육차 방정식

3. 일반적인 해법

일반적인 육차 방정식은 사칙연산과 거듭제곱근만을 이용한 대수적인 방법으로는 풀 수 없다.(아벨-루피니 정리)^[1] 그러나, 갈루아 이론에 따르면 특정한 조건을 만족하는 육차 방정식은 대수적으로 풀 수 있다.^[1]

갈루아 이론에 따르면, 육차 방정식은 다음 두 경우에만 근으로 풀린다.^[1]

• 해당 방정식의 갈루아 군이 근 집합을 두 개의 근으로 이루어진 세 개의 부분 집합으로 분할하는 것을 안정화하는 48차 군에 포함되는 경우
• 근 집합을 세 개의 근으로 이루어진 두 개의 부분 집합으로 분할하는 것을 안정화하는 72차 군에 포함되는 경우

4. 특수한 형태의 육차 방정식

짝수 차수만 있는 방정식을 '''복삼차방정식'''(Bicubic equations)이라고 한다.

:x²=X로 치환해 삼차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

:ax⁶+bx⁴+cx² +d = 0 , X=x²

:aX³+bX²+cX+d = 0

'''상반방정식'''

:x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0

:x^{n / 2} 항으로 치환하여 대입하면,

:x⁶ / x³+x⁵/ x³+x⁴/ x³+x³/ x³+x²/ x³+x/ x³+1/ x³=0

:x³+x²+x+1+ 1 / x+ 1 / x²+ 1 / x³=0

:(x³+1 / x³) +(x²+1 / x²) +(x+1 / x) +1=0

: x+1 / x = z 치환하면,

:z³+z²-2z-1=0 이것으로 삼차방정식으로 풀면 3개의 근을 구하고,

:z= x+1 / x 다시 치환하면, 6차 방정식의 근을 구하게 된다.

:x² +1 / x = z

:x² +1 = zx

:x² - zx +1=0

이것으로 이차방정식을 풀면, 각각 2개씩의 근, 즉 총 6개의 근을 구하게 된다.

'''이항방정식'''

:x⁶ ± a = 0의 꼴은 이항방정식으로 a와 근의 계수 ω를 찾아 6개의 근을 구할 수 있다.

와트 곡선은 초기 증기 기관 연구와 관련하여 나타났으며, 두 변수에 대한 육차 방정식이다.

3차 방정식을 푸는 한 가지 방법은 변수를 변환하여 차수가 6, 3, 0인 항만 있는 육차 방정식을 얻는 것인데, 이는 변수의 세제곱에 대한 이차 방정식으로 풀 수 있다.

4. 1. 복삼차 방정식

4. 2. 상반 방정식

4. 3. 이항 방정식

5. 근과 계수와의 관계

육차 방정식 $ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0$의 여섯 근을 $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta$라 하면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

$x^6 -(\alpha+ \beta+ \gamma+ \delta+ \epsilon+\zeta)x^5+(\alpha\beta+ \alpha\gamma+ \alpha\delta+ \alpha\epsilon+\alpha\zeta+\beta\gamma+ \beta\delta+ \beta\epsilon+\beta\zeta+ \gamma\delta+ \gamma\epsilon+\gamma\zeta+ \delta\epsilon+\delta\zeta+\epsilon\zeta )x^4 - (\alpha\beta\gamma+ \alpha\beta\delta+ \alpha\beta\epsilon+\alpha\beta\zeta +\alpha\gamma\delta +\alpha\gamma\epsilon+\alpha\gamma\zeta +\alpha\delta\epsilon+\alpha\delta\zeta+\alpha\epsilon\zeta +\beta\gamma\delta+\beta\gamma\epsilon+\beta\gamma\zeta+\beta\epsilon\zeta+ \beta\delta\epsilon+\beta\delta\zeta + \gamma\delta\epsilon+\gamma\delta\zeta+\gamma\epsilon\zeta+\delta\epsilon\zeta )x^3 +(\alpha\beta\gamma\delta+ \alpha\beta\gamma\epsilon+ \alpha\beta\gamma\zeta+ \alpha\beta\delta\epsilon+ \alpha\beta\delta\zeta+\alpha\beta\epsilon\zeta+\alpha\gamma\delta\epsilon+\alpha\gamma\delta\zeta +\alpha\gamma\epsilon\zeta+\alpha\delta\epsilon\zeta+ \beta\gamma\delta\epsilon+ \beta\gamma\delta\zeta+ \beta\gamma\epsilon\zeta+ \beta\delta\epsilon\zeta+\gamma\delta\epsilon\zeta)x^2 - (\alpha\beta\gamma\delta\epsilon+\alpha\beta\gamma\delta\zeta+\alpha\beta\gamma\epsilon\zeta+\alpha\beta\delta\epsilon\zeta+\alpha\gamma\delta\epsilon\zeta+\beta\gamma\delta\epsilon\zeta)x+\alpha\beta\gamma\delta\epsilon\zeta =0$

이때, 각 항의 계수는 다음과 같이 근들의 조합으로 나타낼 수 있다.

• $\alpha+ \beta+ \gamma+ \delta+ \epsilon+\zeta = -{ b \over a}$
• $\alpha\beta+ \alpha\gamma+ \alpha\delta+ \alpha\epsilon+\alpha\zeta+\beta\gamma+ \beta\delta+ \beta\epsilon+\beta\zeta+ \gamma\delta+ \gamma\epsilon+\gamma\zeta+ \delta\epsilon+\delta\zeta+\epsilon\zeta = { c \over a}$
• $\alpha\beta\gamma+ \alpha\beta\delta+ \alpha\beta\epsilon+\alpha\beta\zeta +\alpha\gamma\delta +\alpha\gamma\epsilon+\alpha\gamma\zeta +\alpha\delta\epsilon+\alpha\delta\zeta+\alpha\epsilon\zeta +\beta\gamma\delta+\beta\gamma\epsilon+\beta\gamma\zeta+\beta\epsilon\zeta+ \beta\delta\epsilon+\beta\delta\zeta + \gamma\delta\epsilon+\gamma\delta\zeta+\gamma\epsilon\zeta+\delta\epsilon\zeta = -{ d \over a}$
• $\alpha\beta\gamma\delta+ \alpha\beta\gamma\epsilon+ \alpha\beta\gamma\zeta+ \alpha\beta\delta\epsilon+ \alpha\beta\delta\zeta+\alpha\beta\epsilon\zeta+\alpha\gamma\delta\epsilon+\alpha\gamma\delta\zeta +\alpha\gamma\epsilon\zeta+\alpha\delta\epsilon\zeta+ \beta\gamma\delta\epsilon+ \beta\gamma\delta\zeta+ \beta\gamma\epsilon\zeta+ \beta\delta\epsilon\zeta+\gamma\delta\epsilon\zeta= { e \over a}$
• $\alpha\beta\gamma\delta\epsilon+\alpha\beta\gamma\delta\zeta+\alpha\beta\gamma\epsilon\zeta+\alpha\beta\delta\epsilon\zeta+\alpha\gamma\delta\epsilon\zeta+\beta\gamma\delta\epsilon\zeta= -{ f \over a}$
• $\alpha\beta\gamma\delta\epsilon\zeta= { g \over a}$

6. 갈루아 군

에바리스트 갈루아는 주어진 방정식이 근으로 풀릴 수 있는지 여부를 결정하는 기술을 개발했으며, 이는 갈루아 이론 분야를 탄생시켰다.^[1]

갈루아 이론에 따르면, 육차 방정식의 갈루아 군은 6차 대칭군 $S_6$의 부분군이며, 추이적 부분군은 15개의 켤레류로 분류된다.^[5][6] 이 중 12개가 가해군이며, 가해군인 경우에만 육차 방정식이 대수적으로 풀릴 수 있다. 육차 방정식이 대수적으로 풀리는 경우는 해당 방정식의 갈루아 군이 (1) 근 집합을 두 개의 근으로 이루어진 세 개의 부분 집합으로 분할하는 것을 안정화하는 48차 군에 포함되거나 (2) 근 집합을 세 개의 근으로 이루어진 두 개의 부분 집합으로 분할하는 것을 안정화하는 72차 군에 포함되는 경우이다.^[1]

주요 갈루아 군에는 다음이 포함된다.

• $S_6$: 6차 대칭군 (군/group^영어의 위수 720)
• $A_6$: 6차 교대군 (위수 360)
• $C_6$: 6차 순환군
• 정규화군

7. 치른하우스 변형

치른하우스 변형을 통해 육차 방정식을 $x^6 + px^4 + qx^3 + rx^2 + sx + t = 0$ 형태로 변환할 수 있다.^[4] 이는 방정식을 더 간단한 형태로 만들어 해를 구하는 데 도움을 줄 수 있다.

일반적인 육차 방정식은 다음과 같다.

:$ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0$

양변을 최고차항 계수 $a$로 나누고, $x=y- {b \over 6a}$로 치환하면 오차항이 제거된 다음 형태를 얻을 수 있다.

:$y^6+py^4+qy^3+ry^2+sy+t=0$

여기서 $p, q, r, s, t$는 $a, b, c, d, e, f, g$에 대한 복잡한 식으로 표현된다. 이처럼 특정 항을 제거하는 과정은 해당 항의 정보가 다른 항들에 분산되어 저장되는 것으로 이해할 수 있다. 이는 마치 육차항의 계수가 사라진 것이 아니라 다른 항들에 정보를 나누어주고 사라진 것과 같다.

따라서 취른하우스 변형(Tschirnhaus transformation)은 차고차항뿐만 아니라 다른 임의의 항도 압축할 수 있다.

8. 용어

"육차"를 뜻하는 영어 단어 "sextic"은 6 또는 6번째를 의미하는 라틴어 어근("sex-t-")과 "관련된"을 의미하는 그리스어 접미사("-ic")에서 유래되었다. 훨씬 덜 사용되는 "hexic"은 어근(''hex-'' 6)과 접미사(''-ik-'') 모두 그리스어를 사용한다. 두 경우 모두, 접두사는 함수의 차수를 나타낸다. 종종 이러한 유형의 함수는 단순히 "6차 함수"로 지칭된다.

참조

_[1] 논문 General formulas for solving solvable sextic equations J. Algebra 2000
_[2] 웹사이트 Sextic Equation https://mathworld.wo[...] 2023-07-14
_[3] 웹사이트 Mathworld - Sextic Equation http://mathworld.wol[...]
_[4] 웹사이트 Solving the sextic equation using univariate analytic functions and arithmetic operations https://mathoverflow[...]
_[5] 문서 部分群の計算法 https://ikumi.que.jp[...]
_[6] 학위논문 2014年度藏野研究室卒業論文「S6の部分群の分類」 http://www.isc.meiji[...]
_[7] 학위논문 Solving Solvable Quartic, Quintic and Sextic Equations https://thesis.unipd[...]