이름 (강제법)

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1. 개요

이름(강제법)은 집합론의 강제법에서 사용되는 개념으로, 주어진 집합 X에 대한 연산 Q를 통해 정의되는 이름 위계를 의미한다. 이름은 강제법에서 참/거짓 여부를 불 대수가 아닌 불 대수 P(X)의 부분 집합으로 나타내며, '좋은 이름'이라는 특정 속성을 만족하는 이름을 정의한다. 이름의 개념은 함자, 해석, 모형 이론적 성질을 가지며, 특히 공집합 또는 한원소 집합의 경우 간단한 형태로 나타난다.

이름 (강제법)

기본 정보

강제 로마자 표기	ireum

언어별 표기

영어	Name
한국어	이름

언어별 표기 상세

한국어 (발음)	iːɾɯm
한국어 (한자)	名

정보

유형	낱말
의미	사람, 장소, 사물, 사건, 기타 범주를 식별하기 위해 사용되는 명칭 또는 명칭 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 이름
- 2.2. 좋은 이름
3. 성질
- 3.1. 범주론적 성질
- 3.2. 모형 이론적 성질
4. 예
- 4.1. 공집합인 경우
- 4.2. 한원소 집합인 경우
5. 강제법과의 관계 (추가)
- 5.1. 부분 집합에 대한 좋은 이름 (추가)

2. 정의

강제법에서 이름은 특정한 조건을 만족시키는 집합이며, 그 표기법은 해당 집합의 구조를 반영한다. 이름의 참·거짓 여부는 고전 논리의 이진값(참 또는 거짓) 대신 불 대수를 사용하여 표현된다.

ZFC가 추이적이고, $(\mathbb{P}, <)$ 가 $M$ 내의 포싱 노션이며, $G \subseteq \mathbb{P}$ 가 $M$ 에 대해 제네릭하다고 가정할 때, $M$ 내의 임의의 $\mathbb{P}$ -이름 $\tau$ 에 대해, 다음 세 가지 속성을 만족하는 $\mathbb{P}$ -이름 $\eta$ 는 $\tau$ 의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 정의된다.

(1) $\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)$

(2) 모든 $\mathbb{P}$ -이름 $\sigma \in M$ 에 대해, $\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}$ 는 안티체인을 형성한다.

(3) 만약 $\langle\sigma, p\rangle \in \eta$ 이면, $\langle\sigma, q\rangle \in \tau$ 를 만족하는 $\mathbb{P}$ 내의 $q \geq p$ 가 존재한다.

2.1. 이름

임의의 집합 $X$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산
: $Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X)$
에 대한 누적 위계를 $X$ -이름 위계(hierarchy of $X$ -names^영어)라고 하며, $\operatorname{Name}_{X,\alpha}$ 로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

임의의 두 이름 $\sigma,\tau\in\operatorname{Name}_X$ 에 대하여, $\sigma\in\tau$ 의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은 $X$ 의 부분 집합으로 나타내어진다.
: $\{x\in X\colon (\sigma,x)\in \tau\}$
즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 $\{\top,\bot\}$ 대신 불 대수 $\mathcal P(X)$ 로 나타내어진다.

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
: $\operatorname{dom}\colon\operatorname{Name}_{X,\alpha}\to\mathcal P(\operatorname{Name}_{X,\alpha})$
: $\operatorname{dom}(\tau)=\{\sigma\colon(\sigma,x)\in X\}$
$M \models$ ZFC가 추이적이고, $(\mathbb{P}, <)$ 가 $M$ 내의 포싱 노션이며, $G \subseteq \mathbb{P}$ 가 $M$ 에 대해 제네릭하다고 가정하자.

그렇다면 $M$ 내의 임의의 $\mathbb{P}$ -이름 $\tau$ 에 대해, $\eta$ 가 다음 속성을 만족하는 $\mathbb{P}$ -이름일 경우, $\eta$ 를 $\tau$ 의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 한다.

(1) $\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)$

(2) 모든 $\mathbb{P}$ -이름 $\sigma \in M$ 에 대해, $\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}$ 는 안티체인을 형성한다.

(3) (자연스러운 추가): 만약 $\langle\sigma, p\rangle \in \eta$ 이면, $\langle\sigma, q\rangle \in \tau$ 를 만족하는 $\mathbb{P}$ 내의 $q \geq p$ 가 존재한다.

2.2. 좋은 이름

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 와 $P$ -이름 $\tau$ 가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 $f\colon\operatorname{dom}\tau\to\mathcal P(X)$ 의 치역의 모든 원소가 $P$ 의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.
: $\sigma=\{(\tau',x)\colon \tau'\in\operatorname{dom}\tau,\;x\in f(\tau')\}$
이러한 꼴의 이름을 $\tau$ 에 대한 좋은 이름(nice name^영어)이라고 한다.

특히, $\tau$ 에 대한 좋은 이름 $\sigma$ 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
: $\operatorname{dom}\sigma\subseteq\operatorname{dom}\tau$

$M \models$ ZFC가 추이적이고, $(\mathbb{P}, <)$ 가 $M$ 내의 포싱 노션이며, $G \subseteq \mathbb{P}$ 가 $M$ 에 대해 제네릭하다고 가정하자.

그렇다면 $M$ 내의 임의의 $\mathbb{P}$ -이름 $\tau$ 에 대해, $\eta$ 가 다음 속성을 만족하는 $\mathbb{P}$ -이름일 경우, $\eta$ 를 $\tau$ 의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 한다.

(1) $\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)$

(2) 모든 $\mathbb{P}$ -이름 $\sigma \in M$ 에 대해, $\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}$ 는 안티체인을 형성한다.

(3) (자연스러운 추가): 만약 $\langle\sigma, p\rangle \in \eta$ 이면, $\langle\sigma, q\rangle \in \tau$ 를 만족하는 $\mathbb{P}$ 내의 $q \geq p$ 가 존재한다.

3. 성질

이름은 범주론적 성질과 모형 이론적 성질을 갖는다.

범주론에서 이름은 함자를 통해 정의될 수 있다. 집합과 이항 관계의 범주에서 함자를 정의할 수 있다. 이름의 해석은 강제법에서 확장된 원소를 나타내는 데 사용된다.

모형 이론에서 이름 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대해 절대적이다. 즉, 표준 추이적 모형에서 이름 정의는 모형에 관계없이 동일하게 유지된다. 좋은 이름 개념 또한 절대적이다.

3.1. 범주론적 성질

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여, $\operatorname{Name}_{-,\alpha}\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}$ 는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음과 같다.
: $\operatorname{Name}_{f,\alpha}\colon N\mapsto\{\left(\operatorname{Name}_{f,\beta}(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname{Name}_{X,\beta},\;\beta<\alpha\}$

보다 일반적으로, $\operatorname{Rel}$ 이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.
: $\operatorname{Name}_{-,\alpha}\colon\operatorname{Rel}\to\operatorname{Set}$
: $\operatorname{Name}_{R,\alpha}\colon\sigma\mapsto\{\left(\operatorname{Name}_{R,\beta}(\tau),y\right)\colon (\tau,x)\in\sigma,\;(x,y)\in R\}$

임의의 부분 집합 $S\subseteq X$ 및 한원소 집합 $\{\bullet\}$ 에 대하여, 다음과 같은 이항 관계 $R_S$ 를 생각하자.
: $(x,\bullet)\in R_S\iff x\in S$
그렇다면, 함수
: $\operatorname{Name}_{R_S}\colon\operatorname{Name}_X\to\operatorname{Name}_{\{\bullet\}}\cong V$
를 생각하자. 이를 $X$ -이름의 $S$ -해석이라고 하며,
: $\operatorname{val}_S\colon\operatorname{Name}_X\to V$
로 표기한다.

강제법에서, $\operatorname{val}_S(u)$ 는 포괄적 순서 아이디얼 $S$ 를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.

3.2. 모형 이론적 성질

이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다. 즉, ZFC의 표준 추이적 모형 $M$ 및 $X\in M$ 및 집합 $\tau\in M$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $\left(M\models(\tau\in\operatorname{Name}_X)\right)\iff \tau\in\operatorname{Name}_X$
다시 말해, $(\operatorname{Name}_X)^M=\operatorname{Name}_X\cap M$ 이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다.

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$ 및 원순서 집합 $X\in M$ 및 두 이름 $\mu,\sigma\in M\cap\operatorname{Name}_X$ 에 대하여, 다음이 성립하는 $\sigma$ -좋은 이름 $\tau$ 가 존재한다.
: $\forall x\in X\colon x\Vdash (\mu\subseteq\sigma\implies \mu=\tau)$
다시 말해, 임의의 $X$ 의 포괄적 순서 아이디얼 $G$ 및 $\sigma\in\operatorname{Name}_X\cap M$ 및 $S\in \mathcal P(\operatorname{val}_G(\sigma))\cap M[G]$ 에 대하여, $\operatorname{val}_G(\tau)=S$ 인 $\sigma$ -좋은 이름 $\tau$ 가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약 $\tau$ 가 $\sigma$ -좋은 이름일 때, $\operatorname{val}_G(\tau)\subseteq\operatorname{val}_G(\sigma)$ 일 필요는 없다.)

만약 $M \models$ ZFC가 추이적이고, $(\mathbb{P}, <)$ 가 $M$ 내의 포싱 노션이며, $G \subseteq \mathbb{P}$ 가 $M$ 에 대해 제네릭하다고 가정하면, $M$ 내의 임의의 $\mathbb{P}$ -이름 $\tau$ 에 대해, 다음 속성을 만족하는 $\mathbb{P}$ -이름 $\eta$ 를 $\tau$ 의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 한다.

(1) $\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)$

(2) 모든 $\mathbb{P}$ -이름 $\sigma \in M$ 에 대해, $\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}$ 는 안티체인을 형성한다.

(3) 만약 $\langle\sigma, p\rangle \in \eta$ 이면, $\langle\sigma, q\rangle \in \tau$ 를 만족하는 $\mathbb{P}$ 내의 $q \geq p$ 가 존재한다.

4. 예

이름은 집합론에서 사용되는 개념으로, 주어진 집합에 '이름'을 부여하는 방식을 정의한다.

* $X$ 가 공집합인 경우: 이름은 $\operatorname{Name}_\varnothing=\{\varnothing\}$ 으로 유일하게 결정된다.
* $X$ 가 한원소 집합인 경우: 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이며, 이는 멱집합 연산과도 동형이다. 따라서 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 간주할 수 있다.

4.1. 공집합인 경우

$X$ 가 공집합이라면 $\operatorname{Name}_\varnothing=\{\varnothing\}$ 이다.

4.2. 한원소 집합인 경우

만약 X가 한원소 집합이라면, Q는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다.

5. 강제법과의 관계 (추가)

임의의 집합 $X$ 가 주어졌을 때, 연산 $Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X)$ 에 대한 누적 위계를 $X$ -이름 위계(hierarchy of $X$ -names^영어)라고 하며, $\operatorname{Name}_{X,\alpha}$ 로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

임의의 두 이름 $\sigma,\tau\in\operatorname{Name}_X$ 에 대하여, $\sigma\in\tau$ 의 "참·거짓 여부"는 다음과 같이 $X$ 의 부분 집합으로 나타내어진다.
: $\{x\in X\colon (\sigma,x)\in \tau\}$
즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 $\{\top,\bot\}$ 대신 불 대수 $\mathcal P(X)$ 로 나타내어진다.

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여, 다음 함수를 정의할 수 있다.
: $\operatorname{dom}\colon\operatorname{Name}_{X,\alpha}\to\mathcal P(\operatorname{Name}_{X,\alpha})$
: $\operatorname{dom}(\tau)=\{\sigma\colon(\sigma,x)\in X\}$

$\tau$ 에 대한 좋은 이름 $\sigma$ 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
: $\operatorname{dom}\sigma\subseteq\operatorname{dom}\tau$

5.1. 부분 집합에 대한 좋은 이름 (추가)

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 와 $P$ -이름 $\tau$ 가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 $f\colon\operatorname{dom}\tau\to\mathcal P(X)$ 의 치역의 모든 원소가 $P$ 의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.
: $\sigma=\{(\tau',x)\colon \tau'\in\operatorname{dom}\tau,\;x\in f(\tau')\}$
이러한 꼴의 이름을 $\tau$ 에 대한 좋은 이름(nice name^영어)이라고 한다.

$M \models$ ZFC가 추이적이고, $(\mathbb{P}, <)$ 가 $M$ 내의 포싱 노션이며, $G \subseteq \mathbb{P}$ 가 $M$ 에 대해 제네릭하다고 가정하자.

그렇다면 $M$ 내의 임의의 $\mathbb{P}$ -이름 $\tau$ 에 대해, 다음 속성을 만족하는 $\mathbb{P}$ -이름 $\eta$ 를 $\tau$ 의 부분 집합에 대한 좋은 이름이라고 한다.

(1) $\operatorname{dom}(\eta) \subseteq \operatorname{dom}(\tau)$

(2) 모든 $\mathbb{P}$ -이름 $\sigma \in M$ 에 대해, $\{p \in \mathbb{P}| \langle\sigma, p\rangle \in \eta\}$ 는 안티체인을 형성한다.

(3) 만약 $\langle\sigma, p\rangle \in \eta$ 이면, $\langle\sigma, q\rangle \in \tau$ 를 만족하는 $\mathbb{P}$ 내의 $q \geq p$ 가 존재한다.