유니터리 표현

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

유니터리 표현은 위상군 G에 대한 복소수 힐베르트 공간 V와 군 준동형 π: G → U(V)로 정의되며, π는 연속 함수여야 한다. 두 유니터리 표현 사이의 유니터리 얽힘 연산자는 유니터리 작용소 T로, Tπ(g) = π'(g)T를 만족하며, 이러한 표현은 유니터리 동치라고 한다. 유니터리 표현은 완전 가약적이며, 유한군 및 콤팩트 군의 유니터리화 가능한 표현을 고려하는 것이 자연스럽다. 콤팩트 위상군의 경우, 제1 페터-바일 정리에 따라 기약 유니터리 표현의 행렬 성분은 정규 직교 기저를 이루고, 제2 페터-바일 정리에 의해 유한 차원 기약 유니터리 표현의 직합으로 분해될 수 있다. 유니터리 표현 이론은 조화 해석학과 밀접하게 관련되어 있으며, 유니터리 쌍대 문제는 미해결 문제로 남아있다. 페터-바일 정리는 1927년에 증명되었으며, 유니터리 쌍대 문제는 20세기 중반부터 활발히 연구되었다.

유니터리 표현

📚 더 읽어볼만한 페이지

위상군 - 하르 측도
하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.
위상군 - 기본 영역
기본 영역은 위상 공간에서 군의 작용으로 생성된 궤도의 대표원 집합으로, 몫공간 적분 계산에 활용되며 위상적으로 충분히 좋고 준불변 측도에 대해 거의 열린 집합 조건을 만족해야 한다.
표현론 - 매케이 화살집
매케이 화살집은 유한군 G의 기약 표현을 꼭짓점으로, 텐서곱 분해를 통해 변을 정의하여 군의 표현론적 구조를 시각적으로 나타내는 도구이다.
표현론 - 보렐-베유-보트 정리
보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.
조화해석학 - 라플라스 방정식
라플라스 방정식은 리만 다양체에서 라플라스-벨트라미 연산자의 2차 편미분 방정식이며, 조화 함수를 해로 갖고 유체 역학, 정전기학 등 다양한 분야에 응용된다.
조화해석학 - 하르 측도
하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 제1 페터-바일 정리
- 3.2. 제2 페터-바일 정리
4. 조화 해석과의 관계
5. 유니터리화 가능성과 유니터리 쌍대 문제
6. 역사

2. 정의

위상군 $G$ 의 유니터리 표현은 복소수 힐베르트 공간 $V$ 와 군 준동형 $\pi\colon G\to\operatorname U(V)$ 으로 구성된다. 여기서 $\pi$ 는 연속 함수이며, $\operatorname U(V)$ 에는 작용소 노름 거리 위상이 부여된다.

같은 위상군 $G$ 의 두 유니터리 표현 $(\pi,V)$ , $(\pi',V')$ 사이의 유니터리 얽힘 연산자(unitary intertwining operator^영어)는 다음 조건을 만족시키는 유니터리 작용소 $T\colon V\to V'$ 이다.

: $T\pi(g)=\pi'(g)T\qquad\forall g\in G$

두 유니터리 표현 사이에 유니터리 얽힘 연산자가 존재하면, 서로 유니터리 동치(unitarily equivalent^영어)라고 한다.

$G$ 가 위상군일 때, 힐베르트 공간 $H$ 에 대한 $G$ 의 강하게 연속적인 유니터리 표현은 $G$ 에서 $H$ 의 유니터리 군으로의 군 준동형사상이다.

: $\pi: G \rightarrow \operatorname{U}(H)$

이때, 모든 $\xi \in H$ 에 대해 $g \rightarrow \pi(g) \xi$ 가 노름 연속 함수여야 한다.

3. 성질

위상군 $G$ 의 유니터리 표현 $\pi\colon G\to\operatorname U(V)$ 이 주어졌다고 하자. $W\le V$ 가 $G$ 의 작용에 대하여 불변인 부분 복소수 벡터 공간이면, $\operatorname{cl}(W)$ 와 $W^\perp=\{v\in V\colon\langle w|v\rangle=0\}$ 역시 닫힌 불변 부분 공간이며, 다음이 성립한다.
: $\pi=\pi_{\operatorname{cl}(W)}\oplus\pi_{W^\perp}$

$W^\perp$ 가 불변 공간임을 보이려면, 임의의 $g\in G$ 및 $v\in W^\perp$ 및 $w\in W$ 에 대하여,
: $\langle w|\pi(g)|v\rangle=0$
임을 보이면 된다. 유니터리 표현의 정의에 의하여
: $\langle w|\pi(g)|v\rangle=\langle\pi(g^{-1})w|v\rangle=0$
이다. 특히, $\operatorname{cl}(W)=W^{\perp\perp}$ 역시 닫힌 불변 부분 공간이다. 이에 따라
: $V=\operatorname{cl}(W)\oplus W^\perp$
이다.

유니터리 표현은 완전 가약이다. 즉, 임의의 닫힌 불변 부분 공간에 대해, 직교 여공간은 다시 닫힌 불변 부분 공간이다. 예를 들어, 유한 차원 유니터리 표현은 대수적인 의미에서 반드시 기약 표현의 직합이다.

유니터리 표현은 일반적인 경우보다 다루기가 훨씬 쉽기 때문에, 유니터리화 가능한 표현, 즉 적절한 복소 힐베르트 공간 구조의 도입을 통해 유니터리가 되는 표현을 생각하는 것은 자연스럽다. 이는 임의의 에르미트 구조에 대해 평균을 취하는 논의를 통해, representations of a finite group^영어이나 더 일반적으로 콤팩트 군에 대해 매우 잘 적용된다. 예를 들어, 마슈케의 정리의 자연스러운 증명은 이 기법으로 이루어진다.

3.1. 제1 페터-바일 정리

콤팩트 위상군 $G$ 위의 르베그 공간 $L^2(G;\mathbb C)$ 를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 하르 측도에 따른 것이며, 편의상 $\operatorname{vol}(G)=1$ 로 규격화한다.

$G$ 의 임의의 유한 차원 유니터리 기약 표현 $r\colon G\to\operatorname U(V_r)$ 에 대하여, $V_r$ 에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들 $r_{ij}\colon G\to\mathbb C$ ( $i,j=1,\dots,\dim_{\mathbb C} V_r)$ )을 정의할 수 있다. 페터-바일 정리(Peter–Weyl theorem^영어)에 따르면, 함수들
: $\sqrt{\dim_{\mathbb C}V_r}r_{ij}\colon G\to\mathbb C$
은 $L^2(G;\mathbb C)$ 의 정규 직교 기저를 이룬다.

3.2. 제2 페터-바일 정리

임의의 콤팩트 위상군 $G$ 의 유니터리 표현 $(\pi,V)$ 에 대하여, 유한 차원 기약 유니터리 표현들의 족 $(\pi_i,V_i)_{i\in I}$ 이 존재하여 다음이 성립한다.
:: $\pi=\widehat\bigoplus\pi_i$
:: $V=\widehat\bigoplus V_i$
여기서 $\widehat\bigoplus$ 는 힐베르트 공간의 직합, 즉 (대수적) 직합의 완비화이다.

4. 조화 해석과의 관계

위상군의 유니터리 표현 이론은 조화 해석학과 밀접하게 관련되어 있다. 아벨 군 G의 경우, G의 표현 이론은 폰트랴긴 쌍대성에 의해 설명된다. 일반적으로, G의 기약 유니터리 표현의 유니터리 동치류(정의 참조)는 유니터리 쌍대를 구성한다. 이 집합은 그룹 C*-대수 구성을 통해 G와 관련된 그룹 C*-대수의 스펙트럼과 동일시될 수 있다. 이것은 위상 공간이다.

플랑셰렐 정리는 유니터리 쌍대 위의 측도를 사용하여 L²(G)에서의 G의 정규 표현을 설명한다. G가 아벨 군인 경우, 폰트랴긴 쌍대성 이론에 의해 설명된다. G가 콤팩트인 경우, 페터-바일 정리에 의해 수행된다. 이 경우, 유니터리 쌍대는 이산 공간이며, 측도는 각 점에 차수와 같은 질량을 할당한다.

5. 유니터리화 가능성과 유니터리 쌍대 문제

비콤팩트 군의 경우, 어떤 표현이 유니터리화 가능한지 판별하는 것은 중요한 문제이다. 유니터리 쌍대 문제는 모든 실수 환원 리 군의 기약 유니터리 표현을 분류하는 문제이다. 이는 수학에서 중요한 미해결 문제 중 하나이며, 일부 환원 리 군 (예: SL2(R)의 표현론, 로렌츠 군의 표현론)에 대해서는 해결되었다.

모든 기약 유니터리 표현은 가인 표현이며(정확히는 그들의 하리쉬-찬드라 모듈이), 가인 표현은 랑글란즈 분류에 의해 주어지며, 그중 어떤 것이 비자명한 불변 세스퀴선형 형식을 갖는지 아는 것은 쉽다. 문제는 이 이차 형식이 일반적으로 양의 정부호일 때를 알아내는 것이 어렵다는 것이다.

6. 역사

헤르만 바일과 그의 학생 프리츠 페터(Fritz Peter^독일어)는 1927년에 페터-바일 정리를 증명하였다.