이름 (강제법)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 이름
- 2.2. 좋은 이름
3. 성질
- 3.1. 범주론적 성질
- 3.2. 모형 이론적 성질
4. 예
- 4.1. 공집합인 경우
- 4.2. 한원소 집합인 경우
5. 강제법과의 관계 (추가)
- 5.1. 부분 집합에 대한 좋은 이름 (추가)
참조

1. 개요

이름(강제법)은 집합론의 강제법에서 사용되는 개념으로, 주어진 집합 X에 대한 연산 Q를 통해 정의되는 이름 위계를 의미한다. 이름은 강제법에서 참/거짓 여부를 불 대수가 아닌 불 대수 P(X)의 부분 집합으로 나타내며, '좋은 이름'이라는 특정 속성을 만족하는 이름을 정의한다. 이름의 개념은 함자, 해석, 모형 이론적 성질을 가지며, 특히 공집합 또는 한원소 집합의 경우 간단한 형태로 나타난다.

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이름 (강제법)
기본 정보
언어별 표기
영어	Name
한국어	이름
언어별 표기 상세
한국어 (발음)	iːɾɯm
한국어 (한자)	名
정보
유형	낱말
의미	사람, 장소, 사물, 사건, 기타 범주를 식별하기 위해 사용되는 명칭 또는 명칭 집합

2. 정의

강제법에서 이름은 특정한 조건을 만족시키는 집합이며, 그 표기법은 해당 집합의 구조를 반영한다. 이름의 참·거짓 여부는 고전 논리의 이진값(참 또는 거짓) 대신 불 대수를 사용하여 표현된다.

ZFC가 추이적이고, $(\mathbb{P}, <)$ 가 $M$ 내의 포싱 노션이며, $G \subseteq \mathbb{P}$ 가 $M$ 에 대해 제네릭하다고 가정할 때, $M$ 내의 임의의 $\mathbb{P}$ -이름 $\tau$ 에 대해, 다음 세 가지 속성을 만족하는 $\mathbb{P}$ -이름 $\eta$ 는 $\tau$ 의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 정의된다.

(1) $\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)$

(2) 모든 $\mathbb{P}$ -이름 $\sigma \in M$ 에 대해, $\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}$ 는 안티체인을 형성한다.

(3) 만약 $\langle\sigma, p\rangle \in \eta$ 이면, $\langle\sigma, q\rangle \in \tau$ 를 만족하는 $\mathbb{P}$ 내의 $q \geq p$ 가 존재한다.

2. 1. 이름

임의의 집합

X

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

:

Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X)

에 대한 누적 위계를

X

-'''이름 위계'''(hierarchy of

X

-names^영어)라고 하며,^[1]

\operatorname{Name}_{X,\alpha}

로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

임의의 두 이름

\sigma,\tau\in\operatorname{Name}_X

에 대하여,

\sigma\in\tau

의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은

X

의 부분 집합으로 나타내어진다.

:

\{x\in X\colon (\sigma,x)\in \tau\}

즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수

\{\top,\bot\}

대신 불 대수

\mathcal P(X)

로 나타내어진다.

임의의 순서수

\alpha

에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

:

\operatorname{dom}\colon\operatorname{Name}_{X,\alpha}\to\mathcal P(\operatorname{Name}_{X,\alpha})

:

\operatorname{dom}(\tau)=\{\sigma\colon(\sigma,x)\in X\}

M \models

ZFC가 추이적이고,

(\mathbb{P}, <)

가

M

내의 포싱 노션이며,

G \subseteq \mathbb{P}

가

M

에 대해 제네릭하다고 가정하자.

그렇다면

M

내의 임의의

\mathbb{P}

-이름

\tau

에 대해,

\eta

가 다음 속성을 만족하는

\mathbb{P}

-이름일 경우,

\eta

를

\tau

의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 한다.

(1)

\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)

(2) 모든

\mathbb{P}

-이름

\sigma \in M

에 대해,

\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}

는 안티체인을 형성한다.

(3) '''(자연스러운 추가)''': 만약

\langle\sigma, p\rangle \in \eta

이면,

\langle\sigma, q\rangle \in \tau

를 만족하는

\mathbb{P}

내의

q \geq p

가 존재한다.

2. 2. 좋은 이름

원순서 집합

(X,\lesssim)

와

P

-이름

\tau

가 주어졌다고 하자. 또한, 함수

f\colon\operatorname{dom}\tau\to\mathcal P(X)

의 치역의 모든 원소가

P

의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.

:

\sigma=\{(\tau',x)\colon \tau'\in\operatorname{dom}\tau,\;x\in f(\tau')\}

이러한 꼴의 이름을

\tau

에 대한 '''좋은 이름'''(nice name^영어)이라고 한다.^[1]

특히,

\tau

에 대한 좋은 이름

\sigma

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{dom}\sigma\subseteq\operatorname{dom}\tau

M \models

ZFC가 추이적이고,

(\mathbb{P}, <)

가

M

내의 포싱 노션이며,

G \subseteq \mathbb{P}

가

M

에 대해 제네릭하다고 가정하자.

그렇다면

M

내의 임의의

\mathbb{P}

-이름

\tau

에 대해,

\eta

가 다음 속성을 만족하는

\mathbb{P}

-이름일 경우,

\eta

를

\tau

의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 한다.

(1)

\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)

(2) 모든

\mathbb{P}

-이름

\sigma \in M

에 대해,

\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}

는 안티체인을 형성한다.

(3) '''(자연스러운 추가)''': 만약

\langle\sigma, p\rangle \in \eta

이면,

\langle\sigma, q\rangle \in \tau

를 만족하는

\mathbb{P}

내의

q \geq p

가 존재한다.

3. 성질

이름은 범주론적 성질과 모형 이론적 성질을 갖는다.

범주론에서 이름은 함자를 통해 정의될 수 있다. 집합과 이항 관계의 범주에서 함자를 정의할 수 있다. 이름의 해석은 강제법에서 확장된 원소를 나타내는 데 사용된다.^[1]

모형 이론에서 이름 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대해 절대적이다.^[1] 즉, 표준 추이적 모형에서 이름 정의는 모형에 관계없이 동일하게 유지된다. 좋은 이름 개념 또한 절대적이다.^[1]

3. 1. 범주론적 성질

임의의 순서수

\alpha

에 대하여,

\operatorname{Name}_{-,\alpha}\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}

는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음과 같다.

:

\operatorname{Name}_{f,\alpha}\colon N\mapsto\{\left(\operatorname{Name}_{f,\beta}(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname{Name}_{X,\beta},\;\beta<\alpha\}

보다 일반적으로,

\operatorname{Rel}

이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.

:

\operatorname{Name}_{-,\alpha}\colon\operatorname{Rel}\to\operatorname{Set}

:

\operatorname{Name}_{R,\alpha}\colon\sigma\mapsto\{\left(\operatorname{Name}_{R,\beta}(\tau),y\right)\colon (\tau,x)\in\sigma,\;(x,y)\in R\}

임의의 부분 집합

S\subseteq X

및 한원소 집합

\{\bullet\}

에 대하여, 다음과 같은 이항 관계

R_S

를 생각하자.

:

(x,\bullet)\in R_S\iff x\in S

그렇다면, 함수

:

\operatorname{Name}_{R_S}\colon\operatorname{Name}_X\to\operatorname{Name}_{\{\bullet\}}\cong V

를 생각하자. 이를

X

-이름의

S

-'''해석'''이라고 하며,

:

\operatorname{val}_S\colon\operatorname{Name}_X\to V

로 표기한다.^[1]

강제법에서,

\operatorname{val}_S(u)

는 포괄적 순서 아이디얼

S

를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.

3. 2. 모형 이론적 성질

이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다.^[1] 즉, ZFC의 표준 추이적 모형

M

및

X\in M

및 집합

\tau\in M

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\left(M\models(\tau\in\operatorname{Name}_X)\right)\iff \tau\in\operatorname{Name}_X

다시 말해,

(\operatorname{Name}_X)^M=\operatorname{Name}_X\cap M

이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다.^[1]

ZFC의 표준 추이적 모형

M

및 원순서 집합

X\in M

및 두 이름

\mu,\sigma\in M\cap\operatorname{Name}_X

에 대하여, 다음이 성립하는

\sigma

-좋은 이름

\tau

가 존재한다.

:

\forall x\in X\colon x\Vdash (\mu\subseteq\sigma\implies \mu=\tau)

다시 말해, 임의의

X

의 포괄적 순서 아이디얼

G

및

\sigma\in\operatorname{Name}_X\cap M

및

S\in \mathcal P(\operatorname{val}_G(\sigma))\cap M[G]

에 대하여,

\operatorname{val}_G(\tau)=S

인

\sigma

-좋은 이름

\tau

가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약

\tau

가

\sigma

-좋은 이름일 때,

\operatorname{val}_G(\tau)\subseteq\operatorname{val}_G(\sigma)

일 필요는 없다.^[1])

만약

M \models

ZFC가 추이적이고,

(\mathbb{P}, <)

가

M

내의 포싱 노션이며,

G \subseteq \mathbb{P}

가

M

에 대해 제네릭하다고 가정하면,

M

내의 임의의

\mathbb{P}

-이름

\tau

에 대해, 다음 속성을 만족하는

\mathbb{P}

-이름

\eta

를

\tau

의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 한다.

(1)

\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)

(2) 모든

\mathbb{P}

-이름

\sigma \in M

에 대해,

\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}

는 안티체인을 형성한다.

(3) 만약

\langle\sigma, p\rangle \in \eta

이면,

\langle\sigma, q\rangle \in \tau

를 만족하는

\mathbb{P}

내의

q \geq p

가 존재한다.

4. 예

이름은 집합론에서 사용되는 개념으로, 주어진 집합에 '이름'을 부여하는 방식을 정의한다.

$X$ 가 공집합인 경우: 이름은 $\operatorname{Name}_\varnothing=\{\varnothing\}$ 으로 유일하게 결정된다.
$X$ 가 한원소 집합인 경우: 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이며, 이는 멱집합 연산과도 동형이다. 따라서 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 간주할 수 있다.^[1]

4. 1. 공집합인 경우

X

가 공집합이라면

\operatorname{Name}_\varnothing=\{\varnothing\}

이다.

4. 2. 한원소 집합인 경우

만약 X가 한원소 집합이라면, Q는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다.

5. 강제법과의 관계 (추가)

임의의 집합 $X$ 가 주어졌을 때, 연산 $Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X)$ 에 대한 누적 위계를 $X$ -'''이름 위계'''(hierarchy of $X$ -names^영어)라고 하며, $\operatorname{Name}_{X,\alpha}$ 로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.^[1]

임의의 두 이름 $\sigma,\tau\in\operatorname{Name}_X$ 에 대하여, $\sigma\in\tau$ 의 "참·거짓 여부"는 다음과 같이 $X$ 의 부분 집합으로 나타내어진다.

: $\{x\in X\colon (\sigma,x)\in \tau\}$

즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 $\{\top,\bot\}$ 대신 불 대수 $\mathcal P(X)$ 로 나타내어진다.

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여, 다음 함수를 정의할 수 있다.

: $\operatorname{dom}\colon\operatorname{Name}_{X,\alpha}\to\mathcal P(\operatorname{Name}_{X,\alpha})$

: $\operatorname{dom}(\tau)=\{\sigma\colon(\sigma,x)\in X\}$

$\tau$ 에 대한 좋은 이름 $\sigma$ 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{dom}\sigma\subseteq\operatorname{dom}\tau$

5. 1. 부분 집합에 대한 좋은 이름 (추가)

원순서 집합

(X,\lesssim)

와

P

-이름

\tau

가 주어졌다고 하자. 또한, 함수

f\colon\operatorname{dom}\tau\to\mathcal P(X)

의 치역의 모든 원소가

P

의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.

:

\sigma=\{(\tau',x)\colon \tau'\in\operatorname{dom}\tau,\;x\in f(\tau')\}

이러한 꼴의 이름을

\tau

에 대한 '''좋은 이름'''(nice name^영어)이라고 한다.^[1]

M \models

ZFC가 추이적이고,

(\mathbb{P}, <)

가

M

내의 포싱 노션이며,

G \subseteq \mathbb{P}

가

M

에 대해 제네릭하다고 가정하자.

그렇다면

M

내의 임의의

\mathbb{P}

-이름

\tau

에 대해, 다음 속성을 만족하는

\mathbb{P}

-이름

\eta

를

\tau

의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 한다.

(1)

\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)

(2) 모든

\mathbb{P}

-이름

\sigma \in M

에 대해,

\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}

는 안티체인을 형성한다.

(3) 만약

\langle\sigma, p\rangle \in \eta

이면,

\langle\sigma, q\rangle \in \tau

를 만족하는

\mathbb{P}

내의

q \geq p

가 존재한다.

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