원통좌표계

1. 개요

원통좌표계는 점의 위치를 나타내는 데 사용되는 삼차원 좌표계로, z축과의 거리 ρ(반지름), 기준 평면과 ρ가 이루는 각 φ(방위각), 기준 평면에서 점까지의 거리 z(높이)로 정의된다. 극좌표계와 유사하게, 한 점을 나타내는 방법은 여러 가지가 있으며, 데카르트 좌표계와의 변환 및 구면 좌표계와의 변환 공식을 통해 다른 좌표계로 표현할 수 있다. 원통좌표계는 선 요소, 부피 요소, 미분 연산자를 정의하여 다양한 문제 해결에 활용되며, 특히 원통 대칭계를 갖는 라플라스 방정식의 해인 원통 조화 함수를 구하는 데 사용된다.

2. 정의

점 P의 세 좌표 (ρ, φ, z)는 다음과 같이 정의된다.

* ρ (반지름): z축과의 유클리드 거리
* φ (방위각): 원점과 기준 평면 위로의 P의 정사영을 잇는 선분, 기준 방향 사이의 각
* z (높이): 기준 평면에서 점 P까지의 부호가 있는 거리

일반적으로 기준 평면의 위에서 바라봤을 때 반시계 방향으로 방위각을 측정한다. 극좌표계와 마찬가지로, 원통좌표계에서는 하나의 점을 표현하는 방법이 무수히 많다. 한 점은 (ρ, φ ± n×360°, z) 또는 (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, z) 로 나타낼 수 있으며, (n은 임의의 정수) ρ = 0 일 때 방위각은 어떠한 값이든 상관이 없다.

각 점을 고유한 좌표로써 나타내려고 하는 경우, 반지름 ρ와 방위각 φ를 각각 음이 아닌 수 (ρ ≥ 0) 와 [−180°,+180°] 또는 [0,360°] 과 같이 360°를 회전하는 구간으로 범위를 제한할 수 있다.

2.1. 좌표 정의

점 P의 세 좌표 (ρ, φ, z)는 다음과 같이 정의된다.

* ρ (반지름): z축과의 유클리드 거리
* φ (방위각): 원점과 기준 평면 위로의 P의 정사영을 잇는 선분, 기준 방향 사이의 각
* z (높이): 기준 평면에서 점 P까지의 부호가 있는 거리

일반적으로 기준 평면의 위에서 바라봤을 때 반시계 방향으로 방위각을 측정한다. 극좌표계와 마찬가지로, 원통좌표계에서는 하나의 점을 표현하는 방법이 무수히 많다. 한 점은 (ρ, φ ± n×360°, z) 또는 (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, z) 로 나타낼 수 있으며, (n은 임의의 정수) ρ = 0 일 때 방위각은 어떠한 값이든 상관이 없다.

각 점을 고유한 좌표로써 나타내려고 하는 경우, 반지름 ρ와 방위각 φ를 각각 음이 아닌 수 (ρ ≥ 0) 와 [−180°,+180°] 또는 [0,360°] 과 같이 360°를 회전하는 구간으로 범위를 제한할 수 있다.

2.2. 유일 좌표 표현

극좌표계와 마찬가지로, 원통좌표계에서 하나의 점을 표현하는 방법은 무수히 많다. 한 점은 (ρ, φ ± n×360°, z) 또는 (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, z) 로 나타낼 수 있으며, (n은 임의의 정수) ρ = 0 일 때 방위각은 어떠한 값이든 상관이 없다.

각 점을 고유한 좌표로써 나타내려고 하는 경우, 반지름 ρ와 방위각 φ를 각각 음이 아닌 수 (ρ ≥ 0) 와 [−180°,+180°] 또는 [0,360°] 과 같이 360°를 회전하는 구간으로 범위를 제한할 수 있다.

3. 표기법

원통좌표계의 표기법은 통일되어 있지 않다. ISO 표준 31-11은 (ρ, φ, z)를 권장하며, 여기서 ρ는 반지름, φ는 방위각, z는 높이를 나타낸다. 그러나 반지름은 r 또는 s로, 방위각은 θ 또는 t로, 높이는 h로 표시되거나, 원통축이 수평으로 간주되는 경우 x 또는 상황에 맞는 다른 문자로 표시되기도 한다.

4. 좌표계 변환

원통 좌표계와 데카르트 좌표계 간의 변환을 위해 기준 평면을 데카르트 xy-평면 (z = 0 일 때) 으로 가정하고, 원통축을 데카르트 z-축으로 가정하는 것이 편리하다. 그러면 z-좌표는 두 시스템에서 동일하기 때문에 원통 좌표 (ρ, φ, z) 와 데카르트 좌표 (x, y, z) 간의 대응은 극좌표계와 데카르트 좌표의 대응과 같게 된다.

원통좌표계를 데카르트 좌표계로 변환할 때는
: x = ρ cos φ
: y = ρ sin φ
: z = z
와 같고, 반대 방향으로는
: ρ = √(x² + y²)
: φ =
:{ x = 0 이고 y = 0 이면, 정의 불가
:{ x ≥ 0 이면, arcsin(y/ρ)
:{ x < 0 이고 y ≥ 0 이면, -arcsin(y/ρ) + π
:{ x < 0 이고 y < 0 이면, -arcsin(y/ρ) + π
와 같다.

arcsin 함수는 sin 함수의 역함수이며, 치역은 일반적으로 [−π/2, +π/2] (-90°, +90°) 에 속한다. 위의 공식들은 방위각 φ를 [-90°, +270°] 구간으로 변환한다.

치역이 [−π/2, +π/2] (-90°, +90°)에 속하는 arctan 함수를 사용하면 ρ를 먼저 계산하지 않고도 방위각 φ를 계산할 수 있다.

: φ =
:{ x = 0 이고 y = 0 이면, 정의 불가
:{ x = 0 이고 y ≠ 0 이면, (π/2) * y/|y|
:{ x > 0 이면, arctan(y/x)
:{ x < 0 이고 y ≥ 0 이면, arctan(y/x) + π
:{ x < 0 이고 y < 0 이면, arctan(y/x) - π

다른 공식들을 보려면 극좌표계 문서를 참고하여라.

많은 현대 프로그래밍 언어에서는 위에서 설명한 조건을 주어진 x와 y에 대해 분석하지 않고도 올바른 방위각 φ를 (-π, π) 범위에서 계산하는 함수를 제공한다. 예를 들어, C 언어에서는 이 함수가 `atan2(y, x)`로 호출되며, Common Lisp에서는 `(atan y x)`로 호출된다.

4.1. 데카르트 좌표계와의 변환

원통좌표계와 데카르트 좌표계 간의 변환은 기준 평면을 데카르트 xy-평면 (z = 0)으로, 원통축을 데카르트 z-축으로 가정하면 간단하다. 두 좌표계에서 z-좌표는 동일하며, 원통 좌표 (ρ, φ, z)와 데카르트 좌표 (x, y, z) 간의 변환은 극좌표계와 유사하다.

원통좌표계를 데카르트 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.
: x = ρ cos φ
: y = ρ sin φ
: z = z

반대로 데카르트 좌표계를 원통좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.
: ρ = √(x² + y²)
: φ =
:{ x = 0 이고 y = 0 이면, 정의 불가
:{ x ≥ 0 이면, arcsin(y/ρ)
:{ x < 0 이면, -arcsin(y/ρ) + π

아크사인 함수는 사인 함수의 역함수로, 일반적인 치역은 [−π/2, +π/2] (-90°, +90°)이다. 위 공식은 방위각 φ를 [-90°, +270°) 범위로 변환한다.

아크탄젠트 함수를 사용하면 ρ를 먼저 계산하지 않고도 방위각 φ를 계산할 수 있다.
: φ =
:{ x = 0 이고 y = 0 이면, 정의 불가
:{ x = 0 이고 y ≠ 0 이면, (π/2) * y/|y|
:{ x > 0 이면, arctan(y/x)
:{ x < 0 이고 y ≥ 0 이면, arctan(y/x) + π
:{ x < 0 이고 y < 0 이면, arctan(y/x) - π

다른 변환 공식은 극좌표계 문서를 참조하면 된다.

많은 현대 프로그래밍 언어는 x와 y가 주어졌을 때, 위에서 설명한 조건들을 분석하지 않고도 올바른 방위각 φ를 (-π, π) 범위에서 계산하는 함수를 제공한다. 예를 들어, C 언어에서는 `atan2(y, x)`로, Common Lisp에서는 `(atan y x)`로 호출된다.

4.2. 구면좌표계와의 변환

원통좌표계와 구면좌표계 사이의 변환은 가 고도(elevation)를 나타내는지 경사(inclination)를 나타내는지에 따라 달라진다.

5. 미분 요소

원통 좌표계를 포함하는 많은 문제에서 선 및 부피 요소를 아는 것이 유용하다. 이들은 경로와 관련된 문제를 풀고 부피를 구하는 데 적분에 사용된다.

선 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}\; +\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}\; +\; \backslash mathrm\{d\}z\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{z\}\}.$$

부피 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}V\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

반지름 ρ가 일정한 표면(수직 원통)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash rho\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

방위각 φ가 일정한 표면(수직 반평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash varphi\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

높이 z가 일정한 표면(수평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_z\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi.$$

이 시스템의 델 연산자는 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 다음 식을 이끌어낸다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\nabla f &= \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat{\rho}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\[8px]

\nabla \times \boldsymbol{A} &= \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{\rho}} +
\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\boldsymbol{\hat{\varphi}} +
\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\varphi\right) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla^2 f &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +
\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{align}
원통 좌표계에서 부피 적분에 대한 자세한 내용은 다중 적분을, 벡터 미적분학 공식은 원통 및 구면 좌표계의 델 연산자를 참조한다.

5.1. 선 요소

원통 좌표계를 포함하는 많은 문제에서 선 및 부피 요소를 아는 것이 유용하다. 이들은 경로와 관련된 문제를 풀고 부피를 구하는 데 적분에 사용된다.

선 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho영어+\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}\; +\; \backslash mathrm\{d\}z\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{z\}\}.$$|dr = dρρ̂ + ρdφφ̂ + dzẑ}}

부피 요소는 다음과 같다.

:dV = ρdρdφdz/$$\backslash mathrm\{d\}V\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$^영어

반지름 ρ^영어가 일정한 표면(수직 원통)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:dSρ = ρdφdz/$$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash rho\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$^영어

방위각 φ^영어가 일정한 표면(수직 반평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:dSφ = dρdz/$$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash varphi\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$^영어

높이 z^영어가 일정한 표면(수평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:dSz = ρdρdφ/$$\backslash mathrm\{d\}S\_z\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi.$$^영어

이 시스템의 델 연산자는 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 다음 식을 이끌어낸다.

:

\nabla \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\[8px]

\nabla \times \boldsymbol{A} &= \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{\rho}} +
\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\boldsymbol{\hat{\varphi}} +
\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\varphi\right) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla^2 f &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +
\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{align}|∇f = ∂f/∂ρρ̂ + 1/ρ∂f/∂φφ̂ + ∂f/∂zẑ ∇ ⋅ A = 1/ρ∂/∂ρ(ρAρ) + 1/ρ ∂Aφ/∂φ + ∂Az/∂z ∇ × A = (1/ρ∂Az/∂φ - ∂Aφ/∂z)ρ̂ + (∂Aρ/∂z - ∂Az/∂ρ)φ̂ + 1/ρ(∂/∂ρ(ρAφ) - ∂Aρ/∂φ)ẑ ∇2f = 1/ρ ∂/∂ρ(ρ∂f/∂ρ) + 1/ρ2 ∂2f/∂φ2 + ∂2f/∂z2}}

5.2. 부피 요소

원통좌표계에서 부피 요소는 $\backslash ,\; \{d\; V\}\; =\; r\; d\; r\; d\; \backslash theta\; dz$이다. 원통 좌표계를 포함하는 많은 문제에서 선 및 부피 요소를 알면 경로와 관련된 문제를 풀고 부피를 구하는 데 적분을 사용할 수 있다.

원통 좌표계에서 선 요소는 $$\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}\; +\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}\; +\; \backslash mathrm\{d\}z\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{z\}\}.$$이고, 부피 요소는 $$\backslash mathrm\{d\}V\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$이다.

반지름 $\{\backslash rho\}$가 일정한 표면(수직 원통)에서 미분 표면 요소는 $$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash rho\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$이다. 방위각 $\{\backslash varphi\}$가 일정한 표면(수직 반평면)에서 표면 요소는 $$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash varphi\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$이다. 높이 $\{z\}$가 일정한 표면(수평면)에서 표면 요소는 $$\backslash mathrm\{d\}S\_z\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi.$$이다.

이 시스템의 델 연산자는 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 다음 식을 이끌어낸다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\nabla f &= \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat{\rho}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\[8px]

\nabla \times \boldsymbol{A} &= \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{\rho}} +
\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\boldsymbol{\hat{\varphi}} +
\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\varphi\right) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla^2 f &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +
\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{align}

원통 좌표계에서 부피 적분에 대한 자세한 내용은 다중 적분을, 벡터 미적분학 공식은 원통 및 구면 좌표계의 델 연산자를 참조한다.

5.3. 면 요소

원통 좌표계에서 선 및 부피 요소를 알면 경로 및 부피 관련 문제를 적분으로 풀 수 있다. 선 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}\; +\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}\; +\; \backslash mathrm\{d\}z\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{z\}\}.$$

부피 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}V\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

반지름 ρ가 일정한 표면(수직 원통)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash rho\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

방위각 φ가 일정한 표면(수직 반평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash varphi\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

높이 z가 일정한 표면(수평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_z\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi.$$

이 시스템의 델 연산자는 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 다음 식을 이끌어낸다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\nabla f &= \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat{\rho}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\[8px]

\nabla \times \boldsymbol{A} &= \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{\rho}} +
\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\boldsymbol{\hat{\varphi}} +
\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\varphi\right) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla^2 f &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +
\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{align}

6. 미분 연산자

원통 좌표계에서 선 및 부피 요소를 알면 경로 및 부피 관련 문제를 적분으로 풀 수 있다.

선 요소는 다음과 같다.
:$\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}\; +\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}\; +\; \backslash mathrm\{d\}z\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{z\}\}.$

부피 요소는 다음과 같다.
:$\backslash ,\; \{d\; V\}\; =\; r\; d\; r\; d\; \backslash theta\; dz$

반지름 $\{\backslash rho\}$가 일정한 표면(수직 원통)에서 표면 요소는 다음과 같다.
:$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash rho\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$

방위각 $\{\backslash varphi\}$가 일정한 표면(수직 반평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.
:$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash varphi\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$

높이 $\{z\}$가 일정한 표면(수평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.
:$\backslash mathrm\{d\}S\_z\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi.$

이 시스템의 델 연산자는 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 다음 식을 이끌어낸다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\nabla f &= \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat{\rho}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\[8px]

\nabla \times \boldsymbol{A} &= \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{\rho}} +
\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\boldsymbol{\hat{\varphi}} +
\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\varphi\right) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla^2 f &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +
\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{align}

원통 좌표계에서 부피 적분에 대한 자세한 내용은 다중 적분을, 벡터 미적분학 공식은 원통 및 구면 좌표계의 델 연산자를 참조하라.

7. 응용

원통좌표계 대칭계를 갖는 라플라스 방정식의 해를 원통 조화 함수/cylindrical harmonics^영어라고 한다.

7.1. 원통 조화 함수

원통좌표계 대칭계를 갖는 라플라스 방정식의 해를 원통 조화 함수/cylindrical harmonics^영어라고 한다.

7.2. 운동학

원통 좌표계에서 입자의 위치는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $$\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash rho\}\; +\; z\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; z\}.$$

입자의 속도는 위치의 시간에 대한 미분으로,

: $$\backslash boldsymbol\{v\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{r\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash dot\{\backslash rho\}\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\; \backslash rho\}\; +\; \backslash rho\backslash ,\backslash dot\backslash varphi\backslash ,\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{\backslash varphi\}\}\; +\; \backslash dot\{z\}\backslash ,\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{z\}\},$$

여기서 항 $\backslash rho\; \backslash dot\backslash varphi\backslash hat\backslash varphi$는 푸아송 공식 $\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\backslash hat\backslash rho\}\{\backslash mathrm\; dt\}\; =\; \backslash dot\backslash varphi\backslash hat\; z\backslash times\; \backslash hat\backslash rho$에서 유래한다. 가속도는 다음과 같다.

: $$$$
\boldsymbol{a} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = \left( \ddot{\rho} - \rho\,\dot\varphi^2 \right)\boldsymbol{\hat \rho} + \left( 2\dot{\rho}\,\dot\varphi + \rho\,\ddot\varphi \right) \hat{\boldsymbol\varphi } + \ddot{z}\,\hat{\boldsymbol{z}}