카탈랑의 다면체

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1. 개요

카탈랑의 다면체는 반정다면체의 쌍대 다면체로, 면이 합동인 특징을 갖는다. 면은 정다각형이 아니며, 모든 이면각이 같고, 카이랄성을 가질 수 있으며, 내접 구면을 갖는다. 대칭성에 따라 정사면체, 정팔면체, 정이십면체 대칭으로 분류되며, 각 대칭 그룹마다 여러 형태의 다면체가 존재한다.

카탈랑의 다면체

이미지 준비중입니다.

카탈랑의 다면체의 투시도

종류	다면체
면의 수	13
쌍대	아르키메데스의 다면체
면	다각형
슐레플리 기호	{p,q}
쌍대 다면체	q.q.p
카탈랑의 다면체 목록	마름모십이면체 삼각육팔면체 사각육면체 오각십이팔면체 마름모이십면체 오각육백면체 마름모삼십면체 정사면체 삼각십이면체 오각이십사면체 델타삼각면체 델타이십면체 델타육십면체

기타

명명자	외젠 샤를 카탈랑

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카탈란의 다면체 - 마름모십이면체
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1. 개요
2. 성질
3. 대칭성
4. 목록

2. 성질

반정다면체의 쌍대 다면체라는 점에서 많은 성질은 반정다면체의 성질과 대응된다.

반정다면체는 꼭짓점 모양이 합동이므로, 카탈랑의 입체는 면이 합동이다. 하지만, 반정다면체는 2종류의 면을 가지므로, 카탈랑 입체의 면은 정다각형이 아니며, 따라서 균일 다면체가 아니다.

반정다면체의 변의 길이가 같다는 점으로부터, 카탈랑의 입체는 모든 이면각이 같다.

반정다면체와 마찬가지로 2종류는 카이랄이며, 거울상의 구별이 있다.

반정다면체가 외접 구면을 가지는 한편, 카탈랑의 입체는 내접 구면을 가진다.

3. 대칭성

카탈랑의 다면체는 쌍대인 아르키메데스 다면체를 따라 정사면체, 정팔면체, 정이십면체 대칭성으로 묶을 수 있다. 각 그룹마다 6가지 형태가 있다. 자기쌍대인 정사면체 그룹은 유일하게 3가지가 있고 나머지 둘은 정팔면체 그룹과 같다.

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정사면체 대칭
아르키메데스 다면체	카탈랑의 다면체

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정팔면체 대칭
아르키메데스 다면체	카탈랑의 다면체

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정이십면체 대칭
아르키메데스 다면체	카탈랑의 다면체

4. 목록

카탈랑의 다면체는 아르키메데스의 다면체(고르지 않은 꼭짓점을 가진 준정다면체)의 쌍대다면체로, 면은 합동이지만 꼭짓점은 고르지 않다. 카탈랑의 다면체는 총 13가지가 있으며, 각 다면체의 정보는 아래 표와 같다.

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이름 (쌍대) 콘웨이 이름	그림	정사영	면 도형	면	모서리	꼭짓점	공간대칭군
삼방사면체 (깎은 정사면체) "kT"	삼방사면체	삼방사면체 정사영 삼방사면체 정사영 삼방사면체 정사영	이등변삼각형 V3.6.6	12	18	8	T_d
마름모십이면체 (육팔면체) "jC"	마름모십이면체	마름모십이면체 정사영 마름모십이면체 정사영 마름모십이면체 정사영	마름모 V3.4.3.4	12	24	14	O_h
삼방팔면체 (깎은 정육면체) "kO"	삼방팔면체	삼방팔면체 정사영 삼방팔면체 정사영 삼방팔면체 정사영	이등변삼각형 V3.8.8	24	36	14	O_h
사방육면체 (깎은 정팔면체) "kC"	사방육면체	사방육면체 정사영 사방육면체 정사영 사방육면체 정사영	이등변삼각형 V4.6.6	24	36	14	O_h
연꼴이십사면체 (마름모육팔면체) "oC"	연꼴이십사면체	연꼴이십사면체 정사영 연꼴이십사면체 정사영 연꼴이십사면체 정사영	연꼴 V3.4.4.4	24	48	26	O_h
육방팔면체 (깎은 육팔면체) "mC"	육방팔면체	육방팔면체 정사영 육방팔면체 정사영 육방팔면체 정사영	부등변삼각형 V4.6.8	48	72	26	O_h
오각이십사면체 (다듬은 정육면체) "gC"	오각이십사면체	오각이십사면체 정사영 오각이십사면체 정사영 오각이십사면체 정사영	오각형 V3.3.3.3.4	24	60	38	O
마름모삼십면체 (십이이십면체) "jD"	마름모삼십면체	마름모삼십면체 정사영 마름모삼십면체 정사영 마름모삼십면체 정사영	마름모 V3.5.3.5	30	60	32	I_h
삼방이십면체 (깎은 정십이면체) "kI"	삼방이십면체	삼방이십면체 정사영 삼방이십면체 정사영 삼방이십면체 정사영	이등변삼각형 V3.10.10	60	90	32	I_h
오방십이면체 (깎은 정이십면체) "kD"	오방십이면체	오방십이면체 정사영 오방십이면체 정사영 오방십이면체 정사영	이등변삼각형 V5.6.6	60	90	32	I_h
연꼴육십면체 (마름모십이이십면체) "oD"	연꼴육십면체	연꼴육십면체 정사영 연꼴육십면체 정사영 연꼴육십면체 정사영	연꼴 V3.4.5.4	60	120	62	I_h
육방이십면체 (깎은 십이이십면체) "mD"	육방이십면체	육방이십면체 정사영 육방이십면체 정사영 육방이십면체 정사영	부등변삼각형 V4.6.10	120	180	62	I_h
오각육십면체 (다듬은 정십이면체) "gD"	오각육십면체	오각육십면체 정사영 오각육십면체 정사영 오각육십면체 정사영	오각형 V3.3.3.3.5	60	150	92	I

4.1. 정사면체 대칭

삼방사면체는 깎은 정사면체의 쌍대다면체이다. 면은 12개, 모서리는 18개, 꼭짓점은 8개이며, 면은 이등변삼각형이다.

4.2. 정팔면체 대칭

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이름 (쌍대) 콘웨이 이름	그림	면 도형	면	모서리	꼭짓점	공간대칭군
마름모십이면체 (육팔면체) "jC"	마름모십이면체	마름모 V3.4.3.4	12	24	14	O_h
삼방팔면체 (깎은 정육면체) "kO"	삼방팔면체	이등변삼각형 V3.8.8	24	36	14	O_h
사방육면체 (깎은 정팔면체) "kC"	사방육면체	이등변삼각형 V4.6.6	24	36	14	O_h
연꼴이십사면체 (마름모육팔면체) "oC"	연꼴이십사면체	연꼴 V3.4.4.4	24	48	26	O_h
육방팔면체 (깎은 육팔면체) "mC"	육방팔면체	부등변삼각형 V4.6.8	48	72	26	O_h
오각이십사면체 (다듬은 정육면체) "gC"	오각이십사면체	오각형 V3.3.3.3.4	24	60	38	O

4.3. 정이십면체 대칭

마름모삼십면체는 십이이십면체의 쌍대다면체이다. 삼방이십면체는 깎은 정십이면체의 쌍대다면체이다. 오방십이면체는 깎은 정이십면체의 쌍대다면체이다. 연꼴육십면체는 마름모십이이십면체의 쌍대다면체이다. 육방이십면체는 깎은 십이이십면체의 쌍대다면체이다. 오각육십면체는 다듬은 정십이면체의 쌍대다면체이다.

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이름 (쌍대) 콘웨이 이름	그림	면 도형	면	모서리	꼭짓점	공간대칭군
마름모삼십면체 (십이이십면체) "jD"	Rhombic triacontahedron	마름모 V3.5.3.5	30	60	32	I_h
삼방이십면체 (깎은 정십이면체) "kI"	Triakis icosahedron	이등변삼각형 V3.10.10	60	90	32	I_h
오방십이면체 (깎은 정이십면체) "kD"	Pentakis dodecahedron	이등변삼각형 V5.6.6	60	90	32	I_h
연꼴육십면체 (마름모십이이십면체) "oD"	Deltoidal hexecontahedron	연꼴 V3.4.5.4	60	120	62	I_h
육방이십면체 (깎은 십이이십면체) "mD"	Disdyakis triacontahedron	부등변삼각형 V4.6.10	120	180	62	I_h
오각육십면체 (다듬은 정십이면체) "gD"	Pentagonal hexecontahedron	오각형 V3.3.3.3.5	60	150	92	I