멱영원

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 가환환
4. 예시
5. 리 대수
6. 물리학에서의 멱영성
7. 대수적 멱영원
참조

1. 개요

멱영원은 주어진 유사환 R의 원소 r로, 어떤 양의 정수 n에 대해 r^n = 0을 만족하는 원소를 의미한다. 가환환의 경우 멱영원들의 집합은 아이디얼을 이루며, 이를 영근기라고 한다. 멱영원은 가역원이 될 수 없으며, 모든 멱영원은 영인자이다(단, 자명환 제외). 체의 원소를 갖는 행렬의 특성 다항식이 t^n일 때 멱영원이 된다. 멱영원은 환의 닐래디컬을 형성하며, 모든 소 아이디얼의 교집합과 일치한다. 멱영원은 리 대수, 물리, 대수적 구조 등 다양한 수학 및 물리학 분야에서 나타난다.

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

멱영원
정의
정의	환의 멱영원은 어떤 양의 정수 거듭제곱이 0이 되는 환의 원소를 말한다. 보다 정확하게, 만약 R이 환이면, R의 원소 x는 어떤 양의 정수 n에 대해 x^n = 0이면 멱영원이다.
예시
예시 1	정수 모듈로 4의 환에서, 원소 2는 멱영원이다. 왜냐하면 2^2 = 4 ≡ 0 (mod 4)이기 때문이다.
예시 2	일반적으로 정수 모듈로 n의 환에서 멱영원은 n의 모든 소인수로 나눌 수 있는 정확히 그 원소이다.
예시 3	환 Z/nZ에서 멱영원은 n의 모든 소인수로 나눌 수 있는 수이다.
예시 4	행렬환에서 멱영원은 멱영행렬이다.
속성
속성 1	멱영원이기 위한 필요충분조건은 멱영원의 주 아이디얼이 멱영 아이디얼인 것이다.
속성 2	환이 가환적일 때, 모든 멱영원들의 집합은 환의 아이디얼을 형성한다.
속성 3	만약 R이 가환환이고 N이 R의 모든 멱영원들의 아이디얼이면, 환 R/N은 0이 아닌 멱영원을 가지지 않는다.
속성 4	환이 비가환적일 때, 모든 멱영원들의 집합은 아이디얼을 형성할 필요가 없다. 예를 들어, 행렬환에서 행렬 0, 1], [0, 0과 행렬 0, 0], [1, 0은 둘 다 멱영원이지만, 그 합인 행렬 0, 1], [1, 0은 그렇지 않다.
속성 5	멱영원은 나눗셈환에서는 존재하지 않는다.
속성 6	환 R이 가환적이면, 멱영원의 집합은 R의 하근과 정확히 같다.
속성 7	만약 x가 멱영원이면, 1 − x는 단위원이므로, 멱영원은 제이컵슨 라디칼에 있다.

2. 정의

유사환 $R$ 의 원소 가운데 '''멱영원'''은 다음 성질을 만족하는 원소 $r\in R$ 이다.

양의 정수 $n$ 이 존재하여,

::

r^n=\underbrace{rr\cdots r}_n=0

가환환의 경우, 멱영원들의 집합은 아이디얼을 이루며, 이를 '''영근기'''라고 한다.

이 정의는 특히 정사각 행렬에 적용될 수 있다. 예를 들어 행렬

::

A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

:는

A^3=0

이므로 멱영원이다. 더 자세한 내용은 멱영 행렬을 참조하라.

환의 몫

\Z/9\Z

에서, 3의 동치류는 3²이 9를 법으로 0과 합동이므로 멱영원이다.

환

R

의 두 원소

a

와

b

가

ab=0

을 만족한다고 가정하자. 그러면 원소

c=ba

는 다음과 같이 멱영원이다.

:

\begin{align}c^2&=(ba)^2\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{align}

행렬의 예시는 다음과 같다.

:

A = \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}, \;\;B =\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}.

여기에서

AB=0

이고

BA=B

이다.

정의에 따르면, 영반군의 모든 원소는 멱영원이다. 멱영원은 가역원이 될 수 없다(단, 1=0 = 1만 있는 자명환 제외). 모든 멱영원은 영인자이다.

만약

x

가 멱영원이라면,

1-x

는 가역원인데, 그 이유는

x^n=0

은

(1 - x) (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) = 1 - x^n = 1.

을 함축하기 때문이다.

3. 성질

유사환 ''R''의 원소 중 멱영원은 양의 정수 ''n''에 대하여 ''r''^''n'' = 0을 만족하는 원소 ''r'' ∈ ''R''이다. 멱영원은 가역원이 될 수 없지만(원소가 1=0인 자명환은 제외), 모든 멱영원은 영인자이다.

''x''가 멱영원이라면, 1 − ''x''는 가역원이다. ''x''^''n'' = 0 이면 (1 - x)(1 + x + x² + ⋯ + x^n-1) = 1 - xⁿ = 1이 되기 때문이다.

체의 원소를 갖는 ''n'' × ''n'' 행렬 ''A''가 멱영원이 되는 것은 특성 다항식이 ''t''^''n''일 때이다.

3. 1. 가환환

가환환에서 멱영원들의 집합은 아이디얼을 이루며, 이를 '''영근기'''라고 한다. 가환환

R

의 멱영원소는 아이디얼

\mathfrak{N}

을 형성하며, 이는 이항 정리의 결과이다.^[2] 이 아이디얼은 환의 닐래디컬이다. 가환환의 모든 멱영원

x

는 그 환의 모든 소 아이디얼

\mathfrak{p}

에 포함되는데, 이는

x^n = 0\in \mathfrak{p}

이기 때문이다. 따라서

\mathfrak{N}

은 모든 소 아이디얼의 교집합에 포함된다.

만약

x

가 멱영이 아니면,

x

의 거듭제곱에 대해 국소화를 수행하여

S=\{1,x,x^2,...\}

로 하여 0이 아닌 환

S^{-1}R

을 얻을 수 있다. 국소화된 환의 소 아이디얼은

\mathfrak{p}\cap S=\empty

인

R

의 소 아이디얼

\mathfrak{p}

에 정확히 대응한다.^[3] 모든 0이 아닌 가환환은 극대 아이디얼을 가지며, 이는 소 아이디얼이므로, 모든 멱영이 아닌

x

는 어떤 소 아이디얼에도 포함되지 않는다. 따라서

\mathfrak{N}

은 모든 소 아이디얼의 교집합과 정확히 일치한다.^[10]^[11]

제이콥슨 근기 및 단순 가군의 소멸과 유사한 특성이 닐래디컬에 적용될 수 있다. 환

R

의 멱영원소는 환

R

내의 모든 정역(즉, 소 아이디얼

I

에 대한

R/I

형태)을 소멸시키는 원소와 정확히 일치한다. 이는 닐래디컬이 모든 소 아이디얼의 교집합이라는 사실에서 비롯된다.

4. 예시

정사각 행렬에서, 행렬

::

A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

:는

A^3=0

이므로 멱영원이다. 더 자세한 내용은 멱영 행렬을 참조하라.

환의 몫 $\Z/9\Z$ 에서, 3의 동치류는 3²이 9를 법으로 0과 합동이므로 멱영원이다.
환 $R$ 의 두 원소 $a$ 와 $b$ 가 $ab=0$ 을 만족하면, 원소 $c=ba$ 는 $c^2=(ba)^2=b(ab)a=0$ 이 되므로 멱영원이다. 행렬의 예시는 다음과 같다. (''a'', ''b''에 대해):

::

A = \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}, \;\;B =\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}.

: 이 때,

AB=0

이고

BA=B

이다.

영반군의 모든 원소는 정의에 따라 멱영원이다.

5. 리 대수

리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 원소 $x\in\mathfrak{g}$ 가 교환자 부분군 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ 에 속하고, 딸림표현 $\operatorname{ad} x$ 가 멱영 변환이면, 이 원소는 멱영원이라고 한다. 리 대수에서의 요르단 분해를 참고하라.

6. 물리학에서의 멱영성

유한 차원 공간의 모든 사다리 연산자는 멱영원이다. 이들은 생성 및 소멸 연산자를 나타내며, 한 상태에서 다른 상태로 변환된다. 예를 들어 올리고 내리는 파울리 행렬 $\sigma_\pm=(\sigma_x\pm i \sigma_y)/2$ 가 있다.

$Q^2=0$ 을 만족하는 피연산자 $Q$ 는 멱영원이다. BRST 전하는 물리학에서 중요한 예시이다.^[4] 페르미온장에 대한 경로 적분 공식 표현을 허용하는 그래스만 수는 제곱이 0이므로 멱영원이다.

선형 연산자는 결합 대수를 형성하여 환을 이루므로, 이는 초기 정의의 특수한 경우이다.^[4]^[5] 좀 더 일반적으로, $Q$ 는 $Q^n=0$ (영 함수)을 만족하는 $n\in\N$ 이 존재하면 멱영원 연산자이다. 따라서, 선형 사상은 어떤 기저에서 멱영 행렬을 가지는 경우에만 멱영원이다. 또 다른 예는 외 미분이다(역시 $n=2$ ). 둘 다 초대칭과 모스 이론을 통해 연결되어 있으며,^[6] 에드워드 위튼이 유명한 논문에서 이를 보였다.^[7]

소스가 없는 평면파의 전자기장은 물리적 공간 대수로 표현될 때 멱영원이다.^[8]

7. 대수적 멱영원

2차원 쌍대수는 멱영 공간을 포함한다. 멱영 공간을 포함하는 다른 대수와 숫자에는 분할 사원수(공사원수), 분할 팔원수, 쌍사원수, 그리고 복소수 팔원수가 있다. 멱영 무한소가 0으로 향하는 변수라면, 그 변수를 대상으로 하는 모든 항의 합은 1차 항의 무한히 작은 비율임을 알 수 있다.

이 정의는 특히 정사각 행렬에 적용할 수 있다. 행렬

A = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}

은 ''A''³ = 0 이므로 멱영이다. 더 많은 정보는 멱영 행렬을 참조하라.

잉여환 '''Z'''/9'''Z''' 에서, 3의 동치류는 멱영이다. 왜냐하면 3²이 9를 법으로 0과 합동이기 때문이다.

(비가환) 환 ''R''의 두 원소 ''a'', ''b''가 ''ab'' = 0을 만족한다고 하자. 이 때 원소 ''c'' = ''ba''는 ''c''² = (''ba'')² = ''b''(''ab'')''a'' = 0 이므로 멱영이다. 행렬에서의 예는 (''a'', ''b''에 대해)

A = \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}, \;\;B =\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.

이 때 ''AB'' = 0, ''BA'' = ''B''이다.

코콰테르니온(coquaternion)의 환은 멱영원의 원뿔을 포함한다.

2차원의 이중수는 멱영 공간을 포함한다. 멱영 공간을 포함하는 다원환 및 수로는 이 외에도 분해형 사원수, 분해형 팔원수, 쌍사원수, 그리고 복소 팔원수가 있다.

참조

_[1] 서적 An Introduction to Group Rings 2002
_[2] 서적 Commutative Algebra W. A. Benjamin
_[3] 서적 Introduction to Commutative Algebra Westview Press 1994-02-21
_[4] 서적 Linear Associative Algebra 1870
_[5] 서적 An introduction to group rings Springer 2002
_[6] 논문 The topological particle and Morse theory 2000
_[7] 논문 Supersymmetry and Morse theory 1982
_[8] 서적 Zero to Infinity: The Foundations of Physics London, World Scientific 2007
_[9] 서적 An Introduction to Group Rings https://books.google[...] 2002
_[10] 서적 Commutative Algebra W. A. Benjamin
_[11] 서적 Introduction to Commutative Algebra Westview Press 1994-02-21
_[12] 서적 Linear Associative Algebra 1870
_[13] 서적 An introduction to group rings Springer 2002
_[14] 논문 Supersymmetry and Morse theory 1982
_[15] 논문 The topological particle and Morse theory 2000
_[16] 서적 Zero to Infinity: The Foundations of Physics London, World Scientific 2007

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