오일러의 연분수 공식

1. 개요

오일러의 연분수 공식은 유한 또는 무한 급수를 유한 또는 무한 연분수로 변환하는 데 사용되는 수학 공식이다. 이 공식은 복소수 항 급수에 적용되며, 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다. 오일러는 유한 곱의 합을 유한 연분수와 연결하는 공식을 도출했으며, 일반화된 연분수 표기법으로 간결하게 나타낼 수 있다. 이 공식은 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수, 역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수 등 다양한 함수에 적용될 수 있으며, π (파이)와 같은 상수의 연분수 표현을 유도하는 데에도 활용된다.

2. 공식화

오일러의 연분수 공식은 유한 급수를 유한 연분수로, 무한 급수를 무한 연분수로 변환하는 방법을 제시한다. 오일러가 처음 제시한 공식은 다음과 같다.

:$$
a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2\cdots a_n =
\cfrac{a_0}{1 - \cfrac{a_1}{1 + a_1 - \cfrac{a_2}{1 + a_2 - \cfrac{\ddots}{\ddots
\cfrac{a_{n-1}}{1 + a_{n-1} - \cfrac{a_n}{1 + a_n}}}}}}\,


이 항등식은 n에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있으며, 좌변의 식이 수렴하는 무한 급수를 나타내도록 확장되면, 우변의 식 역시 수렴하는 무한 연분수를 나타내도록 확장될 수 있다.

2.1. 현대적인 형태

현대 수학에서 오일러 연분수 공식은 일반화된 연분수 표기법을 사용하여 더 간결하게 표현할 수 있다.

:$$
a_0 + a_0 a_1 + a_0 a_1 a_2 + \cdots + a_0 a_1 a_2 \cdots a_n =
\frac{a_0}{1 +} \, \frac{-a_1}{1 + a_1 +} \, \cfrac{-a_2}{1 + a_2 +} \cdots \frac{-a_n}{1 + a_n}.


만약 r_i가 복소수이고 x가 다음과 같이 정의된다면,

:$$
x = 1 + \sum_{i=1}^\infty r_1r_2\cdots r_i = 1 + \sum_{i=1}^\infty \left( \prod_{j=1}^i r_j \right)\,,


다음 등식을 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

:$$
x = \cfrac{1}{1 - \cfrac{r_1}{1 + r_1 - \cfrac{r_2}{1 + r_2 - \cfrac{r_3}{1 + r_3 - \ddots}}}}\,
.

여기서 등식은 각 연분수의 n번째 수렴값이 위에 제시된 급수의 n번째 부분합과 같다는 의미에서 동치로 이해할 수 있다. 따라서 제시된 급수가 수렴한다면 (또는 균등하게 수렴한다면, r_i가 복소 변수 z의 함수일 때), 연분수 역시 수렴하거나 균등하게 수렴한다.

2.2. 유도 과정 (귀납법 증명)

오일러 연분수 공식은 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.

정리:

자연수 n에 대해, n + 1개의 복소수 값 $a\_0,\; a\_1,\; \backslash ldots,\; a\_\{n\}$이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

:$$
\sum_{k=0}^n \prod_{j=0}^k a_j = \frac{a_0}{1+} \, \frac{-a_1}{1+a_1+} \cdots \frac{-a_n}{1+a_n}


그리고 n개의 복소수 값 $b\_1,\; \backslash ldots,\; b\_\{n\}$에 대해, 다음 조건이 만족된다.

:$$
\frac{-b_1}{1+b_1+} \, \frac{-b_2}{1+b_2+} \cdots \frac{-b_n}{1+b_n} \ne -1


증명:

이중 귀납법을 사용한다.

1. 기저 단계 (n = 1):

:$$
\frac{a_0}{1+} \, \frac{-a_1}{1+a_1} = \frac{a_0}{1+\frac{-a_1}{1+a_1}} = \frac{a_0(1+a_1)}{1} = a_0 + a_0 a_1
= \sum_{k=0}^1 \prod_{j=0}^k a_j


:$$
\frac{-b_1}{1+b_1}\ne -1


따라서 n = 1일 때 두 명제 모두 성립한다.

2. 귀납 가정:

어떤 $n\; \backslash ge\; 1$에 대해 두 명제가 참이라고 가정한다.

3. 귀납 단계:

$n+1$에 대해서도 두 명제가 성립함을 보인다.

* 첫 번째 명제:

$x\; =\; \backslash frac\{-a\_2\}\{1+a\_2+\}\; \backslash ,\; \backslash cdots\; \backslash frac\{-a\_\{n+1\}\}\{1+a\_\{n+1\}\}\; \backslash ne\; -1$ 라고 정의하고 귀납 가정을 $a\_1,\; a\_2,\; \backslash ldots,\; a\_\{n+1\}$에 적용하면 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
& a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2a_3 \cdots a_{n+1} \\
&= a_0 + a_0(a_1 + a_1a_2 + \cdots + a_1a_2a_3 \cdots a_{n+1}) \\
&= a_0 \left(1 + \frac{a_1}{1+} \, \frac{-a_2}{1+a_2+} \, \cdots \frac{-a_{n+1}}{1+a_{n+1}} \right)\\
&= a_0 \left(\frac{1}{1+} \, \frac{-a_1}{1+a_1+} \, \frac{-a_2}{1+a_2+} \, \cdots \frac{-a_{n+1}}{1+a_{n+1}} \right)\\
&= \frac{a_0}{1+} \, \frac{-a_1}{1+a_1+} \, \frac{-a_2}{1+a_2+} \, \cdots \frac{-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}
\end{align}


* 두 번째 명제:

:$$
\frac{-b_1}{1+b_1+} \, \frac{-b_2}{1+b_2+} \cdots \frac{-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}
= \frac{-b_1}{1+b_1+x}


여기서 $x\; =\; \backslash frac\{-b\_2\}\{1+b\_2+\}\; \backslash cdots\; \backslash frac\{-b\_\{n+1\}\}\{1+b\_\{n+1\}\}\; \backslash ne\; -1$ 이다(귀납 가정).

만약 $\backslash frac\{-b\_1\}\{1+b\_1+x\}\; =\; -1$ 이면, $b\_1\; =\; 1\; +\; b\_1\; +\; x$ 이고, $x\; =\; -1$ 이 되어 모순이다. 따라서 다음이 성립한다.

:$$
\frac{-b_1}{1+b_1+} \, \frac{-b_2}{1+b_2+} \cdots \frac{-b_{n+1}}{1+b_{n+1}} \ne -1


귀납 단계가 완료되었으므로, 두 명제는 모든 자연수 n에 대해 성립한다.

예시:

$a\_0\; +\; a\_0a\_1\; +\; a\_0a\_1a\_2\; +\; a\_0a\_1a\_2a\_3$을 연분수로 나타내면 다음과 같다.

:$$
a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + a_0a_1a_2a_3 = \cfrac{a_0}{1 - \cfrac{a_1}{1 + a_1 - \cfrac{a_2}{1 + a_2 - \cfrac{a_3}{1 + a_3}}}}


이 변환 과정은 임의의 길이의 수열에 적용 가능하며, 무한 수열에도 적용할 수 있다.

3. 응용

오일러 연분수 공식은 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수, 역삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수 등 다양한 함수의 연분수 표현을 유도하고, π(파이)와 같은 상수의 연분수 표현도 가능하다.

3.1. 지수 함수

지수 함수 e^x는 전해석 함수이며, 테일러 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$
e^x = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \left(\prod_{i=1}^n \frac{x}{i}\right)\,


오일러의 연분수 공식을 적용하면 다음과 같다.

:$$
e^x = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x}{1 + x - \cfrac{\frac{1}{2}x}{1 + \frac{1}{2}x - \cfrac{\frac{1}{3}x}
{1 + \frac{1}{3}x - \cfrac{\frac{1}{4}x}{1 + \frac{1}{4}x - \ddots}}}}}.\,


동치 변환을 적용하면 다음과 같이 간단하게 만들 수 있다.

:$$
e^x = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x}{1 + x - \cfrac{x}{2 + x - \cfrac{2x}{3 + x - \cfrac{3x}{4 + x - \ddots}}}}}\,


이 연분수는 e^x에 대한 거듭제곱 급수와 같으므로 복소 평면의 모든 유계 영역에서 균등하게 수렴한다.

3.2. 로그 함수

자연 로그의 테일러 급수는 1 근방에서 다음과 같이 잘 알려져 있다.

:$$
\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots =
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}z^{n}}{n}.\,


이 급수는 |x| < 1일 때 수렴하며, 곱의 합으로도 표현할 수 있다.

:$$
\log (1+x) = x + (x)\left(\frac{-x}{2}\right) + (x)\left(\frac{-x}{2}\right)\left(\frac{-2x}{3}\right) + (x)\left(\frac{-x}{2}\right)\left(\frac{-2x}{3}\right)\left(\frac{-3x}{4}\right) + \cdots


이 식에 오일러의 연분수 공식을 적용하면 다음과 같다.

:$$
\log (1+x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{\frac{-x}{2}}{1+\frac{-x}{2}-\cfrac{\frac{-2x}{3}}{1+\frac{-2x}{3}-\cfrac{\frac{-3x}{4}}{1+\frac{-3x}{4}-\ddots}}}}


그리고 모든 분수를 없애기 위해 등가 변환을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$$
\log (1+x) = \cfrac{x}{1+\cfrac{x}{2-x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\ddots}}}}


이 연분수는 |x| < 1일 때 수렴하는데, 이는 이 연분수가 유도된 급수와 동일하기 때문이다.

3.3. 삼각 함수

사인 함수의 테일러 급수는 전체 복소 평면에서 수렴하며, 다음과 같이 곱의 합으로 표현할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \cdots \\[8pt]
& = x + (x)\left(\frac{-x^2}{2 \cdot 3}\right) + (x)\left(\frac{-x^2}{2 \cdot 3}\right)\left(\frac{-x^2}{4 \cdot 5}\right) + (x)\left(\frac{-x^2}{2 \cdot 3}\right)\left(\frac{-x^2}{4 \cdot 5}\right)\left(\frac{-x^2}{6 \cdot 7}\right) + \cdots
\end{align}
오일러의 연분수 공식을 적용하여 등가 변환을 사용하면 다음과 같은 연분수 표현을 얻는다.
:$\backslash sin\; x\; =\; \backslash cfrac\{x\}\{1\; +\; \backslash cfrac\{x^2\}\{2\; \backslash cdot\; 3\; -\; x^2\; +\; \backslash cfrac\{2\; \backslash cdot\; 3x^2\}\{4\; \backslash cdot\; 5\; -\; x^2\; +\; \backslash cfrac\{4\; \backslash cdot\; 5x^2\}\{6\; \backslash cdot\; 7\; -\; x^2\; +\; \backslash ddots\}\}\}\}.$
같은 논증을 코사인 함수에도 적용할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \\[8pt]
& = 1 + \frac{-x^2}{2} + \left(\frac{-x^2}{2}\right)\left(\frac{-x^2}{ 3 \cdot 4}\right) + \left(\frac{-x^2}{2}\right)\left(\frac{-x^2}{ 3 \cdot 4}\right)\left(\frac{-x^2}{ 5 \cdot 6}\right) + \cdots
\end{align}
따라서 코사인 함수는 다음과 같이 표현된다.
:$\backslash cos\; x\; =\; \backslash cfrac\{1\}\{1\; +\; \backslash cfrac\{x^2\}\{2\; -\; x^2\; +\; \backslash cfrac\{2x^2\}\{3\; \backslash cdot\; 4\; -\; x^2\; +\; \backslash cfrac\{3\; \backslash cdot\; 4x^2\}\{5\; \backslash cdot\; 6\; -\; x^2\; +\; \backslash ddots\}\}\}\}.$

3.3.1. 역삼각 함수

역삼각함수는 연분수로 표현될 수 있다.

:$$
\begin{align}
\sin^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1} & = x + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{x^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{x^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{x^7}{7} + \cdots \\[8pt]
& = x + x \left(\frac{x^2}{2 \cdot 3}\right) + x \left(\frac{x^2}{2 \cdot 3}\right)\left(\frac{(3x)^2}{4 \cdot 5}\right) + x \left(\frac{x^2}{2 \cdot 3}\right)\left(\frac{(3x)^2}{4 \cdot 5}\right)\left(\frac{(5x)^2}{6 \cdot 7}\right) + \cdots \\[8pt]
& = \cfrac{x}{1 - \cfrac{\frac{x^2}{2 \cdot 3}}{1 + \frac{x^2}{2 \cdot 3} - \cfrac{\frac{(3x)^2}{4 \cdot 5}}{1 + \frac{(3x)^2}{4 \cdot 5} - \cfrac{\frac{(5x)^2}{6 \cdot 7}}{ 1 + \frac{(5x)^2}{6 \cdot 7} - \ddots}}}}
\end{align}


위 식은 다음과 같이 등가 변환할 수 있다.

:$\backslash sin^\{-1\}\; x\; =\; \backslash cfrac\{x\}\{1\; -\; \backslash cfrac\{x^2\}\{2\; \backslash cdot\; 3\; +\; x^2\; -\; \backslash cfrac\{2\; \backslash cdot\; 3\; (3x)^2\}\{4\; \backslash cdot\; 5\; +(3x)^2\; -\; \backslash cfrac\{4\; \backslash cdot\; 5\; (5x)^2\}\{6\; \backslash cdot\; 7\; +\; (5x)^2\; -\; \backslash ddots\}\}\}\}.$

역탄젠트에 대한 연분수는 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

:$$
\begin{align}
\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} & = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \\[8pt]
& = x + x \left(\frac{-x^2}{3}\right) + x \left(\frac{-x^2}{3}\right)\left(\frac{-3x^2}{5}\right) + x \left(\frac{-x^2}{3}\right)\left(\frac{-3x^2}{5}\right)\left(\frac{-5x^2}{7}\right) + \cdots \\[8pt]
& = \cfrac{x}{1 - \cfrac{\frac{-x^2}{3}}{1 + \frac{-x^2}{3} - \cfrac{\frac{-3x^2}{5}}{1 + \frac{-3x^2}{5} - \cfrac{\frac{-5x^2}{7}}{1 + \frac{-5x^2}{7} - \ddots}}}} \\[8pt]
& = \cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{3 - x^2 + \cfrac{(3x)^2}{5 - 3x^2 + \cfrac{(5x)^2}{7 - 5x^2 + \ddots}}}}.
\end{align}

3.4. 쌍곡선 함수

쌍곡선 함수와 삼각 함수의 관계를 이용하면 다음과 같은 연분수 표현을 얻을 수 있다.

:$\backslash sin\; ix\; =\; i\; \backslash sinh\; x$
:$\backslash cos\; ix\; =\; \backslash cosh\; x\; ,$

위 식들에 $i^2\; =\; -1$을 적용하면 다음과 같다.

:$\backslash sinh\; x\; =\; \backslash cfrac\{x\}\{1\; -\; \backslash cfrac\{x^2\}\{2\; \backslash cdot\; 3\; +\; x^2\; -\; \backslash cfrac\{2\; \backslash cdot\; 3x^2\}\{4\; \backslash cdot\; 5\; +\; x^2\; -\; \backslash cfrac\{4\; \backslash cdot\; 5x^2\}\{6\; \backslash cdot\; 7\; +\; x^2\; -\; \backslash ddots\}\}\}\}$
:$\backslash cosh\; x\; =\; \backslash cfrac\{1\}\{1\; -\; \backslash cfrac\{x^2\}\{2\; +\; x^2\; -\; \backslash cfrac\{2x^2\}\{3\; \backslash cdot\; 4\; +\; x^2\; -\; \backslash cfrac\{3\; \backslash cdot\; 4x^2\}\{5\; \backslash cdot\; 6\; +\; x^2\; -\; \backslash ddots\}\}\}\}.$

3.4.1. 역쌍곡선 함수

역쌍곡선 함수는 쌍곡선 함수가 삼각 함수와 관련 있는 방식과 유사하게 역삼각 함수와 관련이 있다.

:$\backslash sin^\{\; -1\; \}\; ix\; =\; i\; \backslash sinh^\{\; -1\; \}\; x$

:$\backslash tan^\{\; -1\; \}\; ix\; =\; i\; \backslash tanh^\{\; -1\; \}\; x\; ,$

그리고 이러한 연분수는 쉽게 파생된다.

:$\backslash sinh^\{\; -1\; \}\; x\; =\; \backslash cfrac\{x\}\{1\; +\; \backslash cfrac\{x^2\}\{2\; \backslash cdot\; 3\; -\; x^2\; +\; \backslash cfrac\{2\; \backslash cdot\; 3\; (3x)^2\}\{4\; \backslash cdot\; 5\; -\; (3x)^2\; +\; \backslash cfrac\{4\; \backslash cdot\; 5\; (5x^2)\}\{6\; \backslash cdot\; 7\; -\; (5x^2)\; +\; \backslash ddots\}\}\}\}$

:$\backslash tanh^\{\; -1\; \}\; x\; =\; \backslash cfrac\{x\}\{1\; -\; \backslash cfrac\{x^2\}\{3\; +\; x^2\; -\; \backslash cfrac\{(3x)^2\}\{5\; +\; 3x^2\; -\; \backslash cfrac\{(5x)^2\}\{7\; +\; 5x^2\; -\; \backslash ddots\}\}\}\}.$

3.5. π의 연분수 표현

오일러의 연분수 공식을 응용하여 유명한 초월수인 상수 π를 연분수 꼴로 쓸 수 있다. 먼저 |z|<1 에 대하여 테일러 급수를 이용하면 다음 식을 얻는다.

:$$
\log \frac{1+z}{1-z} = 2\left(z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} + \cdots\right)
= 2z \left[1 + \frac{z^2}{3} + \left(\frac{z^2}{3}\right)\frac{z^2}{5/3} +
\left(\frac{z^2}{3}\right)\left(\frac{z^2}{5/3}\right)\frac{z^2}{7/5} + \cdots\right].


그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다.

:$$
\log \frac{1+z}{1-z} = \cfrac{2z}{1 - \cfrac{\frac{1}{3}z^2}{1 + \frac{1}{3}z^2 -
\cfrac{\frac{3}{5}z^2}{1 + \frac{3}{5}z^2 - \cfrac{\frac{5}{7}z^2}{1 + \frac{5}{7}z^2 -
\cfrac{\frac{7}{9}z^2}{1 + \frac{7}{9}z^2 - \ddots}}}}}\,
= \cfrac{2z}{1 - \cfrac{z^2}{z^2 + 3 -
\cfrac{(3z)^2}{3z^2 + 5 - \cfrac{(5z)^2}{5z^2 + 7 - \cfrac{(7z)^2}{7z^2 + 9 - \ddots}}}}}.\,


그런데 이 함수는 z = i에서 값이 존재하고, 실제로 이렇게 된다.

:$$
\frac{1+i}{1-i} = i \quad\Rightarrow\quad \log\frac{1+i}{1-i} = \frac{i\pi}{2}.\,


또 여기서 급수 표현이 수렴하므로 아벨 극한 정리에 의해 급수 표현과 이 값은 같고, π를 남기고 연분수로 표현하여 이항하면 바로 π의 연분수 표현을 얻는다.

:$$
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}.\,


이것은 윌리엄 브라운커의 공식을 통해 유도된 것이다. 이전의 역 탄젠트와 관련된 예를 사용하면 π의 연분수 표현을 구성할 수 있는데, 다음을 참고한다.

:$$
\tan^{-1} (1) = \frac\pi4 ,


그리고 이전 결과에서 x = 1로 설정하면 즉시 다음을 얻는다.

:$$
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}.\,