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오각쌍뿔

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목차

1. 개요

오각쌍뿔은 두 개의 오각뿔을 밑면끼리 붙여 만든 다면체이다. 정삼각형 면으로 이루어진 오각쌍뿔은 존슨의 다면체 J13에 해당하며, 델타 다면체의 일종이다. 오각쌍뿔은 10개의 삼각형 면, 15개의 모서리, 7개의 꼭짓점을 가지며, 20차의 이각형군 D5h의 3차원 점군을 갖는다. 겉넓이는 S=\over{2}}a^2이고, 부피는 V=\over{12}}a^3이다. 오각쌍뿔은 오각뿔, 오각쌍뿔기둥, 정이십면체, 정팔면체 등과 관련이 있으며, 화학 및 톰슨 문제, 광물학 등에서 응용된다.

2. 특수한 경우

2. 1. 직각쌍뿔

일반적인 오각쌍뿔은 두 개의 오각뿔을 밑면끼리 붙여서 만들 수 있다. 이 때 만들어지는 오각쌍뿔은 10개의 삼각형 면, 15개의 모서리, 7개의 꼭짓점을 가진 다면체이다. 오각쌍뿔은 피라미드가 대칭적으로 정규적이고 두 꼭짓점 모두 밑면의 중심을 통과하는 선 위에 있을 경우 직각이라고 하며, 그렇지 않으면 경사라고 한다.

오각쌍뿔은 20차의 이각형군 D5h의 3차원 점군을 가지며, 대칭축을 중심으로 회전하여 대칭성을 띠고, 밑면의 모든 이등분선에 대해 거울 대칭을 갖는다. 또한 수평면을 가로질러 반사하여 대칭성을 띤다. 따라서, 오각쌍뿔은 면 추이 다면체이다.

오각쌍뿔은 4-연결되어 있다. 이는 나머지 정점을 분리하려면 4개의 정점을 제거해야 함을 의미한다. 이것은 4개의 4-연결 단순 잘 덮인 다면체 중 하나로, 정점의 모든 극대 독립 집합이 동일한 크기를 갖는다는 의미이다. 이 속성을 가진 다른 세 개의 다면체는 정팔면체, 스너브 스페노이드, 12개의 꼭짓점과 20개의 삼각형 면을 가진 불규칙 다면체이다.

오각쌍뿔의 쌍대 다면체는 오각 기둥이다. 오각 기둥은 밑면에 두 개의 오각형 면을 가지고, 나머지는 5개의 직사각형 면이다.

2. 2. 존슨의 다면체



존슨의 다면체로서의 오각쌍뿔 3D 모델


모든 면이 정삼각형인 오각쌍뿔은 존슨의 다면체 J13에 해당하며, 델타 다면체의 일종이다. 이 다면체는 두 개의 정오각뿔을 붙여 만들 수 있으므로 합성 다면체의 한 예이다.

정삼각형 면을 가진 오각쌍뿔의 표면적 ''A''는 모든 삼각형 면적의 10배이며, 부피 ''V''는 두 개의 오각뿔로 잘라서 부피를 더하여 구할 수 있다. 모서리 길이 ''a''에 대해, 다음과 같다.

표면적 A \frac{5\sqrt{3}}{2}a^2 \approx 4.3301a^2
부피 V \frac{5 + \sqrt{5}}{12}a^3 \approx 0.603a^3



정삼각형 면을 가진 오각쌍뿔의 이면각은 다음과 같이 계산할 수 있다.


  • 인접한 두 삼각형 사이의 이면각은 오각뿔의 이면각과 같으며, 약 138.2°이다.
  • 두 개의 피라미드가 연결된 모서리에서 인접한 두 삼각형 면 사이의 이면각은 삼각형 면과 밑면 사이의 오각뿔의 이면각을 합하여 74.8°이다.

3. 성질

오각쌍뿔은 델타다면체의 일종으로, 모든 면이 정삼각형으로 이루어져 있다. 한 변의 길이를 *a*라고 하면, 겉넓이는 S=\over{2}}a^2, 부피는 V=\over{12}}a^3이다.

4. 근연 도형

오각뿔을 반으로 잘라 만들 수 있다. 오각쌍뿔 사이에 정오각기둥을 추가하면 오각쌍뿔기둥이 된다. 오각쌍뿔 사이에 정오각 엇각기둥을 추가하면 정이십면체가 된다. 오각쌍뿔에서 각뿔의 각의 수를 줄이면 정팔면체가 된다.

정이십면체
정팔면체



동상 쌍오각뿔대 기둥은 오각쌍뿔을 늘려서 만들 수 있다. 특정 부분에 정삼각형 2장을 끼워넣으면 깎은 사각뿔이 된다. 특정 부분에 정사각형 2장과 정삼각형 2장을 조합한 것을 추가하면 구형 지붕이 된다.

구형 지붕


5. 정오각기둥의 쌍대

'''정오각기둥의 쌍대'''는 아르키메데스의 정오각기둥(밑면과 옆면이 모두 정다각형인 정오각기둥)의 쌍대가 되는 다면체이다. 카탈랑의 다면체와 마찬가지로 이면각이 같다는 성질을 갖는다.


  • 구성 면: 이등변삼각형 (꼭지각 40.42°, 밑각 69.79°, 변의 비율 1:1:\frac{5-\sqrt{5}}{4}) 10개
  • 변: 15
  • 꼭짓점: 7
  • 쌍대: 아르키메데스의 정오각기둥

6. 응용

화학에서 오각쌍뿔 분자 구조는 원자를 둘러싼 원자 클러스터로 사용될 수 있으며, 기체 상태의 플루오린화 헵타아이오딘이 그 예시이다.

톰슨 문제에서 구 위에 전하를 띤 입자의 최소 에너지 구성 중 하나는 오각쌍뿔의 꼭짓점을 외접 구 안에 내접시켜 7개의 전자를 배치하는 경우이다.

광물학에서 5중 결합 주기적 쌍둥이로 불리는 오각쌍뿔 및 관련 5중 구조는 십이면체 나노입자에서 발견된다.

참조

[1] 서적 Elementary Geometry for College Students https://books.google[...] Cengage Learning
[2] 간행물 Regular-faced convex polyhedra
[3] 간행물 On well-covered triangulations. III
[4] 간행물 The VSEPR Model of Molecular Geometry https://books.google[...] Dover Publications
[5] 간행물 Convex polyhedra with regular faces
[6] 간행물 Dungeons, dragons, and dice
[7] 간행물 Origami Polyhedra Design https://books.google[...] CRC Press
[8] 간행물 Nanoparticle shape, thermodynamics and kinetics https://iopscience.i[...]
[9] 간행물 Oxford Mathematics for the Caribbean: Book 1 https://books.google[...] Oxford University Press
[10] 간행물 Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics https://books.google[...] Princeton University Press
[11] 간행물 Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem https://books.google[...] Hindustan Book Agency
[12] 간행물 Ueber die Krystallformen des Goldes und des Silbers https://onlinelibrar[...]
[13] 간행물 Minimal-energy clusters of hard spheres
[14] 간행물 Convex Polyhedra with Parquet Faces https://www.interoci[...]
[15] 간행물 An infinite class of deltahedra
[16] 간행물 Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry https://books.google[...] Springer
[17] 간행물 On well-covered triangulations. III


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