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오일러의 연분수 공식

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목차

1. 개요

오일러의 연분수 공식은 유한 또는 무한 급수를 유한 또는 무한 연분수로 변환하는 데 사용되는 수학 공식이다. 이 공식은 복소수 항 급수에 적용되며, 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다. 오일러는 유한 곱의 합을 유한 연분수와 연결하는 공식을 도출했으며, 일반화된 연분수 표기법으로 간결하게 나타낼 수 있다. 이 공식은 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수, 역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수 등 다양한 함수에 적용될 수 있으며, π (파이)와 같은 상수의 연분수 표현을 유도하는 데에도 활용된다.

2. 공식화

오일러의 연분수 공식은 유한 급수를 유한 연분수로, 무한 급수를 무한 연분수로 변환하는 방법을 제시한다. 오일러가 처음 제시한 공식은 다음과 같다.[2]

:

a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2\cdots a_n =

\cfrac{a_0}{1 - \cfrac{a_1}{1 + a_1 - \cfrac{a_2}{1 + a_2 - \cfrac{\ddots}{\ddots

\cfrac{a_{n-1}}{1 + a_{n-1} - \cfrac{a_n}{1 + a_n}}}}}}\,



이 항등식은 ''n''에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있으며, 좌변의 식이 수렴하는 무한 급수를 나타내도록 확장되면, 우변의 식 역시 수렴하는 무한 연분수를 나타내도록 확장될 수 있다.

2. 1. 현대적인 형태

현대 수학에서 오일러 연분수 공식은 일반화된 연분수 표기법을 사용하여 더 간결하게 표현할 수 있다.[2]

:

a_0 + a_0 a_1 + a_0 a_1 a_2 + \cdots + a_0 a_1 a_2 \cdots a_n =

\frac{a_0}{1 +} \, \frac{-a_1}{1 + a_1 +} \, \cfrac{-a_2}{1 + a_2 +} \cdots \frac{-a_n}{1 + a_n}.



만약 ''r''''i''가 복소수이고 ''x''가 다음과 같이 정의된다면,

:

x = 1 + \sum_{i=1}^\infty r_1r_2\cdots r_i = 1 + \sum_{i=1}^\infty \left( \prod_{j=1}^i r_j \right)\,,



다음 등식을 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

:

x = \cfrac{1}{1 - \cfrac{r_1}{1 + r_1 - \cfrac{r_2}{1 + r_2 - \cfrac{r_3}{1 + r_3 - \ddots}}}}\,

.

여기서 등식은 각 연분수의 ''n''번째 수렴값이 위에 제시된 급수의 ''n''번째 부분합과 같다는 의미에서 동치로 이해할 수 있다. 따라서 제시된 급수가 수렴한다면 (또는 ''균등하게'' 수렴한다면, ''r''''i''가 복소 변수 ''z''의 함수일 때), 연분수 역시 수렴하거나 균등하게 수렴한다.[2]

2. 2. 유도 과정 (귀납법 증명)

오일러 연분수 공식은 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.
정리:자연수 ''n''에 대해, ''n'' + 1개의 복소수 값 a_0, a_1, \ldots, a_{n}이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

:

\sum_{k=0}^n \prod_{j=0}^k a_j = \frac{a_0}{1+} \, \frac{-a_1}{1+a_1+} \cdots \frac{-a_n}{1+a_n}



그리고 ''n''개의 복소수 값 b_1, \ldots, b_{n}에 대해, 다음 조건이 만족된다.

:

\frac{-b_1}{1+b_1+} \, \frac{-b_2}{1+b_2+} \cdots \frac{-b_n}{1+b_n} \ne -1


증명:이중 귀납법을 사용한다.

1. 기저 단계 (n = 1): :

\frac{a_0}{1+} \, \frac{-a_1}{1+a_1} = \frac{a_0}{1+\frac{-a_1}{1+a_1}} = \frac{a_0(1+a_1)}{1} = a_0 + a_0 a_1

= \sum_{k=0}^1 \prod_{j=0}^k a_j



:

\frac{-b_1}{1+b_1}\ne -1



따라서 ''n'' = 1일 때 두 명제 모두 성립한다.

2. 귀납 가정: 어떤 n \ge 1에 대해 두 명제가 참이라고 가정한다.

3. 귀납 단계: n+1에 대해서도 두 명제가 성립함을 보인다.

  • 첫 번째 명제:


x = \frac{-a_2}{1+a_2+} \, \cdots \frac{-a_{n+1}}{1+a_{n+1}} \ne -1 라고 정의하고 귀납 가정을 a_1, a_2, \ldots, a_{n+1}에 적용하면 다음과 같다.

:

\begin{align}

& a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2a_3 \cdots a_{n+1} \\

&= a_0 + a_0(a_1 + a_1a_2 + \cdots + a_1a_2a_3 \cdots a_{n+1}) \\

&= a_0 \left(1 + \frac{a_1}{1+} \, \frac{-a_2}{1+a_2+} \, \cdots \frac{-a_{n+1}}{1+a_{n+1}} \right)\\

&= a_0 \left(\frac{1}{1+} \, \frac{-a_1}{1+a_1+} \, \frac{-a_2}{1+a_2+} \, \cdots \frac{-a_{n+1}}{1+a_{n+1}} \right)\\

&= \frac{a_0}{1+} \, \frac{-a_1}{1+a_1+} \, \frac{-a_2}{1+a_2+} \, \cdots \frac{-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}

\end{align}


  • 두 번째 명제:


:

\frac{-b_1}{1+b_1+} \, \frac{-b_2}{1+b_2+} \cdots \frac{-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}

= \frac{-b_1}{1+b_1+x}



여기서 x = \frac{-b_2}{1+b_2+} \cdots \frac{-b_{n+1}}{1+b_{n+1}} \ne -1 이다(귀납 가정).

만약 \frac{-b_1}{1+b_1+x} = -1 이면, b_1 = 1 + b_1 + x 이고, x = -1 이 되어 모순이다. 따라서 다음이 성립한다.

:

\frac{-b_1}{1+b_1+} \, \frac{-b_2}{1+b_2+} \cdots \frac{-b_{n+1}}{1+b_{n+1}} \ne -1



귀납 단계가 완료되었으므로, 두 명제는 모든 자연수 ''n''에 대해 성립한다.
예시:a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + a_0a_1a_2a_3을 연분수로 나타내면 다음과 같다.

:

a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + a_0a_1a_2a_3 = \cfrac{a_0}{1 - \cfrac{a_1}{1 + a_1 - \cfrac{a_2}{1 + a_2 - \cfrac{a_3}{1 + a_3}}}}



이 변환 과정은 임의의 길이의 수열에 적용 가능하며, 무한 수열에도 적용할 수 있다.

3. 응용

오일러 연분수 공식은 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수, 역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수 등 다양한 함수의 연분수 표현을 유도하고, π(파이)와 같은 상수의 연분수 표현도 가능하다.[1]

3. 1. 지수 함수

지수 함수 ''e''''x''는 전해석 함수이며, 테일러 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

e^x = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \left(\prod_{i=1}^n \frac{x}{i}\right)\,



오일러의 연분수 공식을 적용하면 다음과 같다.

:

e^x = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x}{1 + x - \cfrac{\frac{1}{2}x}{1 + \frac{1}{2}x - \cfrac{\frac{1}{3}x}

{1 + \frac{1}{3}x - \cfrac{\frac{1}{4}x}{1 + \frac{1}{4}x - \ddots}}}}}.\,



동치 변환을 적용하면 다음과 같이 간단하게 만들 수 있다.

:

e^x = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x}{1 + x - \cfrac{x}{2 + x - \cfrac{2x}{3 + x - \cfrac{3x}{4 + x - \ddots}}}}}\,



이 연분수는 ''e''''x''에 대한 거듭제곱 급수와 같으므로 복소 평면의 모든 유계 영역에서 균등하게 수렴한다.

3. 2. 로그 함수

자연 로그의 테일러 급수는 1 근방에서 다음과 같이 잘 알려져 있다.

:

\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots =

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}z^{n}}{n}.\,



이 급수는 |''x''| < 1일 때 수렴하며, 곱의 합으로도 표현할 수 있다.[3]

:

\log (1+x) = x + (x)\left(\frac{-x}{2}\right) + (x)\left(\frac{-x}{2}\right)\left(\frac{-2x}{3}\right) + (x)\left(\frac{-x}{2}\right)\left(\frac{-2x}{3}\right)\left(\frac{-3x}{4}\right) + \cdots



이 식에 오일러의 연분수 공식을 적용하면 다음과 같다.

:

\log (1+x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{\frac{-x}{2}}{1+\frac{-x}{2}-\cfrac{\frac{-2x}{3}}{1+\frac{-2x}{3}-\cfrac{\frac{-3x}{4}}{1+\frac{-3x}{4}-\ddots}}}}



그리고 모든 분수를 없애기 위해 등가 변환을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:

\log (1+x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{2-x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\ddots}}}}



이 연분수는 |''x''| < 1일 때 수렴하는데, 이는 이 연분수가 유도된 급수와 동일하기 때문이다.[3]

3. 3. 삼각 함수

사인 함수의 테일러 급수는 전체 복소 평면에서 수렴하며, 다음과 같이 곱의 합으로 표현할 수 있다.

: \begin{align}

\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \cdots \\[8pt]

& = x + (x)\left(\frac{-x^2}{2 \cdot 3}\right) + (x)\left(\frac{-x^2}{2 \cdot 3}\right)\left(\frac{-x^2}{4 \cdot 5}\right) + (x)\left(\frac{-x^2}{2 \cdot 3}\right)\left(\frac{-x^2}{4 \cdot 5}\right)\left(\frac{-x^2}{6 \cdot 7}\right) + \cdots

\end{align}

오일러의 연분수 공식을 적용하여 등가 변환을 사용하면 다음과 같은 연분수 표현을 얻는다.

: \sin x = \cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2 \cdot 3 - x^2 + \cfrac{2 \cdot 3x^2}{4 \cdot 5 - x^2 + \cfrac{4 \cdot 5x^2}{6 \cdot 7 - x^2 + \ddots}}}}.

같은 논증을 코사인 함수에도 적용할 수 있다.

: \begin{align}

\cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \\[8pt]

& = 1 + \frac{-x^2}{2} + \left(\frac{-x^2}{2}\right)\left(\frac{-x^2}{ 3 \cdot 4}\right) + \left(\frac{-x^2}{2}\right)\left(\frac{-x^2}{ 3 \cdot 4}\right)\left(\frac{-x^2}{ 5 \cdot 6}\right) + \cdots

\end{align}

따라서 코사인 함수는 다음과 같이 표현된다.

: \cos x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{x^2}{2 - x^2 + \cfrac{2x^2}{3 \cdot 4 - x^2 + \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 - x^2 + \ddots}}}}.

3. 3. 1. 역삼각 함수

역삼각함수는 연분수로 표현될 수 있다.

:

\begin{align}

\sin^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1} & = x + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{x^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{x^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{x^7}{7} + \cdots \\[8pt]

& = x + x \left(\frac{x^2}{2 \cdot 3}\right) + x \left(\frac{x^2}{2 \cdot 3}\right)\left(\frac{(3x)^2}{4 \cdot 5}\right) + x \left(\frac{x^2}{2 \cdot 3}\right)\left(\frac{(3x)^2}{4 \cdot 5}\right)\left(\frac{(5x)^2}{6 \cdot 7}\right) + \cdots \\[8pt]

& = \cfrac{x}{1 - \cfrac{\frac{x^2}{2 \cdot 3}}{1 + \frac{x^2}{2 \cdot 3} - \cfrac{\frac{(3x)^2}{4 \cdot 5}}{1 + \frac{(3x)^2}{4 \cdot 5} - \cfrac{\frac{(5x)^2}{6 \cdot 7}}{ 1 + \frac{(5x)^2}{6 \cdot 7} - \ddots}}}}

\end{align}



위 식은 다음과 같이 등가 변환할 수 있다.

: \sin^{-1} x = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{2 \cdot 3 + x^2 - \cfrac{2 \cdot 3 (3x)^2}{4 \cdot 5 +(3x)^2 - \cfrac{4 \cdot 5 (5x)^2}{6 \cdot 7 + (5x)^2 - \ddots}}}}.

역탄젠트에 대한 연분수는 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}

\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} & = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \\[8pt]

& = x + x \left(\frac{-x^2}{3}\right) + x \left(\frac{-x^2}{3}\right)\left(\frac{-3x^2}{5}\right) + x \left(\frac{-x^2}{3}\right)\left(\frac{-3x^2}{5}\right)\left(\frac{-5x^2}{7}\right) + \cdots \\[8pt]

& = \cfrac{x}{1 - \cfrac{\frac{-x^2}{3}}{1 + \frac{-x^2}{3} - \cfrac{\frac{-3x^2}{5}}{1 + \frac{-3x^2}{5} - \cfrac{\frac{-5x^2}{7}}{1 + \frac{-5x^2}{7} - \ddots}}}} \\[8pt]

& = \cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{3 - x^2 + \cfrac{(3x)^2}{5 - 3x^2 + \cfrac{(5x)^2}{7 - 5x^2 + \ddots}}}}.

\end{align}


3. 4. 쌍곡선 함수

쌍곡선 함수와 삼각 함수의 관계를 이용하면 다음과 같은 연분수 표현을 얻을 수 있다.[1]

: \sin ix = i \sinh x

: \cos ix = \cosh x ,

위 식들에 i^2 = -1을 적용하면 다음과 같다.

: \sinh x = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{2 \cdot 3 + x^2 - \cfrac{2 \cdot 3x^2}{4 \cdot 5 + x^2 - \cfrac{4 \cdot 5x^2}{6 \cdot 7 + x^2 - \ddots}}}}

: \cosh x = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x^2}{2 + x^2 - \cfrac{2x^2}{3 \cdot 4 + x^2 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 + x^2 - \ddots}}}}.

3. 4. 1. 역쌍곡선 함수

역쌍곡선 함수는 쌍곡선 함수가 삼각 함수와 관련 있는 방식과 유사하게 역삼각 함수와 관련이 있다.[1]

: \sin^{ -1 } ix = i \sinh^{ -1 } x

: \tan^{ -1 } ix = i \tanh^{ -1 } x ,

그리고 이러한 연분수는 쉽게 파생된다.[1]

: \sinh^{ -1 } x = \cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2 \cdot 3 - x^2 + \cfrac{2 \cdot 3 (3x)^2}{4 \cdot 5 - (3x)^2 + \cfrac{4 \cdot 5 (5x^2)}{6 \cdot 7 - (5x^2) + \ddots}}}}

: \tanh^{ -1 } x = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 + x^2 - \cfrac{(3x)^2}{5 + 3x^2 - \cfrac{(5x)^2}{7 + 5x^2 - \ddots}}}}.

3. 5. π의 연분수 표현

오일러의 연분수 공식을 응용하여 유명한 초월수인 상수 π를 연분수 꼴로 쓸 수 있다. 먼저 |''z''|<1 에 대하여 테일러 급수를 이용하면 다음 식을 얻는다.

:

\log \frac{1+z}{1-z} = 2\left(z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} + \cdots\right)

= 2z \left[1 + \frac{z^2}{3} + \left(\frac{z^2}{3}\right)\frac{z^2}{5/3} +

\left(\frac{z^2}{3}\right)\left(\frac{z^2}{5/3}\right)\frac{z^2}{7/5} + \cdots\right].



그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다.

:

\log \frac{1+z}{1-z} = \cfrac{2z}{1 - \cfrac{\frac{1}{3}z^2}{1 + \frac{1}{3}z^2 -

\cfrac{\frac{3}{5}z^2}{1 + \frac{3}{5}z^2 - \cfrac{\frac{5}{7}z^2}{1 + \frac{5}{7}z^2 -

\cfrac{\frac{7}{9}z^2}{1 + \frac{7}{9}z^2 - \ddots}}}}}\,

= \cfrac{2z}{1 - \cfrac{z^2}{z^2 + 3 -

\cfrac{(3z)^2}{3z^2 + 5 - \cfrac{(5z)^2}{5z^2 + 7 - \cfrac{(7z)^2}{7z^2 + 9 - \ddots}}}}}.\,



그런데 이 함수는 ''z'' = ''i''에서 값이 존재하고, 실제로 이렇게 된다.

:

\frac{1+i}{1-i} = i \quad\Rightarrow\quad \log\frac{1+i}{1-i} = \frac{i\pi}{2}.\,



또 여기서 급수 표현이 수렴하므로 아벨 극한 정리에 의해 급수 표현과 이 값은 같고, π를 남기고 연분수로 표현하여 이항하면 바로 π의 연분수 표현을 얻는다.

:

\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}.\,



이것은 윌리엄 브라운커의 공식을 통해 유도된 것이다. 이전의 역 탄젠트와 관련된 예를 사용하면 π의 연분수 표현을 구성할 수 있는데, 다음을 참고한다.

:

\tan^{-1} (1) = \frac\pi4 ,



그리고 이전 결과에서 ''x'' = 1로 설정하면 즉시 다음을 얻는다.

:

\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}.\,


참조

[1] 서적 Introductio in analysin infinitorum
[2] 서적 Analytic Theory of Continued Fractions D. Van Nostrand Company, Inc.
[3] 문서 This series converges for |''x''| < 1, by [[Abel's test]] (applied to the series for log(1 − ''x'')).
[4] 문서 이 bi 들은 [[기본 순환 공식]](fundamental recurrence formulas)에 의해 결정된다.


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