다항식환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일변수 다항식환
- 2.2. 다변수 다항식환
3. 성질
4. 체 위의 일변수 다항식환
5. 체 위의 다변수 다항식환
6. 일반화
7. 같이 보기
참조

1. 개요

다항식환은 환 R에 대한 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산이 정의되어 환의 구조를 이룬다. 일변수 다항식환은 다항식의 차수, 근, 그리고 환론적 성질을 가지며, 체 위의 다항식환은 유클리드 정역, 유일 인수 분해 정역 등의 특징을 갖는다. 다변수 다항식환은 대수기하학에서 중요한 역할을 하며, 영점 정리, 베주 정리 등과 같은 성질을 가진다. 다항식환은 지수, 멱급수, 비가환 다항식, 왜곡 다항식 등으로 일반화될 수 있다.

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크룰 차원은 환 내의 소수 아이디얼 체인의 길이를 이용하여 정의되며, 환론 및 대수기하학에서 중요한 역할을 하고 다양한 개념으로 확장되어 사용된다.

다항식환
정의
정의	가환환 R 위의 부정원 x에 대한 다항식들의 집합
표기
표기	R[x]
연산
덧셈	(f + g)(x) = f(x) + g(x)
곱셈	(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
성질
항등원	덧셈 항등원은 영다항식, 곱셈 항등원은 상수다항식 1
가환성	다항식환은 가환환임
결합성	다항식환의 덧셈과 곱셈은 결합적임
분배성	다항식환의 곱셈은 덧셈에 대해 분배적임
정역	R이 정역이면 R[x]도 정역임
유일 인수 분해 정역	R이 유일 인수 분해 정역이면 R[x]도 유일 인수 분해 정역임
뇌터 환	R이 뇌터 환이면 R[x]도 뇌터 환임
크룰 차원	R이 체이면 R[x]의 크룰 차원은 1임
관련 개념
아이디얼	다항식환의 아이디얼
몫환	다항식환의 몫환

2. 정의

환 $R$ 에 대한 다항식환은 $R[x]$ (일변수) 또는 $R[x_1, x_2, \dots, x_n]$ (다변수)과 같이 표기한다. 변수의 개수에 따라 다음과 같이 나뉜다.

일변수 다항식환: 변수가 하나인 다항식으로 이루어진 환이다.
다변수 다항식환: 변수가 여러 개인 다항식으로 이루어진 환이다. $R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ 은 $R[x_1][x_2]\cdots[x_n]$ 과 같다.

체나 가환환

K

위의

X

에 대한 다항식환은

K[X]

로 표기한다.^[4] 다항식환의 원소는 다항식이라고 하며, 다음과 같은 형태이다.

:

p = p_0 + p_1 X + p_2 X^2 + \cdots + p_{m - 1} X^{m - 1} + p_m X^m,

여기서

p_0, p_1, \dots, p_m

은

K

의 원소이며, 계수라고 부른다.

X, X^2, \dots

는

X

의 거듭제곱이고,

X

는 미지수^[5] 또는 변수^[6]라고 불린다.

다항식의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:

p + q = r_0 + r_1 X + r_2 X^2 + \cdots + r_k X^k,

:

pq = s_0 + s_1 X + s_2 X^2 + \cdots + s_l X^l,

여기서

k = \max(m, n)

,

l = m + n

이고,

:

r_i = p_i + q_i

:

s_i = p_0 q_i + p_1 q_{i-1} + \cdots + p_i q_0.

이다.

p_m\ne 0

인 영이 아닌 다항식에서,

'''상수항''': $p_0$
'''차수''' ( $\deg(p)$ ): 계수가 0이 아닌 가장 큰 $k$ 인 $m$ .^[7]
'''최고차 계수''': $p_m$ .^[8]

영 다항식의 경우, 최고차 계수는 정의되지 않으며, 차수는 정의되지 않거나,^[9] -1,^[10] 또는

-\infty

^[11]로 정의된다.

2. 1. 일변수 다항식환

환

R

에 대한 일변수 다항식환

R[x]

는 다음과 같이 정의된다.

집합:

:

\{p\in R^{\mathbb N}\colon|\{n\in\mathbb N\colon p_n\ne0\}|<\aleph_0\}

:: 이 집합의 원소는 다항식이라고 한다. 각 원소

p\in R[x]

는 다음과 같이 표현한다.

:

p(x)=\sum_{n=0}^\infty p_nx^n=p_0+p_1x+p_2x^2+\cdots

덧셈:

:

p(x)+q(x)=\sum_{n=0}^\infty(p_n+q_n)x^n

:: 덧셈은 각 성분별로 이루어진다.

곱셈:

:

p(x)q(x)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^np_kq_{n-k}x^n

:: 곱셈은 환의 구조를 가진다.

$R$ -가군 구조:

:

rp(x)=\sum_{n=0}^\infty rp_nx^n

:

p(x)r=\sum_{n=0}^\infty p_nrx^n

:: 자연스럽게 좌·우

R

-가군 구조가 존재한다.

일반적으로, 체나 가환환

K

위의

X

에 대한 다항식환은

K[X]

로 표기하며, 다음과 같은 형태의 다항식 집합으로 정의할 수 있다.^[4]

:

p = p_0 + p_1 X + p_2 X^2 + \cdots + p_{m - 1} X^{m - 1} + p_m X^m,

여기서

p

의 계수

p_0, p_1, \dots, p_m

은

K

의 원소이고,

m > 0

이면

p_m \ne 0

이며,

X, X^2, \dots

는

X

의 "거듭제곱"으로 간주된다. 이때, 기호

X

는 미지수^[5] 또는 변수^[6]라고 불린다.

2. 2. 다변수 다항식환

환

R

에 대한 '''다변수 다항식환'''(多變數多項式環, polynomial ring in several variables^영어)

R[x_1,x_2,\dots,x_n]

은

R[x_1][x_2]\cdots[x_n]

과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소

p\in R[x_1,\dots,x_k]

는 다음과 같이 표기한다.

:

p(x_1,\dots,x_n)=\sum_{n_1=0}^\infty\cdots\sum_{n_k=0}^\infty p_{n_1,\dots,n_k}x_1^{n_k}\cdots x_k^{n_k}

K[X_1, \ldots, X_n]

의 다항식은 같은

X_n

의 거듭제곱을 포함하는 항들을 재그룹화함으로써, 환

K[X_1, \ldots, X_{n-1}]

위에 있는 부정원

X_n

의 일변수 다항식으로 간주될 수 있다. 즉, 다음 항등식을 사용한다.

:

\sum_{(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\in I} c_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} X_1^{\alpha_1} \cdots X_n^{\alpha_n}=\sum_i\left(\sum_{(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1})\mid (\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, i)\in I} c_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}} X_1^{\alpha_1} \cdots X_{n-1}^{\alpha_{n-1}}\right)X_n^i,

이것은 환 연산의 분배 법칙과 결합 법칙에서 비롯된다.

이는 다음의 대수 동형 사상이 존재함을 의미한다.

:

K[X_1, \ldots, X_n]\cong (K[X_1, \ldots, X_{n-1}])[X_n]

이는 각 부정원을 자신에게 매핑한다.

다시 말해, 다변수 다항식환은 더 작은 다항식환 위의 일변수 다항식으로 간주될 수 있다. 이는 다변수 다항식환의 속성을 증명할 때, 부정원의 수에 대한 귀납법을 통해 일반적으로 사용된다.

가환환

R

을 계수로 갖는

n

-변수 다항식 전체

R[X_1, \dots, X_n]

는 가환환을 이루며, '''

n

-변수 다항식환'''이라고 부른다(

X = (X_1, \dots, X_n)

로 하여,

R[X]

라고 쓰기도 한다). 변수의 개수

n

을 특별히 고정하지 않는 경우에는 다변수 다항식환이라고 통칭하며, 대조적으로

n

-변수 다항식환을 계수(자유 계수)

n

의 (다변수) 다항식환이라고도 부른다. 다변수 다항식환은 일변수 다항식환을 만드는 구성을

R[X_1, \dots, X_{n-1}][X_n]

와 같이 귀납적으로 반복함으로써 얻을 수도 있다. 예를 들어

K[X, Y] \cong K[X][Y] (\cong K[Y][X])

는 자연 동형이다.

3. 성질

체 $K$ 위의 다항식환 $K[X]$ 는 여러 면에서 정수환 $\mathbb{Z}$ 와 매우 유사하다. 이러한 유사성은 카를 프리드리히 가우스에 의해 연구되었으며, 19세기 후반 에른스트 쿠머, 레오폴트 크로네커, 리하르트 데데킨트 등의 추상대수학 발전에 영향을 주었다.

다항식환의 기본적인 성질은 두 개의 영이 아닌 다항식의 곱은 영이 아니라는 것이다. 차수가 $m$ 인 다항식 $p$ 와 차수가 $n$ 인 다항식 $q$ 의 곱 $pq$ 는 차수가 $m+n$ 인 영이 아닌 다항식이다. 이처럼 영인자가 없는 가환환을 정역이라고 하며, 다항식환 $K[X]$ 는 정역이다.^[12]

다항식환은 산술의 기본 정리와 유사하게 유일 인수 분해 성질을 갖는다. 유클리드는 임의의 자연수가 소수의 곱으로 유일하게 분해될 수 있다는 것을 알았고, 유클리드 호제법을 통해 증명했다. 가우스는 이 호제법을 다항식에 적용하여, 두 다항식 $p$ 와 $q$ ( $q \ne 0$ )에 대해 $p = uq + r$ (몫 $u$ 와 나머지 $r$ 은 다항식, $r$ 의 차수는 $q$ 의 차수보다 작음) 형태로 유일하게 분해할 수 있음을 보였다. 다항식의 차수는 정수의 크기와 유사한 역할을 하며, 유클리드 호제법으로 최대공약원을 구할 수 있다. 이러한 성질을 갖는 환을 유클리드 정역이라고 하며, 유일 인수 분해가 가능한 분해환 (또는 일계수환)이 된다. 즉, 다항식환 $K[X]$ 는 분해환이며, 유클리드 정역이다.

다항식의 나머지 나눗셈은 $K[X]$ 의 0이 아닌 진 아이디얼 $I$ 가 단항 생성이라는 결과를 낳는다. 즉, $I$ 는 $I$ 에 속하는 다항식들의 최대공약원인 유일한 비영 다항식 $f$ 의 배수로 구성된다. 따라서 다항식환 $K[X]$ 는 주 아이디얼 정역이다.

3. 1. 차수

다항식

0\ne p\in R[x]

의 '''차수'''(次數, degree^영어)는 다음과 같이 정의된다.

:

\deg p=\max\{n\in\mathbb N\colon p_n\ne0\}

이는 0이 아닌 항의 계수 중 가장 큰 차수를 의미한다. 영 다항식(다항식 0)의 차수는 정의되지 않지만, 일부 문헌에서는

\deg 0=-\infty

또는

\deg 0=-1

로 사용하기도 한다.^[9]^[10]^[11]

다변수 다항식

0\ne p\in R[x_1,\dots,x_k]

의 차수는 다음과 같다.

:

\deg p=\max\{n_1+\cdots+n_k\colon p_{n_1,\dots,n_k}\ne 0\}

이는 각 항의 차수 (

n_1 + \cdots + n_k

) 중 가장 큰 값을 의미한다.

다항식

p,q\in R[x]

(또는 다변수 다항식

p,q\in R[x_1,\dots,x_k]

)에 대해,

\deg 0=-\infty

로 정의하면 다음과 같은 성질들이 성립한다.

$\deg(p+q)\le\max\{\deg p,\deg q\}$
만약 $\deg p\ne\deg q$ 라면, $\deg(p+q)=\max\{\deg p,\deg q\}$
$\deg(pq)\le\deg p+\deg q$
만약 $R$ 가 영역이라면, $\deg(pq)=\deg p+\deg q$

예를 들어

:

p = p_0 + p_1 X + p_2 X^2 + \cdots + p_{m - 1} X^{m - 1} + p_m X^m,

(

p_m\ne 0

) 와 같은 다항식에서,

''상수항''은 $p_0$ 이다.
''차수''는 로 표기하며, $m$ 이다.^[7]
''최고차 계수''는 $p_m$ 이다.^[8]

두 다항식 와 가 주어졌을 때, 영 다항식의 차수가

-\infty

로 정의되면,

:

\deg(p+q) \le \max (\deg(p), \deg (q)),

이고, 체 또는 정역에서는,^[12]

:

\deg(pq) = \deg(p) + \deg(q).

가 성립한다.

3. 2. 근

다항식

p(x) \in R[x]

의 '''근'''(根, root^영어)은

p(r)=0

을 만족시키는 환의 원소

r \in R

이다.

(x-r)^m\mid p(x)

를 만족시키는 최대의 정수

m

을 근

r

의 '''중복도'''(重復度, multiplicity^영어)라고 한다. 중복도가 1인 근을 '''단순근'''(單純根, simple root^영어)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 '''다중근'''(多重根, multiple root^영어)이라고 한다.

가환환

R

을 계수로 하는 다항식

p(x) \in R[x]

및 환의 원소

r \in R

에 대해, 인수 정리에 따르면 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$r$ 은 $p(x)$ 의 근이다.
$x-r\mid p(x)$

가환환

R

을 계수로 하는 다항식

p(x) \in R[x]

의 근

r \in R

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$r$ 은 $p(x)$ 의 단순근이다.
$p'(r)\ne 0$

표수

c

인 체

K

를 계수로 하는 다항식

p(x) \in K[x]

의 근

a \in K

의 중복도가

m

일 때, 다음이 성립한다.

$c\nmid m$ 이면, $p'(x)$ 에 대한 $a$ 의 중복도는 $m-1$ 이다.
$c\mid m$ 이면, $p'(x)$ 에 대한 $a$ 의 중복도는 $m$ 이상이다.

특히,

c=0

이거나

c>m

이면,

p(x)

에 대한

a

의 중복도는

:

m=\min\{k\in\mathbb Z^+\colon p^{(k)}(a)\ne 0\}

이다.

대수적으로 닫힌 체

K

를 계수로 하는 다항식

p(x) \in K[x]

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$p(x)$ 는 다중근을 가진다.
$\gcd\{p(x),p'(x)\}\ne 1$

체

K

를 계수로 하는 기약 다항식

p(x) \in K[x]

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$p(x)$ 는 분해 가능 다항식이다. (즉, 대수적 폐포 $\bar K$ 에서 다중근을 가진다.)
$p'(x)=0$

특히,

K

의 표수가 0이거나,

K

가 유한체라면,

p(x)

는 분해 가능 다항식이다.

3. 3. 환론적 성질

환

R

에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

$R$ 이 가환환이면, $R[x]$ 역시 가환환이다.
$R$ 이 영역이면, $R[x]$ 역시 영역이다.
$R$ 이 정역이면, $R[x]$ 역시 정역이다.
$R$ 이 유일 인수 분해 정역이면, $R[x]$ 역시 유일 인수 분해 정역이다.
('''힐베르트 기저 정리''') $R$ 이 가환 뇌터 환이면, $R[x]$ 역시 가환 뇌터 환이다.
$R$ 이 체이면, $R[x]$ 는 유클리드 정역이다.

영역

R

을 계수로 하는 다항식

p\in R[x]

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$p(x)$ 는 $R[x]$ 의 가역원이다.
$p\in R$ 이며, $p$ 는 $R$ 의 가역원이다.

특히, 체

K

에 대한 다항식환

K[X_1,\ldots,X_n]

과 정수환

\mathbb Z

에 대한 다항식환

\mathbb Z[X_1,\ldots,X_n]

은 모두 정역, 유일 인수 분해 정역, 뇌터 환이다.

3. 4. 보편 성질

가환환

R

,

S

및 환 준동형

\phi\colon R\to S

와 원소

s\in S

에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형

\widetilde\phi\colon R[x]\to S

가 존재한다.

$\widetilde\phi|_R=\phi$
$\phi(x)=s$

이는 다항식환이 만족시키는 보편 성질이다.

특히, 다음 그림은 가환한다.

:

\begin{matrix}R & \hookrightarrow            & R[x]                                   \\& {\scriptstyle\phi}\searrow & \downarrow{\scriptstyle\widetilde\phi} \\&                            & S\end{matrix}

구체적으로,

:

\widetilde\phi\colon p(x)\mapsto\sum_{n=0}^\infty\phi(p_n)s^n

이다.

K

를 체 또는 가환환이라 하고,

R

을

K

를 포함하는 환이라고 하자.

K[X]

의 다항식

P

와

R

의 원소

a

에 대해,

P

에서

X

를

a

로 대체하면

R

의 원소

P(a)

가 정의된다. 이 계산을

a

에서

P

의 '''평가'''라고 한다.

R

의 모든

a

에 대해, 평가 사상

P \mapsto P(a)

는

K[X]

에서

R

로의 대수 준동형 사상을 정의하며, 이는

K

를 고정하고

X

를

a

로 매핑하는 유일한 준동형 사상이다. 즉,

K[X]

는 다음과 같은 보편 성질을 갖는다.

:

K

를 포함하는 모든 환

R

과

R

의 모든 원소

a

에 대해,

K

를 고정하고

X

를

a

로 매핑하는

K[X]

에서

R

로의 고유한 대수 준동형 사상이 존재한다.

P \mapsto P(a)

의 상은

K[a]

로 표기한다.^[14]

만약

K

가 가환환이면, 다항식환

K[X_1, \dots, X_n]

은 다음과 같은 보편 성질을 갖는다. 모든 가환

K

-대수

A

와

A

의 원소의

n

-튜플

(x_1, \dots, x_n)

에 대해, 각

X_i

를 해당

x_i

로 사상하는

K[X_1, \dots, X_n]

에서

A

로의 유일한 대수 준동형 사상이 존재한다. 이 준동형 사상은 모든 다항식에서

X_i

를

x_i

로 대체하는 ''대입 준동형 사상''이다.

이는 수반 함자의 관점에서 해석될 수 있다. 다항식환의 보편 성질은 망각 함자

\mathrm F: \mathrm{ALG}\to \mathrm{SET}

와 함자

\mathrm{POL}: \mathrm{SET}\to \mathrm{ALG}

가 수반 함자임을 의미한다. 즉, 다음을 만족하는 전단사 함수가 존재한다.

:

\operatorname{Hom}_{\mathrm {SET}}(X,\operatorname{F}(A))\cong \operatorname{Hom}_{\mathrm {ALG}}(K[X], A).

이는 다항식환이 가환 대수의 범주에서 자유 대상이므로 '''자유 가환 대수'''라고 말함으로써 표현할 수도 있다. 마찬가지로, 정수 계수를 갖는 다항식환은 변수 집합에 대한 '''자유 가환 환'''이다.

환 위의 다변수 다항식환은 "가장 일반적인" 유한 생성 가환 결합 대수이다. 즉, 다음 보편성이 성립한다^[16]:

'''보편성:''' 가환환 $R$ 위의 가환 $R$ 결합 대수 $φ : R \rarr A$ 와 그 원소 $x_1, \dots, x_n \in A$ 에 대해, 다항식환 $R[X_1, \dots, X_n]$ 에서 $A$ 로의 환 준동형사상 $\tilde φ$ 이 존재하여 $\tilde \phi|_R = φ$ 와 $1=\tilde \phi(X_i) = x_i$ ( $i = 1, \dots, n$ )를 만족하는 것이 유일하게 존재한다.

4. 체 위의 일변수 다항식환

체 K^영어 위의 다항식환 K[X]^영어는 정수환 $\mathbb{Z}$ 와 여러 면에서 유사하다. 이러한 유사성은 정수의 나눗셈과 다항식의 나눗셈의 유사성에서 비롯된다.^[15]

정수와 마찬가지로, 다항식의 유클리드 나눗셈은 유일성을 가진다. 즉, K[X]^영어에서 두 다항식 a^영어와 b ≠ 0^영어가 주어지면, a = bq + r^영어이고 r = 0^영어 또는 deg(r) < deg(b)^영어인 유일한 다항식 쌍 (q, r)^영어가 존재한다. 이는 K[X]^영어를 유클리드 정역으로 만든다.^[15]

유클리드 나눗셈은 두 다항식의 다항식 최대공약수를 계산하는 다항식에 대한 유클리드 호제법의 기초이다. 두 다항식의 최대공약수가 주어지면, 다른 최대공약수는 0이 아닌 상수를 곱하여 얻어진다. 특히, 두 다항식이 모두 0이 아닌 경우, 최고차항의 계수가 1인 모닉 최대공약수가 유일하게 존재한다.^[15]

확장된 유클리드 호제법은 베주 항등식을 계산할 수 있게 해준다. K[X]^영어의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다. 각각 차수가 m^영어과 n^영어인 두 다항식 p^영어와 q^영어가 주어지고, 그 모닉 최대공약수 g^영어의 차수가 d^영어이면, 다음을 만족하는 유일한 다항식 쌍 (a, b)^영어가 존재한다.

: $ap + bq = g,$

: $\deg (a) \le n-d, \quad \deg(b) < m-d.$ ^[15]

유클리드의 보조정리는 K[X]^영어에 적용된다. 즉, a^영어가 bc^영어를 나누고, a^영어와 b^영어가 서로소이면, a^영어는 c^영어를 나눈다. 여기서 '서로소'는 모닉 최대공약수가 1임을 의미한다.^[15]

'''증명:''' 가설 및 베주 항등식에 의해, ae = bc^영어이고 1 = ap + bq^영어인 e, p, q^영어가 존재한다. 따라서

$c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ 이다.

소인수 분해의 유일성은 유클리드의 보조정리에서 비롯된다. 정수의 경우, 이것은 산술의 기본 정리이다. K[X]^영어의 경우, "모든 상수 아닌 다항식은 상수와 하나 이상의 기약 모닉 다항식의 곱으로 유일하게 표현될 수 있으며, 이 분해는 인수의 순서를 제외하고 유일하다."^[15]라고 표현할 수 있다. 다시 말해, K[X]^영어는 유일 인수 분해 정역이다. K^영어가 복소수 체라면, 대수학의 기본 정리에 의해 일변수 다항식이 기약이려면 그 차수가 1이어야 한다. 이 경우, 소인수 분해의 유일성은 "복소수를 계수로 하는 모든 상수 아닌 일변수 다항식은 상수와 X - r^영어 형태의 다항식의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다."라고 표현할 수 있다. 여기서 r^영어은 다항식의 근이며, 각 인수의 출현 횟수는 해당 근의 중복도이다.

다항식

: $a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n$

의 (형식적) 미분은 다항식

: $a_1+2a_2X+\cdots+na_nX^{n-1}$

이다. 실수 또는 복소수 계수를 갖는 다항식의 경우, 이는 표준 미분과 같다.

K[X]^영어의 인수분해는 K^영어에 크게 의존한다. 복소수 위에서는 기약 인수가 모두 1차이고, 실수 위에서는 2차 기약 다항식이 존재하며, 유리수 위에서는 임의의 차수를 갖는 기약 다항식이 존재한다. 예를 들어, 다항식 $X^4-2$ 는 유리수 위에서는 기약이지만, 실수 위에서는 $(X - \sqrt[4]2)(X+\sqrt[4]2)(X^2+\sqrt 2)$ 로, 복소수 위에서는 $(X-\sqrt[4]2)(X+\sqrt[4]2)(X-i\sqrt[4]2)(X+i\sqrt[4]2)$ 로 인수분해된다.^[15]

실수 또는 복소수의 경우, 아벨-루피니 정리에 의해 일부 다항식의 근, 즉 기약 인수를 정확하게 계산할 수 없다. 따라서 인수분해 알고리즘은 인수의 근사값만 계산할 수 있다.

반면에 유리수와 유한체 위에서는 정수 인수분해보다 상황이 더 나으며, 다항식 인수분해를 위한 알고리즘이 다항식 복잡도를 가진다.

5. 체 위의 다변수 다항식환

수학에서 다변수 다항식환은 불변론과 대수기하학의 기본이 된다. 베주 정리, 힐베르트 영점 정리, 야코비안 추측과 같은 중요한 성질들이 다변수 다항식환과 관련되어 있다.

영점 정리(독일어: Nullstellensatz, "영점 집합 정리"라는 뜻)는 다비트 힐베르트가 처음 증명한 정리로, 대수학의 기본 정리의 몇몇 측면을 다변수 경우로 확장한 것이다. 이 정리는 $K[X_1, \ldots, X_n]$ 의 대수적 성질과 대수적 다양체의 기하학적 성질 간의 강력한 연결을 확립함으로써 대수기하학의 기초가 된다.

영점 정리의 세 가지 주요 버전 중 두 가지는 다음과 같다.

$K[X_1, \ldots, X_n]$ 의 다항식 집합 S가 K를 포함하는 대수적으로 닫힌 체에서 공통 영점을 가질 필요충분조건은 1이 S에 의해 생성된 아이디얼에 속하지 않는 것이다.
K가 대수적으로 닫혀 있다면, $K[X_1, \ldots, X_n]$ 의 극대 아이디얼은 $\langle X_1 - \alpha_1, \ldots, X_n - \alpha_n \rangle$ 형태를 갖는다.

베주의 정리는 n차 다항식이 중복도를 고려할 때 n개의 복소수 근을 갖는다는 대수학의 기본 정리의 한 변형을 다변수적으로 일반화한 것이다.

이변수 다항식의 경우, 두 변수에 대한 차수가 d와 e인 두 다항식이 양의 차수를 갖는 공통 인수를 갖지 않으면, 계수를 포함하는 대수적으로 닫힌 체에서 정확히 de개의 공통 영점을 가지며, 영점은 중복도를 고려하고 무한대에서의 영점을 포함한다.

일반적인 경우에, n개의 동차 다항식의 차수가

d_1, \ldots, d_n

이고, n+1개의 미지수를 가지며, K의 대수적으로 닫힌 확장에서 유한 개수의 공통 사영 영점만을 갖는다면, 이러한 영점의 중복도의 합은 곱

d_1 \cdots d_n

이다.

체 위의 다변수 다항식환은 대수기하학에서 기본적인 역할을 수행한다. 가환환론과 호몰로지 대수의 많은 결과가 다항식환의 아이디얼과 다항식환 위의 가군 연구에서 비롯되었다.

다비트 힐베르트로부터 시작된 다항식환

K[X_1, \ldots, X_n]

의 아이디얼과

K^n

의 대수적 집합 간의 관계에 대한 기본적인 결과 중 일부는 '''영점 정리'''(Nullstellensatz^de)라고 불린다.

(약한 형태: 계수가 대수적으로 닫힌 체인 경우) K를 대수적 폐체라고 하면, $K[X_1, \ldots, X_n]$ 의 임의의 극대 아이디얼 m은 $m = (X_1-a_1, \dotsc, X_n-a_n), \quad (a = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{K}^n)$ 의 형태로 나타낼 수 있다.
(강한 형태) k는 체이고, 그 대수적 폐포를 K로 하며, I는 다항식환 $k[X_1, \ldots, X_n]$ 의 아이디얼, V(I)는 I에 의해 정의되는 $K^n$ 의 대수적 집합이라고 하자. f를 V(I) 위의 임의의 점에서 사라지는 다항식이라고 하면, f의 어떤 거듭제곱이 아이디얼 I에 속한다.

6. 일반화

다항식환은 일반화된 지수를 갖는 다항식환, 멱급수환, 비가환 다항식환, 왜곡 다항식환, 다항식 반환 등 매우 다양한 방식으로 일반화될 수 있다.

다항식환의 약간의 일반화는 무한히 많은 미지수를 허용하는 것이다. 각 단항식은 여전히 유한 개의 미지수만을 포함하며(따라서 차수는 유한하게 유지됨), 각 다항식은 여전히 단항식의 (유한한) 선형 결합이다. 따라서, 임의의 개별 다항식은 유한 개의 미지수만을 포함하며, 다항식을 포함하는 임의의 유한 계산은 유한 개의 미지수를 갖는 다항식의 어떤 부분환 내에 남아 있다. 이러한 일반화는 일반적인 다항식환과 마찬가지로 자유 가환 대수라는 동일한 속성을 가지며, 유일한 차이점은 무한 집합에 대한 자유 대상이라는 것이다.

또한, 경계 차수를 갖는 단항식의 무한(또는 유한) 형식적 합으로 일반화된 다항식을 정의함으로써 엄격하게 더 큰 환을 고려할 수 있다. 이 환은 무한한 변수의 합을 포함하므로 일반적인 다항식환보다 크다. 그러나 무한히 많은 변수의 멱급수환보다는 작다. 이러한 환은 무한 집합에 대한 대칭 함수환을 구성하는 데 사용된다.

간단한 일반화는 변수의 지수가 추출되는 집합만 변경하는 것이다. 지수를 더할 수 있는 한 덧셈과 곱셈 공식은 의미가 있다. 덧셈이 의미가 있는(닫혀 있고 결합적인) 집합을 모노이드라고 한다. 유한 개의 위치에서만 0이 아닌, 모노이드 ''N''에서 링 ''R''로의 함수 집합은 ''R''[''N'']으로 알려진 링의 구조를 가질 수 있으며, 이는 ''R''의 계수를 갖는 ''N''의 '''모노이드 링'''이다. 덧셈은 성분별로 정의되므로 $c = a + b$ 이면 모든 ''N''의 ''n''에 대해 $c_n = a_n + b_n$ 이다. 곱셈은 코시 곱으로 정의되므로 $c = a \cdot b$ 이면 ''N''의 각 ''n''에 대해 $c_n$ 은 ''i'', ''j''가 ''n''으로 합산되는 ''N''의 모든 원소 쌍에 걸쳐 있는 모든 $a_i b_j$ 의 합이다.

''N''이 가환적일 때, ''R''[''N'']의 함수 ''a''를 다음과 같은 형식적 합으로 나타내는 것이 편리하다.

: $\sum_{n \in N} a_n X^n$

그런 다음 덧셈과 곱셈에 대한 공식은 다음과 같다.

: $\left(\sum_{n \in N} a_n X^n\right) + \left(\sum_{n \in N} b_n X^n\right) = \sum_{n \in N} \left(a_n + b_n\right)X^n$

그리고

: $\left(\sum_{n \in N} a_n X^n\right) \cdot \left(\sum_{n \in N} b_n X^n\right) = \sum_{n \in N} \left( \sum_{i+j=n} a_i b_j\right)X^n$

여기서 마지막 합은 ''n''으로 합산되는 ''N''의 모든 ''i'', ''j''에 대해 취해진다.

일부 저자는 이 모노이드 정의를 시작점으로 삼으며, 일반적인 단일 변수 다항식은 ''N''이 음이 아닌 정수의 모노이드인 특수한 경우이다. 여러 변수의 다항식은 단순히 ''N''이 음이 아닌 정수의 모노이드의 여러 복사본의 직접 곱이 되도록 한다.

''N''을 음이 아닌 유리수의 가법 모노이드로 취함으로써 링과 그룹의 몇 가지 흥미로운 예가 형성된다. 퓌죄 급수도 참조.

멱급수는 무한히 많은 비영(非零) 항을 허용함으로써 지수의 선택을 다른 방향으로 일반화한다. 이는 코시 곱에서의 합이 유한 합임을 보장하기 위해 지수에 사용되는 모노이드 ''N''에 대한 다양한 가설을 필요로 한다. 또는, 링 위에 위상을 부여할 수 있으며, 이후 수렴하는 무한 합으로 제한한다. ''N''의 표준 선택, 즉 음이 아닌 정수의 경우, 아무런 문제가 없으며 형식적 멱급수 링은 ''N''에서 링 ''R''로의 함수 집합으로 정의되며 덧셈은 성분별로, 곱셈은 코시 곱으로 주어진다. 멱급수 링은 또한 $x$ 에 의해 생성된 아이디얼에 관하여 다항식 링의 링 완비화로 볼 수 있다.

둘 이상의 변수를 갖는 다항식 환의 경우, 곱 $X \cdot Y$ 와 $Y \cdot X$ 는 단순히 같다고 정의된다. 이러한 두 형식적 곱 사이의 구분을 유지할 때 더 일반적인 개념의 다항식 환을 얻을 수 있다. 형식적으로, 환 ''R''의 계수를 갖는 ''n''개의 비가환 변수의 다항식 환은 모노이드 환 ''R''[''N'']이며, 여기서 모노이드 ''N''은 ''n''개의 문자에 대한 자유 모노이드이며, 이는 곱셈이 연결에 의해 주어지는 ''n''개의 기호의 알파벳에 대한 모든 문자열의 집합으로도 알려져 있다. 계수도 변수도 서로 간에 교환될 필요는 없지만, 계수와 변수는 서로 교환된다.

가환 환 ''R''의 계수를 갖는 ''n''개의 변수의 다항식 환이 랭크 ''n''의 자유 가환 ''R''-대수와 마찬가지로, 가환 환 ''R''의 계수를 갖는 ''n''개의 변수의 비가환 다항식 환은 ''n''개의 생성자에 대한 자유 결합적, 단일 ''R''-대수이며, 이는 $n > 1$ 일 때 비가환이다.

다항식의 다른 일반화로는 미분 다항식환과 왜곡 다항식환이 있다.

'''미분 다항식환'''은 환 ''R''과 ''R''에서 ''R''로의 미분 $\delta$ 로 구성된 미분 연산자의 환이다. 이 미분은 ''R''에 작용하며, 연산자로 볼 때 ''X''로 표시된다. ''R''의 원소는 곱셈에 의해서도 ''R''에 작용한다. 연산자의 합성은 일반적인 곱셈으로 표시된다. 다음 관계 $\delta(ab) = a\delta(b) + \delta(a)b$ 는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $X\cdot a = a\cdot X +\delta(a).$

이 관계는 ''R''의 계수를 가진 ''X''에서 두 다항식 사이의 왜곡 곱셈을 정의하도록 확장될 수 있으며, 이는 이들을 비가환환으로 만든다.

바일 대수라고 불리는 표준 예는 ''R''을 (일반적인) 다항식환 $k[Y]$ 로 취하고, $\delta$ 를 표준 다항식 미분 $\tfrac{\partial}{\partial Y}$ 로 취한다. 위의 관계에서 $a = Y$ 를 취하면, 정준 교환 관계, $X \cdot Y - Y \cdot X = 1$ 을 얻는다. 이 관계를 결합성과 분배성을 통해 확장하면 바일 대수를 명시적으로 구성할 수 있다.

'''왜곡 다항식환'''은 환 ''R''과 ''R''의 환 자기 준동형 사상 ''f''에 대해 유사하게 정의되며, 곱셈을 관계 $X \cdot r = f(r) \cdot X$ 에서 표준 덧셈에 분배되는 결합 곱셈을 생성하도록 확장한다. 더 일반적으로, 양의 정수의 모노이드 '''N'''에서 ''R''의 자기 준동형 사상환으로의 준동형 사상 ''F''가 주어지면, 공식 $X^n \cdot r = F(n)(r) \cdot X^n$ 은 왜곡 다항식환을 구성할 수 있게 한다. 왜곡 다항식환은 교차곱 대수와 밀접한 관련이 있다.

다항식 환의 정의는 대수 구조 ''R''이 체 또는 환이어야 한다는 요구 사항을 ''R''이 단지 반체 또는 리개이기만 하면 된다는 요구 사항으로 완화함으로써 일반화할 수 있다. 그 결과 다항식 구조/확장 ''R''[''X'']는 '''다항식 리개'''이다. 예를 들어, 자연수 계수를 갖는 모든 다변수 다항식의 집합은 다항식 리개이다.

7. 같이 보기

참조

_[1] 서적 Index http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 2024-09-14
_[2] 웹사이트 polynomial ring https://planetmath.o[...] 2024-09-14
_[3] 웹사이트 Art of Problem Solving https://artofproblem[...] 2024-09-14
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 문서
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_[9] 서적 Calculus Single Variable https://books.google[...] Wiley
_[10] 서적 Rational Algebraic Curves: A Computer Algebra Approach https://books.google[...] Springer
_[11] 서적 Elementary Matrix Theory https://books.google[...] Dover
_[12] 문서
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_[14] 문서 Basic Algebra Birkhäuser
_[15] 간행물 On the factorisation of polynomials in a finite number of steps
_[16] 서적 Some Topics in Algebra: An Advanced Undergraduate Course at PKU Springer

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