켤레류

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1. 개요

켤레류는 군 G의 원소 g에 대해 정의되는 집합으로, g와 켤레 관계에 있는 모든 원소들을 포함한다. 켤레 관계는 동치 관계를 형성하며, 켤레류는 이 동치 관계에 의한 동치류이다. 켤레류는 군의 작용, 특히 켤레 작용의 궤도로 이해될 수 있으며, 같은 켤레류에 속하는 원소들은 같은 위수를 갖는다. 켤레류의 수는 군의 구조를 이해하는 데 중요한 지표가 되며, 켤레류 방정식은 군의 위수와 켤레류의 크기 사이의 관계를 나타낸다. 콤팩트 리 군의 켤레류는 극대 원환면과 바일 군을 통해 기하학적으로 해석될 수 있다. 켤레 부분군은 켤레 관계를 통해 정의되며, 정규 부분군과 밀접한 관련이 있다.

켤레류

개요

정의	군 G의 원소 g와 h가 G의 어떤 원소 a에 대해 h = aga⁻¹를 만족하면, g와 h는 공액이라고 한다.
동치 관계	공액은 군 G의 동치 관계이다.
공액류	G의 원소 g의 공액류는 g와 공액인 G의 모든 원소의 집합이다.
표현	Cl(g) = {x⁻¹gx \| x ∈ G}

성질

크기	g를 포함하는 공액류의 크기는 G의 크기를 g의 중심화 부분군의 크기로 나눈 것과 같다.
중심화 부분군	g의 중심화 부분군은 g와 가환하는 G의 모든 원소의 집합이다.
분할	군 G의 공액류는 G를 분할한다. 즉, 모든 원소는 정확히 하나의 공액류에 속한다.
항등원	항등원은 그 자체로 공액류를 이룬다.
아벨 군	아벨 군의 모든 원소는 그 자체로 공액류를 이룬다.
대칭군	대칭군의 원소는 순환 구조가 같은 것끼리 같은 켤레류를 이룬다.

예시

대칭군 S₃	(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
공액류	Cl((1)) = {(1)} Cl((1 2)) = {(1 2), (1 3), (2 3)} Cl((1 2 3)) = {(1 2 3), (1 3 2)}

활용

군의 구조 연구	군의 구조를 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다.
군의 성질 파악	군의 성질을 파악하는 데 도움을 준다.

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 기하학적 해석
6. 켤레 부분군

2. 정의

군 $G$ 의 원소 $g\in G$ 의 켤레류는 다음과 같이 정의된다.
: $\operatorname{Cl}(g) = \{hgh^{-1}\colon h\in G\} \subseteq G$
이는 $G$ 의 자기 자신 위의 켤레 작용
: $G\times G\to G$
: $(h,g)\mapsto hgh^{-1}$
의 궤도이자, $G$ 위의 켤레 관계
: $g\sim g'\iff\exists h\in G\colon g'=hgh^{-1}$
의 동치류이다.

군 $G$ 에서 두 원소 $a, b \in G$ 가 켤레라는 것은 $gag^{-1} = b$ 를 만족하는 원소 $g \in G$ 가 존재한다는 의미이다.

가역 행렬의 일반 선형군 $\operatorname{GL}(n)$ 에서 켤레 관계는 행렬의 닮음이라고 한다.

켤레 관계는 동치 관계이므로, $G$ 는 켤레류들로 분할된다. $a \in G$ 를 포함하는 켤레류는 다음과 같다.
$\operatorname{Cl}(a) = \left\{ gag^{-1} : g \in G \right\}$

임의의 두 원소 $g, x \in G$ 에 대해,
$g \cdot x := gxg^{-1}.$
로 정의하면, 이는 $G$ 가 $G$ 에 작용하는 군 작용이 된다. 이 작용의 궤도는 켤레류이며, 주어진 원소의 안정자는 해당 원소의 중앙화 부분군이다.

3. 성질

군 $G$ 의 원소 $g\in G$ 의 켤레류는 $\operatorname{Cl}(g) = \{hgh^{-1}\colon h\in G\} \subseteq G$ 로 정의된다. 이는 $G$ 의 자기 자신 위의 켤레 작용의 궤도이자, $G$ 위의 켤레 관계의 동치류이다. $G$ 의 모든 켤레류들의 집합은 $\operatorname{Cl}(G)$ 로 표기한다.

$G$ 가 위상군이라면, $\operatorname{Cl}(G)$ 는 몫공간이므로 위상 공간 구조를 가진다.

군 $G$ 에서 두 원소 $a, b \in G$ 가 켤레라는 것은 $gag^{-1} = b$ 를 만족하는 원소 $g \in G$ 가 존재한다는 의미이다. 가역 행렬의 일반 선형군 $\operatorname{GL}(n)$ 에서 켤레 관계는 행렬의 닮음이라고 한다.

켤레 관계는 동치 관계이므로, $G$ 는 켤레류들로 분할된다. 같은 켤레류에 속하는 모든 원소는 같은 위수를 가진다. 켤레류는 "6A"와 같이 묘사될 수 있는데, 이는 "위수가 6인 원소를 가진 특정 켤레류"를 의미한다. 대칭군에서는 사이클 유형으로 설명할 수 있다.

켤레류와 관련하여 다음과 같은 성질들이 성립한다.

* 항등원은 항상 그 고유한 클래스 내의 유일한 원소이다. 즉, $\operatorname{Cl}(e) = \{ e \}$ 이다.
* $G$ 가 아벨 군이면, 모든 켤레류가 단일 집합이다.
* 두 원소 $a, b \in G$ 가 같은 켤레류에 속한다면, 그들은 같은 차수를 가진다.
* $a$ 와 $b$ 가 켤레 관계에 있다면, 그들의 거듭제곱 $a^k$ 와 $b^k$ 도 켤레 관계에 있다.
* 원소 $a \in G$ 는 $G$ 의 중심 $\operatorname{Z}(G)$ 에 속하는데, 켤레류가 단 하나의 원소인 $a$ 자신만 가지고 있을 경우에 한한다.
* $\sigma \in S_n$ 에 대해, $m_1, m_2, \ldots, m_s$ 를 $\sigma$ 의 사이클 유형에 나타나는 사이클 길이(1-사이클 포함)로 나타나는 서로 다른 정수라 하고, 각 $i = 1, 2, \ldots, s$ 에 대해 $k_i$ 를 $\sigma$ 에서 길이 $m_i$ 의 사이클의 개수라고 하면(이때 $\sum\limits_{i=1}^s k_i m_i = n$ ), $\sigma$ 의 켤레의 개수는 다음과 같다.

: $\frac{n!}{\left(k_1!m_1^{k_1}\right) \left(k_2!m_2^{k_2}\right) \cdots \left(k_s!m_s^{k_s}\right)}.$

3.1. 켤레류의 크기

유한군 $G$ 의 원소 $g$ 의 켤레류의 크기는 궤도-안정자군 정리에 따라 다음과 같다.

: $|{\operatorname{Cl}}(g)|=\frac$

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여기서

\operatorname C_G(-)

는 중심화 부분군이다.

유한군의 켤레류 원소의 개수는 군의 위수를 나눈다. 더 정확하게는 켤레류

a^G

의 원소 개수

|a^G|

는

a

의

G

에서의 중앙화군

C_G(a) = \{ g \in G \mid ga = ag \}

의 지수

[G : C_G(a)]

와 같다. 이는 켤레 작용에 관한 궤도-고정군 정리에 의한다.

3.2. 켤레류의 수

번사이드 보조정리에 따라, 유한군 $G$ 의 켤레류의 수는 다음과 같다.

: $|{\operatorname{Cl}}(G)|=\frac1$

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\sum_{g\in G}|{\operatorname C}_G(g)|

여기서

\operatorname C_G(-)

는 중심화 부분군이다.

3.3. 켤레류 방정식

finite group^영어 $G$ 에 대해, 다음의 켤레류 방정식이 성립한다.
: $|G| = |{\operatorname Z}(G)| + \sum_i \left[G : \operatorname{C}_G(x_i)\right]$
여기서 $\operatorname{C}_G(-)$ 는 중심화 부분군이고, $\operatorname Z(-)$ 는 군의 중심이며, 합은 중심에 있지 않은 각 켤레류에서 대표 원소 $x_i$ 에 대한 것이다.

$G$ 가 유한군일 때, $G$ 의 임의의 원소 $a$ 에 대해, $a$ 의 켤레류의 원소는 $a$ 의 중심화 부분군 $\operatorname{C}_G(a)$ 의 잉여류와 일대일 대응을 이룬다. 따라서 $a$ 의 켤레류의 원소의 수는 $G$ 에서 중심화 부분군 $\operatorname{C}_G(a)$ 의 지수 $\left[ G : \operatorname{C}_G(a)\right]$ 와 같다. 따라서 각 켤레류의 크기는 군의 위수를 나눈다.

각 켤레류에서 대표 원소 $x_i$ 를 선택하면, 켤레류는 서로소이므로 다음이 성립한다.
: $|G| = \sum_i \left[ G : \operatorname{C}_G(x_i)\right]$
중심 $\operatorname{Z}(G)$ 의 각 원소는 자기 자신만을 포함하는 켤레류를 형성하므로, 다음의 켤레류 방정식을 얻는다.
: $|G| = |{\operatorname Z}(G)| + \sum_i \left[G : \operatorname{C}_G(x_i)\right]$

3.4. 콤팩트 리 군

$G$ 가 콤팩트 리 군이라고 하자. 이 경우, $G$ 는 항상 극대 원환면 $T \le G$ 을 가지며, 모든 원소 $g\in G$ 는 $T$ 의 어떤 원소와 켤레 동치이다. 또한, 임의의 $g\in G$ 의 켤레류와 $T$ 의 교집합은 $T$ 의 어떤 원소 $t\in T$ 의 바일 군 궤도와 같다.

: $\forall g\in G\exists t\in T\colon \operatorname{Cl}(g) \cap T = \operatorname{Weyl}(T,G) \cdot t$

다시 말해, $G$ 의 켤레류들의 공간은 몫공간인 오비폴드

: $\operatorname{Cl}(G) \cong T / \operatorname{Weyl}(T,G)$

와 표준적인 일대일 대응을 갖는다.

특히, 항등원 근처의 ‘무한소 원소’(즉, 그 리 대수의 원소)의 ‘켤레류’는 카르탕 부분 대수의 바일 군 궤도, 즉 바일 방의 원소가 된다.

4. 예

군에서 켤레류는 특정 원소와 연관된, 서로 '닮은' 원소들의 집합이다. 군 $G$ 의 원소 $g$ 의 켤레류는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Cl}(g) = \{hgh^{-1}\colon h\in G\} \subseteq G$

이는 $G$ 의 자기 자신 위의 켤레 작용의 궤도이며, $G$ 위의 켤레 관계에 대한 동치류이다.

몇 가지 군에서 켤레류의 예를 살펴보자.

* $S_3$ (6개의 원소): 3개의 켤레류를 갖는다.
* 변경 없음 $(abc \to abc)$ : 순열 중 아무것도 바꾸지 않는 경우.
* 두 개를 전치 $(abc \to acb, abc \to bac, abc \to cba)$ : 순열 중 두 개의 원소만 서로 바꾸는 경우.
* 세 개 모두를 순환 순열 $(abc \to bca, abc \to cab)$ : 순열의 모든 원소를 순환적으로 바꾸는 경우.
* $S_4$ (24개의 원소): 5개의 켤레류를 갖는다.
* 변경 없음. 사이클 형식 = [1⁴]
* 두 개를 서로 바꿈(나머지 두 개는 변경되지 않음). 사이클 형식 = [1²2¹]
* 세 개의 순환 순열(나머지 하나는 변경되지 않음). 사이클 형식 = [1¹3¹]
* 네 개 모두의 순환 순열. 사이클 형식 = [4¹]
* 두 개를 서로 바꾸고 다른 두 개도 서로 바꿈. 사이클 형식 = [2²]
정육면체의 회전은 대각선의 순열로 특징지을 수 있으며, 이는 $S_4$ 의 켤레류로 설명된다.

일반적으로, 대칭군 $S_n$ 에서 켤레류의 수는 $n$ 의 정수 분할의 수와 같다. 각 켤레류는 순열의 사이클 표기법에서 특정 분할에 해당하기 때문이다.

유클리드 군은 유클리드 공간에서 등거리 변환의 켤레로 연구할 수 있다.

S_4의 켤레류 표. 각 행은 특정 원소의 켤레류를 나타내고, 각 열은 S_4의 모든 원소를 포함한다. — $S_4$ 의 켤레류 표. 각 행은 특정 원소의 켤레류를 나타내고, 각 열은 $S_4$ 의 모든 원소를 포함한다.

4.1. 아벨 군

아벨 군 <math>G</math>에서 켤레류는 한원소 집합이다. 모든 <math>a, g \in G</math>에 대해 <math>gag^{-1} = a</math>이며, 모든 <math>a \in G</math>에 대해 <math>\operatorname{Cl}(a) = \{ a \}</math>이다.

4.2. 대칭군

$n$ 차 대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ 의 켤레류는 순환형에 의해 결정되며, 자연수 분할과 일대일 대응된다. 대칭군의 두 원소 $g$ , $h$ 가 같은 순환형을 가질 때, 두 원소는 켤레 동치이다.

* $n$ 차 대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ 의 원소는 순환 분해를 갖는다.
* 순환 분해: $(a_{1,1}\dotsm a_{1,n_1})(a_{2,1}\dotsm a_{2,n_2}) \dotsb (a_{k,1}\dotsm a_{k,n_k})$
* 순환형이 같은 두 원소는 켤레 동치이다.
* 켤레류의 집합은 $n$ 의 자연수 분할들의 집합과 같다.
* $\operatorname{Cl}(\operatorname{Sym}(n)) \cong \operatorname{Part}(n)$

자연수 분할 $(n_1,n_2,\dotsc,n_k)$ 에 대응하는 켤레류의 크기는 다음과 같다.
: $\frac{n!}{\prod_{p=1}^n a(p)! p^{a(p)}}$

여기서 $a(p) = |\{i\in \{1,\dotsc,k\}\colon p = n_i \}| \in \mathbb N$ 이다.

예시:

* $S_3,$ (6개의 원소)는 세 개의 켤레류를 갖는다.
* 변경 없음 $(abc \to abc)$
* 두 개를 전치 $(abc \to acb, abc \to bac, abc \to cba)$
* 세 개 모두를 순환 순열 $(abc \to bca, abc \to cab)$
* $S_4,$ (24개의 원소)는 다섯 개의 켤레류를 갖는다.
* 변경 없음. 사이클 형식 = [1⁴]
* 두 개를 서로 바꿈(나머지 두 개는 변경되지 않음). 사이클 형식 = [1²2¹]
* 세 개의 순환 순열(나머지 하나는 변경되지 않음). 사이클 형식 = [1¹3¹]
* 네 개 모두의 순환 순열. 사이클 형식 = [4¹]
* 두 개를 서로 바꾸고 다른 두 개도 서로 바꿈. 사이클 형식 = [2²]

일반적으로 대칭군 $S_n$ 에서 켤레류의 수는 $n$ 의 정수 분할의 수와 같다.

4.3. SU(2)

리 군의 일종인 SU(2)는 3차원 초구 $\mathbb S^3$ 와 미분 동형이다. 이 경우, 극대 원환면은 1차원 원군 $T=\operatorname U(1)$ 이며, 다음과 같은 2×2 대각 행렬의 부분군으로 나타낼 수 있다.
: $T = \left\{\begin{pmatrix}\exp(\mathrm i\theta) & 0 \\0& \exp(-\mathrm i\theta)\end{pmatrix}\colon \theta \in \mathbb R\right\} \le \operatorname{SU}(2)$
이때, 바일 군은 2차 대칭군이며, 항등원이 아닌 원소는 원군 위에 다음과 같이 작용한다.
: $\theta \mapsto -\theta$
이는 SU(2)의 켤레류 공간이 반원 $\theta\in[0,\pi]$ 에 해당함을 의미한다. 행렬군 위에서 대각합은 유함수이며, SU(2)의 경우 대각합은 켤레류를 완전히 결정한다. 즉,
: $\operatorname{tr}\begin{pmatrix}\exp(\mathrm i\theta) & 0 \\0& \exp(-\mathrm i\theta)\end{pmatrix}= 2 \cos\theta$
이므로, 대각합의 값은 $[-2,+2]$ 에 속한다. 이는 3차원 초구의 ‘위도’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘경도’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아닌 경우 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이 $\pm2$ 인 경우, 즉 $\theta \in \{0,\pi\}$ 인 경우이며, 이때 켤레류는 한원소 집합 $\{\pm1_{2\times2}\}$ 이다.

4.4. 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군

켤레류 방정식을 통해 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다. 켤레류의 수가 5개 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다.

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\| 군 \|\| 이집트 분수 분해
1	자명군 $1$	$\tfrac11$
2	2차 대칭군 $\operatorname{Sym}(2)$	$\tfrac12+\tfrac12$
3	3차 교대군	$\tfrac13+\tfrac13+\tfrac13$
3	3차 대칭군 $\operatorname{Sym}(3)$	$\tfrac16+\tfrac13+\tfrac12$
4	4차 교대군 $\operatorname{Alt}(4)$	$\tfrac1{12}+\tfrac14+\tfrac13+\tfrac13$
	5차 정이면체군 $\operatorname{Dih}(5)$	$\tfrac1{10}+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac12$
	4	4차 순환군 $\operatorname{Cyc}(4)$
	4	클라인 4원군 $\operatorname{Cyc}(2)^2$	$\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14$
5	5차 순환군 $\operatorname{Cyc}(5)$	$\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac15$
	5	4차 정이면체군 $\operatorname{Dih}(4)$
	5	사원수군 $Q_8$	$\tfrac18+\tfrac18+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14$
	5	5차 교대군 $\operatorname{Alt}(5)$	$\tfrac1{60}+\tfrac15+\tfrac15+\tfrac14+\tfrac13$
	5	4차 대칭군 $\operatorname{Sym}(4)$	$\tfrac1{24}+\tfrac18+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac13$
	5	7차 정이면체군 $\operatorname{Dih}(7)$	$\tfrac1{14} + \tfrac17+\tfrac17+\tfrac17+\tfrac12$
	5	프로베니우스 군 $\operatorname{Cyc}(5) \rtimes \operatorname{Cyc}(4)$	$\tfrac1{20}+\tfrac15+\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14$
	5	프로베니우스 군 $\operatorname{Cyc}(7) \rtimes \operatorname{Cyc}(3)$	$\tfrac1{21}+\tfrac17+\tfrac17+\tfrac13+\tfrac13$

1의 이집트 분수 분해는 유한하므로, 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다.

5. 기하학적 해석

경로 연결된 위상 공간의 기본군에서의 켤레류는 자유 호모토피 하에서 자유 루프의 동치류로 생각할 수 있다.

6. 켤레 부분군

임의의 두 원소 $g, x \in G$ 에 대해,
: $g \cdot x := gxg^{-1}$
로 정의하면, $G$ 가 $G$ 에 작용하는 군 작용이 정의된다. 이 작용의 궤도는 켤레류이며, 주어진 원소의 안정자는 해당 원소의 중앙화 부분군이다.

비슷하게, $G$ 가 $G$ 의 모든 부분 집합들의 집합에 작용하는 군 작용을 다음과 같이 정의할 수 있다.
: $g \cdot S := gSg^{-1}$
또는 $G$ 의 부분군들의 집합에 작용하는 군 작용을 정의할 수도 있다.

더 일반적으로, 임의의 부분 집합 $S \subseteq G$ ( $S$ 는 부분군일 필요는 없음)가 주어졌을 때, $T \subseteq G$ 가 $S$ 에 켤레라고 말하는 것은 $T = gSg^{-1}$ 을 만족하는 $g \in G$ 가 존재한다는 것을 뜻한다.

$G$ 의 부분군들은 켤레류로 나눌 수 있으며, 두 부분군은 켤레일 경우에만 같은 켤레류에 속한다. 켤레 부분군은 동형이지만, 동형인 부분군이 항상 켤레인 것은 아니다. 예를 들어, 아벨군은 동형인 두 개의 다른 부분군을 가질 수 있지만, 켤레가 아닐 수 있다.

어떤 부분군 $H$ 가 모든 켤레 부분군과 일치하면, 그 부분군은 정규 부분군이다.