오일러 벽돌

1. 개요

오일러 벽돌은 각 모서리의 길이를 디오판토스 방정식으로 표현할 수 있는 직육면체를 의미한다. 오일러 벽돌의 모서리 길이는 임의의 상수 k에 대해 k배가 될 수 있으며, 모서리 길이의 곱으로도 다른 오일러 벽돌을 생성할 수 있다. 가장 작은 오일러 벽돌은 (44, 117, 240)의 모서리 길이를 가지며, 면 대각선의 길이는 (125, 244, 267)이다. 완벽한 오일러 벽돌은 입체 대각선까지 정수인 오일러 벽돌을 의미하며, 2020년 10월 기준으로 완벽한 오일러 벽돌의 예시는 발견되지 않았다. 거의 완벽한 직육면체는 7개의 길이 중 6개가 유리수인 직육면체로, 체, 모서리, 면 직육면체의 세 가지 유형이 있다. 완벽한 평행육면체는 모든 모서리, 면 대각선, 입체 대각선의 길이가 정수인 평행육면체를 의미하며, 오일러 벽돌은 완벽한 평행육면체의 특수한 경우이다. 오일러 벽돌과 관련된 수학적 문제들은 타원 곡선과의 연관성을 통해 연구되고 있다.

2. 정의

오일러 벽돌은 다음 디오판토스 방정식을 만족하는 정수해를 갖는 직육면체이다.

:$\backslash begin\{cases\}\; a^2\; +\; b^2\; =\; d^2\backslash \backslash \; a^2\; +\; c^2\; =\; e^2\backslash \backslash \; b^2\; +\; c^2\; =\; f^2\backslash end\{cases\}$

여기서 $a$, $b$, $c$는 직육면체의 세 모서리 길이이고, $d$, $e$, $f$는 각 면의 대각선 길이이다.

3. 성질

* $(a,b,c)$가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 임의의 $k$에 대해 $(ka,kb,kc)$도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다. 따라서 오일러 벽돌의 유리수해는 정수해로 바꿀 수 있다. 또 $(a,b,c)$가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 $(ab,bc,ca)$도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다.
* 오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 3의 배수이다.
* 오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 4의 배수이다.
* 오일러 벽돌의 적어도 한 모서리는 11의 배수이다.
* '원시' 오일러 벽돌의 정확히 하나의 변과 두 개의 면 대각선은 홀수이다.

4. 오일러 벽돌의 예시

가장 작은 오일러 벽돌은 1719년에 파울 할케가 발견하였으며, 모서리의 길이는 (44, 117, 240)이고 면대각선의 길이는 (125, 244, 267)이다. 아래는 오일러 벽돌의 다른 예시로, 왼쪽 괄호는 모서리, 오른쪽 괄호는 면대각선의 순서쌍이다.

5. 생성 공식

오일러는 이 문제에 대한 적어도 두 가지 매개변수 해를 찾았지만, 둘 다 모든 해를 제공하지는 않는다.

손더슨 의 매개변수 공식을 사용하면 무한히 많은 오일러 벽돌을 생성할 수 있다. (u, v, w)^영어가 피타고라스 삼조 (즉, u{{sup^영어)라고 하자. 그러면 변의 길이는 다음과 같다.

: a = u|4v² - w²|, b = v|4u² - w²|, c = 4uvw

그리고 면 대각선은 다음과 같다.

: d = w³, e = u(4v² + w²), f = v(4u² + w²).

위와 같이 매개변수화되지 않는 오일러 벽돌도 많이 있는데, 예를 들어 변의 길이가 (a, b, c) = (240, 252, 275)이고 면 대각선의 길이가 (d, e, f ) = (348, 365, 373)인 오일러 벽돌이 있다.

6. 완벽한 오일러 벽돌

완벽한 오일러 벽돌(perfect Euler brick^영어) 또는 완벽한 직육면체(perfect cuboid^영어)는 모든 모서리, 면대각선, 입체대각선의 길이가 모두 자연수인 오일러 벽돌이다. 일반적인 오일러 벽돌에 입체대각선 조건($a^2+b^2+c^2=g^2$, g는 입체대각선의 길이)이 추가된 형태이다.

2020년 10월 기준으로, 완벽한 오일러 벽돌은 발견되지 않았으며, 존재하지 않는다는 증명도 나오지 않았다.

만약 완전 직육면체가 존재하고 $a,\; b,\; c$가 그 변이고, $d,\; e,\; f$가 해당 면 대각선이고, 공간 대각선이 $g$라면, 다음이 성립한다.

* 변의 길이가 $(d^2,\; e^2,\; f^2)$인 삼각형은 헤론 삼각형이고, 면적이 $abcg$이며, 각 이등분선이 유리수이다.
* 변의 길이가 $(af,\; be,\; cd)$인 예각 삼각형, 변의 길이가 $(bf,\; ae,\; gd),\; (ad,\; cf,\; ge),\; (ce,\; bd,\; gf)$인 둔각 삼각형은 헤론 삼각형이며, 면적은 $\backslash frac\{abcg\}\{2\}$와 같다.

6.1. 완벽한 오일러 벽돌의 탐색

완벽한 오일러 벽돌(perfect Euler brick^영어) 또는 완벽한 직육면체(perfect cuboid^영어)는 입체대각선의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이다. 이는 기존의 오일러 벽돌의 디오판토스 방정식에 다음 식을 추가한 것이다. 여기서 $g$는 입체대각선의 길이를 나타낸다.

:$a^2+b^2+c^2=g^2$

2020년 10월 기준으로, 완벽한 오일러 벽돌의 예시는 발견되지 않았으며, 이것이 존재하지 않는다는 증명 또한 나오지 않았다.

컴퓨터 계산 결과, 완벽한 오일러 벽돌이 존재한다면 다음 조건을 만족해야 한다.

* 홀수인 모서리의 길이는 2.5E13보다 커야 한다.
* 가장 작은 모서리의 길이는 5E11보다 커야 한다.

합동 산술에 따르면, 모서리의 길이가 서로소인 완벽한 오일러 벽돌은 다음 조건을 만족해야 한다.

6.2. 완벽한 오일러 벽돌의 추가적인 성질 (합동 산술)

합동 산술에 의해 모서리의 길이가 서로소인 완벽한 오일러 벽돌은 다음 조건을 만족해야 한다.

* 한 모서리와 두 면대각선, 입체대각선은 홀수이고, 다른 한 모서리와 다른 한 면대각선은 4의 배수이며, 나머지 한 모서리는 16의 배수이다.
* 두 모서리는 3의 배수이고, 이중 적어도 한 모서리는 9의 배수이다.
* 한 모서리는 5의 배수이다.
* 한 모서리는 7의 배수이다.
* 한 모서리는 11의 배수이다.
* 한 모서리는 19의 배수이다.
* 한 모서리 또는 입체대각선은 13의 배수이다.
* 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 17의 배수이다.
* 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 29의 배수이다.
* 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 37의 배수이다.
* 입체대각선은 소수의 거듭제곱이나 반소수가 아니다.
* 입체대각선은 4로 나눈 나머지가 1인 소인수만을 포함한다.

7. 거의 완벽한 직육면체

거의 완벽한 직육면체는 7개의 길이 중 6개가 유리수인 직육면체이다. 2020년 7월 기준으로, 최소 정수 모서리가 200,000,000,027 미만인 167,043개의 직육면체가 발견되었다. 2017년 12월 기준으로, 최소 정수 체 대각선이 1,125,899,906,842,624 미만인 모든 모서리 및 면 직육면체를 전수 조사한 결과, 194,652개는 모서리 직육면체, 350,778개는 면 직육면체였다.

7.1. 거의 완벽한 직육면체의 유형

거의 완벽한 직육면체는 7개의 길이 중 6개가 유리수인 직육면체이다. 이러한 직육면체는 '체', '모서리', '면' 직육면체라는 세 가지 유형으로 분류할 수 있다. 체 직육면체의 경우, 체 대각선은 무리수이다. 모서리 직육면체의 경우, 모서리 중 하나가 무리수이다. 면 직육면체는 면 대각선 중 하나가 무리수이다.

체 직육면체는 이 유형의 직육면체를 논의한 레온하르트 오일러를 기려 일반적으로 오일러 직육면체라고 불린다. 그는 또한 면 직육면체를 알고 있었으며, (104, 153, 672)의 예를 제공했다. 면 직육면체의 세 정수 직육면체 모서리 길이와 세 정수 대각선 길이는 헤론 사면체이자 슐레플리 정직교도형인 모서리 길이로도 해석될 수 있다. 면 직육면체와 헤론 정직교도형은 무한히 많다.

각 유형의 거의 완벽한 직육면체에 대한 최소 해는 다음과 같다.

8. 완벽한 평행육면체

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완벽한 평행육면체(perfect parallelepiped^영어)는 모든 모서리와 면대각선, 입체대각선의 길이가 정수인 평행육면체이다. 완벽한 오일러 벽돌은 완벽한 평행육면체의 특수한 경우이다. 2009년에 완벽한 평행육면체의 예시가 발견되었다. 가장 작은 평행육면체의 길이 정보는 다음과 같다.

완전 평행육면체는 정수 길이의 모서리, 면 대각선, 체 대각선을 갖는 평행육면체이지만, 반드시 모든 각도가 직각일 필요는 없다. 완전 직육면체는 완전 평행육면체의 특수한 경우이다. 2009년에 수십 개의 완전 평행육면체의 존재가 밝혀져, 리처드 가이의 미해결 질문에 답했다. 이 완전 평행육면체 중 일부는 두 개의 직사각형 면을 가지고 있다.

9. 타원 곡선과의 연관성

오브리 드 그레이는 2022년에 완벽한 이등변 직각 잘린 뿔에 대한 연구를 발표했는데, 그는 이것을 "받침대"라고 불렀다. 이들은 동일한 종횡비를 가진 두 개의 직사각형 면과 네 개의 이등변 사다리꼴 면을 가진 육면체이다. 따라서 거의 완벽한 직육면체와 완벽한 평행육면체의 경우와 마찬가지로, 완벽한 직육면체는 완벽한 받침대의 특별한 경우일 것이다. 완벽한 받침대는 존재하지만, 주어진 크기에 대해 완벽한 평행육면체나 거의 완벽한 직육면체보다 훨씬 드물다. 후속 논문에서, 드 그레이, 필립 깁스, 루이 헬름은 이러한 발견을 바탕으로 완벽한 받침대, 거의 완벽한 직육면체, 그리고 완벽한 직육면체의 다른 일반화에 해당하는 타원 곡선의 클래스를 탐구했다. 이러한 방법을 통해 그들은 완벽한 직육면체를 계산적으로 탐색할 수 있는 범위를 극적으로 확장했으며, 이를 통해 완벽한 직육면체가 존재하지 않는다는 강력한 정황 증거를 도출했다. 또한, 완벽한 직육면체가 존재한다면 반드시 양의 랭크를 가져야 하는 여러 타원 곡선군을 식별함으로써, 많은 수의 피타고라스 삼중항이 완벽한 직육면체의 면을 형성할 수 없다는 것을 보여주었다. 독립적으로, 폴센과 웨스트는 완벽한 직육면체가 랭크가 최소 2인 합동수 타원 곡선에 해당해야 함을 보였다.