다음, 아핀 스킴의 에탈 덮개를 정의하는 것으로 충분하다. 아핀 스킴 ''X''의 에탈 덮개는 모든 ''α''의 집합이 유한하고, 각 ''X''_''α''가 아핀이며, 각 ''u''_''α''가 에탈인 공동 전사 가족 {''u''_''α'' : ''X''_''α'' → ''X''}로 정의할 수 있다. 그런 다음 ''X''의 에탈 덮개는 모든 열린 아핀 부분 스킴으로 기저 변경 후에 에탈 덮개가 되는 가족 {''u''_''α'' : ''X''_''α'' → ''X''}이다.^[1]

3. 성질

에탈 위상은 자리스키 위상보다 더 섬세하므로, 구조층의 줄기는 특별한 가환환인 순 헨젤 국소환을 이룬다.

스킴 $X$ 의 기하학적 점

: $\bar x\colon\operatorname{Spec}K\to X$

가 주어졌다고 하자. ( $K$ 는 대수적으로 닫힌 체) 그렇다면, $\bar x$ 에서 구조층 $\mathcal O_X$ 의 '''에탈 줄기'''(étale stalk^영어) $\mathcal O_{X,\bar x}$ 는 다음과 같다.

: $\mathcal O_{X,\bar x}=\varinjlim_{\bar x\to U\to X}\Gamma(U,\mathcal O_U)$

여기서 $\textstyle\varinjlim_{\bar x\to U\to X}$ 는 $\bar x$ 의 모든 에탈 근방

: $\begin{matrix}\operatorname{Spec}K\\\downarrow&\searrow\scriptstyle\bar x\\U&\underset{\iota_U}\to&X\end{matrix}$ ( $\iota_U$ 는 에탈 사상)

에 대한 귀납적 극한이다.

임의의 스킴 $X$ 및 기하학적 점 $\bar x\colon\operatorname{Spec}K\to X$ 에 대하여, 에탈 줄기 $\mathcal O_{X,\bar x}$ 는 자리스키 줄기 $\mathcal O_{X,\bar x(\operatorname{Spec}K)}$ 의 순 헨젤화와 동형이다. 여기서 $\bar x(\operatorname{Spec}K)\in X$ 는 한원소 공간인 $\operatorname{Spec}K$ 의 유일한 점의 (연속 함수 $\bar x$ 에 대한) 상이다.

직관적으로, 에탈 사상은 국소 동형 사상에 해당하므로, 이는 헨젤 보조정리의 필요충분조건과 같다.

토포스 이론에서, 에탈 국소환은 국소환 달린 토포스인 에탈 토포스의 줄기로 생각할 수 있다.

3. 1. 아핀 스킴의 에탈 덮개

아핀 스킴

\operatorname{Spec}R

의 임의의 에탈 덮개

(f_i\colon Y_i\to \operatorname{Spec}R)_{i\in I}

에 대하여, 이를 세분하는 에탈 덮개

:

(f_{i,j} \colon \operatorname{Spec}S_{i,j} \to Y_i \to R)_{i\in I,\;j\in J_i}

가 존재한다. 즉, 아핀 스킴의 에탈 위상을 다루려면 에탈 환 준동형

\phi_{i,j}\colon R \to S_{i,j}

만을 고려하면 된다.

3. 2. 에탈 층

'''에탈 준층'''(étale presheaf^영어)은 작은 에탈 위치 위의 함자

X_{\operatorname{\acute et}}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C

이다. (여기서

\mathcal C

는 범주이다.) '''에탈 층'''(étale sheaf^영어)은 층 공리를 만족시키는 에탈 준층이다.

X

위의 에탈 층들의 범주는

\operatorname{Sh}(X_{\operatorname{\acute et}},\mathcal C)

로 쓴다.

큰 에탈 위치 위의 (준)층도 정의할 수 있는데, 작은 에탈 위치는 큰 에탈 위치의 부분 위치이므로, 모든 큰 에탈 (준)층은 작은 에탈 (준)층으로 제한할 수 있다. 모든 작은 에탈 층은 큰 에탈 층으로 나타낼 수 있지만, 그 역은 불가능하다.^[1] 이 경우, 아벨 군 값의 층의 제한 함자는 완전 함자이며, 이 함자 아래 단사 대상의 상은 단사 대상이다. 즉, 큰 에탈 위치 위의 층의 에탈 코호몰로지는 작은 에탈 위치 위에서의 에탈 코호몰로지와 같다.^[1]

임의의 스킴 ''X''에 대해, Ét(''X'')를 스킴에서 ''X''로의 모든 에탈 사상의 범주라고 하자. 이는 ''X''의 열린 부분 집합의 범주와 유사하다. 그 객체들은 ''X''의 에탈 열린 부분 집합으로 생각할 수 있다. 두 객체의 교집합은 ''X''에 대한 스킴의 섬유 곱에 해당한다.

''X''상의 '''에탈 층'''은 위상 공간에서 층에 대한 일반적인 붙이기 조건을 만족하는 반대자 ''F''이다. 즉,

U \to X

가 Ét(''X'')의 객체이고,

U_i \to U

가 ''X''에 대한 공동 전사 에탈 사상의 모임일 때, 각 ''i''에 대해 ''U''_''i'' 위에 ''F''의 단면 ''x''_''i''를 선택한다. 모든 ''i''와 ''j''에 대해 ''x''_''i''와 ''x''_''j''의

U_i \times U_j

로의 제한이 같다면, 모든 ''i''에 대해 ''x''_''i''로 제한되는 ''U'' 위의 ''F''의 고유한 단면 ''x''가 존재해야 한다.

''X''가 뇌터 스킴이라고 가정하자. ''X''상의 아벨 에탈 층 ''F''는 다음과 같이 분류할 수 있다.

'''유한 국소 상수''': 에탈 덮개로 표현될 수 있는 표현 가능한 함자
'''구성 가능''': 각 제한에서 ''F''가 유한 국소 상수인 유한한 스킴의 모임으로 덮일 수 있는 경우
'''꼬임''': ''F''(''U'')가 ''X''의 모든 에탈 덮개 ''U''에 대해 꼬임 군인 경우

유한 국소 상수 층은 구성 가능하고, 구성 가능한 층은 꼬임이다. 모든 꼬임 층은 구성 가능한 층의 여과된 귀납적 극한이다.

3. 3. 에탈 국소환

스킴은 국소환 달린 공간이므로, 구조층의 줄기는 가환 국소환을 이룬다. 에탈 위상은 자리스키 위상보다 더 섬세하므로, 에탈 줄기는 특별한 가환환인 순 헨젤 국소환을 이룬다.

스킴

X

의 기하학적 점

:

\bar x\colon\operatorname{Spec}K\to X

가 주어졌다고 하자. (

K

는 대수적으로 닫힌 체) 그렇다면,

\bar x

에서 구조층

\mathcal O_X

의 '''에탈 줄기'''(étale stalk^영어)

\mathcal O_{X,\bar x}

는 다음과 같다.

:

\mathcal O_{X,\bar x}=\varinjlim_{\bar x\to U\to X}\Gamma(U,\mathcal O_U)

여기서

\textstyle\varinjlim_{\bar x\to U\to X}

는

\bar x

의 모든 에탈 근방

:

\begin{matrix}\operatorname{Spec}K\\\downarrow&\searrow\scriptstyle\bar x\\U&\underset{\iota_U}\to&X\end{matrix}

(

\iota_U

는 에탈 사상)

에 대한 귀납적 극한이다.

임의의 스킴

X

및 기하학적 점

\bar x\colon\operatorname{Spec}K\to X

에 대하여, 에탈 줄기

\mathcal O_{X,\bar x}

는 자리스키 줄기

\mathcal O_{X,\bar x(\operatorname{Spec}K)}

의 순 헨젤화와 동형이다. 여기서

\bar x(\operatorname{Spec}K)\in X

는 한원소 공간인

\operatorname{Spec}K

의 유일한 점의 (연속 함수

\bar x

에 대한) 상이다.

직관적으로, 에탈 사상은 국소 동형 사상에 해당하므로, 이는 헨젤 보조정리의 필요충분조건과 같다.

토포스 이론에서, 에탈 국소환은 국소환 달린 토포스인 에탈 토포스의 줄기로 생각할 수 있다.

4. 다른 위상과의 비교

다음과 같은 비교가 존재한다.^[1]

(더 섬세함) fpqc 위상 → fppf 위상 → 에탈 위상 → 니스네비치 위상 → 자리스키 위상 (더 엉성함)

5. 역사

알렉산더 그로텐디크가 유한체에 대한 대수다양체에 대한 일련의 추측들인 베유 추측을 증명하기 위하여 1960년에 도입하였다.^[2]

에탈 위상의 정의는 위상 공간의 범주의 다음과 같은 성질에서 기인한다. 위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{Top}$ 위에는 다음과 같은 두 그로텐디크 준위상을 생각할 수 있다.

보통 위상	‘에탈 위상’
위상 공간 $X$ 의 덮개는 연속 함수의 족 $(f_i \colon U_i \to X)_{i\in I}$ 가운데, 각 $f_i$ 의 상이 열린집합이며, $f_i$ 는 $U_i$ 와 $f(U_i)$ 사이의 위상 동형을 정의하며, $\textstyle\bigcup_{i\in I}f(U_i)=X$ 이다. 이 위치를 $\operatorname{Top}$ 라고 하자.	위상 공간 $X$ 의 덮개는 연속 함수의 족 $(f_i \colon U_i \to X)_{i\in I}$ 가운데, 각 $f_i$ 는 에탈 함수이며, $\textstyle\bigcup_{i\in I}f(U_i)=X$ 이다. 이 위치를 $\operatorname{\acute EtTop}$ 라고 하자.

여기서 ‘에탈 함수’ $f\colon Y \to X$ 는 연속 함수 가운데, 임의의 $y\in Y$ 에 대하여 $f \restriction U$ 가 $U$ 와 $f(U)$ 사이의 위상 동형을 정의하게 하는 열린 근방 $U\ni y$ 가 존재하는 것이다. (이 개념은 층의 에탈 공간의 정의에 등장한다.) 이 경우 모든 열린 덮개는 에탈 덮개이다. 반대로, 모든 에탈 덮개는 (에탈 함수의 정의에 따라) 모든 에탈 덮개는 열린 덮개인 세분을 갖는다. 따라서, 이 두 준위상은 같은 그로텐디크 위상을 정의한다.

스킴의 경우, 위 두 정의를 그대로 번역할 수 있다. (첫째 정의를 번역하면 자리스키 위상을 얻으며, 덮개는 상들의 합집합이 공역 전체인 열린 몰입의 족이다. 둘째 정의를 번역하면 에탈 위상을 얻는다.) 그러나 이 경우 에탈 위상은 자리스키 위상보다 훨씬 더 섬세한 그로텐디크 위상을 이룬다. 이는 스킴의 자리스키 위상이 (복소다양체의 해석적 위상보다) 너무나 엉성하기 때문이며, 이 경우 에탈 위상이 더 해석적 위상에 가까운 그로텐디크 위상을 정의한다.

참조

_[1] 서적 Étale cohomology http://press.princet[...] Princeton University Press 1980
_[2] 서적 Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Edinburgh, 1958) Cambridge University Press

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